MATHEMATIK K1 Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F Punkte (max) 3 2 2

MATHEMATIK K1
23.06.2015
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Punkte (max) 3
2
2
2
3 11 3
2
1
1
F
Punkte
Gesamtpunktzahl
/30
Notenpunkte
Für vorbildliche Darstellung wird ein Extrapunkt vergeben.
(1) Bestimmen sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion
f (x) = 3e−x
2
(2) Berechnen Sie das Integral
Z 0
4
1
x + 1 dx
−2 2
(3) Lösen Sie die Gleichung
2x2 = 4 +
30
x2
(4) Bestimmen Sie k so, dass der Punkt Pk (5k| − 1|1 + k) auf der
Ebene E : 4x1 − 4x2 + 7x3 = 11 liegt;
(5) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
3x1 − x2 + 3x3 = 20
2x1 − x2 − x3 =
7
−x1 − 2x2 + 2x3 = −3
2
23.06.2015
(6) Gegeben ist die Gerade g : ~x =
M (2|4|2).
7
2
−2
−4 + t 4 und der Punkt
2
(a) (2VP) Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene E1 ,
die g und M enthält?
(b) (2VP) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt L von M auf g und
den Abstand d von M und L.
(c) (3VP) Bestimmen Sie diejenigen Punkte A und B auf g,
welche von L den Abstand d haben, und skizzieren Sie
diesen Sachverhalt. (Lösung: A(5|4| − 1), B(1|8|1)).
(2VP) Bestimmen Sie weiter Punkte C und D so, dass
ABCD ein Quadrat mit Mittelpunkt M bildet. (Hinweis:
Spiegeln!)
(d) (2VP) Über dem Quadrat ABCD wird eine senkrechte Pyramide errichtet. Eine Seitenfläche der Pyramide liegt in
der Ebene E2 : 4x1 + 5x2 − 2x3 = 42. Berechnen Sie die
Koordinate der Pyramidenspitze S und die Höhe h der Pyramide.
(7) Geben Sie eine Gleichung an
(a) der x1 x3 -Ebene;
(b) der Schnittgeraden der x1 x2 - und der x2 x3 -Ebene;
(c) einer zur x2 -Achse orthogonalen Ebene.
(8) Die Punkte A(2|3| − 1), B(3|0|2) und C(0|1|3) haben alle denselben Abstand von der Ebene E und liegen auf derselben Seite
von E. Bestimmen Sie den Normalenvektor von E.
3 6 −→
−→
0
(9) Gegeben sind die Vektoren AB = −1
und AC = −2 .
−→
Bestimmen Sie CB.
(10) Lösen Sie die Gleichung 1 + 2(3 + 4 · 5x) = 6.
−5
MATHEMATIK K1
3
Lösungen
(1) Bestimmen sie die ersten beiden Ableitungen der Funktion
f (x) = 3e−x
2
2
2
2
f 0 (x) = −6xe−x , f 00 (x) = −6e−x + 12x2 e−x .
(2) Berechnen Sie das Integral
Z 0
4
1
x + 1 dx
−2 2
Z
0
1
2
−2
x+1
4
dx =
5 0
21
2
x+1 = .
5 2
5
−2
(3) Lösen Sie die Gleichung
2x2 = 4 +
30
x2
2x4 = 4x2 + 30 ergibt x4 − 2x2 + 15 = 0.
√
Vieta: (x2 − 5)(x2 + 3) = 0, also x1,2 = ± 5.
(4) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD mit A(3|0| − 1), B(5|4|3),
C(9|6| − 1) und D(7|2| − 5) ein Quadrat ist.
Bestimmen Sie den Abstand von O(0|0|0) zur Ebene durch A,
B, C und D, sowie das Volumen der Pyramide ABCDO.
4 −→
−→
−→
−→
−→ −→
2
2
= AD, |AB| = |BC| = 6
Es ist AB = 4 = DC, BC = −4
−→
−→
4
und AB·BC = 0. Also ist ABCD ein Quadrat mit Flächeninhalt
36.
Die Ebene E durch ABC ist
−→
−→
−→
E : ~x = OA + tAB + uBC =
3
0
−1
4 2
2
+ t 4 + u −4
.
4
−2 −→
−→
Es ist AB × BC = 12 2 , also E : 2x1 −2x2 +x3 = 5. Abstand
mit HNF:
2x1 −2x2 +x3 −5
3
Damit V = 13 Gh =
1
3
1
= 0, also d(O, E) = 53 .
· 36 ·
5
3
= 20.
4
23.06.2015
(5) Bestimmen Sie den
0Abstand
des
Punktes P (10|4| − 1) von der
4
1
Geraden g : ~x = −2 + t −3
und geben Sie einen weiteren
1
Punkt an, der von g denselben Abstand hat.
Lotebene E : 4x1 + x2 − 3x3 = 47. Schneiden mit Gerade:
4(4t) + (−2 + t) − 3(1 − 3t) = 40, also 26t = 45
(6) Bestimmen Sie k so, dass der Punkt Pk (5k| − 1|1 + k) auf der
Ebene E : 4x1 − 4x2 + 7x3 = 11 liegt
Einsetzen: 4(5k) − 4(−1) + 7(1 + k) = 11 liefert k = 0.
(7) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem
3x1 − x2 + 3x3 = 20
2x1 − x2 − x3 =
7
−x1 − 2x2 + 2x3 = −3
(8) Gegeben ist die Gerade g : ~x =
M (2|4|2).
