Correction

Corrigé de la colle no 10
I
Simulation de VAR suivant des lois à densité usuelles
1
Loi uniforme sur [0; 1]
Exercice 1:
1. Program uniforme1 ;
var i :integer ; x :real ;
begin
randomize ;
for i :=1 to 100 do
begin
x :=random ;
write(x,’ ’) ;
end ;
end.
2. On remarque que le résultat est très difficile à lire à cause du fait que Pascal écrit les réels en écriture
scientifique. On aimerait surtout connaitre les 3 premiers chiffres après la virgule.
Deux solutions (parmi tant d’autres...)
– On multiplie x par 1000 et on ne demande d’afficher que sa partie entière :
– On utilise une fonction spécifique de turbo pascal : write(x :n :p) qui affiche le réel x en affichant
n caractères dont p après la virgule. Par exemple write(x :5 :3) affichera un nombre avec 3 chiffres
après la virgule et 1 avant.
3. – Program uniforme2 ;
var i :integer ; x :real ;
begin
randomize ;
for i :=1 to 100 do
begin
x :=random ;
write(trunc(1000*x),’ ’) ;
end ;
end.
– Program uniforme2bis ;
var i :integer ; x :real ;
begin
randomize ;
for i :=1 to 100 do
begin
x :=random ;
write(x :5 :3,’ ’) ;
end ;
end.
4. On a l’intuition que 50% des résultats devraient être inférieur à 0,5 qui est la moyenne. On peut
démontrer cela en remarquant que la question cherche à nous faire calculer P (X 6 0, 5) = F (0, 5).
Or on connait la fonction de répartition d’une loi uniforme et donc F (0, 5) = 0, 5.
Informatique
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Colle no 10 : corrigé
2
Loi uniforme sur [a; b]
Exercice 2:
1. On doit commencer par chercher la fonction de répartition de X. Notons F la fonction de répartition
de U et G celle de X.
x−a
Par définition G(x) = P (X 6 x) = P (a + (b − a)U 6 x) = P ((b − a)U 6 x − a) = P U 6
b−a
x−a
.
car b − a > 0. Donc G(x) = F
b−a


0 si t < 0
Or on sait que F (t) = t si 0 6 t 6 1 . Donc


1 si t > 1
x−a
< 0 alors G(x) = 0.
• Si
b−a
x−a
(On remarque que
< 0 ⇔ x − a < 0 ⇔ x < a)
b−a
x−a
x−a
6 1 alors G(x) =
• Si 0 6
b−a
b−a
x−a
(On remarque que 0 6
6 1 ⇔ 0 6 x − a 6 b − a ⇔ a 6 x 6 b)
b−a
x−a
> 1 alors G(x) = 1.
• Si
b−a
x−a
(On remarque que
> 1 ⇔ x − a > b − a ⇔ x > b)
b−a


0
si x < a

x − a
Donc on a G(x) =
si a 6 x 6 b .

b−a


1
si x > b
Ainsi X suit la loi uniforme sur [a; b].
2. Program uniforme3 ;
var i :integer ; x,a,b :real ;
begin
randomize ;
write(’Valeur de a : ’) ; readln(a) ;
write(’Valeur de b : ’) ; readln(b) ;
for i :=1 to 100 do
begin
x :=a+(b-a)*random ;
write(x :5 :3,’ ’) ;
end ;
end.
3. L’énoncé nous demande ici de calculer P (X 6 20) = G(20) =
résultats devraient être inférieurs ou égaux à 20.
Informatique
Page 2
20 − 10
= 0, 2. En théorie 20% des
60 − 10
Colle no 10 : corrigé
3
Loi exponentielle
Exercice 3:
1. On doit commencer par chercher la fonction de répartition de X. Notons F la fonction de répartition
de U et G celle de X.
1
Par définition G(x) = P (X 6 x) = P − ln(1 − U) 6 x = P (ln(1−U) > −ax) = P (1 − U > e−ax ) =
a
P (U 6 1 − e−ax ) . Donc G(x) = F (1 − e−ax )


