Les écoulements en charges en régime permanent

Transcription

Chapitre 2
Les écoulements en charges
en régime permanent
1 Contenu du chapitre
Dans un premier temps, ce chapitre définira les écoulements en charge puis fera un rappel des
principes de la mécanique des fluides qui s’appliquent aux écoulements en charge. On passera par
la suite les méthodes de calcul des écoulements dans le but essentiel d’en connaître les
caractéristiques hydrauliques. Pour ce faire, nous passerons en revue les moyen d’évaluer les
pertes de charge par frottement dans les conduites et dans divers composants tels que des coudes,
des jonctions ou des vannes.
Nous verrons ensuite comment établir la ligne de charge et la ligne piézométrique d’un circuit
hydraulique ce qui sera fort utile pour en calculer le comportement hydraulique. Nous étudierons
par la suite les cas des conduites en parallèle et en série. Enfin nous étudierons les méthodes de
calcul des réseaux de conduites.
2 Définitions
2.1 Écoulements en charge
Les écoulements en charge sont des écoulements confinés à l’intérieur d’un contenant, en général
une conduite. La pression à l’intérieur de ces écoulements peut être de beaucoup plus élevé que la
GCI 21429 - Systèmes hydrauliques
Les écoulements en charge en régime permanent
pression atmosphérique ou encore s’abaisser à des valeurs aussi faibles que la pression de vapeur
saturante. Même si la pression à l’intérieur de ce type d’écoulement peut atteindre la pression
atmosphérique, en aucun cas nous considérerons la présence de surface libre dans cette catégorie
d’écoulements.
2.2 Régime permanent
Dans ce chapitre, on considérera systématiquement que les diverses variables hydrauliques ne
varieront pas dans le temps. Nous analyserons donc des écoulements qui sont bien établis dans le
temps et s’il est nécessaire, par exemple, de considérer la conception d’un système hydraulique
pour plusieurs débits, on les considérera donc comme des situations indépendantes dans le temps.
2.3 Régimes d’écoulement
Selon la vitesse relative aux dimensions géométriques de l’écoulement on observe, à partir d’un
certain seuil l’apparition de fluctuations de la vitesse que l’on nomme turbulence. Le nombre de
Reynolds permet de déterminer si l’écoulement est laminaire (sans turbulence) ou turbulent. La
distinction entre les régimes turbulent et laminaire est importante dans la détermination du
frottement des parois sur l’écoulement. Dans le cas général, le nombre de Reynolds s’écrit :
Re =
VL
"
1
où :
V : vitesse moyenne de l’écoulement
L :longueur caractéristique de l’environnement de l’écoulement
ν : viscosité cinématique du fluide (de l’eau en hydraulique)
Dans le cas d’une conduite circulaire, on considère le diamètre intérieur de la conduite comme
longueur caractéristique, le nombre de Reynolds s’exprime donc ainsi :
Re =
VD
"
2
où :
D : diamètre intérieur de la conduite
2
La viscosité varie avec la température. À 15° C, ν = 1,15 × 10-6 m2/s alors à 20° C, elle baisse à
ν = 1,0 × 10-6 m2/s.
50
40
Vitesse [cm/s]
30
20
10
0
-10
-20
0
2
4
6
Temps [s]
8
10
12
Fig 1 – Composante de la vitesse mesurée au moyen d’un vélocimétre ADV (Acoustic Doppler
Velocimeter).
La figure 1.1 illustre le phénomène de la turbulence. Des mesures de la vitesse d’écoulement ont
été réalisées à un taux de 25 mesures par secondes. Pour chaque temps, on mesure les
composantes longitudinales et transversales (horizontale et verticale) de la vitesse instantanée.
L’appareil de mesure étant orienté dans le sens de l’écoulement, on observe en bleu une vitesse
de l’ordre de 30 cm/s alors que les composantes transversales sont en moyenne nulles. Si
l’écoulement avait été laminaire le graphique aurait présenté des lignes horizontales pour chaque
composante de la vitesse. Cet écoulement avait un nombre de Reynolds d’environ 37 500.
3
2.3.1 Régime laminaire
L’écoulement est laminaire, c’est-à-dire que sa vitesse ne présente pas de fluctuation, lorsque le
nombre de Reynolds des conduites circulaires est inférieur à 2500.
2.3.2 Régime turbulent
Pour un nombrée Reynolds supérieur à 2500, la turbulence commence à apparaître avant de
s’établir totalement. On verra, lors de l’étude du frottement en conduite que cette zone de régime
de transition entre le régime laminaire et le régime turbulent dépend des conditions de rugosité de
la paroi de la conduite.
3 Pertes de charge dans les conduites circulaires
La charge hydraulique fait référence à la quantité d’énergie potentielle, de pression et cinétique
dans un système hydraulique sous pression. Si on ne considère pas les pertes d’énergie causées
par le frottement, la charge disponible en tout point du système doit être constante. Cette situation
est traduite par l’équation de Bernoulli :
p
V2
+ z+
= H = constante
"
2g
3
où :
p : pression en un point du système, [F/L2]
z : élévation par rapport à une référence commune à tout le système, [L]
V : vitesse moyenne de l’écoulement, [L/T]
g : accélération gravitationnelle, [L/T2] (9,81 m/s2)
H : charge hydraulique exprimée en hauteur de liquide, [L]
γ : poids spécifique, [F/L3]
Si on considère que partie de l’énergie est dissipée par frottement entre deux points d’un système
en négligeant les pertes thermiques et mécaniques présentes aussi dans le principe de
conservation d’énergie vu en mécanique des fluides, on devra compléter le niveau de charge
perdue par une perte de charge. L’équation de Bernoulli avec pertes de charge s’écrit donc :
2
2
p1
V
p
V
+ z1 + 1 = 2 + z2 + 2 + #H1$2 = H = constante
"
2g
"
2g
où :
4
4
∆H1-2 : pression en un point du système, [L]
Les indices 1 et 2 font références à deux points dans le même système hydraulique.
