Lineare Quellen

Lineare Quellen
Martin Schlup
7. Februar 2014
1. Ideale Quellen
Ideale Quellen sind Modelle mit Eigenschaften, die in Wirklichkeit nur näherungsweise realisiert
werden können. Ideale Quellen sind z. B. in der Lage beliebig hohe Stromstärken und Spannungen und somit unbegrenzte Energiemengen abzugeben. Hier sollen zwei Arten von solchen
idealen aktiven Elementen 1 betrachtet werden: Spannungs- und Stromquellen.
1.1. Ideale Spannungsquelle
Eine ideale Spannungsquelle liefert eine vom Klemmenstrom I unabhängige Klemmenspannung
U:
U = UQ für alle Werte von I
(1)
Gleichung (1) gilt unabhängig vom Vorzeichen von I also auch für den Fall, wo die Quelle passiv
wirkt, bzw. Energie aufnimmt2 .
Die Abb. 1 zeigt das Schaltzeichen einer idealen Spannungsquelle nach DIN3 . Das Bezugspfeilsystem (siehe Anhang A) entspricht hier dem eines „Energielieferanten“ (Erzeugerpfeilsystem 4 ).
Abbildung 1: Schaltzeichen einer idealen Spannungsquelle
1
2
3
4
Als aktive Elemente bezeichnet man Zweipole deren U-I-Kennlinie nicht durch den Ursprung verläuft.
Praktisch können ideale Quellen mit elektronischen Mitteln realisiert werden (Stabilisierschaltung). Sie können aber im Allgemeinen nicht passiv betrieben werden, d. h. so, dass sie Energie aufnehmen.
EN 60617 Reihe, siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Schaltzeichen_%28Elektrik/Elektronik%29
Bei diesem Bezugspfeilsystem bedeutet P = U I = UQ I > 0, dass die Quelle Energie abgibt, andernfalls
für P < 0 Energie aufnimmt. Die Bezeichnung Erzeugerpfeilsystem ist nicht zutreffend, da ja bekanntlich
Energie nicht erzeugt werden kann. . .
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2. Lineare Quellen
1.2. Ideale Stromquelle
Eine ideale Stromquelle liefert eine von der Klemmenspannung U unabhängige Klemmenstromstärke I.
I = IQ für alle Werte von U
(2)
Gleichung (2) gilt unabhängig vom Vorzeichen von U also auch für den Fall, wo die Quelle
passiv wirkt, bzw. Energie aufnimmt.
Die Abb. 2 zeigt das Schaltzeichen einer idealen Stromquelle nach DIN.
Abbildung 2: Schaltzeichen einer idealen Stromquelle
2. Lineare Quellen
Im Gegensatz zu idealen Quellen, verändern sich bei nichtidealen oder realen Quellen Klemmenspannung und -stromstärke mit der Belastung. Die bei leerlaufender Quelle vorhandene
Klemmenspannung heisst Leerlaufspannung U0 und die bei kurzgeschlossener Quelle fliessende Stromstärke Kurzschlussstromstärke I0 . Wirkt die Quelle aktiv, so ist ihre Klemmenspannung kleiner als die Leerlaufspannung, bzw. die Stromstärke kleiner als die Kurzschlussstromstärke. Ist die Differenz zwischen der Leerlauf- und der Klemmenspannung proportional
zur Klemmenstromstärke (U0 − U ∝ I) oder äquivalent dazu, zwischen der Kurzschluss- und
der Klemmenstromstärke proportional zur Klemmenspannung (I0 − I ∝ U ), so spricht man von
einer linearen Quelle. Die entsprechende Kennlinie ist in Abb. 3 normiert dargestellt.
Offensichtlich ist die Kennlinie einer linearen Quelle eine Gerade zwischen den Punkten
(U = U0 , I = 0) und (U = 0, I = I0 ):
U0
I
I0
I0
U
I = I0 −
U0
U
= U0 −
oder aufgelöst nach I:
(3)
(4)
Leerlaufspannung und Kurzschlussstromstärke beschreiben das elektrische (Klemmenverhalten) einer linearen Quelle vollständig.
