Grundbegriffe der Informatik: 10. Übung - Master

Grundbegriffe der Informatik: 10. Übung
Master-Theorem
Thomas Bittner | 10. Januar 2014
GRUNDBEGRIFFE DER INFORMATIK
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Überblick
1
Master-Theorem
2
Ergebnisse Evaluation
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
2/24
Rekurrenzgleichung
Beschreibung von Divide-and-Conquer-Algorithmen durch
T (n) = aT
n
b
+ f (n)
Bedeutung der Konstanten
a: In wie viele Teilprobleme wird aufgeteilt?
b: Wie groß sind die Teilprobleme?
f (n): Was muss der Algorithmus noch zusätzlich tun?
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
3/24
Beispiel: Summe
Gegeben: Ein Array“ von Zahlen
”
Gesucht: Die Summe über alle Zahlen
Algorithmus:
Basisfall: Array hat Länge 1
Dann: Gib die eine Zahl zurück.
Rekursionsfall:
1
2
3
Teile Array in der Mitte
Berechne Summe auf beiden Teilarrays (rekursiv)
Addiere diese beiden Summen
Rekurrenzgleichung:
T (n) = 2T
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
n
2
+1
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
4/24
Beispiel: Summe
Gegeben: Ein Array“ von Zahlen
”
Gesucht: Die Summe über alle Zahlen
Algorithmus:
Basisfall: Array hat Länge 1
Dann: Gib die eine Zahl zurück.
Rekursionsfall:
1
2
3
Teile Array in der Mitte
Berechne Summe auf beiden Teilarrays (rekursiv)
Addiere diese beiden Summen
Rekurrenzgleichung:
T (n) = 2T
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
n
2
+1
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
4/24
Master-Theorem
n
T (n) = aT ( ) + f (n)
b
Master-Theorem


Θ(nlogb a )





Θ(nlogb a log n)



Θ(f (n))
T (n) ∈










f (n) ∈ O (nlogb a− ) für ein > 0
f (n) ∈ Θ(nlogb a )
f (n) ∈ Ω(nlogb a+ ) für ein > 0 und
∃d ∈ R : 0 < d < 1,
sodass für alle hinreichend großen n gilt:
a · f ( bn ) ≤ d · f (n)
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
5/24
Master-Theorem
n
T (n) = aT ( ) + f (n)
b
Master-Theorem


Θ(nlogb a )





Θ(nlogb a log n)



Θ(f (n))
T (n) ∈










f (n) ∈ O (nlogb a− ) für ein > 0
f (n) ∈ Θ(nlogb a )
f (n) ∈ Ω(nlogb a+ ) für ein > 0 und
∃d ∈ R : 0 < d < 1,
sodass für alle hinreichend großen n gilt:
a · f ( bn ) ≤ d · f (n)
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
6/24
Master-Theorem
n
T (n) = aT ( ) + f (n)
b
Master-Theorem


Θ(nlogb a )





Θ(nlogb a log n)



Θ(f (n))
T (n) ∈










f (n) ∈ O (nlogb a− ) für ein > 0
f (n) ∈ Θ(nlogb a )
f (n) ∈ Ω(nlogb a+ ) für ein > 0 und
∃d ∈ R : 0 < d < 1,
sodass für alle hinreichend großen n gilt:
a · f ( bn ) ≤ d · f (n)
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
7/24
Master-Theorem
n
T (n) = aT ( ) + f (n)
b
Master-Theorem


Θ(nlogb a )





Θ(nlogb a log n)