En général, dans un système hydraulique, les pertes de charges ont deux causes :
•
les pertes de charge par frottement le long d’un tuyau appelées aussi pertes de charge
linéaires
•
les pertes de charge locales causées par des frottements dans des objets de géométrie
complexe comme des coudes, des robinets, des jonctions ou autre. On appelle aussi ce
type de perte : pertes de charge singulières.
3.1 Perte de charge par frottement
Les pertes de charge par frottement sont causées par l’interaction entre le fluide en déplacement
et la paroi de la conduite plus ou moins rugueuse.
3.1.1 Expression générale
3.1.1.1 Conduite de section circulaire
En utilisant les principes de l’analyse dimensionnelle, on peut écrire une expression générale pour
les conduites circulaires :
"H =
fL V 2
D 2g
5
où :
f : facteur de frottement, [sans dimension]
L : longueur de la conduite, [L]
D : diamètre intérieur de la conduite, [L]
V : vitesse moyenne de l’écoulement, [L/T]
g : accélération gravitationnelle, [L/T2] (9,81 m/s2)
Le facteur de frottement dépend du niveau de turbulence de l’écoulement, donc du nombre de
Reynolds et de la rugosité relative des parois de la conduite.
La perte de charge par frottement peut aussi s’écrire en fonction du débit puisque :
5
"D2
Q = AV et A =
4
Ainsi on obtient :
!
!
8 fL
"H = 2 5 Q2
# gD
6
3.1.1.2 Conduite de section quelconque
En basant !
sur la définition du rayon hydraulique Rh comme étant le rapport de l’aire de la section
d’écoulement A sur le périmètre mouillé P :
Rh =
A
P
"D2
D
"D = , d’où D = 4Rh . En introduisant D dans
4
4
l’expression 5, on obtient une expression applicable à une conduite de section quelconque :
Dans le cas d’une conduite circulaire Rh =
!
"H =
fL V 2
fL 2
=
V
4Rh 2g 8gRh
!
!
5a
Ou encore en fonction du débit :
!
"H =
fL
Q2
128# 2 gRh5
6a
3.1.2 Rugosité relative
!
La rugosité ε/D relative est le rapport des hauteurs moyennes d’aspérités ε de la paroi de la
conduite sur le diamètre D de cette conduite . Selon les matériaux utilisés pour fabriquer le tuyau,
les aspérités sont plus ou moins importantes. Lorsque que la taille des aspérités est inférieure à la
hauteur de couche limite laminaire, elles n’ont plus d’effet sur le frottement, on dit alors que le
tuyau est lisse. Dans le cas contraire, on a affaire à un tuyau rugueux.
3.1.3 Détermination du facteur de frottement
Deux méthodes principales sont utilisées pour déterminer le facteur de frottement :
•
L’utilisation du diagramme de Moody
6
•
Le calcul par la méthode de White-Colebrook
La première méthode est simple, rapide et peu précise. La seconde est plus compliquée mais elle
permet l’évaluation du facteur de frottement dans des méthodes de calcul utilisant des moyens
électroniques.
3.1.3.1 Diagramme de Moody
Le diagramme de Moody permet d’évaluer graphiquement le facteur de frottement f en fonction
de la vitesse d’écoulement moyenne V, du diamètre D et de la rugosité ε de la conduite et de la
viscosité du fluide ν. Ces quatre variables sont regroupées en deux nombres adimensionnels :
•
La rugosité relative "
•
Le nombre de Reynolds Re =
D
VD
"
On détermine alors le régime d’écoulement. Si le régime est laminaire alors :
f =
64
Re
Si le régime est turbulent, on choisit le point d’intersection de la courbe correspondant au " D de
la conduite et au nombre de Reynolds. On projète ensuite ce point sur l’ordonnée de gauche du
diagramme pour estimer f.
3.1.3.2 Formule de White-Colebrook
La formule de White-Colebrook est utilisée pour calculer la partie turbulente du diagramme de
Moody :
$ # D 2,51 '
))
= "2,0log10 &&
+
f
% 3,7 Re f (
1
7
Cette formule implicite peut-être résolue au moyen d’une méthode de Newton-Raphson .
!
7
Une application en Javascript est disponible sur le site du cours.
8
Fig 2 – Diagramme de Moody
9
3.2 Pertes de charges locales
Les pertes de charges locales sont causées par les frottements et les décollements de la couche
limite dans des accessoires tels que des coudes, des raccords, des té, des réductions ou
expansions, des clapets, des robinets-vannes, etc. Chaque accessoire possède un coefficient,
déterminé expérimentalement par le fabricant, qui dépend essentiellement de sa forme et de son
matériau. La perte causée par un des accessoires s’écrit :
"H = CL
V2
2g
8
Lorsque la géométrie de la pièce comporte une entrée et une sortie de section différente, les
vitesses d’entrée
et de sortie sont différentes. Il est important de connaître par rapport à laquelle
!
de ces deux vitesses le coefficient CL est associé.
On peut aussi exprimer cette perte de charge en fonction du débit :
"H =
CL 2
Q
2gA2
9
Pour des sections circulaires, cela devient :
!
