Nouveaux concepts sur les transitions du mod ele RdPTS: Priorit es

Nouveaux concepts sur les transitions du modele
RdPTS: Priorites dynamiques et attributs
temporels dynamiques
Guy Juanole y, Slim Abdellatif y et Laurent Gallon z
Le deuxieme probleme concerne la maniere de denir la
duree associee aux transitions tr(dnn). Actuellement, a
E comportement des sytemes informatiques et des notre
connaissance, dans tous les modeles existants, cette
I. Introduction
Ldansredeseauxnombreux
de communication temps-reel, que l'on trouve
domaines d'applications, en particulier
duree est de
nie lors de la speci
cation initiale des modeles.
il existe des domaines applicatifs ou la duree
dans le monde industriel(productique, robotique, etc.), est Cependant,
que l'on associe a une transition tr(dnn) depend de conditres souvent base sur des mecanismes de temporisations tions (temporelles en particulier) qui apparaissent au cours
qui denissent, a partir de l'occurence de certains evene- du fonctionnement de l'application et donc cette duree ne
ments, la duree allouee au deroulement d'une ou plusieurs peut ^etre speci
ee que de maniere dynamique (c.a.d au vol
activites. L'etude formelle de ces mecanismes est un asl'apparition d'une condition pendant le fonctionpect fondamental de la phase de conception et/ou d'analyse durant
nement).
Actuellement, dans les modeles existants, ceci
de ces systemes et reseaux de communication. Les ex- n'est pas possible
et donc nous introduisons cette facilite
tensions temporelles des reseaux de Petri sont des mod- dans le modele RdPTS
au moyen du concept d'attributs
eles bien adaptes a de telles etudes formelles. Le modele temporels dynamiques. Notons
que le modele RdPTS est le
reseaux de Petri Temporises stochastiques (RdPTS), que seul modele dans lequel les notions
de transitions tr(id) et
nous avons de
ni 1] 2] et utilise pour dierents travaux de priorites dynamiques existent. Dans
les modeles GSPN
1]2] 3] 4] 5], permet l'expression de caracteristiques tem- 6] et DSPN 7], on a seulement des transitions
immediates
porelles (associees aux transitions) tres diverses et, en par- correspondant au type tr(is). Notons, en outre, que
le modticulier, des distributions deterministes non nulles (ce qui ele RdPTS, contrairement au modele DSPN, ne pr
esente
permet de representer des durees ) et egalement des distri- aucune limitation quant au nombre de transitions tr(dnn)
butions deterministes nulles (durees nulles associees a des sensibilisees dans un m^eme marquage.
transitions appelees des transitions immediates 6]).
papier comprend trois parties. La premiere concerne
Le travail presente dans ce papier tra^te de deux types uneCepr
succinte du modele RdPTS ainsi que les
de problemes poses, dans le cadre du modele RdPTS, par notionsesentation
de
transitions
tr(id) et de concurrence entre transiles transitions auxquelles on associe des durees non nulles tions tr(id) et tr(is). La
deuxieme partie montre, a travers
(transitions que nous notons tr(dnn)).
un
exemple,
les
probl
e
mes
es par la concurrence entre
Le premier probleme est un probleme specique au mod- transitions tr(is) et tr(id) etpos
l'int
r^et de l'introduction du
ele RdPTS et concerne le cas ou on a plusieurs transitions concept de priorites dynamiques. eLa
eme partie montr(dnn) qui sont sensibilisees dans un m^eme marquage et tre, a travers un exemple, l'inter^et dutroisi
concept
d'attributs
avec la m^eme duree. En eet, comme le modele RdPTS temporels dynamiques.
traite le parallelisme par l'entrelacement et donc ne tire
qu'une seule transition sensibilisee a la fois, le tir d'une
II. Sur le modele RdPTS
transition tr(dnn) peut induire, du fait de l'ecoulement du
temps, la transformation des transitions tr(dnn) qui n'ont A. Les elements principaux du modele
pas ete tirees en transitions a duree nulle, ce que nous apCe modele associe aux transitions du modele sous-jacent
pelons des transition immediates dynamiques(apparues du (reseaux de Petri place-transition avec arcs inhibiteurs) des
fait de l'ecoulement du temps et par opposition aux transi- distributions temporelles qui peuvent ^etre exponentielles
tions immediates de
nies a la speci
cation initiale du mod- (intervalle temporel 0 1]), uniformes (intervalle temporel
ele RdPTS, que l'on appellera transitions immediates sta- borne borne inferieure,borne superieure]), deterministes
tiques). La concurrence entre transitions immediates dy- non nulles (intervalle reduit a une date) et nulles (internamiques (notees tr(id) ) et statiques (notees tr(is) ) fait valle reduit a la date 0). Dans ce travail, nous considerons
appara^tre des problemes particuliers que nous identi
ons uniquement des distributions deterministes (transitions a
et resolvons au moyen du concept de priorites dynamiques. duree constante ou transitions immediates).
