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Björnstjerne Zindler
Kapitel_5a
Die Anharmonizität „χ“
Es sollen die Erkenntnisse über die charakteristische Potentialeigenschaft
„Anharmonizität“ zusammen gefasst werden.
Es sei gegeben ein Potential der Form:
Ψ (c ) = Emax Ψ0 (c )
Das Rumpfpotential wird extrahiert:
Ψ0 (c )
Die Ableitung nach dem intrinsischen Faktor:
∂
∂

Ψ0 (c ) =  Ψ0 (c )
∂c
 ∂c
 (c )
Die erste Potenz des intrinsischen Faktors wird ausgeklammert:
∂

c  Ψ0 (c )
= ce χ
∂
c

 (c −1)
Damit ist die „Globale, exponentielle Anharmonizität“ definiert:
∂

e χ =  Ψ0 (c )
 ∂c
 (c −1)
Die „Globale, lineare Anharmonizität“ demzufolge:
∂

χ = ln  Ψ0 (c )
∂
c

 (c −1)
Diese Eigenschaft sei jedoch nur definiert für ein schwingungsfähiges Potential,
für einen allgemeinen Oszillator.
• Beispiel:
Gegeben sei das einfachste Potential eines Feder- Masse- Schwingers:
Ψ (c ) =
1 2
kc
2
Dabei ist der Wert „k“ die Federkonstante:
Ψ0 (c ) =
If questions:
1 2
c
2
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Kapitel_5a
⇔
∂
Ψ0 (c ) = c
∂c
⇔
c
∂
Ψ0 (c ) = c(1)
∂c
⇔
eχ = 1
⇔
χ =0
Es liegt ein „Harmonischer Oszillator“ vor !
Der Nachweis der Schwingungsfähigkeit erfolgt über die Bewegungsdifferentialgleichung aus dem Energieerhaltungsatz:
E pot + Ekin = E
⇒
1 2 1
kc + mc′ 2 = E
2
2
Die erste Ableitung:
kc + mc′′ = 0
⇒
c′′ +
k
c=0
m
Die charakteristische Gleichung:
λ2 +
k
=0
m
⇔
λ1; 2 = ± −
k
m
In komplexer Form:
a ± ib = 0 ± i
k
m
Die Schwingungsfähigkeit kann nun nachgewiesen werden über die Forderung:
k
>0
m
Da die Masse „m“ und Federkonstante „k“ des Oszillators immer positive Werte
annehmen, ist die Schwingungsfähigkeit nachgewiesen.
If questions:
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Kapitel_5a
Als weiteres besteht die Möglichkeit zur Charakterisierung eines Potentials die
Teilanharmonizitäten zu berechnen. So sei gegeben ein Potential der Form:
Ψ (c ) = Emax Ψ0 (c )
Das Rumpfpotential wird extrahiert:
Ψ0 (c )
Die Ableitung nach dem intrinsischen Faktor:
∂
∂

Ψ0 (c ) =  Ψ0 (c )
∂c
 ∂c
 (c )
Es schliesst sich eine Polynomisierung an:
∞
∂
Ψ0 (c ) = ∑ ai −1c i
∂c
i =1
Die erste Potenz des intrinsischen Faktors wird ausgeklammert:
∞
∂
Ψ0 (c ) = c∑ ai −1c i −1
∂c
i =i
Die „Teilanharmonizitäten“ sind ablesbar:
χ n = an
• Beispiel:
Vom oben gewählten Potential des Feder- Masse- Oszillators ist bekannt:
c
∂
Ψ0 (c ) = c(1)
∂c
Die Polynomisierung:
c
∂
Ψ0 (c ) = c 1c 0
∂c
( )
Es ist daher nur eine Teilanharmonizität existent, was bei einem Harmonischen
Oszillator zu erwarten war:
χ0 = 1
• Beispiel:
Das Morsepotential. Dieses ist definiert als:
(
ΨMorse = Emax 1 − e − c
If questions:
)
2
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Kapitel_5a
Das Rumpfpotential wird extrahiert:
(
ΨMorse = 1 − e − c
0
)
2
„Taylor“- zerlegt:
ΨMorse = c 2 − c 3 +
0
7 4 1 5 31 6 1 7
127 8
17 9
c − c +
c − c +
c −
c + ...
12
4
360
40
20160
12096
Die erste Ableitung:
ΨMorse
0
7
5
31
7
127 7
17 8
∂
c −
c + ...
= 2c − 3c 2 + c 3 − c 4 + c 5 − c 6 +
3
4
60
40
2520
1344
∂c
Durch „c“ dividiert:
7
5
31
7
127 6 17 7
ΨMorse ∂
c −
c + ...
= 2c 0 − 3c1 + c 2 − c 3 + c 4 − c 5 +
3
4
60
40
2520
1344
c ∂c
0
Logarithmiert ergibt es die globale, lineare Anharmonizität angezeigt als
Polynom der Teilanharmonizitäten:
3
7
5
31
7
127 6
17 7
∂ 
 Ψ
2