8CL
"H = 2 4 Q2
# gD
10
Ici encore, il faut savoir à quelle section est associé CL si elles sont différentes.
!
On trouvera dans « A brief introduction to fluid mechanics » de Young et al., à la section 8.4.2
plusieurs exemples de valeurs de ce coefficient.
4 Diagramme d’énergie
4.1 Principes
La ligne d’énergie est utilisée pour connaître la répartition des énergies potentielle, de pression,
cinétique ainsi que les pertes et les gains d’énergie le long d’un circuit hydraulique. L’énergie
totale est définie par l’équation de Bernoulli :
10
p
V2
E= + z+
± #H
"
2g
7
ΔH est soit une perte d’énergie (positif) ou un gain d’énergie (négatif) apporté en général par une
pompe.
On trace le long du circuit à chaque point du trajet l’altitude z, la pression p " , l’énergie de
vitesse V 2 2g et le niveau de pertes accumulé.
4.2 Exemples
Ce qui suit présente quelques exemples de difficulté croissante pour mieux comprendre comment
tracer systématiquement les diagrammes d’énergie.
V2
2g
"H
P
!
ligne
ligne
d'én
ergie
piéz
omé
triqu
e
V2
2g
P
!
A
z
B
!
Fig 3 – Conduite de diamètre constant entre deux réservoirs.
11
z
V2
2g
ligne
P
!
ligne
"H
d'én
ergi
e
piéz
omé
triqu
V2
2g
e
P
!
A
z
B
z
Fig 4 – Conduites de diamètres différents entre deux réservoirs avec perte de charge locale à la
restriction.
V2
2g
ligne
d'én
ergi
e
"H
V2
2g
ligne
P
!
piéz
omé
triqu
e
P
!
z
A
B
z
Fig 5 – Réduction de diamètres de conduite entre deux réservoirs avec pertes de charge locales
aux changements de diamètre.
12
V2
2g
ligne d'énergie
ligne piézométrique
P
!
"H
V2
2g
P
!
z
z
Fig 6 – Conduite et robinet-vanne entre deux réservoirs.
ligne d
'énerg
ie
V2
2g
P
!
"H
ligne
p
iézom
étriqu
e
V2
2g
z
z
Fig 7 – Conduite entre un réservoir et une sortie à l’air libre.
13
V2
2g
!
p
"
HA
HB
!
B
!
!
z
A
!
Fig 8 – Conduites et coudes entre deux réservoirs
V2
2g
#HB$C
!
!
HC $ HA
p
"
!
V2
2g
HC
#HA$B
p
"
!
!
!
HA
z
A
!
!
Pompe
!
! et pompe entre deux réservoirs
Fig 9 – Conduites
14
C
4.3 Calculs hydrauliques
Dans les exemples précédents, il faut calculer les pertes de charge et le débits pour pouvoir
évaluer les pressions ainsi que les énergies cinétiques
4.3.1 Conduite de diamètre constant entre deux réservoirs
Dans cette configuration, on peut évaluer le débit qui passe d’un réservoir à l’autre en utilisant
l’équation de Bernoulli (eq.3). Sachant que la charge dans le réservoir du côté A est :
EA =
PA
V2
+ zA + A = H A
"
2g
et que, pareillement pour le côté B :
!
PB
VB2
EB =
+ zB +
= HB
"
2g
en tenant compte des pertes de charge, on obtient :
!
H A ! HB = "H
La perte de charge totale étant causée par le frottement dans la conduite si on néglige les pertes
locales aux entrée et sortie des réservoirs, donc :
"H =
fL V 2
8 fL
= 2 5 Q2
D 2g # gD
La perte de charge totale étant égale à la différence de niveau entre les réservoirs, seul le débit est
inconnu : !
Q="
g ( H A # HB )
8
fL
D5
4.3.2 Conduites de diamètres différents entre deux réservoirs avec perte
de charge locale à la restriction
!
Deux aspects sont à considérer :
15
•
Le même débit traverse les deux conduites.
•
La perte de charge totale est égale à la différence de niveau entre les réservoirs et elle est
composée de la perte par frottement dans la première conduite de longueur L1 et diamètre
D1, de la perte par frottement dans la deuxième conduite de longueur L2 et diamètre D2 et
de la perte singulière dans le rétrécissement
On peut donc écrire :
"H =
8 $ f L1 f L2 CL ' 2
&
+
+ 4 )) Q
5
# 2 g &% D15
D2
D2 (
d’où :
!
Q="
g ( H A # HB )
$fL fL
CL '
2
)
8 && 51 +
+
5
4)
D
D
D
% 1
2
2 (
4.3.3 Réduction de diamètres de conduite entre deux réservoirs avec
pertes de charge locales aux changements de diamètre
!
En raisonnant de la même façon que précédemment, on trouve :
8 $ f L1 f L2 f L3 CL1 CL2 ' 2
"H = 2 && 5 +
+
+ 4 + 4 )) Q
5
5
# g % D1
D2
D3
D2
D3 (
d’où :
!
"
Q= 2
D
g ( H A # HB )
$ f L f L2 f L3
'
8& 1 +
+
+ CL2 + CL3 )
D2
D3
% D1
(
!
4.3.4 Conduite et robinet-vanne entre deux réservoirs
Dans un robinet – vanne, le coefficient de perte de charge locale CL varie de près de zéro à
l’infini, d’où :
16
Q="
g ( H A # HB )
$fL C '
8 & 5 + L4 )
D (
%D
4.3.5 Conduite entre un réservoir et une sortie à l’air libre
Ici puisque!l’écoulement sort en B à la pression atmosphérique, PB = 0 et VB est inconnu (comme
on n’arrive pas dans un réservoir dont le niveau est connu, le niveau de charge nette est inconnu).