La politique de selection de la transition a tirer 6] (lorsque
yLAAS-CNRS. 7, Avenue du colonel Roche - 31077 Toulouse plusieurs transitions sont sensibilis
ees) est la politique de
(FRANCE). e-mails: fjuanole,[email protected]
course
except
e
lorsque
l'on
a
des
transitions
avec des diszLaboratoire d'Informatique Appliquee (LIA). Universite de Pau
tributions
d
e
terministes
identiques
(politique
de preselecet des pays de l'Adour. Avenue de l'Universite - 64012 Pau Cedex
tion equiprobable). La politique de memoire temporelle
(FRANCE). e-mail: [email protected]
d1=3 ; d2=5
p1
d1=d2=5
p2
E1
E1
t1
(0.5;5)
t1 (1;3)
t1
δ(x-d1)
t2
(0.5;5)
E2
E2
t2 (1;2)
p3
t2
δ(x-d2)
t1
(1;0))
t2
(1;0)
p4
-a-
E3
E3
E4
-b-
-c-
Fig. 1. Exemple 1
(suite au tir d'une transition choisie parmi plusieurs transitions sensibilisees, comment integre-t-on le temps qui vient
de s'ecouler pour les transitions qui restent sensibilisees?)
utilise, a la fois, la notion de memoire de la derniere sensibilisation (enabling memory 6]) et de memoire de toutes
les sensibilisations (age memory 6]). Dans ce travail, nous
considerons des exemples avec seulement l'aspect enabling
memory.
Le comportement dynamique du modele RdPTS est
represente au moyen d'un graphe appele le graphe d'etats
probabilise (un etat est un triplet constitue d'un marquage,
des intervalles temporels et des densites de probabilites
des transitions sensibilisees) une transition entre etats est
aussi caracterisee par un triplet (la transition du reseau de
Petri qui provoque le changement d'etat, la probabilite de
tir et l'instant de tir de cette transition). Le graphe d'etats
probabilise permet d'eectuer dierents types d'analyses
2].
Remarque : Dans les modeles RdPTS dessines dans la suite
du papier: les transitions avec des durees non nulles sont
representees avec un rectangle et avec l'expression de la
distribution temporelle associee qui s'ecrit sous la forme de
(x ; d) (() etant le symbole d'une impulsion de Dirac,
x etant la variable temporelle et d etant la duree). Les
transitions immediates sont simplement representees par
un trait (la distribution temporelle associee qui est (x)
n'est pas ecrite). En ce qui concerne les graphes d'etats
probabilises representes, on explicite seulement les transitions entre etats.
du graphe d'etats probabilise, outre le nom de la transition
tiree, le couple (probabilite de tir instant de tir).
Lorsque les durees d1 et d2 sont identiques (d1=d2=5), on
obtient le graphe d'etats probabilise de la gure 1-c qui fait
appara^tre ce que nous appelons les transitions tr(id): En
eet dans l'etat E1, on peut tirer a la date 5 de maniere
equiprobable la transition t1 et la transition t2. Par exemple, suite au tir de t1, la transition t2 est sensibilisee avec
une duree nulle et donc devient une transition tr(id). On
a le m^eme phenomene pour t1 suite au tir de t2.