c −
c + ...
χ = ln 0 Morse  = ln c 0 − c1 + c 2 − c 3 + c 4 − c 5 +
1
1
3
4
60
40
2520
1344
c
c
∂ 



Es sind die Teilanharmonizitäten ablesbar:
n
χn;Morse
0
+2/1
1
-/
2
+7/3
3 1
3
- /4
4
+ /60
5
31
5
- /40
7
6
7
17
+ /2520 - /1344
127
Bleibt die globale, lineare Anharmonizität als nichtunendliches Polynom zu
berechnen, dies ist möglich, wenn eine Expandierung auf das Ende gelegt wird
und die nichtlinearen Glieder gestrichen werden. Ergebnis ist eine Näherung:
(
ΨMorse = 1 − e − c
0
)
2
⇒
∂
−c
1 − e− c
0ΨMorse = 2e
∂c
(
)
⇒
e−c
ΨMorse ∂
1 − e−c
=2
c ∂c
c
0
(
)
⇒
 e−c

∂ 
 Ψ
1 − e − c )
(
χ = ln 0 Morse  = ln 2
 c ∂c 
 c

⇒
If questions:
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1

χ = ln (2)c 0 − c1 − ln (c1 )+ ln1 − c 
 e 
⇒
χ = ln 2 − c
Die Schwingungsfähigkeit des Morsepotentials für alle Werte von „c“ ist in
entsprechender Literatur nachgewiesen worden und wird hier übernommen.
• Beispiel:
Gegeben sei ein schwingungsfähiges Potential der Form:
(
)
Ψ (c ) = Emax 1 − e − c (c + 1)
⇒
Ψ0 (c ) = 1 − e − c (c + 1)
Die Polynom- Entwicklung für das Potential:
Ψ0 (c ) =
1 2 1 3 1 4 1 5
1 6
1 7
1 8
1
c − c + c − c +
c −
c +
c −
c 9 + ...
2
3
8
30
144
840
5760
45360
⇒
∂
1 1
1
1
1
1 6
1 7
1 8
c +
c −
c + ...
Ψ (c ) = c − c 2 + c 3 − c 4 + c 5 −
∂c
1 1
2
6
24
120
720
5040
⇒
1
1
1
1
1
1 5
1 6
1 7
e χ = c 0 − c1 + c 2 − c 3 + c 4 −
c +
c −
c
1
1
2
6
24
120
720
5040
Die Teilanharmonizitäten:
n
χn
0
+1/1
1
- /1
1
2
+1/2
3
- /6
1
4
+ /24
1
5
- /120
1
6
+ /720
1
7
- /5040
1
Die Globale, lineare Anharmonizität wird ermittelt
1
1
1
1
1 5
1 6
1 7 
1
c +
c −
c ... 
χ = ln c 0 − c1 + c 2 − c 3 + c 4 −
1
2
6
24
120
720
5040
1

