Beugung an Spalt und Gitter, Auflösungsvermögen des Mikroskops
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Beugung an Spalt und Gitter, Auflösungsvermögen des Mikroskops
1 Beugung an Spalt und Gitter, Auflösungsvermögen des Mikroskops 1 Einleitung Das Mikroskop ist in Medizin, Technik und Naturwissenschaft ein wichtiges Werkzeug um Informationen über Objekte auf Mikrometerskala zu erhalten. Das Auflösungsvermögen des Mikroskops ist jedoch nicht über die Wellenlänge des verwendeten Lichts hinaus steigerbar. Der Praktikumsversuch soll dieses Phänomens verständlich machen und zeigen, wie die Auflösungsgrenze des Mikroskops mit der Wellennatur des Lichts zusammenhängt. 2 Versuchsvorbereitung Abbildung mit einer Sammellinse, Abbildungsgleichung und Vergrößerung, Bildweite, Gegenstandsweite, numerische Apertur, Wellenlänge, Farbe, Kohärenzlänge, Interferenz, Huygen’sches Prinzip, Beugung am Einzelspalt, Doppelspalt und Gitter • Strahlenoptik: Konstruieren Sie das Bild an einer Sammellinse, skizzieren Sie den Strahlengang im Mikroskop, Beantworten Sie die Frage zu Abb. 2. • Wellenoptik: Skizzieren Sie die Beugung am Doppelspalt, wie hängt die Richtung zum ersten Beugungsmaximum vom Abstand der Spalte und von der Wellenlänge des Lichts ab. Deuten Sie letzteres für blaues und rotes Licht in ihrer Zeichnung an. Was ändert sich bei der Beugung am Einzelspalt? Zeichnen Sie den Strahlengang vor dem Mikroskopobjektiv aus Abb. 6 und zeigen Sie, wie man auf Gln. 2 kommt. 2.1 Geometrische Optik Im Rahmen der geometrischen Optik wird die Ausbreitung von Licht durch Strahlen beschrieben, die sich im Vakuum oder in Luft geradlinig ausbreiten. Trifft der Strahl auf ein Hindernis, kann er gebrochen, reflektiert oder absorbiert werden. Die Brechung an einer sphärischen (Bi)konvexlinse führt dazu, dass parallele Lichtstrahlen in einem Brennpunkt gebündelt werden wie in Abbildung 1 gezeigt. Der Abstand dieses Brennpunktes von der Linse wird als Brennweite f bezeichnet. Aus dieser Eigenschaft lässt sich, wie in Abbildung 2 gezeigt, die Abbildung eines Gegenstandes an einer Linse konstruieren: Der obere der beiden eingezeichneten Strahlen verläuft parallel zur optischen Achse, schneidet diese also im Brennpunkt. Der Mittelstrahl wird nicht abgelenkt. Um ein vergrößertes Bild zu erreichen, muss der Gegenstand also zwischen ein und zwei Brennweiten von der Linse entfernt stehen. Im Prinzip lässt sich mit einer einzelnen Linse eine beliebig hohe Vergrößerung erreichen. Allerdings werden die Abmessungen eines solchen Aufbaus beliebig groß und das Bild lichtschwach, da sich das vom Gegenstand ausgehende Licht auf ein großes Bild verteilt. Diese Probleme können durch die Kombinationen von Linsen in Mikroskop oder Teleskop weitgehend vermieden werden. Allerdings ist die Auflösung dieser Instrumente grundsätzlich durch die Welleneigenschaften des verwendeten Lichts begrenzt, wie im folgenden Abschnitt dargestellt wird. a) b) f optische Achse f Abbildung 1: a) Brechung paralleler Lichstrahlen an einer Linse. b) Umkehrbarkeit des Strahlengangs in der Optik. 2 Versuchsvorbereitung a) c) -2f -f f -f f b) d) -2f -f f -f f Bild Gegenstand Abbildung 2: Abbildung durch eine Linse: Entsteht bei a) ein Bild? Welche optische Instrumente verwenden (Objektiv-)Linsen in der Anordnung a), c) bzw. d)? 