On écrit alors :
#
V2&
H A " % zB + B ( = )H
2g '
$
En posant :
Q2
V = 2
A
!
2
avec, pour une conduite circulaire :
" D2
A=
4
!
Il vient :
!
8 $
f L' 2
H A " zB = 2
1+
&
)Q
D (
# g D4 %
finalement :
!
g ( H A # zB )
Q="D
$
f L'
8 &1+
)
D (
%
4.3.6 Conduites et coudes entre deux réservoirs
!
Ici on considère
le diamètre constant et on regroupe en L toutes les longueurs de conduites. On
obtient alors, en raisonnant comme précédemment :
17
Q=
"
D2
g ( H A # HB )
$fL
'
8&
+ CL1 + CL2 )
% D
(
4.3.7 Conduites et pompe entre deux réservoirs
La pompe!apporte un supplément d’énergie que l’on peut voir comme une perte de charge
négative. En écrivant l’équation de Bernoulli aux deux réservoirs, il vient :
PA
V2 P
V2
+ z A + A = B + zB + B + #H AB $ #H P + #H BC
" 23 {
2g 1
" 23 {
2g
1
HA
0
0
HB
En simplifiant, on obtient :
!
fL V 2
"H = H A # H B =
D 2g
# "H P +
AB
fL V 2
D 2g
BC
Le gain de charge ΔHP varie en fonction du débit selon une courbe décroissante dont l’allure est
donnée à la
! figure 10.
!HP
H0
Q
Fig. 10 – Courbe de pompe.
En général, on approxime la courbe de pompe par une fonction parabolique du type :
"H P = H0 + BQ + CQ2
18
!
En regroupant les longueurs de conduites si elles sont de mêmes diamètres, on écrit :
"H = H A # H B =
8 fL 2
Q # H0 + BQ + CQ2 = RQ2 # H0 + BQ + CQ2
2
5
$ gD
(
)
(
)
En regroupant les facteurs, on obtient le polynôme quadratique suivant :
( R " C)Q
!
" BQ " ( H0 + H A " H B ) = 0
2
dont la solution est :
Q=
!
B ± B2 + 4( R " c)( H0 + H A " H B )
2( R " C )
Il faudra, bien entendu, choisir la solution physiquement acceptable, c’est-à-dire celle qui
correspond!à un point sur la courbe de pompe.
5 Principes de base du calcul de systèmes hydrauliques
complexes
Des exemples précédents, on constate que :
•
le débit entrant dans un réservoir est le même que celui qui en sort ainsi que celui qui
coule dans la conduite qui relie les deux réservoirs;
•
l’équilibre de l’écoulement, c’est-à-dire le régime permanent, est atteint lorsque la perte
de charge devient égale à la charge hydraulique disponible.
La première constatation découle du principe de conservation de la masse pour un fluide
incompressible, ce que nous appellerons un principe de continuité des débits.
La seconde constatation provient du principe général de conservation de l’énergie qui stipule que
l’énergie perdue ou consommée doit être égale à l’énergie disponible.
5.1 Mise en situation
Nous verrons ici comment appliquer ces deux principes pour analyser des systèmes plus
complexes que les précédents.
19
Considérons l’exemple suivant :
Q v1
2
zv1
Q2
HR
1
QR
3
Q1
Q v2
Q3
zv2
Fig. 11 – Écoulement en conduites vers deux vannes.
Examinons le principe de continuité; le débit sortant du réservoir se sépare en deux débits, pas
nécessairement égaux, au niveau de la bifurcation. Comme il y a continuité des débits, il faut
que :
QR = Qv1 + Qv2
ou encore :
!
QR " Qv1 " Qv2 = 0
Nous avons ici trois inconnues car les débits vont dépendre de la hauteur d’eau dans le réservoir
! élévations des vannes.
ainsi que des
Voyons le principe de conservation de l’énergie; en régime permanent, on doit avoir équilibre
entre les pertes de charge et la charge disponible. En utilisant l’équation d’énergie de Bernoulli,
écrivons deux relations entre le réservoir et les sorties aux vannes que nous considérerons
ouvertes à 100% et en négligeant les pertes de charge locales :
pR
V2 p
V2
+ zR + R = v1 + zv1 + v1 + #H R1
" 24
2g {
"
2g
1
4
3 {
0
HR
0
20
!
pR
VR2 pv2
Vv22
+ zR +
=
+ zv2 +
+ #H R 2
" 24
2g {
"
2g
1
4
3 {
0
HR
0
où ΔHR1 et ΔHR2 sont les pertes de charges accumulées respectivement du réservoir jusqu’à la
vanne 1 et!du réservoir jusqu’à la vanne 2. En simplifiant on obtient :
H R " zv1 =
Vv12
+ #H R1
2g
H R " zv2 =
Vv22
+ #H R 2
2g
Exprimons maintenant les termes d’énergie cinétique et les pertes en fonction des débits Q1, Q2 et
!
Q3 :
H R " zv1 =
8 fL1 2 8 fL2 2
8
Q + 2 5 Q2 + 2 4 Q22
2
5 1
# gD1
# gD2
# gD2
H R " zv2 =
8 fL1 2 8 fL3 2
8
Q + 2 5 Q3 + 2 4 Q32
2
5 1
# gD1
# gD3
# gD3
Finalement, en regroupant les facteurs de Q1, Q2 et Q3, on obtient :
!
H R " zv1 = R1Q12 + R2Q22
H R " zv2 = R1Q12 + R3Q32
où R1 =
!