Theoretisch kann eine lineare Quelle auch passiv betrieben werden, d. h. im 2. oder 4. Quadranten (gestrichelter Teil der Kennlinie in der Abb. 3).
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2. Lineare Quellen
Abbildung 3: Normierte U-I-Kennlinie einer linearen Quelle
Die ”1” auf der x-Achse (Abszisse) entspricht der Kurzschlussstromstärke I0 , die
auf der y-Achse (Ordinate) der Leerlaufspannung U0 der Quelle. Die Kennlinie
einer linearen Quelle erstreckt sich über drei Quadranten: in ersten Quadrant
wirkt die Quelle aktiv (gibt Energie ab), im 2. und 4. Quadrant wirkt sie passiv
(nimmt Energie auf).
2.1. Lineare Spannungsquelle
Der an den Klemmen der belasteten linearen Quelle fehlende Spannungsanteil kann durch einen
Innenwiderstand „erklärt“ werden. Das Verhalten einer linearen Quelle kann somit durch die
Serieschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellenspannung UQ = U0 und eines
Innenwiderstandes mit dem Widerstandswert RI = U0 /I0 nachgebildet werden (cf. Abb. 4).
An diesem Widerstand entsteht ein dem Quellenstrom proportionalen „Spannungsverlust“.
Die Gleichung der U-I-Kennlinie der linearen Spannungsquelle ergibt sich entsprechend der
Gleichung (3):
U = UQ − RI · I
(5)
2.2. Lineare Stromquelle
Der an den Klemmen der belasteten linearen Quelle fehlende Stromanteil kann ebenfalls durch
einen Innenwiderstand „erklärt“ werden. Das Verhalten einer linearen Quelle kann somit
durch die Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit der Quellenstromstärke IQ = I0 und
eines Innenwiderstandes mit dem Leitwert GI = I0 /U0 nachgebildet werden (cf. Abb. 5). An
diesem Widerstand entsteht ein der Klemmenspannung proportionaler „Stromverlust“.
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3. Quellenersatzschaltungen
Abbildung 4: Lineare Spannungsquelle mit idealer Spannungsquelle, Innenwiderstand und Lastwiderstand
Für die lineare Quelle bilden die Bezugspfeilrichtungen für U und I ein „Erzeugerpfeilssytem“, für den Lastwiderstand hingegen, ein „Verbraucherpfeilsytem“.
Die Gleichung der I-U-Kennlinie der linearen Stromquelle ergibt sich entsprechend der Gleichung (4):
I = IQ − GI · U
(6)
Abbildung 5: Lineare Stromquelle mit idealer Stromquelle, Innenwiderstand und Lastwiderstand (die letzten zwei Grössen sind hier als Leitwerte angegeben)
3. Quellenersatzschaltungen
Da sich von der Kennlinie her eine lineare Spannungs- nicht von einer linearen Stromquelle
unterscheiden lässt, kann frei gewählt werden, welches der beiden Modelle benutzt werden soll,
um die Kennlinie zu „erklären“. Je nach Anwendung eignet sich das eine besser als das andere.
Zudem kann gezeigt werden, dass für eine beliebige Zusammenschaltung von idealen Quellen und linearen (ohm’schen) Widerständen die U-I-Kennlinie immer eine Gerade bildet, egal
wie kompliziert die Schaltung aussieht. Das bedeutet aber, dass das Verhalten jeder (linearen) Widerstandsschaltung durch eine Spannungsquellenersatz- oder Stromquellenersatzschaltung wiedergeben werden kann. Um eine Quellenersatzschaltung für eine komplexere lineare Schaltung zu finden, müssen nur Leerlaufspannung und Kurzschlussstromstärke ermittelt
werden. Mit diesen beiden Parametern lässt sich dann eine Ersatzspannungs- oder -stromquelle
finden, die das exakt gleiche Klemmenverhalten wie die Originalschaltung aufweist.
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3. Quellenersatzschaltungen
Die Quellenersatzschaltungen beschreiben nur das elektrische Verhalten der linearen Quelle
an den Klemmen (d. h. die Kennlinie) und nicht den inneren Aufbau des Zweipols.
