Kräfte und Kraftarten o Bestimmung von Kräften

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Grundlagen
Inhaltsverzeichnis
• Kräfte und Kraftarten
o
Bestimmung von Kräften ....................................................................... Seite 1
o
Graphische Darstellung ......................................................................... Seite 1
o
Einheit der Kraft ..................................................................................... Seite 1
o
Kräftegleichgewicht ................................................................................ Seite 1
o
Kraftarten ............................................................................................... Seite 2
• Äußere und innere Kräfte
o
Einteilung der äußeren Kräfte ................................................................ Seite 3
o
Schnittprinzip / Schnittkräfte (Innere Kräfte) .......................................... Seite 3
• Das zentrale Kräftesystem
o
Kräfteparallelogramm ............................................................................ Seite 4
o
Krafteck ................................................................................................. Seite 4
o
Zerlegung von Kräften ........................................................................... Seite 4
• Momente
o
Erläuterung ............................................................................................ Seite 5
o
Definition ................................................................................................. Seite 5
• Auflager
o
Bewegliche Auflager .............................................................................. Seite 6
o
Feste Auflager ....................................................................................... Seite 6
o
Fest eingespannte Auflager ..................................................................... Seite 6
• Zustandslinien
o
Allgemein ............................................................................................... Seite 7
o
Horizontale und vertikale Einzellasten ..................................................
o
Gleichmäßig verteilte Streckenlast ........................................................ Seite 8
o
Einzelmoment ........................................................................................ Seite 9
o
Zusammenhänge ................................................................................... Seite 10
Seite 7
• Statische (Un-)Bestimmtheit
o
Abzählkriterium ....................................................................................... Seite 11
o
Beispiele statisch bestimmter Systeme .................................................. Seite 12
o
Beispiele statisch unbestimmter Systeme ............................................... Seite 12
o
Beispiele statisch instabiler Systeme ....................................................... Seite 13
• Lastannahmen
o
Ständige Lasten / Verkehrslasten .........................................................
o
Rechenwerte für Eigenlasten ................................................................ Seite 14
Diplomarbeit Tobias Renno
Seite 14
Kaiserslautern, im März 2004
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Grundlagen
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Kräfte und Kraftarten
Seite 1
Kräfte und Kraftarten
Kräfte sind nicht direkt wahrnehmbar. Sie können nur anhand ihrer Wirkung erkannt und gemessen
werden. Kräfte sind vektorielle Größen. Zu ihrer eindeutigen Bestimmung sind demnach drei
Angaben notwendig, nämlich Größe, Richtung und Angriffspunkt.
Die Bestimmung von Kräften erfolgt durch:
•
Zahlenangaben (notwendig für analytische Lösungen) oder
•
zeichnerische Angaben (notwendig für zeichnerische Lösungen unter Verwendung von
Kräfteplänen) oder
•
eine gemischte Darstellungsform zur größeren Übersichtlichkeit und als anschauliches
Hilfsmittel für Lösungsansätze.
Zur graphischen Darstellung sollten folgende Vorgaben eingehalten werden:
•
Die Größe der Kraft wird durch die Zahlenangabe oder durch die Länge des Kraftpfeils unter
Verwendung
eines
Kräftemaßstabes
(z.B.
1cm
Pfeillänge
entspricht 1kN) dargestellt.
•
Die Richtung der Kraft wird durch die Pfeilspitze festgelegt.
•
Die Lage der Kraft wird durch den Angriffspunkt der Kraft oder
durch die Gerade, in der der Kraftvektor liegt (Wirkungslinie)
bestimmt.
Die Einheit der Kraft Newton [ N ] beruht auf der Grundlage des Systems der Internationalen
Einheiten (SI). Ein Newton ist die Kraft, die der Masse 1 kg eine Beschleunigung von 1 m/s² erteilt.