Θ(f (n))
T (n) ∈










f (n) ∈ O (nlogb a− ) für ein > 0
f (n) ∈ Θ(nlogb a )
f (n) ∈ Ω(nlogb a+ ) für ein > 0 und
∃d ∈ R : 0 < d < 1,
sodass für alle hinreichend großen n gilt:
a · f ( bn ) ≤ d · f (n)
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
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8/24
Veranschaulichung 1. Fall
1. Fall Master-Theorem
T (n) ∈ Θ(nlogb a )
f (n) ∈ O (nlogb a− ) für ein > 0
Betrachte Rekurrenzgleichung:
T (1) = 1
T (n) = aT
Master-Theorem
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n
b
+0
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
9/24
Veranschaulichung 1. Fall
1. Fall Master-Theorem
T (n) ∈ Θ(nlogb a )
f (n) ∈ O (nlogb a− ) für ein > 0
Betrachte Rekurrenzgleichung:
T (1) = 1
T (n) = aT
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
n
b
+0
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
9/24
Veranschaulichung 1. Fall
Betrachte Rekurrenzgleichung:
T (1) = 1
T (n) = aT
n
b
+0
Betrachte T bk :
T b
k
= aT
bk
b
k −1
= a · aT
= a · aT bk −2 = · · ·
= aT b
b k −1
b
= ak · T (1) = ak · 1
= ak
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
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10/24
Veranschaulichung 1. Fall
Betrachte Rekurrenzgleichung:
T (1) = 1
T (n) = aT
n
b
+0
T b k = ak
Setze n := bk =⇒ k = logb n
=⇒ ak = alogb n = blogb a
logb n
= blogb a·logb n = blogb n·logb a = nlogb a
=⇒ T (n) = nlogb a ∈ Θ(nlogb a )
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
11/24
Veranschaulichung 1. Fall
Betrachte Rekurrenzgleichung:
T (1) = 1
T (n) = aT
n
b
+0
T b k = ak
Setze n := bk =⇒ k = logb n
=⇒ ak = alogb n = blogb a
logb n
= blogb a·logb n = blogb n·logb a = nlogb a
=⇒ T (n) = nlogb a ∈ Θ(nlogb a )
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
11/24
Veranschaulichung 1. Fall
Betrachte Rekurrenzgleichung:
T (1) = 1
T (n) = aT
n
b
+0
T b k = ak
Setze n := bk =⇒ k = logb n
=⇒ ak = alogb n = blogb a
logb n
= blogb a·logb n = blogb n·logb a = nlogb a
=⇒ T (n) = nlogb a ∈ Θ(nlogb a )
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
11/24
Beispiel 1. Fall
T (n) = 2T
1
nlogb a = nlog2 2 = n1
2
f (n) = log2 n ∈ O (n1− )
n
2
(z.B. für = 0.1)
3
=⇒ Erster Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n)
Master-Theorem
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+ log2 n
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
12/24
Beispiel 1. Fall
T (n) = 2T
1
nlogb a = nlog2 2 = n1
2
f (n) = log2 n ∈ O (n1− )
n
2
(z.B. für = 0.1)
3
=⇒ Erster Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n)
Master-Theorem
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+ log2 n
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
12/24
Beispiel 1. Fall
T (n) = 2T
1
nlogb a = nlog2 2 = n1
2
f (n) = log2 n ∈ O (n1− )
n
2
(z.B. für = 0.1)
3
=⇒ Erster Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n)
Master-Theorem
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+ log2 n
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
12/24
Beispiel 1. Fall
T (n) = 2T
1
nlogb a = nlog2 2 = n1
2
f (n) = log2 n ∈ O (n1− )
n
2
(z.B. für = 0.1)
3
=⇒ Erster Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n)