8 fL1
8 # fL2 &
8 # fL3 &
,
et
R
=
+
1
R
=
+ 1( .
%
(
%
2
3
" 2 gD15
" 2 gD24 $ D2 '
" 2 gD34 $ D3 '
!
De façon générale, les résistances Ri peuvent inclure, outre les effets du frottement sur la paroi de
!
! localement et associées au débit Qi, soit :
la conduite,
les résistances causées
%
(
'
*
8
fLi
Ri = 2 4 '
1{
+ $ CL
+
*
123
D
" gDi ' sortie à l#air libre
i
*
{
pertes locales
&
pertes par frottement )
Nous obtenons donc, grâce à l’application du principe de continuité des débits et de la
!
conservation de l’énergie un système de trois équations à trois inconnues :
21
Q1 " Q2 " Q3 = 0
R1Q12 + R2Q22 = H R " zv1
R1Q12 + R3Q32 = H R " zv2
Ce système d’équations est non linéaire et il n’est pas possible de le résoudre tel quel. Pour
! solution, il est nécessaire de le linéariser puis d’utiliser une méthode itérative.
obtenir une
Il est important ici de conserver le signe du débit en appliquant la relation suivante :
RiQi2 = Ri Q0i Qi
Les étapes de cette méthode sont :
!
1) Choisir une solution initiale Q0i quelconque, soit ici Q01, Q02 et Q03.
2) Écrire le système linéarisé :
Q1 " Q2 " Q3 = 0
R1 Q01 Q1 + R2 Q02 Q2 = H R " zv1
R1 Q01 Q1 + R3 Q03 Q3 = H R " zv2
3) Résoudre pour trouver une estimation de Q1, Q2 et Q3.
!
4) Calculer une norme de convergence, par exemple # Qi " Q0i
5) Comparer la norme avec une précision acceptable, si elle est atteinte on arrête sinon on
!
continue à l’étape suivante :
6) Calculer de nouvelles valeurs de Q01, Q02 et Q03 en faisant la moyenne des valeurs des
deux ensembles précédents : Q0i = (Q0i + Qi ) 2
7) Retourner à l’étape 2)
!
Une feuille Excel, disponible sur le site du cours, illustre cette méthode.
22
À partir de cet exemple, on constate que l’application de la continuité des débits et l’équilibre des
pertes de charge avec les différences de charge disponible permet de décrire complètement le
comportement du système hydraulique sous pression.
Voyons encore deux exemples :
B
2
A
1
3
C
Continuité à la jonction
Q1 " Q2 " Q3 = 0
Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers B et de A
vers C.
!
H A " H B = R1Q12 + R2Q22
H A " HC = R1Q12 + R3Q32
Ce n’est pas la seule façon de voir le problème, si les sens des débits sont différents, il faut en
! dans l’écriture des équations de continuité et d’équilibre des pertes de charge :
tenir compte
23
B
2
A
1
C
3
Q1 + Q2 " Q3 = 0
Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers C et de B
vers C.
!
H A " HC = R1Q12 + R3Q32
H B " HC = R2Q22 + R3Q32
Voici un exemple où l’on introduit les débits entrant et sortant des réservoirs comme inconnues
!
en plus des débits dans les conduites :
A
B
1
3
2
C
24
QA " Q1 " Q2 = 0
QB + Q1 " Q3 = 0
Q2 + Q3 " QC = 0
Équilibre entre les pertes de charge et les différences de charge disponibles de A vers B, de B
! A vers C :
vers C et de
H A " H B = R1Q12
H B " HC = R3Q32
H A " HC = R2Q22
5.2 Formulation générale
!
Voici les définitions et les règles à appliquer à l’analyse d’un circuit hydraulique :
1) Dans un circuit hydraulique, les points de jonctions sont appelés NŒUDS.
2) On établi des liens entre les différentes charges connues dans le circuit (niveau de
réservoir) de façon à pouvoir exprimer une différence de charge sur ces liens. Si R est le
nombre de réservoirs, le nombre de liens sera R-1.
3) On définit comme MAILLES, les circuits fermés du système, y compris ceux formés par
les liens entre les réservoirs
4) On écrit pour chaque nœud la continuité.des débits en tenant compte du signe des débits
aux nœuds :
#"
N
N = i, j, kK
QN = 0
N est le numéro des débits connectés à un nœud et ε représente le signe du débit et vaut –1
!
ou 1.
La convention de signe peut être :
25
+
-
-
et doit être conservée pour tous les noeuds
5) Pour chaque maille, on exprime la conservation de l’énergie en faisant la somme
algébrique (positif dans le sens du débit et négatif en sens inverse) tel que :
$"
M
M = i, j, kK
#H M = 0
M est le numéro des débits le long du parcours de la maille et ε représente le signe du
! –1 ou 1.
débit et vaut
La convention de signe peut être :
-
+
+
et doit être conservée pour tous les nœuds.
6) Dans les équations de mailles, on remplace les pertes de charge par une fonction du débit,
pour les conduites, on écrit :
7) "H i = RiQi2
8) On vérifie que l’on a autant d’inconnues que d’équations. Si on a trop d’équations, en
! qu’il y a une équation de continuité redondante. Il suffit d’en éliminer une.
général, c’est
26
9) On applique une méthode de résolution itérative.
EXEMPLE :
III
1
B
A
I
3
4
2
II
5
C
D
Continuité des débits aux nœuds :
Nœuds
Équations
A
QA " Q1 " Q2 = 0
B
Q1 " Q3 " Q4 = 0
C
Q2 + Q3 " Q5 = 0
!
