suite de fibonacci

SUITE DE FIBONACCI
Pour tout n entier naturel :
(1) Fn + 2 = Fn +1 + Fn et F0= 0 , F1= 1.
1. CALCUL DES PREMIERS TERMES :
1. Utiliser le tableur pour calculer les 25 premiers termes de la suite de Fibonacci.
Calculer les rapports de deux temes consécutifs.
Dans les cellules du tableur, on rentrera les formules :
=Bn 1+Cn 1
A
=Bn+Cn
B
C
= Cn / Bn
D
Suite de Fibonacci
n
F(2k)
0
1
2
3
F(2k+1)
0
1
3
8
F(2k+1)/F(2k)
#DIV/0!
2
1,666666667
1,625
1
2
5
13
F2 n +1
?
F2 n
2. Comparer la suite (Fn) n ∈ N*, à la suite géométrique (un) n ∈ N*de raison q = 1,618 et de
premier terme u 1= 1, à l’aide du tableur .
Quelle conjecture peut-on faire sur les quotients successifs :
3 . On peut se demander s’il existe une suite géométrique qui vérifie la relation de récurrence
(1).
Montrer qu’alors, sa raison q est solution de l’équation : q²- q – 1 = 0
Trouver les solutions q1 et q2 de cette équation.
Monter qu’on peut trouver des réels a et b tels que le terme général de la suite de Fibonacci
n
n
vérifie : Fn = a .q1 + b.q2 pour tout n ∈ N
n
n
Réciproquement, vérifiez que la suite de terme général pour tout n ∈ N, Fn = a .q1 + b.q2 ,
avec les valeurs de a et b trouvées satisfait à la définition de la suite de Fibonacci.
4. Etudier : n lim + ∞ Fn .
2. SUITES ADJACENTES
1. Soit (Rn) n ∈ N* la suite des quotients :
Rn =
Fn +1
, calculés pour tout n ∈ N*.
Fn
1
x
2. A l’aide du tableur, extraire la suite des termes de rang pair : (Pn) n ∈ N* et la suite des
termes de rang impair : (In) n ∈ N* . Obtenir leurs représentations graphiques sur un même
schéma.
Montrer que : Rn +1 = f ( Rn ) où f ( x ) = 1 +
=SI(MOD(A5 ;2)=0 ;C5 ; "")
= SI(MOD(A5 ;2)=1 ;C5 ; "")
n
Fn
0
1
2
3
4
5
Fn/Fn-1
0
1
1 1,00000000000000
2 2,00000000000000
3 1,50000000000000
5 1,66666666666667
i
1
P(i)
k
I(k)
1
1
2
2
1,5
2 1,66666667
3. Démontrer que la suite des termes de rang pair est décroissante et que la suite des termes de
rang impair est croissante.
4. Démontrer que les deux suites sont des suites adjacentes . Conclure sur la convergence des
deux suites vers une limite l.
5. En déduire que la suite (Rn) n ∈ N* est convergente vers la même limite l à l’aide de la
définition d’une limite finie en +¶.
6. Calculer cette limite l , sachant que : Rn +1 = f ( Rn ) où f ( x ) = 1 +
1
.
x
Ce nombre l est appelé : Nombre d’Or .
REMARQUE : la notation habituelle pour ce nombre est la lettre Φ et :
1+ 5
Φ=
2