⇒
 ∞
cn 
χ = ln ∑ (− 1)n 
n! 
 n =0
⇔
If questions:
χ = −c
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Kapitel_5a
Damit ist gezeigt, dass das vorliegende Potential ideal in seiner Anharmonizität
ist. Die Teilanharmonizitäten können somit definiert werden:
χn
n
(
− 1)
=
n!
Ein Potential, das die Eigenschaften des obigen aufzeigt, wird „Einfaches- χPotential“ genannt.
Da dieses Potential schwingungsfähig ist, ist dieses ein „Einfacher- χOszillator“.
Die Schwingungsfähigkeit ist nachgewiesen.
• Beispiel:
Gegeben ist ein erweitertes „χ- Potential“ der Form:
(
)
Ψ (c, q ) = Emax 1 − e − qc (qc + 1)
mit:
q>0
⇒
Ψ0 (c, q ) = 1 − e − qc (qc + 1)
Dabei ist der intrinsische Faktor weiterhin „c“ und „q“ ein mit
Randbedingungen frei wählbarer Koeffizient. Die Schwingungsfähigkeit ist
dennoch nachgewiesen, so dass gilt:
∂
Ψ0 (c, q ) = q 2ce − qc
∂c
⇔
qc
∂
Ψ0 (c, q ) = qe − qc
∂c
⇒
e χ = qe− qc
⇔
χ = ln q − qc
Zu beachten ist das Ausmultiplizieren von „qc“ !
Die Teilanharmonizitäten sind von Interesse:
Ψ0 (c, q ) =
1
(qc )2 − 1 (qc )3 + 1 (qc )4 − 1 (qc )5 + 1 (qc )6 − 1 (qc )7 + 1 (qc )8 + ...
2
3
8
30
144
840
5760
⇒
If questions:
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Kapitel_5a
∂
1
1
1
1
1
1 7 6
1 8 7
Ψ0 (c, q ) = q 2 c1 − q 3 c 2 + q 4 c 3 − q 5 c 4 + q 6 c 5 −
q c +
q c + ...
∂c
1
1
2
6
24
120
720
⇒
qc
1
1
1
1
1
1 6 5
1 7 6
∂
Ψ0 (c, q ) = q1c 0 − q 2 c1 + q 3c 2 − q 4 c 3 + q 5 c 4 −
q c +
q c + ...
∂c
1
1
2
6
24
120
720
⇔
qc
n +1
∞
∂
n q
Ψ0 (c, q ) = ∑ (− 1)
cn
∂c
n
!
n =0
⇒
χn
n
(
− 1) n+1
=
q
n!
Ein Potential, das die Eigenschaften des obigen aufzeigt, wird „χ- Potential“
genannt.
Da dieses Potential schwingungsfähig ist, ist dieses ein „χ- Oszillator“.
Die Schwingungsfähigkeit kann nachgewiesen werden über des Ansatz:
Ψ (c, q ) < lim Ψ (c, q )
c → +∞
⇒
⇔
⇔
(
)
(
)
Emax 1 − e − qc (qc + 1) < lim Emax 1 − e − qc (qc + 1)
c = +∞
(
)
Emax 1 − e− qc (qc + 1) < Emax
e − qc (qc + 1) > 0
⇒
!
e − qc > 0
qc + 1 > 0
⇒
!
q>0
qc > −1
⇒
c>−
1
q
Die Schwingungsfähigkeit ist ab obigen Wert nachgewiesen.
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Kapitel_5a
Morsepotential und „χ- Potential“ graphisch dargestellt für „q = 1“:
Bild 1: Die Potentiale im Vergleich.
Es existiert folgender Zusammenhang für das „χ- Potential“:
− ∞ < cmin < 0
⇔
+∞>q=−
⇔
1
cmin
>0
ln q = − ln (− cmin )
Es existiert folgender Zusammenhang für das „µ- (Morse)- Potential“:
− ∞ < cmin < 0
⇔
+∞>q=−
für die Annahme:
ln 2
>0
cmin
(
ΨMorse (c, q ) = 1 − e − qc
0
)
2
und:
χ = ln 2 − qc
sowie:
3
7
5
31
7
127 7 6 17 8 7
2

q c −
q c + ... 
χ = ln q1c 0 − q 2 c1 + q 3c 2 − q 4 c 3 + q 5 c 4 − q 6 c 5 +
1
3
4
60
40
2520
1344
1

Ein Potential, das die Eigenschaften des obigen aufzeigt, wird „µ- Potential“
genannt.
Da dieses Potential schwingungsfähig ist, ist dieses ein „µ- Oszillator“.
If questions:
[email protected]