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
+ log2 n
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
12/24
Beispiel 1. Fall
T (n) = 2T
1
nlogb a = nlog2 2 = n1
2
f (n) = log2 n ∈ O (n1− )
n
2
(z.B. für = 0.1)
3
=⇒ Erster Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n)
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
+ log2 n
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
12/24
Grenze des 1. Falls
T (n) = aT
n
b
+ f (n)
Frage:
Wie schnell darf f (n) wachsen, damit es nicht ins Gewicht fällt“?
”
Master-Theorem:
f (n) ∈ O (nlogb a− )
⇐⇒ f (n) ∈ O (nc ) mit c < logb a
Wächst zu stark:
f (n) = nlogb a / log2 n
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
13/24
Grenze des 1. Falls
T (n) = aT
n
b
+ f (n)
Frage:
Wie schnell darf f (n) wachsen, damit es nicht ins Gewicht fällt“?
”
Master-Theorem:
f (n) ∈ O (nlogb a− )
⇐⇒ f (n) ∈ O (nc ) mit c < logb a
Wächst zu stark:
f (n) = nlogb a / log2 n
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
13/24
Grenze des 1. Falls
T (n) = aT
n
b
+ f (n)
Frage:
Wie schnell darf f (n) wachsen, damit es nicht ins Gewicht fällt“?
”
Master-Theorem:
f (n) ∈ O (nlogb a− )
⇐⇒ f (n) ∈ O (nc ) mit c < logb a
Wächst zu stark:
f (n) = nlogb a / log2 n
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
13/24
Grenze des 1. Falls
Wächst zu stark:
f (n) = nlogb a / log2 n
Beispiel:
n
T (n) = 2T ( ) + n/ log2 n
2
T (1) = 0
T (8) = 44/3
T (2) = 2
T (16) = 100/3
T (4) = 6
T (32) = 1096/15
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
14/24
Grenze des 1. Falls
Wächst zu stark:
f (n) = nlogb a / log2 n
Beispiel:
n
T (n) = 2T ( ) + n/ log2 n
2
T (1) = 0
T (8) = 44/3
T (2) = 2
T (16) = 100/3
T (4) = 6
T (32) = 1096/15
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
14/24
Grenze des 1. Falls
Betrachte Verhältnis von T (n)/nlogb a .
Mit
n
T (n) = 2T ( ) + n/ log2 n
2
also das Verhältnis T (n)/n
T (1)/1 = 0/1 = 0
T (2)/2 = 2/2 = 1 → Differenz 1
T (4)/4 = 6/4 = 3/2 → Differenz 1/2
T (8)/8 = (44/3)/8 = 11/6 → Differenz 1/3
T (16)/16 = (100/3)/16 = 25/12 → Differenz 1/4
T (32)/32 = (1096/15)/32 = 137/60 → Differenz 1/5
T (2k )/2k =
k
X
1
i =1
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
i
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
15/24
Grenze des 1. Falls
Betrachte Verhältnis von T (n)/nlogb a .
Mit
n
T (n) = 2T ( ) + n/ log2 n
2
also das Verhältnis T (n)/n
T (1)/1 = 0/1 = 0
T (2)/2 = 2/2 = 1 → Differenz 1
T (4)/4 = 6/4 = 3/2 → Differenz 1/2
T (8)/8 = (44/3)/8 = 11/6 → Differenz 1/3
T (16)/16 = (100/3)/16 = 25/12 → Differenz 1/4
T (32)/32 = (1096/15)/32 = 137/60 → Differenz 1/5
T (2k )/2k =
k
X
1
i =1
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
i
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
15/24
Grenze des 1. Falls
Betrachte Verhältnis von T (n)/nlogb a .
Mit
n
T (n) = 2T ( ) + n/ log2 n
2
also das Verhältnis T (n)/n
T (1)/1 = 0/1 = 0
T (2)/2 = 2/2 = 1 → Differenz 1
T (4)/4 = 6/4 = 3/2 → Differenz 1/2
T (8)/8 = (44/3)/8 = 11/6 → Differenz 1/3
T (16)/16 = (100/3)/16 = 25/12 → Differenz 1/4
T (32)/32 = (1096/15)/32 = 137/60 → Differenz 1/5
T (2k )/2k =
k
X
1
i =1