2.2 Wellenoptik Licht ist eine elektromagnetische Welle, seine Frequenz f bestimmt u. a. den Farbeindruck, den wir von Gegenständen haben. Die Wellenlänge λ ergibt sich aus der Beziehung c = λ f (Welcher Wellenlängenbereich ist für Menschen sichtbar? Woran erkennt man, dass die Frequenz und nicht die Wellenlänge für den Farbeindruck enscheidend ist?) Um Intensitätsverteilungen auf sub-Mikrometerskala zu beschreiben, müssen Welleneigenschaften berücksichtigt werden. Betrachten wir zwei Objekte im Abstand g, z. B. die beiden Spalte in Abbildung 3, die von einem Mikroskop getrennt aufgelöst werden sollen: Wenn die Ausdehnung der Objekten von der Größenordnung der Wellenlänge ist, wird ihre Struktur nicht aufgelöst und sie streuen Licht annähernd isotrop in alle Richtungen. Hinter den beiden Objekten bildet sich das dargestellte Wellenmuster aus. Hinter den beiden Spalten ergeben sich Beugunsmaxima und -minima. Diese sind die Folge der Überlagerung der Wellen, die von den beiden Spalten ausgehen. Je nach Gangunterschied ∆x können sich diese gegenseitig verstärken (konstruktive Interferenz) oder abschwächen (destruktive Interferenz), wie in Abbildung 4 gezeigt. Im Falle konstruktiver Interferenz treten Intensitätsmaxima auf, also dann, wenn ein Maximum eines Wellenzuges auf ein Maximum des anderen Wellenzuges trifft. Der Gangunterschied, der zwischen den Wellen aus dem Doppelspalt auftritt, ist in Abbildung 5 dargestellt. Aus Vergleich zwischen Abbildung 4 und Abbildung 5 lässt sich die Bedingung für das Auftreten eines Intensitätsmaximums hinter dem Doppelspalt bzw. Gitter ablesen: tan θ ≈ sin θ = m·λ g (1) Dabei sind θ der Beugungswinkel, m die Beugungsordnung, λ die Wellenlänge und g die Gitterkonstante. 2. 1. 0. Beugungsordnung Lampe Linse Doppelspalt bzw. Gitter Abbildung 3: Beugung an Doppelspalt bzw. Gitter im Huygensschen Modell 3 a) b) Dx = (n+ 12)·l Dx = n·l Abbildung 4: a) konstruktive und b) destruktive Interferenz zweier Wellenzüge G θ θ Schirm g Dx = g·sin(θ) Dx Abbildung 5: Gangunterschied ∆x zwischen den Wellenfronten aus den beiden Öffnungen eines Doppelspaltes bzw. zwischen benachbarten Spalten eines Gitters 2.3 Auflösungsvermögen des Mikroskops Nach Abbé stimmen Bild und Objekt nur dann genau überein, wenn alle Beugungsordnungen in das Mikroskop gelangen, d.h. von der Obejektivlinse erfaßt werden. Ein Spalt zwischen Gitter und der Objektivlinse gestattet im Experiment, Beugungsordnungen auszublenden. Normalerweise ist dieser „Spalt“ durch die Fassung der Linse gegeben. Je enger das Gitter wird, desto weiter liegen die Beugungsmaxima auseinander. Es gibt einen kleinsten Abstand g der Gitterstriche, bei dem gerade noch zwei Beugungsbilder ins Mikroskop, d.h. den Bereich der Linse L2, der von der Blende nicht abgedeckt wird, gelangen. Die Gitterstruktur ist dann gerade Beugungsmaxima in Linsenebene α θ m= 3 m= 2 m= 1 m=-1 m=-2 m=-3 Lampe und Linse zur Ausleuchtung Bild des Gitters (Zwischenbild im Mikroskop) Objektivlinse m. Blende (Spalt) Abbildung 6: Strahlengang zur Beobachtung des Gitters mit einem Mikroskop und Erklärung der Abbé’schen