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Mathetreff: Lösungen zu den Knobelaufgaben
für die Klassen 7 und 8
Juli-September 2013
Aufgabe 1
Eieruhr
Man muss mit beiden Sanduhren einen Unterschied von genau 4 min
messen können. Um sich einen Überblick zu verschaffen, kann man in
einer Tabelle die gemessenen Zeiten der beiden Sanduhren notieren.
Nummer
1
2
3
4
5
5 min Sanduhr
5 min
10 min
15 min
15 min
10 min=2 mal 5 min
7 min Sanduhr
7 min
7 min
7 min
14 min
14 min = 2 mal 7 min
6
7
8
25 min = 5 mal 5 min
60 min = 12 mal 5 min
80 min = 16 mal 5 min
21 min = 3 mal 7 min
56 min= 8 mal 7 min
84 min = 12 mal 7
Unterschied
2 min
3 min
8 min
1 min
4 min
erste Möglichkeit
4 min, zweite Möglichkeit
4 min, dritte Möglichkeit
4 min, vierte Möglichkeit
Läuft die „5 min – Sanduhr“ genau 10 min und die „7 min – Sanduhr“ genau 14 min, so kann man
genau 4 min abmessen. Man geht folgendermaßen vor: Man startet beide Sanduhren gleichzeitig,
nach 5 min dreht man die „5 min – Sanduhr“ herum, nach 7 min dreht man die „7 min – Sanduhr“
herum. In dem Moment, in der die „5 min – Sanduhr“ die 10 min abgemessen hat beginnen die zu
messenden 4 min. Diese Zeitspanne endet, wenn die „7 min – Sanduhr“ das zweite Mal abgelaufen
ist.
Um eine weitere Lösungen zu erhalten, wählt man einfach die Vielfachen von Nummer 4 in der
Tabelle – also 4 mal 3 mal 5 min = 4 mal 15 min = 12 mal 5 min = 60 min
bzw. 4 mal 2 mal 7 min = 4 mal 14 min = 8 mal 7 min = 56 min.
Dies bedeutet wieder, dass die „7 min – Sanduhr“ 8 mal durchlaufen muss und die „5 min – Sanduhr“
läuft 12 mal durch. Wenn die „7 min – Sanduhr“ das 8. Mal durchlaufen hat, beginnt die Zeitmessung
und sie endet, wenn die „5 min – Sanduhr“ das 12. Mal beendet hat.
Die dritte Möglichkeit besteht darin, die „7 min – Sanduhr“ 12 mal laufen zu lassen und die „5 min –
Sanduhr“ 16 mal laufen zu lassen.
Aufgabe 2
Schachturnier
Anton (A), Benjamin(B) und Clarissa (C) haben jetzt schon Ferien. Deshalb verabredeten sie sich zu
einem kleinen Schachturnier. Folgendes ist hierüber bekannt:
(1)
Jeder spielte gegen jeden die gleiche Anzahl von Partien.
(2)
Keine Partie endete remis.
(3)
(4)
(5)
2
seiner Spiele.
3
3
Benjamin gewann genau seiner Spiele.
4
Clarissa gewann genau ein Spiel.
Anton gewann genau
Nach (1) gibt es insgesamt mindestens 3 Spiele, weil folgende Spielpaarungen möglich sind:
Anton (A) gegen Benjamin (B) und A gegen Clarissa (C) sowie B gegen C. C gegen A usw. entfallen.
Kurz: folgende Spielpaarungen sind nur Möglich: AB, AC, BC.
Jeder Spieler hat bei 3 Spielen insgesamt 2 Mal gespielt.
(6)
Aufgrund von (1) muss die Anzahl der von A und B jeweils gespielten Partien gleich sein und wegen
(3) und (4) muss die Anzahl der gespielten Partien durch 3 und durch 4 teilbar sein.
Die kleinste Zahl die diese Bedingung erfüllt ist 12.
(7)
Nach (6) sind nur folgende Anzahlen möglich: Jeder Spieler kann nur eine gerade Anzahl von Partien
spielen, da sonst (1) nicht mehr erfüllt wäre. Nach (7) ist diese Anzahl gleich 12. Insgesamt entspricht
das einer Anzahl von 18 Spielen, da wegen (1) das Verhältnis der Anzahl der Spiele von z.B. A
2
3
gleich bleibt zur Gesamtanzahl ( @ 12 , also @ 18 ). Probe:
3
3
A hat 8 Spiele gewonnen, B hat 9 Spiele gewonnen und wegen (5) hat C 1 Spiel gewonnen.
Zusammen sind es genau 18 Spiele, da es wegen (2) kein remis gab.
Aufgabe 3
Parallelogramme
Planfigur:
Lösung:
Da das Parallelogramm punktsymmetrisch ist, halbieren sich die Diagonalen im Schnittpunkt M. Das
Dreieck ABM ist wegen sss eindeutig konstruierbar mit den Seitenlängen
d
d
AB = a = 8cm, BM = 2 = 3cm, AM = 1 = 5 ,5cm
2
2
. Anschließend verlängert hat die Strecke BM über M
hinaus. Mit dem Zirkel zeichnet man um M einen Kreis mit dem Radius 5,5 cm. Der Kreis schneidet
die Verlängerung von BM in D. Dies ist der dritte Eckpunkt des gesuchten Parallelogramms.
Anschließend konstruiert man die Parallele durch D zu AB mit der Länge a = 8 cm. Man erhält den
Eckpunkt C des gesuchten Parallelogramms.