Q4 + Q5 " QD = 0
!
D
Équilibre des pertes de charge sur!les mailles :
Mailles
!
Équations
I
"#H1 + #H2 " #H3 = 0
II
"H3 # "H 4 + "H5 = 0
III
"H1 + "H!
4 # ( H A # HD ) = 0
!
!
27
Les équations sur les mailles peuvent s’écrire en fonction du débit en introduisant la relation qui
relie le débit à la perte de charge :
Mailles
Équations
I
"R1Q12 + R2Q22 " R3Q32 = 0
II
R3Q32 " R4Q42 + R5Q52 = 0
III
2
R1Q12 + R4Q
!4 " ( H A " H D ) = 0
!
Ici nous avons 7 inconnues et 7 équations.
!
5.3 Vérification du nombre d’équations
Pour un réseau maillé uniquement composé de conduites, il existe une relation, issue de la théorie
des graphes, qui permet de déterminer rigoureusement le nombre d’équations nécessaires et
suffisant pour résoudre le système. Cette relation s’écrit :
C = M + N "1
8
où :
C =!nombre de conduites (ou d’éléments hydrauliques entre deux nœuds)
M = nombre de mailles (boucles fermées)
N = nombre de nœuds (points de jonctions)
Dans la théorie des graphes, C est appelé « nombre cyclomatique » et sa définition n’est valide
que pour un graphe plan.
On peut donc écrire, un système de N - 1 équations de nœuds et M équations de mailles pour
calculer les C débits des conduites.
Dans l’exemple précédent, si on élimine les réservoirs ainsi que le lien entre ces derniers, il
subsiste 4 nœuds et 2 mailles, on a donc 4 + 2 – 1 = 5 conduites.
Si le réseau contient d’autres éléments (réservoirs, pompes, surpresseurs, réducteurs de pression,
clapets, etc.) chaque élément doivent comporter deux nœuds. Ainsi, l’exemple précédent peut se
redessiner ainsi :
28
Nous observons 3 mailles et 6 nœuds le système comporte donc 8 éléments répartis comme suit :
cinq conduites avec une relation perte de charge – débit "H i = RiQi2
deux réservoirs avec une relation perte de charge – débit "H i = 0 . Les réservoirs
! nul (nœud de tête)
transforment du volume en débit ils comportent donc un nœud de débit
et un nœud de débit entrant ou sortant du réservoir (nœud de queue). Le nœud de tête doit
!
être connecté un lien piézométrique et le nœud de queue doit être connecté aux conduites.
un lien piézométrique avec une relation perte de charge "H i = H j # H k , où Hj est la
charge du nœud d’origine du lien et Hk est la charge du nœud d’extrémité du lien. Il n’y a
pas de débit dans ce lien.
!
Ainsi la mise en équations pourra s’écrire :
Continuité des débits aux nœuds :
Nœuds
Équations
A
Q8 " Q1 " Q2 = 0
B
Q1 " Q3 " Q4 = 0
C
Q2 + Q3 " Q5 = 0
!
!
!
29
D
Q4 + Q5 " Q6 = 0
E
Q7 = 0
F
Q7 = 0
!
Équilibre des pertes de charge sur!les mailles :
Mailles
Équations!
I
"#H1 + #H2 " #H3 = 0
II
"H3 # "H 4 + "H5 = 0
III
"H1 + "H!
4 # "H
{6 # ( H A # H D ) + "H
{8 = 0
0
0
!
5.4 Antennes et réseaux ramifiés
!
Une antenne est une branche d’un réseau dont un des nœuds n’est pas connecté. Le débit doit être
connu à ce nœud. Si ce nœud est une sortie à l’air libre, ce ne peut pas être considéré comme
l’extrémité d’une antenne mais plutôt une connexion à un réservoir dont la hauteur piézométrique
est égal à l’élévation de la sortie. Ce réservoir doit être connecté à un autre par un lien
piézométrique.
Un réseau ramifié est un réseau dont chaque nœud n’est connecté qu’à deux éléments et se
terminant par des antennes. Il ne comporte pas de mailles et seules les équations de nœuds
(continuité) sont utilisées pour le calculer.
5.5 Méthode de résolutions
Ici on présentera deux méthodes de résolutions couramment utilisées dans les logiciels de calcul
hydraulique, soit les méthodes directes et la méthode matricielle par mailles.
5.5.1 Méthodes directes
5.5.1.1 Méthode des débits
Cette méthode est assez simple en ce qui concerne la mise en équations. En effet, il suffit d’écrire
autant d’équations conservation de débit ou d’énergie qu’il y a de débits dans les éléments du
réseau.
30
Dans un réseau maillé, on peut écrire la relation :
C = M + N !1
On peut donc écrire, un système de N - 1 équations de nœuds et M équations de mailles pour
calculer des C débits:
*
"1,1
,
,
,
M
,
, "
N #1,1
,
,$
n#1 '
, &%"R Q )(
1,1
,
,
M
,
n#1 '
,$&
)
"
R
Q
,+%
( M ,1
•
L
L
L
L
/
/
/0 Q1 4 0 q1 4
M
/2 M 2 2 M 2
2
/2 2 2
" N ,C
2
2
2
2
M
q
/
N #1
=
1
5
1
5
/ M
n#1 '
$&
h
"R Q ) /2 2 2 1 2
%
(1,C 2 2 2
M 2
/ M
2
2
2
2
/ Q
M
hM 6
3
3
C6
/
n#1 '
$&
/
"R Q ) /
%
( M ,C .
