Lösungshinweise 1. Übungsblatt

Prof. Dr. W. Zucchini
Zeitreihenanalyse
1. Übung
Sommer 2003
- Lösungshinweise Aufgabe 1: Klassische Zeitreihenanalyse
Folgende Zeitreihe beschreibt die monatliche Entwicklung der monetären Basis Japans (in Mio. Yen) von Jan. 1970 bis Nov. 1999:
Entwicklung der monetären Basis in Japan
von Jan 1970 bis Nov. 1999
600
Mrd. Yen
500
400
300
200
100
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
Jahr
a) Erläutern Sie anhand dieser Zeitreihe die Komponenten einer Zeitreihe im Sinne
der klassischen Zeitreihenanalyse.
Ziel der klassischen Zeitreihenanalyse ist die Zerlegung einer Zeitreihe Xt in
übersichtliche Komponenten, nämlich Trend (Tt ), Saisonkomponente (St ) und
Residuen (et ).
- Trend Tt : Beschreibt die langfristige Entwicklung der Zeitreihe
- Saisonkomponente St : Stellt das konstante Muster, das sich jedes Jahr wiederholt, dar
Der Trend Tt kann weiter zerlegt werden in einen einfachen Trend Mt und einen
Konjunkturzyklus Zt .
1
b) Im Rahmen der klassischen Zeitreihenanalyse wird zwischen additiver und multiplikativer Verknüpfung der einzelnen Komponenten unterschieden. Welche Verknüpfungsstruktur vermuten Sie in diesem Fall und welche Konsequenzen ergeben sich daraus?
- Additives Modell: Xt = Tt + St + et
- Multiplikatives Modell: Xt = Tt · St · et
Durch Logarithmieren erhält man aus einem additiven ein multiplikatives Modell:
Xt = Tt · St · et
log(Xt ) = log(Tt · St · et )
= log(Tt ) + log(St ) + log(et )
Charakteristisch für multiplikative Zeitreihen ist, daß die Stärke der Saisonausschläge vom Niveau der Zeitreihe abhängt. Durch Logarithmierung der Werte
erhält man daraus ein additives Modell.
c) Die Log–Transformation steht in engem Zusammenhang zur Familie der Box–
Cox–Transformationen.
– Beschreiben Sie die Vorgehensweise bei Box–Cox–Transformationen.
(
Box–Cox–Transformation:
xt (λ) =
xλ
t −1
λ
log(xt )
für λ 6= 0
für λ = 0
– Welches Ziel wird im Allgemeinen durch Transformationen verfolgt?
Ziel von Transformationen ist es, die Stärke der Saisonschwankungen etwa
gleich groß zu machen.
Aufgabe 2: Filterungen
a) Definieren Sie die Begriffe einfacher gleitender Durchschnitt, gewichteter gleitender Durchschnitt und zentrierter Filter.
– Einfacher gleitender Durchschnitt:
Dt =
a
X
i=−a
1
xt+i
2a + 1
;
t = a + 1, . . . , n − a ;
a
X
λi = 1
i=−a
(”Durchschnitt aus xt und jeweils a benachbarten Werten zu beiden Seiten”)
2
– Gewichteter gleitender Durchschnitt:
Dt =
b
X
λi xt+i
;
t = a + 1, . . . , n − b ;
i=−a
b
X
λi = 1
i=−a
(für einfachen gleitenden Durchschnitt gilt a = b und λi =
1
2a+1 )
– Zentrierte Filter:
Werden bei Zeitreihen mit Saisonschwankungen verwendet, z.B.:
für halbjährliche Daten: λ = { 14 ; 12 ; 14 }
für Quartalsdaten: λ = { 18 ; 14 ; 14 ; 14 ; 18 }
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
für monatliche Daten: λ = { 24
; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 24 }
b) Der einfache gleitende Durchschnitt ist durch
Dt =
a
X
1
xt+i
2a + 1
i=−a
definiert. Welchen Einfluß übt a auf die Filterung aus?
a steuert die Stärke der Filterung.
Je größer a, desto glatter ist die gefilterte Reihe und desto mehr Werte sind am
Rand nicht definiert.
c) Erläutern Sie die Begriffe Linearität, Additivität und Kommutativität im Zusammenhang mit Filterungen.
– Linearität:
“Die Multiplikation einer Zeitreihe mit einer Konstanten c vor der Filterung liefert dasselbe Ergebnis wie die Multiplikation der gefilterten Reihe mit derselben
Konstanten c”:
∞
∞
X
X
λi · c · xt+i = c ·
λi xt+1
i=−∞
i=−∞
– Additivität:
”Die Summe zweier mit demselben Filter gefilterten Zeitreihen ist gleich der
Filterung der Summe beider Zeitreihen”:
∞
X
λi xt+i +
i=−∞
∞
X
λi yt+i =
i=−∞
∞
X
λi (xt+i + yt+i )
i=−∞
– Kommutativität:
“Wird eine Zeitreihe hintereinander mit zwei Filtern gefiltert, so ist das Ergebnis
unabhängig von der Reihenfolge der Filterung”:
∞
X
j=−∞
κj
∞
X
λi xt+i+j =
i=−∞
∞
X
i=−∞
3
λi
∞
X
j=−∞
κj xt+i+j