Chapitre n°8 : « Divisions des nombres entiers et décimaux »

6ème
2008-2009
Chapitre n°8 : « Divisions des nombres entiers et décimaux »
I. Division euclidienne
Remarques
• La division euclidienne a été étudiée à l'école primaire. Il s'agit donc ici de faire des rappels.
• Il faut cependant avoir en tête que la division euclidienne ne met en jeu que des nombres entiers.
Exemple d'utilisation de la division euclidienne
Pour fêter son anniversaire, Stéphanie souhaite partager équitablement toute une boîte contenant 75 chocolats
avec 6 de ses amis. Combien vont-ils recevoir chacun ? Combien va-t-il lui en rester ?
La division euclidienne permet de résoudre ce problème car il s'agit ici de distribuer les chocolats sans les
couper, même s'il en reste.
Posons donc la division de 75 par 6 .
Dividende
(D)
7 5
6
- 6
1 2
1 5
- 1 2
3
On dit :
• « Dans 7 combien de fois 6 ; 1 fois. Je marque 1
dans le quotient ».
• « 7 moins 6 est égal à 1 ; j'abaisse 5 ».
• « Dans 15 combien de fois 6 ; 2 fois. Je marque 2
dans le quotient ».
quotient (q)
• « 15 moins 12 est égal à 3 ».
diviseur (d)
reste (r)
• Donc dans 75 il y a 12 fois 6 et il reste 3 : le
quotient est 12 et le reste est 3
La réponse au problème est donc la suivante : « Stéphanie donnera 12 chocolats à chacun de ses amis. Il lui en
restera 3 »
Vocabulaire
Dans l'exemple ci-dessus :
• le dividende est 75 : c'est le nombre qui est divisé par un autre (nombre de chocolats).
• le diviseur est 6 : c'est le nombre qui divise (nombre d'amis).
• le quotient est 12 : cela signifie le « nombre de fois » ; ici c'est le nombre de fois que l'on peut mettre le
diviseur dans le dividende (nombre de chocolats par ami).
• le reste est 3 : le sens de ce mot semble suffisamment clair, n'est-ce pas ? (nombre de chocolats restant)
Remarque
Dans l'exemple, le reste 3 est forcément inférieur à 6 (inférieur signifie plus petit). En effet, s'il restait plus de
6 chocolats, Stéphanie pourrait encore en distribuer à ses amis et, dans ce cas, le quotient serait supérieur à 12
(supérieur signifie plus grand). Donc pour avoir le partage le plus complet possible, le reste doit être inférieur au
quotient. Pour la même raison, on ne peut avoir un reste égal au quotient.
Cette remarque sera valable pour toutes les divisions euclidiennes.
La vérification
Toujours dans l'exemple, le nombre de chocolats 75 se retrouve en calculant le nombre total de chocolats qu'a
distribué Stéphanie à ses amis, puis en ajoutant les chocolats restants : 12 fois 6 font 72 , plus 3 donne 75 .
On écrit : 6×123= 
72
3=75 .
résultat de 6×12
Ainsi grâce à cette vérification, on peut s'assurer que le résultat est exact.
Propriété
Dans ce qui suit, D représente le dividende, d représente le diviseur, q représente le quotient et r est le
reste.
• d×qr=D (c'est l'égalité qui permet de faire la vérification)
• rd
(le reste doit être inférieur au quotient).
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Exemple
1 4 8
− 1 2
2 8
2 4
4
Vérification :
1 2
• 12×124=1444=148
• 412
1 2
Exercice de cours
Pose la division euclidienne de 67 par 12 et fais la vérification pour être sûr de ta réponse.
II. Critères de divisibilité
1/ Diviseurs d'un nombre entier
Activité
Lorsque la division euclidienne de deux nombres a un reste nul, le quotient devient alors le résultat exact de la
division de ces deux nombres. Posons, par exemple, la division euclidienne de 111 par 3 :
1 1 1
−
9
2 1
2 1
0
3
Puisque le reste est nul (c'est à dire égal à zéro), on obtient un résultat exact.
Dans ce cas, on dit que 37 est un diviseur de 111 .
3 7
Définition
a et b représentent deux nombres entiers, b étant non nul.
b est un diviseur de a si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Exemples
• 12 est un diviseur de 156 car le reste de la division de 156 par 12 est nul. En effet :
1 5 6
− 1 2
3 6
3 6
0
1 2
1 3
On remarque aussi que 13 est un diviseur de 156 ! Mais, il est possible d'en trouver d'autres : 2 et 3
sont des diviseurs de 156 (à vérifier !).