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
i
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
15/24
Grenze des 1. Falls
Betrachte Verhältnis von T (n)/nlogb a .
Mit
n
T (n) = 2T ( ) + n/ log2 n
2
also das Verhältnis T (n)/n
T (1)/1 = 0/1 = 0
T (2)/2 = 2/2 = 1 → Differenz 1
T (4)/4 = 6/4 = 3/2 → Differenz 1/2
T (8)/8 = (44/3)/8 = 11/6 → Differenz 1/3
T (16)/16 = (100/3)/16 = 25/12 → Differenz 1/4
T (32)/32 = (1096/15)/32 = 137/60 → Differenz 1/5
T (2k )/2k =
k
X
1
i =1
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
i
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
15/24
Grenze des 1. Falls
T (2k )/2k =
Pk
1
i =1 i
k
⇐⇒ T (2k ) = 2 · (
Pk
1
i =1 i )
(Beweis durch Vollständige Induktion)
Harmonische Reihe
Pk 1
i =1 i
ist die Harmonische Reihe
Es gilt:
k
X
1
i =1
i
∈ Θ(log k )
Setze n := 2k =⇒ k = log2 n
=⇒ T (n) ∈ Θ(n log(log n))
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
16/24
Grenze des 1. Falls
T (2k )/2k =
Pk
1
i =1 i
k
⇐⇒ T (2k ) = 2 · (
Pk
1
i =1 i )
(Beweis durch Vollständige Induktion)
Harmonische Reihe
Pk 1
i =1 i
ist die Harmonische Reihe
Es gilt:
k
X
1
i =1
i
∈ Θ(log k )
Setze n := 2k =⇒ k = log2 n
=⇒ T (n) ∈ Θ(n log(log n))
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
16/24
Grenze des 1. Falls
T (2k )/2k =
Pk
1
i =1 i
k
⇐⇒ T (2k ) = 2 · (
Pk
1
i =1 i )
(Beweis durch Vollständige Induktion)
Harmonische Reihe
Pk 1
i =1 i
ist die Harmonische Reihe
Es gilt:
k
X
1
i =1
i
∈ Θ(log k )
Setze n := 2k =⇒ k = log2 n
=⇒ T (n) ∈ Θ(n log(log n))
Master-Theorem
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Schluss
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16/24
Beispiel 2. Fall
T (n) = 9T
n
1
nlogb a = nlog3 9 = n2
2
f (n) = n2 + 2n + 1 ∈ Θ(n2 )
3
+ n2 + 2n + 1
3
=⇒ Zweiter Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n2 log n)
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
17/24
Beispiel 2. Fall
T (n) = 9T
n
1
nlogb a = nlog3 9 = n2
2
f (n) = n2 + 2n + 1 ∈ Θ(n2 )
3
+ n2 + 2n + 1
3
=⇒ Zweiter Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n2 log n)
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
17/24
Beispiel 2. Fall
T (n) = 9T
n
1
nlogb a = nlog3 9 = n2
2
f (n) = n2 + 2n + 1 ∈ Θ(n2 )
3
+ n2 + 2n + 1
3
=⇒ Zweiter Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n2 log n)
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
17/24
Beispiel 2. Fall
T (n) = 9T
n
1
nlogb a = nlog3 9 = n2
2
f (n) = n2 + 2n + 1 ∈ Θ(n2 )
3
+ n2 + 2n + 1
3
=⇒ Zweiter Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n2 log n)
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
17/24
Beispiel 2. Fall
T (n) = 9T
n
1
nlogb a = nlog3 9 = n2
2
f (n) = n2 + 2n + 1 ∈ Θ(n2 )
3
+ n2 + 2n + 1
3
=⇒ Zweiter Fall Master-Theorem
4
=⇒ T (n) ∈ Θ(n2 log n)
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
17/24
Beispiel 3. Fall
T (n) = 4T
n
4
√
+n n
1
nlogb a = nlog4 4 = n1
2
f (n) = n n = n · n 2 = n 2 ∈ Ω(n1+ )
3
Außerdem gilt:
√
a·f
n
b
3
1
=4·f
n
4
√
√
1
n n
1 √
=4· √ =4·
= n n = · f (n )
n n
5
8
4 4
=⇒ ∃d ∈ R mit 0 < d < 1 und a · f
4
(z.B. für = 0.1)
n
b
2
2
≤ d · f (n)
=⇒ Dritter Fall Master-Theorem
√
=⇒ T (n) ∈ Θ(f (n)) = Θ(n n)