Theorie 4 Versuchsdurchführung noch erkennbar. Damit ist die Auflösungsgrenze des Mikroskops erreicht. Im Nimmt man an, dass keine Lochblende sondern eine Spaltblende an der Linsenfassung vorliegt, dann gilt für g: g= g = λ = λ/n = n 2α = = n · sin α = λ n sin α (2) kleinster Abstand zweier Objektpunkte P und Q, deren Bilder P’ und Q’ noch getrennt erscheinen (hier Gitterkonstante) Wellenlänge des zur Abbildung benutzten Lichtes im Vakuum Wellenlänge des Lichtes im benutzten Medium (z.B. Immersionsöl) Brechzahl im Raum zwischen Objekt und Objektiv Winkel, unter dem ein Gitterpunkt die Objektivfassung sieht (α = Öffnungswinkel) numerische Apertur des Objektivs 3 Versuchsdurchführung Versuchsmaterialien Optikbank, Optikreiter, Schirm, Farbfilter FL: Fadenlampe mit Irisblende inkl. Netzteil (Betriebsspannung: 12 V) Hg: Quecksilberdampflampe inkl. Netzteil S: Spalt (Durchmesser und Orientierung verstellbar) L: Linse (Brennweite 50mm) MO: Mikroskopobjektiv mit Millimeterskala G: Gitter (engmaschig) G’: Gitter (weitmaschig) 3.1 Beugung am Spalt Achtung: Verwenden Sie für diesen Versuchsteil aussschließlich die Fadenlampe! Die Hg-Lampe emittiert intensive, für das Auge schädliche UV-Strahlung. Schauen Sie niemals direkt in die Hg-Lampe! Betrachten Sie die Lampe durch den Spalt S. Verringern Sie die Spaltbreite so weit, bis Sie ein Beugungsbild beobachten können. Welche Bedingung muss die Spaltbreite hierfür erfüllen? Erscheint langwelliges Licht (rot) oder kurzwelliges Licht (blau) unter einem größeren Beugungswinkel? Wird der Beugungswinkel größer oder kleiner, wenn Sie die Spaltbreite geringfügig verringern? Notieren Sie die Beobachtungen und Antworten im Protokollheft! 3.2 Bestimmung der Gitterkonstanten der Beugungsgitter Bilden Sie den Glühfaden der Fadenlampe mit Hilfe der Linse stark vergrößert auf den Schirm ab. Wie verläuft der Strahlengang, insbesondere zwischen Linse und Schirm? Bringen Sie zuerst das weitmaschige Gitter G’ direkt nach der Linse in den Strahlengang. Bringen Sie nach dem Gitter das Mikroskopobjektiv in den Strahlengang. Bilden Sie durch Variation der Position des Schirms und des Mikroskopobjektivs das Gitter auf den Schirm ab. Bestimmen Sie mithilfe der Skala des Mikroskopobjektivs Gitterkonstante und Linienzahl des Gitters G’ sowie im Anschluss die des feinmaschigen Gitters G. Geben Sie die Gitterkonstante in µm an. Eine Einheit auf der Skala des Objektivs FL S Abbildung 7: Aufbau zur Beobachtung des Beugungsmusters eines Einfachspalts 5 FL MO Schirm L G (G‘) Abbildung 8: Aufbau zur Bestimmung der Gitterkonstanten von G und G’ entspricht einem Millimeter. Notieren Sie die Abstände zwischen Mikroskopobjektiv und Gitter bzw. Schirm. Sollten Sie bei der Bestimmung der Gitterkonstante des feinmaschigen Gitters Probleme haben, wechseln Sie die Lampe gegen die Hg-Lampe aus, setzen sie gleich den Spalt mit ein, den sie für den nächsten Versuch benötigen und bilden sie den Spalt scharf auf den Schirm ab. Dazu vorübergehend Gitter und Mikroskop aus dem Strahlengang entfernen.) 