Eine Kraft, die auf einen Körper einwirkt, bewirkt eine Bewegungsänderung des Körpers, an dem
sie angreift, solange der Körper nicht durch eine andere Kraft im Gleichgewicht gehalten wird.
Für den Gleichgewichtszustand muss demnach noch mindestens eine zweite
Kraft in der gleichen Wirkungslinie und der gleichen Größe, aber
entgegengesetzter Richtung vorhanden sein. Der angreifenden (aktiven)
Kraft wird durch eine widerstehende (passive) Kraft das Gleichgewicht
gehalten. Das Gleichgewicht kann auch durch mehrere Kräfte hergestellt
werden.
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Kräfte und Kraftarten
Seite 2
Kräfte und Kraftarten
Im dargestellten Beispiel wirkt auf den symbolischen
Träger die Kraft F (Aktionskraft). Dadurch entstehen in
den Lagerpunkten die passiven Kräfte F an den Stellen
A und B (Reaktionskräfte). Soll der Träger in Ruhe
bleiben, so müssen die drei Kräfte im Gleichgewicht
stehen. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, würde der
Träger beschleunigt.
Kräfte, die auf ein Tragwerk einwirken, können in unterschiedlichen Formen auftreten:
Bezeichnung
Darstellung
Beschreibung
Einheiten
Die Kraft greift an nur einem Punkt an.
Punktkraft
Idealisierte Kraftform, die sehr häufig Ver-
[ kN ]
wendung findet.
Kraft je Längeneinheit. Die Kräfte wirken
Linienkraft
[N]
entlang einer Linie. Idealisierte Kraftform,
die sehr häufig Verwendung findet.
[ N/m ]
[ kN/m ]
Kraft je Flächeneinheit. Angriffspunkt der
Kraft ist die Fläche. Für Berechnungen wird
Flächenkraft
die Flächenkraft meist in eine Linienkraft
[ N/m² ]
[ kN/m² ]
ungeformt.
Kraft je Volumeneinheit. Wirkt räumlich
Volumenkraft
verteilt an allen Elementen eines Körpers
infolge von Beschleunigungen.
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[ N/m³ ]
[ kN/m³ ]
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Äußere und innere Kräfte
Seite 3
Äußere und innere Kräfte
Zu den äußeren Kräften eines Bauwerks zählen die als Aktionen auf das Tragwerk einwirkenden
Lasten sowie die daraus Resultierenden Stütz- und Auflagerkräfte als Reaktionen. Alle äußeren
Kräfte an einem Bauteil müssen untereinander im
Gleichgewicht stehen.
Ihre Ursache liegt in den Eigenlasten, im ’Betriebszustand’ und/oder in den physikalischen und chemischen
Veränderungen der Baustoffe oder des Baugrundes.
Die äußeren Kräfte werden in ständige Lasten und Verkehrslasten unterteilt:
Ständige Lasten
Verkehrslasten
• Ständige Lasten sind die Lasten der
• Verkehrslasten sind bezüglich Größe und
Baukörper selbst (Eigenlasten)
Angriffspunkt veränderlich
• Sie sind im Bauwerk dauernd vorhanden
• Sie rühren aus den Eigenlasten von
• Sie werden mit G (für Einzellasten) und g
Personen, Fahrzeugen, Einrichtungsgegenständen, Schnee, usw.
(für verteilte Lasten) bezeichnet
• Sie werden mit Q (für Einzellasten) und q
(für verteilte Lasten) bezeichnet.
Infolge der Wirkung der äußeren Kräfte entstehen im Inneren des Bauteils Kräfte, die man in Form
von Schnittkräften (Schnittgrößen) ermittelt.
Zur Ermittlung der Schnittkräfte wird das Tragwerk im betrachteten Querschnitt durch einen
gedanklichen Schnitt getrennt. Zur Herstellung des Gleichgewichts an den beiden Tragwerksteilen
müssen an den jeweiligen Schnittufern zusätzlich zu den vorhandenen äußeren Kräften noch die
inneren Kräfte N, M und Q eingeführt werden. Hierbei steht N für Normalkraft (oder Längs- bzw.