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
18/24
Beispiel 3. Fall
T (n) = 4T
n
4
√
+n n
1
nlogb a = nlog4 4 = n1
2
f (n) = n n = n · n 2 = n 2 ∈ Ω(n1+ )
3
Außerdem gilt:
√
a·f
n
b
3
1
=4·f
n
4
√
√
1
n n
1 √
=4· √ =4·
= n n = · f (n )
n n
5
8
4 4
=⇒ ∃d ∈ R mit 0 < d < 1 und a · f
4
(z.B. für = 0.1)
n
b
2
2
≤ d · f (n)
=⇒ Dritter Fall Master-Theorem
√
=⇒ T (n) ∈ Θ(f (n)) = Θ(n n)
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
18/24
Beispiel 3. Fall
T (n) = 4T
n
4
√
+n n
1
nlogb a = nlog4 4 = n1
2
f (n) = n n = n · n 2 = n 2 ∈ Ω(n1+ )
3
Außerdem gilt:
√
a·f
n
b
3
1
=4·f
n
4
√
√
1
n n
1 √
=4· √ =4·
= n n = · f (n )
n n
5
8
4 4
=⇒ ∃d ∈ R mit 0 < d < 1 und a · f
4
(z.B. für = 0.1)
n
b
2
2
≤ d · f (n)
=⇒ Dritter Fall Master-Theorem
√
=⇒ T (n) ∈ Θ(f (n)) = Θ(n n)
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
18/24
Beispiel 3. Fall
T (n) = 4T
n
4
√
+n n
1
nlogb a = nlog4 4 = n1
2
f (n) = n n = n · n 2 = n 2 ∈ Ω(n1+ )
3
Außerdem gilt:
√
a·f
n
b
3
1
=4·f
n
4
√
√
1
n n
1 √
=4· √ =4·
= n n = · f (n )
n n
5
8
4 4
=⇒ ∃d ∈ R mit 0 < d < 1 und a · f
4
(z.B. für = 0.1)
n
b
2
2
≤ d · f (n)
=⇒ Dritter Fall Master-Theorem
√
=⇒ T (n) ∈ Θ(f (n)) = Θ(n n)
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
18/24
Beispiel 3. Fall
T (n) = 4T
n
4
√
+n n
1
nlogb a = nlog4 4 = n1
2
f (n) = n n = n · n 2 = n 2 ∈ Ω(n1+ )
3
Außerdem gilt:
√
a·f
n
b
3
1
=4·f
n
4
√
√
1
n n
1 √
=4· √ =4·
= n n = · f (n )
n n
5
8
4 4
=⇒ ∃d ∈ R mit 0 < d < 1 und a · f
4
(z.B. für = 0.1)
n
b
2
2
≤ d · f (n)
=⇒ Dritter Fall Master-Theorem
√
=⇒ T (n) ∈ Θ(f (n)) = Θ(n n)
Master-Theorem
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18/24
Beispiel 3. Fall
T (n) = 4T
n
4
√
+n n
1
nlogb a = nlog4 4 = n1
2
f (n) = n n = n · n 2 = n 2 ∈ Ω(n1+ )
3
Außerdem gilt:
√
a·f
n
b
3
1
=4·f
n
4
√
√
1
n n
1 √
=4· √ =4·
= n n = · f (n )
n n
5
8
4 4
=⇒ ∃d ∈ R mit 0 < d < 1 und a · f
4
(z.B. für = 0.1)
n
b
2
2
≤ d · f (n)
=⇒ Dritter Fall Master-Theorem
√
=⇒ T (n) ∈ Θ(f (n)) = Θ(n n)
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
18/24
Beispiel: Kein Fall
n
T (n) = 4T ( ) + n log n
4
1
2
3
nlogb a = nlog4 4 = n1
f (n) = n log n
n log n ∈
/ O (n1− )
n log n ∈
/ Θ(n1 )
n log n ∈
/ Ω(n1+ )
=⇒ Kein Fall des Master-Theorems anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
19/24
Beispiel: Kein Fall
n
T (n) = 4T ( ) + n log n
4
1
2
3
nlogb a = nlog4 4 = n1
f (n) = n log n
n log n ∈
/ O (n1− )
n log n ∈
/ Θ(n1 )
n log n ∈
/ Ω(n1+ )
=⇒ Kein Fall des Master-Theorems anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
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19/24
Beispiel: Kein Fall
n
T (n) = 4T ( ) + n log n
4
1
2
3
nlogb a = nlog4 4 = n1
f (n) = n log n
n log n ∈
/ O (n1− )
n log n ∈
/ Θ(n1 )
n log n ∈
/ Ω(n1+ )
=⇒ Kein Fall des Master-Theorems anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
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19/24
Beispiel: Kein Fall
n
T (n) = 4T ( ) + n log n
4
1
2
3
nlogb a = nlog4 4 = n1
f (n) = n log n
n log n ∈
/ O (n1− )
n log n ∈
/ Θ(n1 )
n log n ∈
/ Ω(n1+ )
=⇒ Kein Fall des Master-Theorems anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