3.3 Bestimmung der charakteristischen Linien der Hg-Lampe Bringen Sie den Spalt direkt vor der Hg-Lampe in den Strahlengang. Bilden Sie nun den Spalt mit Hilfe der Linse stark vergrößert auf den Schirm ab. Achten Sie unbedingt darauf, dass der Spalt nicht „verbogen“ abgebildet wird! (Spalt, Lampe gerade stellen, Höhe der Linse über dem Tisch justieren!) Wie verläuft der Strahlengang zwischen Linse und Schirm? Bringen Sie nun das Gitter G direkt nach der Linse in den Strahlengang ein. Variieren Sie die Spaltbreite bis das Beugungsbild des Gitters erkennbar ist. Skizzieren Sie Strahlengang und Beugungsbild! Wie ändert sich das Beugungsbild, wenn Sie das Gitter entlang der optischen Achse verschieben? Bestimmen Sie aus der gemessenen Gitterkonstante und dem Beugungswinkel, unter dem die jeweilige Linie beobachtet wird, die Wellenlänge der gelben, grünen und blauen Spektrallinie von Quecksilber: tan θ ≈ sin θ = m·λ g (3) Dabei sind θ der Beugungswinkel, m die Beugungsordnung, λ die Wellenlänge und g die Gitterkonstante. Messen Sie dazu die Abstände der jeweiligen Linie im m = ±1 und m = ±2 Beugungsmaximum von der Position der nullten Beugungsordnung zu beiden Seiten. Bestimmen Sie aus den Messungen zum ersten Maximum einen mittleren Abstand und daraus die Wellenlänge, danach aus den Messungen des zweiten Maximums. Überlegen Sie sich, wie genau Sie die Position der Linien und den Abstand zwischen Gitter und Schirm bestimmen konnten und schätzen Sie so den jeweiligen Fehler in der Wellenlänge ab. Vergleichen Sie ihre Messwerte mit den Messwerten der anderen Gruppen und den tatsächlichen Werten (Betreuer(in)) und notieren Sie, ob die Fehlerabschätzung die tatsächliche Abweichung der einzelnen Messwerte erklärt. 3.4 Auflösungsvermögen des Mikroskops Bringen Sie nun direkt hinter dem Gitter G einen weiteren Spalt in den Strahlengang ein. Achten Sie darauf, dass dieser zum ersten Spalt parallel steht. Justieren Sie den 2. Spalt so, dass Sie auf seiner geschlossenen Fläche die Beugungsmaxima sehen können und sicher sind dass beim Öffnen des Spaltes als erstes das nullte Maximum durch den Spalt geht. Fügen Sie nun nach dem vollständig geöffneten 2. Spalt das Mikroskopobjektiv in den Strahlengang ein und bilden Sie das Gitter - analog zu Abschnitt 3.2 S L G θ Abbildung 9: Aufbau zur Vermessung der Spektrallinien von Quecksilber (Hg) Schirm Hg 6 Versuchsdurchführung S L G S MO Schirm Hg Abbildung 10: Aufbau zur Bestimmung des Auflösungsvermögens - auf den Schirm ab. Für die Justage können Sie sich an den in Abschnitt 3.2 bestimmten Abständen orientieren und ggf. das weitmaschige Gitter G’ (anstelle von G) verwenden, für die weitere Durchführung des Versuchs benötigen Sie aber das engmaschige Gitter G. Verringern Sie nun die Breite des neu eingebrachten Spaltes und beobachten Sie, wie sich die Abbildung der Gitterlinien verhält. Versichern Sie sich, dass das Gitter nur dann abgebildet wird, wenn mindestens zwei Beugungsordnungen den Spalt passieren. Notieren Sie in Ihrem Versuchsheft die Antworten auf die folgenden Fragen: • Was muss ein Mikroskopobjektiv leisten, um eine möglichst hohe Auflösung zu ermöglichen? • Welche Kenngröße des Objektivs beschreibt, wie viele Beugungsordnungen abgebildet werden können? Wie eng muss dass Gitter sein, damit es - unabhängig von der verwendeten Linse - mit sichtbarem Licht nicht mehr abgebildet werden kann?