Anstelle von Leerlaufspannung oder Kurzschlussstromstärke kann auch der Innenwiderstand
RI = U0 /I0 oder -leitwert GI = I0 /U0 direkt ermittelt werden. Dazu müssen alle Quellen
der betrachteten Schaltung „Null“ gesetzt werden: d. h. Spannungsquellen kurzgeschlossen und
Stromquellen leerlaufend, so dass nur noch ein reines Widerstandsnetzwerk übrig bleibt. Diese
Widerstände können dann zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden, welcher dem
Innenwiderstand entspricht.
Beispiel: Potentiometerschaltung
Um die belastete Potentiometerschaltung gemäss Abb. 6 einfach berechnen zu können, kann
das Potentiometer mit der idealen Quelle durch eine Spannungsersatzquelle dargestellt werden.
Dazu wird der Lastwiderstand R gedanklich entfernt. Für die Leerlaufspannung erhält man
ziemlich direkt (Spannungsteiler):
U0 =
R2
x RP
UB =
UB = x UB
R1 + R2
(1 − x) RP + x RP
Dabei ist offensichtlich, dass U0 nicht mit UB übereinstimmt, ausgenommen für x = 1.
Abbildung 6: Potentiometerschaltung mit Lastwiderstand R
Das Potentiometer wird hier durch die beiden Widerstände R1 und R2 dargestellt.
Die Grösse x entspricht der normierten Stellung des Schleifers: x = 0 für unten,
x = 1 für oben.
„Nullsetzen“ (Kurzschliessen) der Quelle hinterlässt die Parallelschaltung der Widerstände
R1 und R2 , welche dem gesuchten Innenwiderstand RI = U0 /I0 entspricht:
RI =
1
R1
1
+
1
R2
=
R1 R2
(1 − x) RP x RP
=
= x (1 − x) RP
R1 + R2
(1 − x) RP + x RP
Der Innenwiderstand ändert sich mit der Schleiferstellung: er ist unter anderem Null für x = 0
und x = 1 und maximal für x = 1/2. Mit dem obigen Ergebnis kann auch die Kurzschlussstromstärke bestimmt werden:
U0
1 UB
I0 =
=
RI
1 − x RP
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3. Quellenersatzschaltungen
Beispiel: Parallelschaltung zweier Gleichstromquellen
Um die Belastung zweier parallelgeschalteten Spannungsquellen berechnen zu können (siehe
Abb. 7, linke Seite), ist es zweckmässig die beiden linearen Spannungsquellen durch eine Ersatzspannungsquelle zu ersetzen (siehe Abb. 7, rechte Seite). Dazu wird der Lastwiderstand R
gedanklich entfernt.
Abbildung 7: Parallelschaltung zweier linearen Spannungsquellen mit Lastwiderstand
Diese Konfiguration findet sich häufig, wenn ein Gleichstromgenerator (UQ1 , R1 )
einen Akkumulator (wiederaufladbare Batterie) auflädt und gleichzeitig eine Last
(R) speist. In diesem Fall nimmt die durch die Quelle (UQ2 , R2 ) modellierte Batterie Energie auf, d. h. wird passiv betrieben.
Für die Kurzschlussstromstärke (entspricht der Last R = 0) erhält man durch Superposition
der von jeder einzeln genommenen Spannungsquelle gelieferten Stromanteilen:
UQ2 = 0
→
I01 =
UQ1 = 0
→
I02 =
UQ1
R1
UQ2
R2
UQ1 R2 + UQ2 R1
R1 R2
I0 = I01 + I02 =
„Nullsetzen“ (Kurzschliessen) der beiden Quelle hinterlässt die Parallelschaltung der Widerstände R1 und R2 , welche dem gesuchten Ersatzinnenwiderstand RE = U0 /I0 entspricht:
RE =
1
R1
1
+
1
R2
=
R1 R2
R1 + R2
Mit dem obigen Ergebnis kann auch die Leerlaufspannung und somit die Ersatzquellenspannung
UE bestimmt werden:
UQ1 R2 + UQ2 R1
UE = U0 = RE I0 =
R1 + R2
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A. Anhang Bezugspfeilsysteme
A. Anhang Bezugspfeilsysteme
Physikalische Grössen wie die elektrische Spannung, die Stromstärke oder der Energiefluss an
den Klemmen eines Zweipols sind gerichtet (siehe Abbildung 8), d. h. sie besitzen einen „wirklichen“ Richtungssinn5 . Diesem muss zur Beschreibung oder Berechnung eine, meistens willkürlich gewählte, Bezugsrichtung zugeordnet werden. Damit erhält die betrachtete Grösse
ein Vorzeichen: Ist diese Grösse positiv, so deckt sich die Bezugsrichtung mit dem „wirklichen“
Richtungssinn der betrachteten Grösse, ist sie negativ, liegt sie entgegengesetzt.