Axialkraft), M für Biegemoment und Q für Querkraft.
Durch
das
Aufstellen
der
Gleichgewichtsbedingungen
ist
es
möglich,
die
wirkenden
Beanspruchungen an jeder beliebigen Stelle des Systems zu bestimmen. Die ermittelten Werte
bilden die Grundlage für anschließende Bemessungsverfahren.
Gedachter Schnitt
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Darstellung der Schnittkräfte
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Zentrales Kräftesystem
Seite 4
Das zentrale Kräftesystem
Kräfteparallelogramm
Greifen in einem Punkt A zwei Kräfte F1 und F2 an, kann mit Hilfe des
von ihnen aufgespannten Parallelogramms die resultierende Kraft R
ermittelt werden. Die Resultierende greift ebenfalls in A an und wirkt
in der Ebene der beiden Kräfte F1 und F2.
Krafteck
Mit Hilfe des Kraftecks läßt sich die Resultierende R von
beliebig vielen Kräften ermitteln, die in einem Punkt angreifen.
Hierzu wird jede Kraft mit ihrem „Fußende“ an die Kraftspitze
der vorangegangenen Kraft angeschlossen. Die Resultierende
R schließt das Krafteck in Betrag und Richtung.
Zerlegung von Kräften
Ansätze für analytische Betrachtungen können grundsätzlich aus den
geometrischen Beziehungen der zeichnerischen Lösung hergeleitet
werden. Eine zweckmäßige Möglichkeit zur Zerlegung von Kräften ist
die Aufteilung in ihre Horizontal- bzw. Vertikalkomponenten. Hierbei gilt:
FH = F * cos α bzw. FV = F * sin α.
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Momente
Seite 5
Momente
Erläuterung:
Die Definition des Momentes lässt sich zweckmäßig mit der Wirkungsweise eines
Drehmomentschlüssels ( → ) erläutern. Mit seiner Hilfe werden Schrauben mit
einem bestimmten Anzugsmoment befestigt.
Definition:
Die
Kraft
F
(Mensch)
greift
am
Lastangriffspunkt
an
(Stielende
des
Drehmomentschlüssels). Sie bewirkt eine Drehung des Bezugspunktes (Schraube).
Die Kraft, mit der die Schraube gedreht wird (Moment) ist abhängig von der Größe
der angreifenden Kraft, sowie deren Hebelarm bezüglich des Drehpunktes. Somit
ergibt sich für das Moment folgende Definition:
Das Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt ist das Produkt aus dem absoluten Betrag der
Kraft und dem senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie vom Bezugspunkt. Den Abstand a
bezeichnet man als Hebelarm. Entsprechend dem Produkt aus Kraft und Länge ergibt sich die
Einheit des Moments, z.B. Nm oder kNm.
Moment = Kraft * Hebelarm bzw. M = | F | * a
Die mathematisch korrekte Definition lautet:
|M|=|F|xa
„Der Betrag des Drehmomentes ist gleich dem Vektorprodukt aus dem Betrag der angreifenden
Kraft und dem senkrechten Abstand ihrer Wirkungslinie vom Drehpunkt.“
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Auflager
Seite 6
Auflager
Bewegliche Auflager
Bewegliche Auflager
erlauben Drehungen
des
Tragwerks
um den
Lagerpunkt und Verschiebungen in Richtung der Bewegungsbahn. Gesperrt
wird die Verschiebung senkrecht zur Bewegungsbahn. Da sie einen
Freiheitsgrad aufheben, werden sie als einwertig bezeichnet.
Feste Auflager oder Auflagergelenke
Feste Auflager oder Auflagergelenke erlauben wie die beweglichen Auflager
eine Drehbarkeit um den Auflagerpunkt. Jedoch unterbinden sie die
horizontale und vertikale Verschiebungsmöglichkeit. Da das feste Auflager
zwei Freiheitsgrade aufhebt, wird es als statisch zweiwertig bezeichnet.