La gure 2 montre la concurrence entre transitions tr(is)
et tr(id). Sur la gure 2-a, le modele RdPTS presente est
celui du modele de la gure 1-a (avec d1=d2=5) auquel on
a rajoute une transition immediate t3 (c'est ce que nous
appelons une transition tr(is) car elle est de
nie comme immediate dans la speci
cation initiale du modele). Le graphe
d'etats probabilise de la gure 2-b visualise la concurrence
entre transitions immediates de type tr(is) et de type tr(id) :
Suite au tir de t2 (transition E1!E3 avec probabilite 0.5
et duree 5), la transition t1 devient une transition tr(id)
qui est en concurrence avec la transition t3 (qui est une
transition tr(is)) et donc l'on tire l'une ou l'autre avec une
probabilite 0.5 et une duree nulle.
p1
E1
p2
t1
(0.5;5)
t1
δ(x-5)
t2
δ(x-5)
t2
E2
E3
t1
(0.5;0)
t2
(1;0)
p3
p4
B. Notions de transition tr(id) et de concurrence entre
transitions tr(id) et tr(is)
(0.5;5)
t3
(0.5;0)
E4
E5
t3
(1;0)
t3
t1
(1;0)
E6
P5
Sur la gure 1, on veut, d'une part, rappeler la prise en
compte de l'ecoulement du temps dans le modele RdPTS
et, d'autre part, introduire la notion de transition tr(id).
Fig. 2. Exemple 2
Sur la gure 1-a on a un modele RdPTS avec deux transitions t1 (de duree d1) et t2 (de duree d2) simultanement
sensibilisees. Lorsque les durees d1 et d2 sont dierentes,
III. Le probleme de la concurrence entre
on obtient le graphe d'etats probabilise de la gure 1-b
transitions tr(is) et tr(id)
qui montre bien l'aspect enabling memory (apres le tir de
t1(probabilite 1 et duree 3) on a le tir de t2 (probabilite 1 A. Exemple considere
et duree 2, car 3 unites de temps s'etaient ecoulees pour le
Considerons un exemple (du domaine des reseaux de
tir de t1)). Rappelons que l'on associe a chaque transition communication) qui concerne un mecanisme de protocole
-a-
-b-
Réception
jeton
P1
messages de données
dans la file d’attente
(Place P6)
t1
Temporisation
t2
P6
t7
P2
t5
δ (x-2)
P3
P4
P7
Droit d’accès
au support
t6
t3
δ(x-1)
P5
t4
Départ
jeton
Fig. 3. Mecanisme du jeton temporise
pour le partage en mutuelle exclusion d'une ressource
de transmission (bus,anneau) entre dierentes stations.
Chaque station obtient cycliquement le droit (represente
par la reception d'un message appele jeton) d'utiliser la
ressource de transmission pendant un temps predetermine
a
n de transmettre des messages de donnees. lorsque ce
temps s'ecoule ou si la station n'a plus de donnees a transmettre, cette derniere transmet le droit (jeton) d'utiliser la
ressource de transmission a son successeur dans le cycle.
Ce mecanisme est un mecanisme sur lequel se basent des
protocoles du type jeton temporise 8]9]10].
B. Module RdPTS d'une station
Le mecanisme general du jeton temporise est represente
par le modele RdPTS de la gure 3: la partie gauche
(transitions t1,t2,t3 places P1,P2,P3,P4) representent la
strategie de service qui xe le temps durant lequel la station peut transferer des donnees la partie droite (transition t5,t6 places P6,P7,P4) represente les messages de
donnees dans la le d'attente et la transmission de ces messages de donnees durant le temps alloue. La transition t7
represente le renvoi immediat du jeton quand il n'y a pas
de messages a transmettre.
Expliquons le fonctionnement. A la reception du jeton
(place P1 marquee) la transition t1 est tiree ce qui sensibilise la transition t2 (qui represente le temps alloue a
la station pour transmettre ses messages de donnees ici
nous considerons deux unites de temps) et donne a la station le droit d'acceder au support de transmission (place
P4 marquee). La place P6 represente la le d'attente des
messages de donnees produits (dans l'exemple considere, il
y en a trois). Le processus de production des messages n'est
pas represente car il est sans inter^et pour cette etude. La
transition t5 represente la decision d'envoyer un message de
donnees (pour tirer cette transition, il faut que la station
ait le droit d'acces au support (place P4 marquee), qu'il y
ait un message produit (place P6 marquee) et qu'il reste
du temps (place P3 non marquee, d'ou l'arc inhibiteur)).
La transition t6 represente la transmission d'un message
de donnees (ici de duree une unite de temps). Lorsque le
temps est ecoule (place P3 marquee), on decide d'envoyer
le jeton a la station suivante (marquage de la place P5 suite
au tir de t3). Le jeton part vers le successeur (tir de t4).