• 25 est un diviseur de 225 car 25×9= 225 , il n'y a donc pas de reste.
• De tête, on peut vérifier que 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 18 sont des diviseurs de 36 .
S'exprimer
On peut dire aussi « 12 divise 156 » ou bien « 156 à pour diviseur 12 » ou encore « 156 est divisible par
12 ».
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Remarques
• Si 12 est un diviseur de 156 , alors 156 est un multiple de 12 . Et de manière générale, les multiples de
12 sont les nombres qui apparaissent dans la table de 12 , c'est à dire : 12 , 24 , 36 , 48 ...
De même, les multiples de 9 sont 9 , 18 , 27 ...
• Le mot « diviseur » a deux sens : le diviseur de la division euclidienne et le diviseur d'un nombre entier.
2/ Les critères
Il n'est pas toujours nécessaire de poser la division euclidienne pour savoir si un nombre entier en divise un
autre. Pour cela, on a des méthodes pratiques appelées critères de divisibilité. Is permettent de savoir si un
nombre entier en divise un autre ou pas.
Ces critères sont à connaître au même titre que des propriétés !
Critère de divisibilité par 2
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair ; c'est à dire égal à 0 , 2 , 4 , 6 ou 8 .
Par exemple, 57436 est divisible par 2 car son chiffre des unités est pair. On peut vérifier que 1246÷2=623
est bien un entier.
Critère de divisibilité par 3
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3 .
Par exemple, 431 511 est divisible par 3 car 431511=15 , et 15 est bien dans la table de 3 . On
peut vérifier que 431 511÷3=143 837 est bien un entier.
Critère de divisibilité par 4 (ne pas apprendre par cœur mais à savoir utiliser)
Pour savoir si un nombre entier est divisible par 4 , il suffit de vérifier que le nombre formé par ses deux
derniers chiffres (unités et dizaines) est divisible par 4 .
Par exemple, 19 28 est divisible par 4 car 28 est divisible par 4 . On peut vérifier que 1928÷4=482 est
bien un entier.
Critère de divisibilité par 5
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est égal à 0 ou 5 .
12 34 5 et 6 42 0 sont, par exemple, divisibles par 5 .
Critère de divisibilité par 9
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est dans la table de 9 .
Par exemple, 711 405 est divisible par 9 car 711405=18 , et 18 est bien dans la table de 9 . On
peut vérifier que 711 405 ÷9=79 045 est bien un entier.
Critère de divisibilité par 10
Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est égal à 0 . On cherchera des exemples tout
seul...
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III. Division décimale
On se limite aux divisions d'un nombre décimal par un nombre entier.
Rappels
Pour bien comprendre l'activité, il est utile de connaître les points suivants :
• partie entière et partie décimale ;
• le rôle de chaque chiffre dans un nombre décimal (chiffre des unités, dizaines, centaines... ; dixièmes,
centièmes, millièmes...) ;
• dans un nombre décimal, la virgule est placée entre le chiffre des unités et le chiffre des dixièmes ;
• 76 peut être vu comme 7 dizaines et 6 unités ou bien comme 76 unités ;
• de même, 6,4 peut être vu comme 6 unités et 4 dixièmes ou bien comme 76 dixièmes.
Activité
Lors d'une fête de quartier, trois enfants ont vendu des crêpes. En fin de journée, ils font les comptes afin d'avoir
leur part. Ils trouvent 76,41€ . Quelle sera la part de chacun ?
Il s'agit ici de partager 76,41€ en deux parts égales, et donc de trouver combien il y a de fois 2 dans 76,41€ :
2×?=76,41 . Cette réponse va être apportée par la division décimale.
Commençons la division.
7 6 , 4 1
− 6
1 6
− 1 5
1
− 1
−
3
• Dans le chiffre des dizaines 7 du dividende combien de fois 3 ?
2 5 , 4 7
4
2
2 1
2 1
0
•
•
•
Je trouve qu'il y est 2 fois. J'écris le chiffre 2 (qui sera le chiffre
des dizaines) au quotient, je le multiplie par 3 et je retranche le
résultat à 7 . Il reste 1 dizaine.
A côté du reste 1 , j'abaisse le chiffre des unités 6 , ce qui donne
16 unités. Et je continue ma division...
Dans 16 unités combien de fois 3 ? Je trouve qu'il y est 5 fois.
J'écris le chiffre 5 (qui sera le chiffre des unités) au quotient, je le
multiplie par 3 et je retranche le résultat à 16 . Il reste 1 unité.