"1,C
9
Les N-1 premières lignes de la matrice contiennent les signes εi,j relatifs au iième nœud et à
la j!ième conduite. Pour les conduites non connectées à un nœud, ε est nul.
•
n"1
#
Les M dernières lignes de la matrice contiennent les termes signés $ ! R Q %& relatifs à
i, j
la iième maille et à la jième conduite. Pour les conduites non participantes à une maille, ε est
nul.
•
Les débits de consommation imposés aux nœuds qi sont placés dans la première partie du
membre de droite.
•
Les pertes et gains de charge constants hi attribués à la présence de réservoirs ou de
pompes sont placés dans la dernière partie du membre de droite.
•
La seconde partie de la matrice contient des débits qui ne sont pas encore connus. On les
remplace par des débits quelconques Q0 qui sont sans rapport avec la loi des nœuds. On
calcule alors une première estimation du débit Q avec ces débits Q0 arbitraires puis on
améliore la solution en procédant à des itérations.
31
Pour améliorer la convergence, chaque Q0 pour l'itération suivante se calcule comme la
•
moyenne du débit Q calculé à l’itération précédente et du débit Q0 précédent.
Q0(i +1) =
Q(i ) + Q0(i)
2
Cette technique assure une convergence efficace mais relativement lente. Une autre technique de
résolution a donc été proposée. Elle est basée sur l’application de la méthode de Newton-Raphson
au système 5.18. Cette méthode a été programmé dans le logiciel CASH1. Les essais poursuivis
jusqu'à maintenant ont prouvé, hors de tout doute, la supériorité de la stabilité de ce schéma
numérique par rapport aux méthodes précédentes.
EXEMPLE
Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaque
conduite sont connus.
q2
1
q1
2
1
4
4
q4
5
q5
I
3
II
6
2
q3
3
5
Il n’est pas nécessaire de choisir des Q0 cohérents, il suffit de leur donner une valeur initiale
quelconque mais différente de zéro.
On utilise le système 9 pour construire la matrice et le membre de droite :
32
# "1
%
1
%
%
0
%
0
%
n"1
%"R1 Q0,1
%
0
%$
"1
0
0
"1
1
1
0
0
n"1
n"1
R2 Q0,2
"R3 Q0,3
0
R3 Q0,3
n"1
0
"1
0
1
0
"R4 Q0, 4
0
0
"1
0
0
n"1
R5 Q0,5
&) Q - ) (+ 1 + +"q1 +
(+Q2 + + q2 +
(+Q + + q +
(* 3 . = * 3 .
(+Q4 + + q4 +
(+Q + + 0 +
5
+ + +
n"1(+
Q
"R6 Q0,6 (', 6 / , 0 /
0
0
0
"1
0
n"1
On remplace les Q0,i par les moyennes des Qi et Q0,i précédent et on recommence jusqu’à ce que
les valeurs!du débit se stabilisent.
33
5.5.1.2 Méthode des charges
Cette méthode consiste à écrire un système d’équations composé des N équations de nœuds.
Comme il y a C débits inconnus dans ces équations, on remplace les débits par la relation qui
relie le débit à la perte de charge (éq. 5.8) dans laquelle on remplace explicitement la perte de
charge par la différence de deux charges nodales. On obtient donc N inconnues. Il n’est plus
possible, comme dans le cas précédent, de linéariser facilement le système et il est nécessaire
d’utiliser la méthode de Newton-Raphson.
Pour chaque nœud i, il faut alors écrire une équation de ce type :
$
&& # m Ki, N H i " H N
% N = j, k ,K
m"1
'
m"1
)) *H i " m Ki, j H i " H j *H j " m Ki, k H i " H k
(
$
'
m
= "&& #+ N Ki, N H i " H N + +i qi ))
% N = j, k ,K
(
m"1
*H k "K
Cette méthode converge bien, la principale difficulté de sa mise en œuvre surgit lors de
l’introduction
! d’éléments hydrauliques comme des pompes.
5.5.2 Méthode matricielle par mailles
C'est une méthode itérative matricielle qui permet de repartir sur l'ensemble du réseau les
corrections ∆Q pour obtenir l'équilibre des pertes de charge (loi des mailles) à partir de débits
initiaux Q0 choisis en fonction de la loi des nœuds.
•
On écrit le système d'équations non linéaires à partir de la loi des mailles auquel on
applique la méthode de Newton-Raphson (voir encadré théorique) pour chaque maille:
# ( nR
M
M = i, j,k K
)
Q0,n!1
M "QM = !
#$
M
M = i, j,k K
R M Q0n, M
10
M est l'indice des conduites participant à une maille.
•
On obtient donc autant d’équations qu’il y a de mailles et on a une inconnue par
conduite. Généralement le nombre de conduites est plus grand que le nombre de
34
mailles. Il est donc nécessaire, pour résoudre le problème, de réduire le nombre
d’inconnue.
•
Comme une conduite peut appartenir à au plus deux mailles, la réduction du nombre
d'inconnues se fait en sachant qu'une conduite participant à deux mailles subit les
corrections de chacune de ces mailles adjacentes :
!QM = !QA - !QB
•
11
Cela revient à faire un changement de variables dans lequel chaque correction de débit
appliquée à une conduite M est remplacée par la différence de corrections appliquées
aux mailles A et B communes à la conduite M. Si une conduite n’appartient qu’à une
maille, on lui attribue seulement la correction de cette maille. Le nombre d’inconnues
devient donc égal au nombre de mailles et la résolution est alors possible.