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19/24
Beispiel: Kein Fall
n
T (n) = 4T ( ) + n log n
4
1
2
3
nlogb a = nlog4 4 = n1
f (n) = n log n
n log n ∈
/ O (n1− )
n log n ∈
/ Θ(n1 )
n log n ∈
/ Ω(n1+ )
=⇒ Kein Fall des Master-Theorems anwendbar
Master-Theorem
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19/24
Beispiel: Kein Fall
n
T (n) = 4T ( ) + n log n
4
1
2
3
nlogb a = nlog4 4 = n1
f (n) = n log n
n log n ∈
/ O (n1− )
n log n ∈
/ Θ(n1 )
n log n ∈
/ Ω(n1+ )
=⇒ Kein Fall des Master-Theorems anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
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19/24
Beispiel: Kein Fall
n
T (n) = 4T ( ) + n log n
4
1
2
3
nlogb a = nlog4 4 = n1
f (n) = n log n
n log n ∈
/ O (n1− )
n log n ∈
/ Θ(n1 )
n log n ∈
/ Ω(n1+ )
=⇒ Kein Fall des Master-Theorems anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
19/24
Beispiel: Ebenfalls Kein Fall
n
T (n) = 2n T ( ) + nn
2
1
2
a = 2n
a ist keine Konstante
Allgemein gilt: a und b dürfen nicht von n abhängen!
3
=⇒ Master-Theorem nicht anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
20/24
Beispiel: Ebenfalls Kein Fall
n
T (n) = 2n T ( ) + nn
2
1
2
a = 2n
a ist keine Konstante
Allgemein gilt: a und b dürfen nicht von n abhängen!
3
=⇒ Master-Theorem nicht anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
10. Januar 2014
20/24
Beispiel: Ebenfalls Kein Fall
n
T (n) = 2n T ( ) + nn
2
1
2
a = 2n
a ist keine Konstante
Allgemein gilt: a und b dürfen nicht von n abhängen!
3
=⇒ Master-Theorem nicht anwendbar
Master-Theorem
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Schluss
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20/24
Beispiel: Ebenfalls Kein Fall
n
T (n) = 2n T ( ) + nn
2
1
2
a = 2n
a ist keine Konstante
Allgemein gilt: a und b dürfen nicht von n abhängen!
3
=⇒ Master-Theorem nicht anwendbar
Master-Theorem
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20/24
Beispiel: Ebenfalls Kein Fall
n
T (n) = 2n T ( ) + nn
2
1
2
a = 2n
a ist keine Konstante
Allgemein gilt: a und b dürfen nicht von n abhängen!
3
=⇒ Master-Theorem nicht anwendbar
Master-Theorem
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Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
20/24
Überblick
1
Master-Theorem
2
Ergebnisse Evaluation
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
21/24
Ergebnisse der Evaluation
Gut gefallen hat:
Kompetenz des Übungsleiters
Tempo
Foliengestaltung
Anschauliche Beispiele
Geht nur 45 min
Wechsel des Übungsleiters
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
22/24
Ergebnisse der Evaluation
Nicht gefallen hat:
Wechsel des Übungsleiters
Termin der Übung (3h vor ÜB-Abgabe)
Spätes Hochladen der Folien
Hohe Komplexität und hoher Abstraktionsgrad
Mehr konkrete/einfachere Beispiele
Lehrveranstalter versteht Fragen/Probleme nicht
manchmal zu viele Folien zum Mitschreiben/zu schnell
manchmal undeutlich
Frauenanteil zu gering
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
23/24
Das war’s für heute
Schönes Wochenende!
Master-Theorem
Thomas Bittner – 10. Übung - Grundbegriffe der Informatik
Ergebnisse Evaluation
Schluss
10. Januar 2014
24/24