C. Graphe d'etats probabilise du comportement de la station
Ce graphe qui est represente sur la gure 4, fait appara^tre un mauvais fonctionnement qui traduit une violation
du protocole (chemin E10!E11!E7 ou on decide de transmettre et on transmet un troisieme message de donnees
alors que le temps de parole qui reste est nul). Cette situation, qui resulte evidemment des valeurs numeriques que
nous avons choisies a dessein, est engendree par la concurrence entre la transition t2 (tr(id)) et la transition t5
(tr(is)).
D. Resolution du probleme : notion de priorite dynamique
Nous associons a une transition t, representant generalement une duree non nulle, une priorite (par rapport a des
transitions immediates de type tr(is) avec lesquelles elle est
en concurrence au sens des reseaux de Petri) qui se manifestera uniquement, lorsque, du fait de l'ecoulement du
temps, cette transition t deviendra de type tr(id). C'est
ce que nous appelons une priorite dynamique (le terme dynamique veut traduire le fait qu'avant l'ecoulement total
du temps associe initialement a la transition t, la transition tr(is) a une priorite superieure (c'est une priorite temporelle) alors que, a l'instant ou le temps alloue se termine,
on a un changement de priorite).
En appliquant cette notion a la transition t2 par rapport
E10
E1
t5
t1
1;0
E2
1;0
E3
t6
1;1
E4
t5
1;0
t6
0.5;1
E5
t5
0.5;0
t2
0.5;0
0.5;1
t2
E6
t6
1;0
E11
t6 1;1
E7
t3
1;0
E8
t4
1;0
E9
Fig. 4. Graphe d'etats probabilise
a la transition t5, le chemin E10!E7 a maintenant une
probabilite de 1 et le chemin E10!E11!E7 n'existe plus,
ce qui evite donc la violation du protocole. Ce mecanisme
de priorite dynamique a ete implemente dans l'outil logiciel
associe au modele RdPTS.
IV. Le probleme de l'impossibilite de la
specification initiale de la duree associee a
des temporisations
A. Exemple considere
Considerons encore le partage d'une ressource de transmission entre des stations, mais maintenant, avec une technique de passage de jeton ou a chaque fois qu'une station
recoit le jeton, elle ne dispose pas, comme dans le cas precedent, d'un temps qui est xe (valeur predeterminee), mais
plut^ot, d'un temps qui est variable et qui depend de la
charge de tra
c generee par les stations sur la ressource de
transmission.
Dans cette technique, une station dispose de deux temporisations: une premiere appelee TRT (Token Rotation Time)
qui est initialisee a chaque reception du jeton a une valeur
predeterminee (TTRT: Target Token Rotation Time) et
qui a pour but de mesurer le temps de rotation du jeton
(temps ecoule entre deux receptions successives du jeton) une deuxieme, appelee THT (Token Holding Time) qui est
chargee, a chaque arrivee du jeton avec la duree dont va
disposer la station pour transmettre du tra
c.
Le fonctionnement est le suivant: si, lors de la reception du
jeton, le temps de rotation du jeton est inferieur a TTRT
(jeton en avance), alors le temps restant dans la temporisation TRT est mis dans la temporisation THT si, au
contraire, le temps de rotation du jeton est superieur a
TTRT (jeton en retard), alors, a la reception du jeton, on
ne met rien dans la temporisation THT (on ne peut donc
transmettre du tra
c), on reinitialise la temporisation TRT
et on renvoie immediatement le jeton a la station suivante.
On voit donc ici que le temps dont dispose la station pour
transferer des messages de donnees ne peut ^etre speci
e a
l'avance. Ce type de fonctionnement est realiste et correspond a l'approche utilisee par la technique du bus a jeton
pour regler l'acces des stations asynchrones (stations qui
transmettent du tra
c asynchrone) a la ressource de transmission 10]. De plus, le protocole FDDI 9], quoique un
peu plus complexe, utilise egalement un mecanisme assez
similaire pour son tra
c asynchrone.