7
2
−2
−4 + t 4 und der Punkt
2
(a) Wie lautet die Koordinatengleichung der Ebene E1 , die g
und M enthält?
(b) Bestimmen Sie den Lotfußpunkt L von M auf g und den
Abstand d von M und L.
(c) Bestimmen Sie diejenigen Punkte A und B auf g, welche
von L den Abstand d haben. Bestimmen Sie weiter Punkte
C und D so, dass ABCD ein Quadrat mit Mittelpunkt M
bildet.
(d) Über dem Quadrat ABCD wird eine senkrechte Pyramide errichtet. Eine Seitenfläche der Pyramide liegt in der
Ebene E2 , welche die Gerade g und den Punkt P (5|6|4)
enthält. Berechne die Koordinate der Pyramidenspitze S
und die Höhe h der Pyramide.
7 −4 5 2
a) ~x = −2
+ t 4 + u −2 ;
2
−4 4
2
×
5
−2
4
=
−12 −6
−12
−4
2
2
= −6 1 ; ~n = 1 ;
2
2
E1 : 2x1 + x2 + 2x3 = d; Einsetzen des Stützpunkts (7|2| − 2)
ergibt d = 12, also E1 : 2x1 + x2 + 2x3 = 12.
MATHEMATIK K1
5
b) Lotebene F : 2x1 − 2x2 − x3 = −6; Schneiden mit Gerade
2(7−4t)−2(2+4t)−2(−2+2t) = −6 ergibt t = 1, also L(3|6|0)
und damit d(L, M ) = 3.
Da der Richtungsvektor von g Länge 6 hat und L dem Parameter t = 1 entspricht, gehören die beiden andern Punkte zu
t = 12 und t = 32 ; das ergibt A(5|4| − 1) und B(1|8|1).
Spiegeln von A an M ergibt C:
5 −3 −1 −→
−→
−→
4
OC = OA + 2AM = −1 + 2 0 = 4 , also C(−1|4|5).
3
5
Spiegeln von B an M ergibt D:
1 −→
−→
−→
1
3
OD = OB + 2BM = 8 + 2 −4 = 0 , also D(3|0|3).
1
3
1
7 −4 2
d) Ursprüngliche Frage: Gleichung von E2 : ~x = −2
+t 4 +
2
−2 u 4 ;
6
−2 −1 4 5
2
× 2 = −2
.
1
3
E2 : 4x1 + 5x2 − 2x3 = 42.
Jetzt nur noch: Lotgerade ` durch M auf E1 : ` : ~x =
2
t 1 .
2
4
2
+
2
Schneiden von
√ E2 mit Lotgerade ergibt t = 2, also S(6|6|6).
Höhe SM = 42 + 22 + 42 = 6.
(9) Geben Sie eine Gleichung an
(a) der x1 x3 -Ebene;
(b) der Schnittgeraden der x1 x2 - und der x2 x3 -Ebene;
(c) einer zur x2 -Achse orthogonalen Ebene.
(10) Die Punkte A(2|3| − 1), B(3|0|2) und C(0|1|3) haben alle denselben Abstand von der Ebene E und liegen auf derselben Seite
von E. Bestimmen Sie den Normalenvektor von E.
3 6 −→
−→
0
(11) Gegeben sind die Vektoren AB = −1 und AC = −2 .
−→
Bestimmen Sie CB.
(12) Lösen Sie die Gleichung 1 + 2(3 + 4 · 5x) = 6.
−5
6
23.06.2015
Nachtermin
(1) Bestimmen Sie eine Stammfunktion:
√
f (t) = 4 5t + 6
(2) Zeigen Sie, dass die Punkte ABCD mit A(−6|8|2), B(8|10|7),
C(6|3|2), D(20|5|7) ein Parallelogramm bilden und berechnen
Sie seinen Umfang.
(3) Bestimmen Sie mit Hilfe der Formel cos α =
des Winkels, der von den Vektoren ~a =
aufgespannt wird.
~a·~b
|~a|·|~b|
3
4
den Kosinus
12
und ~b = −5
(4) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD mit A(3|0| − 1), B(5|4|3),
C(9|6| − 1) und D(7|2| − 5) ein Quadrat ist.
Bestimmen Sie den Abstand von O(0|0|0) zur Ebene durch A,
B, C und D, sowie das Volumen der Pyramide ABCDO.
(5) Bestimmen Sie den
0Abstand
4des
Punktes P (10|4| − 1) von der
1
Geraden g : ~x = −2 + t −3
und geben Sie einen weiteren
1
Punkt an, der von g denselben Abstand hat.
(6) Bestimmen Sie k so, dass der Punkt Pk (5k| − 1|1 + k) den Abstand 3 zu E besitzt.
(7) Bestimmen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen E : x1 −
x3 = 1 und F : x1 + x2 − 3x3 = −2.
2 −2 4
(8) Gegeben ist die Gerade g : ~x = −12
+t 4 .
3
(a) Bestimmen Sie zwei Punkte, die auf der Geraden g liegen.
(b) Bestimmen Sie einen Punkt auf g, dessen x2 -Koordinate 0
ist.
(c) Bestimmen Sie einen Punkt auf g, der in der x1 x2 -Ebene
liegt.
(9) Bestimmen Sie mit Hilfe der Formel cos α =
des Winkels, der von den Vektoren ~a =
aufgespannt wird.
~a·~b
|~a|·|~b|
3
4
den Kosinus
12
und ~b = −5