Fest eingespannte Auflager
Bei eingespannten Auflagern wird jede Bewegungsmöglichkeit (Drehung
und Verschiebung) gesperrt. Da sie drei Freiheitsgrade aufheben, werden
sie als dreiwertig bezeichnet.
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Zustandslinien
Seite 7
Zustandslinien
Allgemein
Im folgenden sollen die Darstellungsform für Zustandslinien deutlich gemacht und Zusammenhänge zwischen Normalkraft,- Querkraft- und Momentenlinie veranschaulicht werden. Um die
Grundlagen zur verdeutlichen, werden die Zustandslinien für den Träger auf zwei Stützen
(Einfeldträger) aufgrund von Einzellasten, Streckenlasten und Einzelmomenten dargestellt. Mit den
damit
bekannten
Verfahrensweisen
und
Reglementierungen
können
beliebige
Beispiele
eigenständig erarbeitet werden.
Horizontale und vertikale Einzellasten
Am links dargestellten System (Einfeldträger) greifen die
vertikale Kraft F1 und die horizontale Kraft F2 an. Um
den daraus resultierenden Kräfteverlauf im Tragwerk
darzustellen, werden die Querkraft,- Momenten- und
Normalkraftlinie bestimmt:
Querkräfte sind Schnittkräfte senkrecht zur Stabachse.
Sie werden durch äußere Belastungen senkrecht zur
Stabachse hervorgerufen. Im Beispiel sind dies die
äußere Belastung F1 und die daraus resultierenden
Auflagerkräfte VA und VB. Die Querkraftlinie verläuft in
unbelasteten Intervallen parallel zur Bezugsachse und
hat unter Einzellasten einen Sprung vom Betrag der
Einzelkraft.
Die Momentenlinie verläuft in unbelasteten Intervallen
geradlinig, und erfährt unter einer senkrecht zur
Stabachse wirkenden Einzellast einen Knick. Da die
beiden Auflager A und B keine Momente aufnehmen
können, ist das Moment hier gleich Null.
Normalkräfte sind Schnittkräfte parallel zur Stabachse.
Sie werden durch äußere Belastungen parallel zur
Stabachse hervorgerufen. Im Beispiel sind dies die
äußere Belastung F2 sowie die Auflagerkraft HA. Die
Normalkraftlinie verläuft in unbelasteten Intervallen
parallel zur Bezugsachse und hat unter Einzellasten
einen Sprung vom Betrag der Einzelkraft.
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Grundlagen
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Zustandslinien
Seite 8
Zustandslinien
Gleichmäßig verteilte Streckenlast
Am links dargestellten System (Einfeldträger) greift die
vertikale Streckenlast q an. Um den daraus resultierenden
Kräfteverlauf
im
Tragwerk
darzustellen,
werden die Querkraft-, Momenten- und Normalkraftlinien
bestimmt:
Querkräfte sind Schnittkräfte senkrecht zur Stabachse.
Sie werden durch äußere Belastungen senkrecht zur
Stabachse hervorgerufen. Im Beispiel sind dies die
äußere Belastung q, sowie die daraus resultierenden
Auflagerkräfte VA und VB. Die Querkraftlinie verläuft als
zur Bezugsachse geneigte Gerade.
Unter einer Streckenlast verläuft die Momentenlinie als
quadratische Parabel. Das maximale Moment befindet
sich in der Trägermitte, wo auch die Querkraftlinie ihren
Nulldurchgang hat. Da die beiden Auflager A und B
keine Momente aufnehmen können, ist das Moment hier
gleich Null.
Da auf den dargestellten Träger keine Belastung
parallel
zur
Stabachse
einwirkt,
ist
auch
die
Normalkraftlinie konstant gleich Null. Die horizontale
Auflagerkraft HA ist demnach ebenfalls gleich Null.