A côté du reste 1 , j'abaisse le chiffre des dixièmes 4 , ce qui
donne 14 . Et je continue ma division...
Dans 14 dixièmes combien de fois 3 ? Je trouve qu'il y est 4
fois. J'écris le chiffre des dixièmes 4 au quotient, après avoir mis
la virgule, ensuite je le multiplie par 3 et je retranche le résultat à
14 . Il reste 2 dixièmes.
A côté du reste 2 , j'abaisse le chiffre des centièmes 1 , ce qui
donne 21 . Et je continue ma division...
Dans 21 centièmes combien de fois 3 ? Je trouve qu'il y est 7
fois. J'écris le chiffre des centièmes 7 au quotient, je le multiplie
par 3 et je retranche le résultat à 21 . Le reste est égal à 0 .
Puisque le reste est nul, 25,47 est le résultat exact de la division de 76,41 par 3 . La part de chaque enfant est
donc de 25,47 € .
Définition
Diviser un nombre par un autre, c'est chercher combien de fois le second, qui se nomme diviseur, est contenu
dans le premier, qui se nomme dividende : le résultat de cette opération se nomme quotient. La méthode qui
permet de calculer ce quotient est la division décimale.
Point méthode
Dans la division décimale, il faut placer la virgule, (s'il y en a une), dans le quotient avant d'abaisser le chiffre
des dixièmes du dividende.
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Autre exemple
Voir l'exemple 1 du manuel page 71.
Des divisions de tête
3,6÷9=... ; 1÷2=... ; 1÷4=... ; 1÷5=... ; 1÷10=... ; ...
Des divisions décimales à savoir refaire
Calcule 342÷24 et 1÷8 .
3 4 2 , 0 0
− 2 4
1 0 2
−
9 6
6
− 4
1
− 1
1 , 0 0 0
2 4
−
1 4 , 2 5
−
0
8
2 0
2 0
0
8
2 0
1 6
4 0
− 4 0
0
8
0 ,125
IV. Résolution de problèmes
Lors de la résolution d'un problème, il est nécessaire de justifier chaque réponse par des calculs et des phrases
afin d'expliquer la démarche suivie. Il faudra aussi faire le choix entre division euclidienne et division décimale.
Voici deux exemples.
Exemple 1
• Énoncé du problème
Sonia a 70 € dans sa tirelire, soit deux fois plus que Kaffa. Quelle somme d'argent Kaffa a-t-il dans la
sienne ?
• Une rédaction possible pour la solution
Puisque Sonia possède deux fois plus que Kaffa, inversement Kaffa a deux fois moins que Sonia. Il faut
donc diviser 70 par 2 .
On a 70 ÷2= 35 , donc Kaffa a 35 € dans sa tirelire.
Exemple 2
• Énoncé du problème
Dans un supermarché, le SodaEcolo est vendu par lot de trois bouteilles de 1 L au prix de 2,55€ (les
trois), ou bien, en pack de six canettes à 1,79€ (le pack). On suppose que chaque canette contient environ
33 cl .
Dans quel type de conditionnement le SodaEcolo est-il le moins cher ?
• Une rédaction possible pour la solution
Pour pouvoir comparer, il faut ramener le prix au litre. Pour le conditionnement en bouteille, il suffit de
diviser 2,55€ par 3 .
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2 , 5 5
− 2
3
4
1 5
1 5
0
−
0 ,8 5
En bouteille, le prix au litre est donc 0,85€ .
Pour le pack, il faut remarquer que trois canettes contiennent l'équivalent d'un litre. En effet, trois fois
33 cl correspond à 99 cl , c'est à dire environ 1 L (on considère que le 1 cl manquant est négligeable).
Ainsi, un pack de six canettes contient environ 2 L . Il suffit donc de division 1,79€ par 2 .
1
, 7 9 0
− 1
6
1 9
1 8
1 0
− 1 0
0
−
2
En pack, le prix au litre est 0,895 €
0
,8 9 5
On peut donc conclure que le SodaEcolo est moins cher en lot de trois bouteilles, ce qui paraît logique...
V. Valeurs approchées : par excès ou par défaut
Remarque
Parfois la division décimale ne s'arrête pas ; par exemple pour 10÷3 :
1
−
0
9
1
−
−
, 0 0
0
9
1
3
3
0
9
1
,3 3
Dans ce cas, la division décimale ne permet pas d'obtenir le résultat exact (appelé
quotient).
Dans un problème, si ce cas de figure se produit, il faudra donc donner une valeur
approchée.
Notation
Le symbole ≈ signifie « environ égal à ». On a, par exemple, 10÷3≈3,33 .
