2 - Pompes et turbines11

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Pompes et turbines
Eléments de théorie
Cours de « Compléments d’Hydraulique »
3ème Bac Architectes & Constructions
ArGEnCo – MS²F - Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)
La pompe (ou turbine)
et la puissance hydraulique…
Historique de l’étude des pompes (turbines)
• Amener de l’eau d’un niveau donné à un
niveau supérieur…
• … « Produire de l’énergie » en mobilisant
l’écoulement
=> Egyptiens, romains, …
Turbomachines (résistance à l’avancement
mobilisée sans considérations physiques…)
=> Mécanique des Fluides « absente »…
Historique de l’étude des pompes (turbines)
• Euler (1754)
Mécanisme de transfert d’énergie entre fluide et
machine (parallélisme lois de Newton,
conservation du moment angulaire)
• Smeaton (1752)
Etude de modèles réduits
=> Début d’une approche scientifique dans la
conception des turbomachines
Pompes (ou turbines) « célèbres »
• Vis d’Archimède
• Pompes à eau potable
• Turbine Pelton
• Turbine Kaplan
• Turbine Francis
Etude qualitative des pompes
Accroissement d’énergie; origine & bilan
La pompe: fonctionnement qualitatif…
• Pompe, moteur, réservoir et tuyauterie…
La pompe: fonctionnement qualitatif…
Accroissement d’énergie mécanique par unité de poids
du fluide entre les sections d’entrée et de sortie de la
pompe
Origine de l’accroissement d’énergie…
• Entre A et B…
Utilisation de l’équation de Bernoulli (valide…)
• Entre A et E
• Entre S et B
H A = HE +
∑ ∆h
p U2
avec H =
+
+z
ρ g 2g
HS = HB +
∑ ∆h
• Entre A et B… => Σ
H A + HS = HE + HB +
H S − H E ) = ( H B − H A ) + ∑ ∆hAE + ∑ ∆hSB
(
 
Ht
H Hydr
AE


∆htuyau
SB
∑ ∆h
AE
+
∑ ∆h
SB
• Entre A et B…
Utilisation de l’équation de Bernoulli (valide…)
UA ≈ 0
UB ≈ 0
UE ≈ US
z E ≈ zS
pS − p E
Hauteur manométrique H t ≈
ρg
Hauteur hydraulique
H Hydr = H t −
∑ ∆h
réseau
Etapes…
–
–
–
–
(1) Fourniture d’énergie par le moteur
(2) accroissement dans la roue
(3) accroissement conséquent entre l’entrée (E) et la sortie (S)
(4) accroissement conséquent entre A et B
Hypothèses:
– Machine en régime
– Ecoulement permanent
Illustration sur une pompe centrifuge…
•
•
•
•
(1) distributeur (aubes ou pas)
(2) roue mobile (aubes)
(3) diffuseur (aubes ou pas)
(4) canal en volute
Aubes: guidage du fluide
=> imposent les trajectoires
• Entre l’entrée (E) et la sortie (S) de la pompe…
(→Hauteur manométrique)
•
Hauteur indiquée Hi
Ht = Hi −
∑ ∆h
ES
Fuites, chocs,
frottements,
recirculation,…
Origine de l’accroissement d’énergie… Synthèse
Pe
Pe, Puissance effective
Puissance fournie par le moteur
Pi
Pi (Hi), Puissance (Hauteur) indiquée
Puissance fournie au fluide par la roue mobile
Pt
Pt (Ht), Puissance (Hauteur) manométrique
Puissance fournie au fluide entre l’entrée et la
sortie de la pompe
Phyd
Phyd (Hhyd), Puissance (Hauteur) hydraulique
Puissance reçue effectivement par le fluide
Origine de l’accroissement d’énergie… Bilan énergétique
Pe
Rendement
effectif
Rendement
hydraulique de
l’installation
ηhyd =
Pt
ηe =
Pe
Pi
ρ gQH hyd
Pe
Rendement
tuyauterie
Phyd
ηtuy =
Pt
Rendement
mécanique
P
ηm = i
Pe
Rendement
indiqué
P
ηi = t
Pi
Pt
ηhyd = ηtuyηe
ηhyd = ηtuyηiηm
Phyd
Sortie du distributeur(en 1) – Entrée dans la roue
Sortie de la roue (en 2)
⇒Théorie nécessaire:
• Principe du « triangle de
vitesses »
• Loi d’Euler
Sortie du distributeur(en 1) – Entrée dans la roue
Sortie de la roue (en 2)
Principe du triangle des vitesses
On peut définir dans toute section de passage
une vitesse moyenne du fluide
  