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Zustandslinien
Seite 9
Zustandslinien
Einzelmoment
Am links dargestellten System (Einfeldträger) greift das
Einzelmoment M an. Um den daraus resultierenden
Kräfteverlauf im Tragwerk darzustellen, werden die
Querkraft-, Momenten- und Normalkraftlinien bestimmt:
Die aus einem Einzelmoment resultierende Querkraft ist
über die gesamte Trägerlänge konstant. Die Querkraftlinie verläuft demnach parallel zur Bezugsachse.
Die
Momentenlinie
verläuft
als
zur
Bezugsachse
geneigte Geraden, und hat einen Sprung der Größe M
an
der
Stelle,
an
der
das
Moment
angreift.
Da die beiden Auflager A und B keine Momente
aufnehmen können, ist das Moment hier gleich Null.
Da auf den dargestellten Träger keine Belastung
parallel
zur
Stabachse
einwirkt,
ist
auch
die
Normalkraftlinie konstant gleich Null. Die horizontale
Auflagerkraft HA ist demnach ebenfalls gleich Null.
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Zustandslinien
Seite 10
Zustandslinien
Zusammenhänge zwischen Querkraft,- Normalkraft- und Momentenlinien
Die auf den vorangegangenen Seiten erläuterten Zusammenhänge zwischen Kraftgrößen und Schnittgrößen sind hier für häufig vorkommende Belastungen
in qualitativen Darstellungen der Zustandslinien zusammengefaßt.
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Statische (Un)bestimmtheit
Seite 11
Statische (Un-)Bestimmtheit
Die Analyse statischer Systeme befaßt sich mit der Bestimmung des Grades der statischen (Un-)
Bestimmtheit. Das Verfahren wird mit Hilfe des Abzählkriteriums erläutert. Hierbei werden nur
Sonderformen für ebene Stabwerke und ideale, ebene Fachwerke betrachtet.
Abzählkriterium
Die abgeleiteten Formeln des Abzählkriteriums lauten für:
• Ebene Stabwerke:
n=a+3*(p–k)–r
• Ideale, ebene Fachwerke:
n=a+p–2*k
In den Formeln bedeuten:
• a
Summe der möglichen Auflagerreaktionen
• p
Summe aller Stabelemente zwischen k Knotenpunkten
• k
Summe aller Knotenpunkte einschließlich der Auflagerreaktionen
• r
Summe aller Nebenbedingungen (ohne Auflagerknoten) mit r = n – 1,
wobei n der Anzahl der gelenkig angeschlossenen Stäbe entspricht
Grad der statischen (Un)bestimmtheit
Der Grad der statischen Unbestimmtheit ergibt sich nach durchgeführter Systemanalyse wie folgt:
• n=0
Das System ist statisch bestimmt.
• n>0
Das System ist n-fach statisch unbestimmt.
• n<0
Das System ist kinematisch verschieblich.
Im folgenden werden Systemanalysen an statisch bestimmten und statisch unbestimmten
Systemen vorgeführt.
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Statische (Un)bestimmtheit
Seite 12
Statische (Un-)Bestimmtheit
Statisch bestimmte Systeme
Einfeldträger mit Kragarm (Kragträger)
Einfeldträger
a=3
p=1
k=2
r=0
a=3
n=3+3*(1–2)–0=0
Zweifeldträger mit Gelenk
a=4
p=3
k=4
p=2
k=3
r=0
n=3+3*(2–3)–0=0
Kragarm
r=1
n=4+3*(3–4)–1=0
a=3
p=1
k=2
r=0
n=3+3*(1–2)–0=0
Statisch unbestimmte Systeme
Durchlaufträger (Zweifeldträger)
a=4
p=2
k=3
Einseitig eingespannter Kragträger
r=0
n=4+3*(2–3)–0=1
Einseitig eingespannter Einfeldträger
a=5
p=1
k=2
r=0
n=5+3*(1–2)–0=2
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a=4
p=2
k=3
r=0
n=4+3*(2–3)–0=1
Beidseitig eingespannter Einfeldträger
a=6
p=1
k=2
r=0
n=6+3*(1–2)–0=3
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Statische (Un)bestimmtheit
Seite 13
Statische (Un-)Bestimmtheit
Statisch instabile Systeme
Die Wirkungslinien der Auflagerkräfte einer statischen Konstruktion dürfen sich nicht in einem
Punkt schneiden, da sonst eine Drehung der Konstruktion um diesen Punkt möglich wäre.
