Balken und Stabtragwerke

3.5 Elasto-Plastizität für Balken und
Stabtragwerke
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Voraussetzungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
3.5.1 Grenzmomente
Spannung
Dehnung
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Grenzmomente
M  M el : Elastischer Bereich
M

 σF
W
M  M el : An der Fließgrenze
M el
  σF 
W
M el  M  M pl :
Elastisches Grenzmoment
Elastisch-plastischer Bereich
  σF
M  M pl :
M el  σ F  W
und
  F
Vollplastischer Zustand
  σF
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
im Gesamtquerschnitt, neutrale Faser
verschiebt sich.
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Grenzmomente
Ao   F  Au   F  0
N 0
Ao  Au  A / 2
M pl
A
 σ F   ( zo  zu )  σ F  W pl
2
Plastisches Grenzmoment
zo  Abstand des Schwerpunktes der oberen
Teilfläche von der Nulllinie
zu  Abstand des Schwerpunktes der unteren
Teilfläche von der Nulllinie
W pl
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
A

( zo  zu ) : plastisches Widerstandsmoment
2
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Grenzmomente
Formfaktor (plastische Reserve):
 pl 
M pl
M el

W pl
W
Bsp.: Rechteckquerschnitt
A
bh
W pl   ( zo  zu ) 
2
4
2
bh
W
6
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2
3
 pl   1.5
2
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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung
Rechteckquerschnitt: Teilplastischer Bereich
F
h/2
h/2
F
F
zF
zF
F
b
Dehnung
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Spannung
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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung
1.) Elastischer Bereich
M  EI  κ
M
κ

M el κ el
M el  EI  κ el
Bestimmung von
M el  EI  κ el
κ pl :
(elastischer Grenzfall)
ε  κz
Daraus folgt:
M el EI  κ el κ el


M pl EI  κ pl κ pl
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Lineare Beziehung
κ

κ el 
z
κ pl 
M pl
M el
F
zF

F
h/2
 κ el   pl  κ el
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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung
2.) Teilplastischer Bereich

2 
 h / 2  zF
 1
M  2   F  b(h / 2  z F )  
 z F    F  bz F  z F 
2
3 

 2

bh 2
F 
6
 3 2 z F2
   2
2 h
 F  E  κ el  h / 2

 3 2 z F2
  M el    2

2 h
F
h/ 2
F
 F  E  κ  zF
zF
zF
(elastischer Grenzfall)
F
κ
h

κ el 2 z F
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK



(teilplastisch)
F
z F 1 κ el

h 2 κ
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3.5.2 Momenten-Krümmungsbeziehung

M
1
3
 1 
2
M el 2  3(κ/κ el ) 
Daraus folgt:
M
M el
1.5
1
1
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
κ
κ el
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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone
Einfeldträger unter Einzellast
l/2
F
l/2
x
Momentenlinie:
Dimensionslose Koordinaten:
Elastischer Grenzzustand:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
x

Fl 1  2 l , x  0
M ( x)   
4 1  2 x , x  0
l

x
zF
  ;   2
l
h
bh 2
M el  σ F  W  σ F 
6
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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone
Fel l
bei   0
M el 
4
2
bh 2
Fel   F
3
l
Traglastzustand:
M pl
M pl
bh 2
 σ F  W pl  σ F 
4
Fpl l

4
bh 2
 1.5 Fel
FT   F
l
Teilplastischer Zustand:
Fel  F  FT
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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone
Grenze zwischen dem elastischen und dem plastischen Bereich zF:
h
M
h
zF   3  2
 
2
M el 2
Bei Traglast:
FT  1.5Fel
M
F
  3 2
 3 2
(1  2 )
M el
Fel
2
 2  6
Parabelförmige Grenzkurve
Ausdehnung der plastischen Zone:
 1
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
1
l
   bzw. x  
6
6
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3.5.3 Ausbreitung der plastischen Zone
F  Fel
Fel  F  FT
F  FT
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
x, 
z, 
zF
Plastische Zone
l /6
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3.5.4 Biegelinie
1.) Elastischer Bereich
M
w( x)  
EI
M  EI  κ   EI  w
Mit
M ( x)  M el  m( x) (| m( x) | 1)
bh
bh
; I
M el   F 
6
12
2
3
2 F
w( x)  
m( x )
Eh
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
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3.5.4 Biegelinie
2.) Teilplastischer Bereich

M
3
1
 1 
2
M el 2  3(κ/κ el ) 
Mit

3
1
m( x)  1 
2
2  3(κ/κ el ) 
2 F
κ el 
; κ   w
Eh
2 F
1

w( x)  
Eh
3  2 m( x )
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