• V dans le mouvement
U +W =
V
absolu
• W dans le mouvement
relatif
Direction
…avec U la vitesse
absolue
d’entrainement
(« réelle ») du
fluide
Direction
relative du
fluide (imposée
par les aubages)
Fonction uniquement de la
vitesse de rotation…
Vitesse « débitante »
=
Qm ρ=
Vm S ρVm (π dbk )
d : diamètre
b : épaisseur du tube de
courant
k : coefficient d’obstruction
lié à la présence des aubes
Loi d’Euler
Second principe : conservation de la quantité de mouvement


d
mV = Fext
dt
( )
(Loi de Newton)
Corolaire : conservation du moment angulaire :
Par multiplication vectorielle par le vecteur position (O point fixe)

d 
r × mV
dt
( ( ))
r

V


d
mV


dr

 
=r ×
+ × mV =r × Fext =C ext
dt  
dt


( )

Fext
m
0

d
 
mr × V =
Cext
dt
(
( )
)
(Loi d’Euler)
Loi d’Euler
Application à la veine fluide dans la roue…
d

dt
Rappel : Théorème de transport de Reynolds

Pour =L 

 
r Vdm



dL ∂Lsyst isole
=
+ Flux Lechanges bords
∂t
dt

V

dL
→ =
dt
)
∫ (
)(
)(
S
Machine en régime
Ecoulement permanent
)
   
ρ r × V V n dS
∫ (
  Vi  nidS
Hypothèses

 ∂Lsyst isole ∂
 
=
ρ r × V dV= 0

∂t
∂t

V



= 0 stationnaire


   
ρ r × V V n dS
 Flux Lechanges=
bords

S
∫ (

dV 
t
)
S
Loi d’Euler
Application à l’arbre de la pompe…
   
 
ρ r × V V n d =S Qr ,out r × V
∫ (
)(
)
S
= Qr
(
)out − Qr ,in (
 
r ×V
)in
( Qr
( ( rVθ )out − ( rVθ )in )
Puissance à l’arbre de la pompe…
(

dL 
Par =
ω
dt
= Qr ω ( rVθ )out − ( rVθ )in
(
= Qr (UVθ )out − (UVθ )in
Par
= ∆ (UVθ )
Qr
Travail échangé
par kilo de fluide
U la vitesse d’entrainement
VθComposante tangentielle
de la vitesse absolue
)
)
= Qroue )
Entrée dans la roue
Entrée impose direction
absolue… α1
d1 , r1 , b1 , k1
Composantes du triangle…
U1 = ω r1
Vm1 =
Qm
ρπ d1b1k1
Sortie de la roue
Aubes imposent direction
relative…
β2
d 2 , r2 , b2 , k2
Composantes du triangle…
U 2 = ω r2
Vm 2 =
Qm
ρπ d 2b2 k2
V1 , Vθ 1 = f (Vm1 , α1 )
W2 , Wθ 2 = f (Vm 2 , β 2 )
W=
θ 1 Vθ 1 − U1
V=
θ 2 Wθ 2 + U 2
 Wθ 1 
⇒ β1 =
Atan 

 Vm1 
 Vθ 2 
⇒ α2 =
Atan 

V
 m2 
Entrée dans la roue
Sortie de la roue
Puissance indiquée
Puissance fournie au fluide par la roue mobile
ρ Qr (U 2Vθ 2 − U1Vθ 1 )
Pi
Hauteur indiquée
Pi
1
=
Hi =
(U 2Vθ 2 − U1Vθ 1 )
ρ gQr g
V22
Hi =
− V12
2g
−
W22
− W12
2g
+
U 22
− U12
2g
Utilisation Δ
W12 = V12 + U12 − 2U1Vθ 1
W22 = V22 + U 22 − 2U 2Vθ 2
• Au final, dans la roue…
=
Hi
p2 − p1 V22 − V12
+
+ z2 − z1 +
ρg
2g
p − p1
⇒ 2
+ z2 − z1 +
ρg
∑ ∆h
12
(Bernoulli)
U 22 − U12 W22 − W12
=
∆h12
−
2g
2g
∑
Forces de Coriolis
Effet du
ralentissement du
fluide dans son
mouvement relatif
Etude analytique des pompes
Courbes de fonctionnement
Courbes caractéristiques de fonctionnement d’une pompe
Intérêt de l’utilisateur:
– Grandeurs hydrauliques (Q, Ht)
– Grandeurs mécaniques (Pe, ω)
… pour calculer
– Couple à l’arbre Ce = Pe ω
– Puissance énergétique totale
Pt
η
=
– Rendement effectif e
Pe
Pt = Q ρ gH t
Principes de conservations…
F ( Q, H t , ω ) = 0
G ( Q, Pe , ω ) = 0
… représentent des surfaces …
Pe = Pe ( Q, ω )
H t = H t ( Q, ω )
… qui, à vitesse de rotation constante, sont
appelées « courbes caractéristiques » de la
pompe
Pe = Pe ( Q )
Ht = Ht (Q )
Obtention des courbes caractéristiques?
– Loi d’Euler => modélisation du fonctionnement de
la pompe
– Mesures expérimentales des performances sur
une pompe en fonctionnement
Illustration 1: Modélisation des courbes
caractéristiques pour une pompe centrifuge
Illustration 2: Courbes caractéristiques
expérimentales
Courbes caractéristiques – Illustration 1
• Hauteur indiquée
Pi
1
Hi =
(U 2Vθ 2 − U1Vθ 1 )
Loi d’Euler=
ρ gQr g
1
=
(U 2V2 sin α 2 − U1V1 sin α1 )
g
Utilisation Δ
Conservation Q
Qr
2π k2 r2 b2 cos β 2
Q
Qr
V1
=
≈
2π k1r1b1 cos α1 2π k1r1b1 cos α1
β 2 connu
V2 sin α=
U 2 + W2 sin β 2
2
W2 =
(
)
1 2
Hi =
U 2 + U 2W2 sin β 2 − U1V1 sin α1
g
ω 2 r22 ω  tan β 2 tan α1 
Hi =
+ Qr 
−