Desweiteren dürfen die Wirkungslinien nicht alle parallel sein, da eine Verschiebung senkrecht zu
den Wirkungslinien möglich wäre. Es gilt: Instabile Tragwerke sind in der Baustatik nicht
zulässig !
Beispiele: Statisch instabile Systeme
Drehmöglichkeit
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Verschiebungsmöglichkeit
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Lastannahmen
Seite 14
Lastannahmen
Die Lastermittlung steht am Anfang der statischen Berechnung jedes Bauwerks. Die Größen der
anzunehmenden Lasten sind in DIN-Vorschriften angegeben. Sie sind abhängig von Baustoffen
und Art der Bauwerke, und können nicht beliebig gewählt werden. Die grundlegende Vorschrift für
Belastungsannahmen ist die DIN 1055, „Lastannahmen für Bauwerke“, in der die am häufigsten
gebrauchten und allgemein zu verwendenden Lasten festgelegt sind. Alle Kräfte, die auf ein Bauteil
einwirken, haben ihre Ursache in Eigenlasten, chemischen oder physikalischen Veränderungen der
Baustoffe oder des Baugrundes und dem Betriebszustand. Im einzelnen unterscheidet man dabei:
Ständige Lasten:
Die ständige Last ist die Summe aller unveränderlichen Lasten. Diese sind die
Eigenlasten der tragenden Bauteile (beispielsweise Stahlbetondecke) und die
von ihnen dauernd aufzunehmenden Lasten (z.B. Estrich, Fußbodenbelag).
Die ständige Last ist in ihrer Größe abhängig von den verwendeten Baustoffen.
Verkehrslasten:
Die Verkehrslast ist die veränderliche oder bewegliche Belastung des Bauteils.
Sie ersetzt die Lasten von Personen, Einrichtungsgegenständen, Lagerstoffen,
Fahrzeugen, Schnee und Wind. Die Verkehrslast ist in ihrer Größe abhängig
vom Nutzungszweck des Gebäudes und als Wind- bzw. Schneelast abhängig
von Form und geographischer Lage des Gebäudes.
↑ Worldwide Plaza, New York City © Damien’s Skyscraper Page: http://members.iinet.net.au/~paulkoh/
Im folgenden finden Sie eine Auflistung der Rechenwerte für Eigenlasten häufig verwendeter
Baustoffe (Quelle: Schneider, Bautabellen für Ingenieure, 13. Auflage):
Holz und Holzwerkstoffe
Beton und Mörtel
• Nadelholz
4,0 bis 6,0 kN/m³
• Normalbeton
23,0 bis 24,0 kN/m³
• Laubholz
6,0 bis 8,0 kN/m³
• Stahlbeton
25,0 kN/m³
• Spanplatten
5,0 bis 7,5 kN/m³
• Zementmörtel
21,0 kN/m³
Mauerwerk
Dacheindeckungen
• Mauerziegel
7,0 bis 20,0 kN/m³
• Betondachsteine
0,50 bis 0,65 kN/m²
• Kalksandstein
10,0 bis 22,0 kN/m³
• Biberschwänze
0,60 bis 0,70 kN/m²
• Porenbeton
4,5 bis 11,0 kN/m³
• Falzziegel
0,55 kN/m²
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