Exemple 1
Un primeur vient de refaire ses stocks de pommes Golden. Il a maintenant 53 kg en réserve. Pour être rentables,
ses 53 kg de pommes doivent lui rapporter au moins 104 € . A quel prix, au kg , va-t-il vendre ses pommes ?
Pour avoir le prix au kg , il faut diviser 104 € par 53 kg .
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1 0 4
−
,
5 3
5 1
− 4 7
3
− 3
0 0 0
0
7
3
1
1
1
−
Manifestement, la division ne semble pas s'arrêter (ne pas hésiter à
continuer seul cette division !). 1,962 est une valeur approchée puisqu'il
reste 14 millièmes : 104÷53≈1,962 .
53
1
,
9 6 2
0
8
2 0
0 6
1 4
Le primeur ne va pas vendre ses pommes à 1,962 € puisqu'il n'existe pas
de pièce correspondant à deux millièmes d'euro. Pour être sûr d'atteindre
ses objectifs, il vendra ses pommes à 1,97 € .
1,97 est une valeur approchée plus grande que 1,962 , on dit que c'est une valeur approchée par excès. De plus,
1,97 a une partie décimale qui s'arrête au chiffre des centièmes (ou des centimes), on dit alors que 1,97 est une
valeur approchée par excès au centième de 104÷53 .
Remarque
Afin d'obtenir une valeur approchée au centième, il a fallu « pousser » la division jusqu'au millième.
Exemple 2
Pour faire ses moyennes de mathématiques, un professeur prend la somme des notes de contrôles et la divise par
le nombre de notes.
Mathilde a eu les quatre notes suivantes : 10,5 ; 11 ; 10 et 12 . Quelle est sa moyenne ?
La somme des notes est 10,5111012=43,5 . Divisons maintenant cette somme par 4 :
4 3
− 4 0
3
− 3
−
,5
0 0
5
2
3 0
2 8
2 0
− 2 0
0
4
1 0
,
8 7 5
10,875 est la moyenne exacte de Mathilde. Mais le professeur ne veut
que des moyennes sous la forme des nombres entiers. Pour avantager ses
élèves, il prendra l'entier supérieur le plus proche : ici c'est 11 .
On dit 11 est une valeur approchée par excès de 10,875 . Mais puisque
11 s'arrête au chiffre des unités, on dit alors que 11 est une valeur
approchée par excès à l'unité de 10,875 .
Remarque
De même, on peut donner un valeur approchée, par excès ou par défaut, au dixième.
VI. Division par 10, 100, 1000...
Activité
L'objectif est de calculer de tête un produit du genre 135,74÷100 .
On peut interpréter ce résultat en ce disant qu'on cherche le nombre qui est cent fois plus petit que 135,74 . Pour
rendre un nombre cent fois plus petit, il faut le rendre dix fois plus petit puis encore dix fois plus petit.
Mais comment fait-on pour rendre un nombre dix fois plus petit ?
Voilà comment s'y prendre avec le nombre 135,74 .
Le chiffre 1 est le chiffre des centaines, il devient donc le chiffre des milliers ; le chiffre 3 est le chiffre des
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dizaine, il devient donc le chiffre des centaines ; le chiffre des unités 5 devient le chiffre des dizaines ; le chiffre
des dixièmes 7 devient le chiffre des unités ; et enfin le chiffre des centièmes 4 devient celui des dixièmes. On
obtient donc 13,574 .
Pour rendre ce dernier nombre encore dix fois plus petit, de le même façon, on obtient 1,3574 .
D'où le résultat 135,74÷100=1,3574 . Mais que remarque-t-on ? C'est que la virgule s'est décalée de deux
chiffres vers la gauche : autant de zéros qu'il y a dans le nombre 100 !
En généralisant, on obtient des résultats du genre : 7123,5÷1000=7,1235 et 854,12÷10=85,412 . Et aussi
7,5÷1000=0,0075 ! Dans ce dernier exemple, il faut compléter par des zéros.
Propriété
Pour diviser un nombre décimal par 10 , 100 ou 1000 ; il suffit de décaler la virgule de 1 , 2 ou 3 chiffres
vers la gauche, en complétant au besoin par des zéros.
Exemples
31581,1
44,6219
99,3662
18,558
126,519





10000
1000
10
1000
10
=
=
=
=
=
3,15811
0,0446219
9,93662
0,018558
12,6519
Remarque
On pourra vérifier, par exemple, que 7,5÷1000=7,5×0,001 (voir le chapitre sur la multiplication).