B. Modele RdPTS d'une station
Ce modele est represente a la gure 5. A
n de permettre
une description generale on n'a pas de places marquees
exceptee la place P9 qui represente le fonctionnement de
la temporisation TRT. Ce modele:
reprend sur toute sa partie droite le mod
ele de la gure 3
(places P1 a P7 et transitions t1 a t7) avec les modi
cations
suivantes: La transition t2 qui represente la temporisation
THT, a la distribution temporelle (x ; k), k representant
la valeur qui lui est attribuee lorsque le jeton arrive la
transition t6 a la distribution temporelle (x ; dm), dm
etant la duree d'un message de donnee
repr
esente sur sa partie gauche les mecanismes inherents
a la temporisation TRT: la place P9 represente le fonctionnement de TRT , la transition t9 represente la temporisation TRT , la place P10 represente la condition (TRT
expiree)
fait appara^tre le passage de la dur
ee residuelle k de la
temporisation TRT a la temporisation THT. Ce passage
est represente par le symbole =)k .
Expliquons le fonctionnement de la partie gauche de ce
modele et le passage de la valeur residuelle k qui represente
la speci
cite de la technique de passage du jeton consideree.
Suite a la reception du jeton (P1 marquee) et en supposant
que le jeton est en avance (P9 marquee et P10 non marquee), on tire la transition t1 ce qui induit en un temps nul
la sequence des trois operations suivantes: (1) jeton mis
dans la place P2 ce qui sensibilise la transition t2 (THT)
et fait passer la duree residuelle k, associee a cet instant
la a la transition t9 (TRT), a la transition t2 (THT) (2)
jeton mis dans la place P8 ce qui induit la reinitialisation
de la transition t9 (TRT) (3) jeton mis dans la place P4
ce qui autorise la transmission de messages de donnees (s'il
y en a dans la place P6).
Notons que si le jeton a du retard, lors de son arrivee, la
temporisation TRT a expire et la place P10 est marquee,
ce qui emp^eche de tirer la transition t1 (a cause de l'arc
inhibiteur venant de la place P10) et induit le tir de la
transition t10 (d'ou reinitialisation de TRT et renvoi du
jeton a la station suivante).
C'est le passage de la duree k (qui n'est pas le m^eme a
chaque passage du jeton) de la transition t9 a la transition
t2 qui traduit la notion de ce que nous appelons attributs
temporels dynamiques et qui, par extension, nous fait appeler transition dynamique la transition t2. Ce mecanisme est implemente dans l'outil logiciel associe au modele
RdPTS, ce qui permet une modelisation tres lisible et bien
en ligne avec les speci
cations, ce que l'on ne peut pas faire
Réception
jeton
P1
P8
t8
TRT
P9
t9
P10
δ (x-TTRT)
THT
t1
k
P6
t7
P2
δ (x-k)
messages de données
dans la file d’attente
(Place P6)
t5
t2
P3
P4
P7
Droit d’accès
au support
t6
δ(x-dm)
t3
t10
P5
t4
Départ
jeton
Fig. 5. Mecanisme du jeton temporise avec duree de service variable
si on n'a pas ce concept de transition dynamique. En effet, sans ce dernier, la modelisation du comportement de
la station se ramenerait au modele de la gure 6 4] ou
l'on consideret deux temporisations (1 et 2) qui jouent (alternativement a chaque passage du jeton), le r^ole de TRT
et THT. Les transitions t4 et t7, qui representent repectivement les temporisations 1 et 2, recoivent lorsqu'elles
sont sensibilisees, la duree TTRT. Le module constitue des
places P9 P10 P11P12P 13 et des transitions t9 et t10
a ete de
ni precisemment pour piloter ce passage de r^ole
entre ces deux temporisations. Les autres transitions et
places ont leur homologue dans le modele de la gure 5.
Le modele de la gure 6 est bien plus complexe et moins
lisible que le modele de la gure 5.
Expliquons les points importants de son fonctionnement et
en particulier les r^oles alternatifs des temporisations 1 et 2.
Considerons les conditions initiales suivantes: (1) Le jeton
n'est pas arrive dans la station (il circule dans les autres
stations) (2) la temporisation 1 est activee (P4 marquee)
et represente la temporisation TRT (3) la place P10 est
marquee ce qui va permettre, a l'arrivee du jeton, de piloter l'alternance des r^oles des temporisations 1 et 2.