Abbildung 8: Zweipol mit eingetragenen Bezugsrichtungen für Spannung U , Stromstärke I und
Energiefluss P (Energiestrom: P = dW/dt)
Es sind hier die beiden grundsätzlichen Varianten dargestellt.
Da die Grössen Spannung U , Stromstärke I und Energiefluss P miteinander verknüpft sind6 ,
können nicht alle Kombinationen von Bezugsfeilen sinnvoll gewählt werden, wenn der formale
Zusammenhang P = U I in allen Situationen gelten soll. Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene, aber gleichberechtigte Bezugspfeilsysteme, welche sich durch die Festlegung der Richtung der Energieströme P unterscheiden. Die Festlegung einer Bezugsrichtung für P lässt zwei
Varianten für die Wahl der Bezugsrichtungen von U und I offen: parallele oder antiparallele
Pfeilrichtungen. Welches von den beiden Systemen benutzt wird ist willkürlich, insbesondere
können je nach Situation beide nebeneinander eingesetzt werden, wie z. B. in den Abb. 4 und 5,
wo für die linearen Quellen das eine und für den Lastwiderstand das andere Bezugspfeilsystem
gilt.
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6
Unter „wirklich“ versteht man z. B. die Richtung der Verschiebung positiver Ladung (konventionelle Stromrichtung) oder eine positive Potentialdifferenz für die Spannung. Auch diese Festlegungen sind willkürlich
aber allgemein üblich, da universell akzeptiert.
Der Energiestrom P = dW/dt am Tor der Zweipols wird durch die Grössen U und I bestimmt. Dabei ist die
Spannung die intensive (treibende) und die Stromstärke die extensive (mengenartige) Grösse.
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A. Anhang Bezugspfeilsysteme
A.1. Verbraucherpfeilsystem
Im Verbraucher-Bezugspfeilsystem zeigt die Bezugsrichtung des Energieflusses in das Tor des
Zweipols hinein (siehe Abb. 8, linke Seite und die Beispiele aus Abb. 9). Damit sind die Bezugsrichtungen der Spannung und der Stromstärke „parallel “ zueinander.
Abbildung 9: Verbraucherpfeilsystem für aktive und passive Zweipole
Für die ideale Spannungsquelle sind dabei zwei Betriebsarten möglich: aktiv wirkend für P < 0 und passiv wirkend für P > 0. Der Widerstand kann nur passiv
betrieben werden: also P > 0.
A.2. Erzeugerpfeilsystem
Im Erzeuger-Bezugspfeilsystem7 zeigt die Bezugsrichtung des Energieflusses aus dem Tor des
Zweipols heraus (siehe Abb. 8, rechte Seite und die Beispiele aus Abb. 10). Damit liegen die
Bezugsrichtungen der Spannung und der Stromstärke „antiparallel “.
Abbildung 10: Erzeugerpfeilsystem für aktive und passive Zweipole
Für die ideale Spannungsquelle sind dabei zwei Betriebsarten möglich: aktiv
wirkend für P > 0 und passiv wirkend für P < 0. Der Widerstand kann nur
passiv betrieben werden: also P < 0.
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Diese Bezeichung ist falsch, da keine Energie „erzeugt“ werden kann. Besser wäre der Begriff Energielieferant
genau wie für den Verbraucher Energieabnehmer treffender wäre.
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