Lineare Algebra und analytische Geometrie 1 für das Lehramt

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. M. Kaplan
WS 2009/10
Blatt 3
Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1
für das Lehramt an beruflichen Schulen
Übung (5. November 2009)
Ü 8)
Für beliebige Mengen A, B, C beweise oder widerlege man durch ein Gegenbeispiel:
(A \ B) × C = (A × C) \ (B × C) .
Ü 9)
Gegeben seien die Mengen
X = {x ∈ N | 2 ≤ x ≤ 5} und Y = {y ∈ N | 1 ≤ y ≤ 4} .
Stellen Sie das kartesische Produkt X × Y graphisch dar.
Ü 10) a) Man beweise mittels vollständiger Induktion für alle n ∈ N :
n
X
k2 =
k=1
1
1
n(n + )(n + 1)
3
2
b) Eine Pyramide entstehe aus horizontalen quadratischen Lagen von 30 cm
hohen Steinquadern mit quadratischer Grundfläche der Kantenlänge 90 cm.
Die Außenkante jeder neuen Lage werde jeweils um 45 cm eingerückt. Die
oberste Lage bestehe aus genau einem Stein.
Wieviele Steine werden gebraucht, wenn die Kantenlänge der Pyramide 425,70 m beträgt?
Ü 11) Es sei A eine endliche Menge. Zeigen Sie für deren Potenzmenge P (A) :
|P (A)| = 2|A| .
Hausaufgaben (Abgabe: 11. November 2009, 15:00 Uhr)
H 7)
Für beliebige Mengen A, B, C, D beweise oder widerlege man durch ein Gegenbeispiel:
(A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) .
H 8)
H 9)
Es seien A = {1,2}, B = {0} und C = {0,1,2,3} .
Bestimmen Sie die Kardinalität von M := (A ∪ B) × (B ∪ C) .
Es sei S :=
n
X
k.
k=1
a) Man berechne S , indem man auf zwei verschiedene Arten den folgenden Ausdruck bestimmt:
n
X
k=1
(k + 1)2 −
n
X
k2 .
k=1
b) Man beweise die in a) hergeleitete Formel für S mit vollständiger Induktion.
H 10) Die geometrische Summe
a) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N0 und alle x ∈ R \ {1} gilt:
b) Berechnen Sie
100
X
(−1)
k=0
k
und
15
X
n
X
k=0
xk =
xn+1 − 1
.
x−1
k
2 .
k=3
Bitte wenden !
H 11) Beweis mit vollständiger Induktion (oder besser: Illusion?):
Behauptung: In jedem Sack Erbsen gibt es nur gelbe oder nur nichtgelbe Erbsen.
Beweis:
mit vollständiger Induktion über die Anzahl n ∈ N der Erbsen im Sack.
Induktionsanfang: Der Induktionsanfang n = 0 ist trivial.
(Wer die Behauptung nicht für leere Säcke beweisen will, beginnt mit dem
genauso trivialen Anfang n = 1 .)
Induktionsschritt: Nimmt man aus einem Sack mit n ≥ 1 Erbsen eine Erbse e
heraus (ohne sie anzuschauen), so sind die restlichen n − 1 Erbsen nach der Induktionshypothese alle gelb oder alle nichtgelb.
Um diesen Farbton festzustellen, entnehmen wir dem Sack eine
weitere Erbse g und legen die Erbse e wieder in den Sack. Der
Wo liegt der Fehler?
Sack enthält wieder n − 1 nach der Induktionshypothese ausNach Werner Heise: Induktives Beschließlich gelbe oder nichtgelbe Erbsen. Also ist e genau dann
weisen und Definieren, TUM, 1991
gelb, wenn auch g gelb ist.
H 12) Relationen
Geben Sie für die folgenden Relationen jeweils an, ob sie reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch
bzw. transitiv sind (Beweise brauchen Sie nicht anzugeben). Welche der Relationen sind Äquivalenzrelationen? Geben Sie gegebenenfalls die Äquivalenzklassen an.
a) M sei die Menge aller Menschen,
R1 := {(x, y) ∈ M × M | x hat dasselbe Geburtsjahr wie y} ,
b) K sei die Menge der letzten US–Präsidentschaftskandidaten,
R2 := {(x, y) ∈ K × K | x hat mehr Stimmen in Florida erhalten als y} ,
c) W := {Kakao, Kaffee, Tee, Honig, Zucker, Wasser} (als Menge von Wörtern),
R3 := {(x, y) ∈ W × W | x und y bezeichnen Getränke } .
d) R5 := {(m, n) ∈ Z × Z | m ≥ n} ,
e) R6 := {(m, n) ∈ Z × Z | m · n > 0} ∪ {(0,0)} ,
f) R7 := {(m, n) ∈ Z × Z | m = 2n} ,
g) R8 := {(m, n) ∈ Z × Z | m ≤ n + 1} ,
h) R9 := {(m, n) ∈ Z × Z | m · n ≥ −1} ,
i) R10 := {(m, n) ∈ Z × Z | m = 2} .
Die Relationen R5 bis R10 sind hierbei als Relationen auf Z aufzufassen.
Ergänzungen (25. November 2009)
E 7)
Das Prinzip von Inklusion und Exklusion
Im Rahmen einer Studie wurden 200 Personen mit einem Fragebogen befragt, ob sie sich regelmäßig durch die bekannten Magazine A , B und C informieren lassen.
Es haben insgesamt 60 Personen bei A ein Kreuz gemacht, 90 Personen bei B und 50 Personen bei C . Dabei waren bei 20 Fragebögen sowohl A als B angekreuzt, bei 10 sowohl A als
auch C und bei 30 Fragebögen sowohl B als auch C . Insgesamt 55 Personen gaben an, keines
dieser Magazine zu lesen.
a) Wie viele Leute lesen A , aber nicht B ?
b) Wie viele Leute lesen alle drei Magazine?
c) Wie viele Leute lesen nur C ?