•
Par exemple, pour une maille A adjacente aux mailles B et C, la relation (5.11)
devient :
#
&
n!1
n!1
n
% " nRM Q0,n!1
(
M )QA ! nRAB Q0, AB ! nRA C Q0, A C = ! " * M RM Q0, M
$ M = i, j, kK
'
M = i, j, kK
•
Où les indices AB et AC réfèrent aux conduites communes respectivement aux mailles
A et B puis aux mailles A et C.
•
En pratique, le système est organisé sous forme matricielle, en tenant compte que les
sens des débits ne seront pas mis à jour et que le débit gardera son signe, de la façon
suivante :
n"1
*
nR
Q
#
0
,
, A
n"1
,"$& nR Q0 ')
( BA
, %
,
M
, $
n"1 '
,"&% nR Q0 )(
MA
+
•
!
n"1 '
n"1 '
n"1
$
$
1
5
"& nR Q0 )
L "& nR Q0 ) /
8 R Q0 Q0 3
#
3
%
( AB
%
( AM 1
/ 0QA 5 3 A
3
n"1
n"1
3
3
/
nR
Q
M
3
3
3
8
R
Q
Q
0Q
# 0
# 0 0 36 12
B
6 = "2 B
/2
B
3
/3 M 3 3
O
M
M
3
3
3
3
n"1
n"1 /40QM 7
8
R
Q
Q
#
L
L
nR
Q
3
0
03
# 0 /
4
7
M
.
M
On résout ce système pour obtenir le vecteur des corrections de débits.
35
•
On applique les corrections !Q de chaque maille aux débits des conduites constituant
la maille en tenant compte du signe :
QM = Q0, M + ! A "Q + ! A"Q
•
On remplace Q0 par Q et l’on continue d'appliquer le processus de correction jusqu'à
ce que la loi des mailles soit respectée avec une précision suffisante sur toutes les
mailles
36
EXEMPLE
Construisons le système matriciel en supposant que les coefficients de résistance R de chaque
conduite sont connus.
q2
1
2
1
q1
4
4
q4
5
q5
I
3
II
6
2
q3
3
5
Dans un premier temps, il faut calculer des débits initiaux satisfaisant la loi des nœuds :
Q0, 1 = q1 2
Q0, 2 = q1 2
Q0, 3 = q3 ! Q0, 2
Q0, 4 = Q0 ,1 ! Q0,3 ! q2
Q0, 5 = Q0, 2 + Q0, 3 ! q3
Q0, 6 = Q0, 4 ! q4
37
On utilise le système 12 pour construire la matrice et le membre de droite :
n"1
n"1 &
) #
,
n"1
+ % R1 Q0,1 + R2 Q0,2 (
.
"nR3 Q0,3
+n%
.
n"1
(
+ R3 Q0,3
+ $
.0 /QI 3
'
1
4=
n"1
n"1
+
#
&.2/QII 5
n"1
+
% R3 Q0,3 + R4 Q0, 4
(.
"nR
Q
n
3
0,3
+
n"1
n"1 (.
%
+*
$ + R5 Q0,5 + R6 Q0,6 '.n"1
n"1
n"1
0
3
"R1 Q0,1 Q0,1 + R2 Q0,2 Q0,2 " R3 Q0,3 Q0,3
6
6
"1
4
n"1
n"1
n"1
n"1
62 R3 Q0,3 Q0,3 " R4 Q0, 4 Q0, 4 + R5 Q0,5 Q0,5 " R6 Q0,6 Q0,6 65
On applique les corrections en tenant compte des signes :
!
Q1 = Q0 ,1 ! "QI
Q2 = Q0,2 + "QI
Q3 = Q0,3 ! "QI + "QII
Q4 = Q0, 4 ! "QII
Q5 = Q0,5 + "QII
Q6 = Q0,6 ! "QII
On remplace les Q0,i par les Qi et on recommence jusqu’à ce que le membre de droite s’approche
de zéro
38
Aspects théoriques des méthodes de résolution
Dans la méthode de correction par mailles, on désire que pour chaque maille, la somme
algébrique des pertes de charges s’annule :
"!
M
M = i, j,k K
hM = 0
On doit donc écrire M équations de ce type, avec M, le nombre de mailles du réseau.
Comme on connaît les C débits initiaux Q0 satisfaisant la loi des nœuds et la relation qui lie le
débit à la perte de charge, on peut écrire les M équations précédentes sous la forme suivante :
#!
M
M = i, j,k K
n
RM (Q0, M + ! M "QM ) = 0
Ce qui signifie que l’on doit déterminer les corrections !QM , pour chaque conduite qui doivent
être appliquées aux débits initiaux Q0 de telle sorte que l’ensemble de ces expressions s’annule.
Pour réussir à résoudre ce problème nous devons développer chaque équation en série de Taylor
en considérant qu’elles sont fonctions de plusieurs variables indépendantes, c’est-à-dire les
corrections de débit à appliquer à chaque conduite :
n
#!
RM (Q0, M + ! M "QM ) =
#!
RM (Q0, M + ! M "QM ) =
M
M = i, j,k K
M
M = i, j,k K
n
#!
RM Q0,n M +
#!
RM Q0,n M +
M
M = i, j, kK
M
M = i, j, kK
M
M = i, j,k K
)
Q0,n!1
M "QM = !
$#
M
M = i, j,k K
! M "QM ! M RM nQ0,n$1
M = 0
M =i, j,k K
39
)
#
M =i, j,k K
R M Q0n, M
(
! M "QM
Sachant que ! 2M = 1, on obtient finalement pour chaque maille :
$ ( nR
$
! M R M Q0n, M = 0
$Q0 , M
#
(
)

Les écoulements en charges en régime permanent

Transcription

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