Lors de la reception du jeton (P1 marquee), le tir de t1
permet, d'une part, de donner l'autorisation d'acces au
support de transmission (P3 marquee) et d'autre part, de
faire conna^tre au module de pilotage, l'arrivee du jeton
(P9 marquee) ce qui entra^ne le tir de t9 et le marquage
de P12 (cette place guidera les operations de renvoi du jeton) et le marquage de P6 (temporisation 2 devient TRT
jusqu'a la prochaine arrivee du jeton). Deux cas de gure
se presentent:
le premier correspond a
la situation ou le jeton recu est en
avance (P4 marquee) et donc le temps restant associe a la
temporisation 1 est le THT qui peut donc ^etre utilise pour
envoyer des messages. Lorsqu'il n'y a plus de messages
a envoyer (t3 tiree) ou apres l'ecoulement du THT (P5
marquee ce qui induit le tir de t5), on renvoie le jeton (P8
marquee) et on marque la place P11. C'est le marquage de
cette place qui permettra, a la prochaine arrivee du jeton,
de faire jouer le r^ole de TRT a la temporisation 1 alors que
la temporisation 2 jouera le r^ole de THT ... et ainsi de
suite
Le second correspond a
la situation ou le jeton recu est
en retard (P5 marquee). La transition t5 sera alors immediatement tiree ce qui fera renvoyer le jeton (P8 marquee)
et fera marquer la place P11, comme precedemment.
C. Remarques
Les modeles des gures 5 et 6 font egalement para^tre
des transitions tr(id) : les transitions t9 et t2 de la gure
5 les transitions t4 et t7 de la gure 6.
A
n d'eviter des violations de protocole, il faut rendre ces
transitions tr(id) prioritaires par rapport a des transitions
tr(is):
gure 5: t9 (tr(id)) prioritaire par rapport t1 (tr(is)) (on
evite de charger THT avec un temps nul, ce qui ne sert a
rien) t2 (tr(id)) prioritaire par rapport a t5 (tr(is)) et t7
(tr(is)) (lorsque le THT est nul, on n'essaye pas de voir s'il
y des donnees a transmettre)
gure 6: t4(tr(id)) prioritaire par rapport a t3 (tr(is)) et
t12 (tr(is)) t7 (tr(id)) prioritaire par rapport a t6 (tr(is))
et t12 (tr(is)). Ces priorites traduisent le fait que lorsque
le THT est nul, on n'essaye pas de voir s'il y a des donnees a transmettre. De par sa structure, ce modele n'est
pas confronte au probleme du chargement de THT avec un
temps nul, comme c'etait le cas dans la gure 5.
Messages dans
file d’attente
(Place P2)
P2
t12
P14
Temporisation 1
Temporisation 2
δ(x- dm)
t2
P6
P4
accès au
support
δ(x-TTRT)
P5
P3
t4
t7
t1
t3
t6
δ(x-TTRT)
P7
P1
t5
Ré ception
jeton
P13
t10
t9
P10
P9
P11
Pilotage du passage de rôle
P12
t8
P8
t11
Départ jeton
Fig. 6. Mecanisme du jeton temporise avec duree de service variable sans la notion de transition dynamique
V. Conclusion
Ce papier presente deux nouvelles facilites oertes par
le modele RdPTS pour traiter des problemes poses par les
aspects temporels dans le comportement des systemes: (1)
le probleme de la consequence de l'ecoulement du temps
dans un contexte d'actions paralleles et de resolution du
parallelisme par l'entrelacement (apparition de transitions
immediates que nous appelons dynamiques par opposition
aux transitions immediates classiques que nous appelons
statiques concurrence entre ces deux types de transitions
immediates) (2) le probleme de l'impossibilite de speci
er initialement toutes les caracteristiques temporelles.
Le premier probleme est resolu par l'introduction du concept de priorites dynamiques (ceci nous a permis, en particulier, de resoudre des problemes de violation de protocoles). Le deuxieme probleme est resolu par l'introduction
du concept d'attributs temporels dynamiques, c'est-a-dire
des transitions heritent durant le fonctionnement (au vol)
d'attributs temporels d'autres transitions (ceci nous a permis de speci
er formellement de maniere tres lisible des
protocoles bases sur plusieurs temporisations). Ces deux
facilites et leur combinaison sont tres utiles pour l'etude
des systemes temps-reel. A notre connaissance, elles ne
sont pas disponibles dans d'autres modeles.
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