g
g
2
π
k
b
2
π
k
b
2 2
1 1

• Hauteur indiquée
ω 2 r22
 tan β 2
tan α1 
Hi =
+ Qr 
−

g
g
 2π k2 b2 2π k1b1 
ω
H i= A + BQr
• Hauteur manométrique
Hi = Ht +
∑ ∆h
ES
• Hauteur manométrique
Débit dans la roue… Débit « réel »
H 't ( Q ) = H t ( Qr )
• Puissance indiquée
ρω 2 r22Qr
Pi =
Qr ρ gH i =
+
ρωQr2
 tan β 2
tan α1 
−


 2π k2 b2 2π k1b1 
• Courbes expérimentales
Fonctionnement d’une pompe
sur une installation
Point de fonctionnement d’une pompe sur une installation
• Pompe >< Installation...
– Hauteur manométrique d’une pompe par rapport à
l’installation
H t = H hyd +
∑ ∆h
tuy
– Fonctionnement de la pompe
Ht = F (Q )
Pt = G ( Q )
ηe = H ( Q )
• Pompe >< Installation...
– Système…
Ht =
F (Q )


H hyd +
t
 H=

∑
∆p
∆htuy
=
+ ∆z +
ρg
∑
ki Q 2
i
Point de fonctionnement P de
la pompe sur l’installation
• Association de pompes
Pompes
en série
Pompes en
parallèle
La cavitation
dans le cas particulier des pompes
Description du phénomène
• Pression varie en fonction de la vitesse
(Bernoulli)
U ↗ => p↘ - Valeur limite: tension de vapeur pv
⇒ apparition phase gazeuse
⇒ « bulles » de gaz emportées par l’écoulement
⇒ implosion des bulles lorsque la pression
redevient acceptable
Description du phénomène… Cas particulier des pompes
– Concerne zone d’aspiration (p la plus faible)
– Vitesse ↗ par l’entrainement du rotor
– Dégâts dans les zones
d’implosion des
bulles
Description du phénomène… Cas particulier des pompes
Baisse de pression…
– Générale
• Haspiration ↗
• patm ↘
• paspiration ↘
– Locale
• Vfluide ↗
• Décollement ou contraction des filets fluides
• Changement des directions des lignes de courant
Contrôle/Mesure de la pression minimale
• « Rêve »: mesure sur l’extrados
• paspiration…
Bernoulli entre E (entrée pompe) et 1 (entrée roue)
pmin = pE0 − ρ g
∑
U12
∆hE1 −ρ
2
pmin ≈ pE0
• Energie disponible
edisp
=
p − pv
ρ
U2
+
2
• NPSE (Net Positive Suction Energy)
 p U2
NPSE
=  +
2
ρ


edisp 0
• NPSH (Net Positive Suction Head)
NPSE
NPSH
=
=
g
 p U2 
+


 ρ g 2 g edisp 0
– [m]
– f(machine, vitesse de rotation, débit)
– Courbes du NPSH caractéristique
• Critère de début de cavitation
• Présence de bulles d’une certaine taille;
• Niveau de bruit;
• Perte d’énergie d’un certain pourcentage;
• Perte de matière;
•…
NPSHA
=
p − pv U 2
+
ρg
2g
• Coefficient critique de Thoma
NPSH
σ=
Ht
σ = kcr ns4 3
• Condition de non-cavitation
NPSHA ≥ NPSH
Rappel, Bernoulli
pmin ≈ pE
p A U A2
pE U E2
+
+ zA =
+
+ zE +
ρ g 2g
ρ g 2g
∑ ∆h
AE
pE − pv U E2
⇒ NPSHA =
+
ρg
2g
• pa
• hauteur géométrique
• pertes de charge
• température eau (→ pv)
p A − pv U A2
=
+
+ ( z A − zE ) −
ρg
2g
≥ NPSH
∑ ∆h
AE

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