0 si t < 0
Or on sait que F (t) = t si 0 6 t 6 1 . Donc


1 si t > 1
−ax
• Si 1 − e
< 0 alors G(x) = 0.
(On remarque que 1 − e−ax < 0 ⇔ e−ax > 1 ⇔ x < 0)
• Si 0 6 1 − e−ax 6 1 alors G(x) = 1 − e−ax
(On remarque que 0 6 1 − e−ax 6 1 ⇔ 0 6 e−ax 6 1 ⇔ e−ax 6 1 car e−ax > 0 est toujours vraie.
Donc on obtient −ax 6 0 ⇔ x > 0. )
• Si 1 − e−ax > 1 alors G(x) = 1.
Comme une exponentielle
est toujours positive ce cas ne peut jamais se produire ! ! !
(
0
si x < 0
.
−ax
1−e
si x > 0
Ainsi X suit la loi exponentielle de paramètre a.
Donc on a G(x) =
2. Program exponentiel ;
var i :integer ; x,a :real ;
begin
randomize ;
write(’Valeur de a : ’) ; readln(a) ;
for i :=1 to 100 do
begin
x :=-ln(1-random)/a ;
write(x :5 :3,’ ’) ;
end ;
end.
3. On doit ici calculer P (X 6 1) = G(1) = 1 − e−3 ≈ 0, 95. Donc en théorie 95% des résultats doivent
être inférieur ou égaux à 1.
4
Simulation d’une VAR suivant la loi N (0, 1)
Exercice 4:
1. On a E(Xn ) =
n
X
k=1
n
X
n
n
V (Yk ) = .
E(Yk ) = et comme les Yk sont indépendantes, V (Xn ) =
2
12
k=1
Xn − n/2
Donc Xn∗ = p
n/12
2. Il suffit ici d’appliquer le théorème de la limite centrée car les VAR (Yk ) sont indépendantes, de
même loi et admettent une variance non nulle.
Ainsi Xn∗ converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
Informatique
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Colle no 10 : corrigé
3. n > 30
4. Program normale ;
var x,y :real ; i,k :integer ;
begin
randomize ;
for i :=1 to 100 do
begin
y :=random ;
for k :=2 to 30 do y :=y+random ;
x :=(y-15)/sqrt(30/12) ;
write(x :6 :3,’ ’) ;
end ;
end.
5. On nous demande dans cette question de calculer P (X 6 1, 9) = Φ(1, 9) ≈ 0, 9713 ≈ 97%
II
Exercice 3 EDHEC 2008
1
est continue sur [0; +∞[. Donc le
(1 + x)2
problème d’intégration se pose uniquement en +∞. Soit A > 0 :
A
Z A
1
1
1
=1−
dx = −
2
1+x 0
1+A
0 (1 + x)
1. Comme 1 + x 6= 0 lorsque x ∈ [0; +∞[, la fonction x →
Z +∞
1
1
dx est convergente et
dx = 1.
2
(1 + x)
(1 + x)2
0
0
1
1
2. a) Pour tout x ∈ R, −x ∈ R et f (−x) =
=
= f (x). Donc f est bien une
2
2(1 + | − x|)
2(1 + |x|)2
fonction paire.
1
Comme lim 1 −
= 1, l’intégrale
A→+∞
1+A
Z
+∞
b) On remarque tout d’abord que f est bien une fonction à valeurs positives.
De plus comme 1 + |x| =
6 0 pour tout réel x, la fonction f est continue sur R.
Z +∞
Il nous reste à calculer
f (x) dx. Comme f est une fonction paire, il suffit de montrer
−∞
Z +∞
Z +∞
que
f (x) dx est convergente et on pourra alors dire que
f (x) dx est convergente et
−∞
Z +∞ 0
Z +∞
f (x) dx = 2
f (x) dx.
−∞
0
Z +∞
1
1
1
Or si x > 0, f (x) =
=
. Donc d’après la question 1.
f (x) dx est
2(1 + x)2
2 (1 + x)2
0
1
convergente et vaut .
2
Z +∞
Z +∞
1
Donc
f (x) dx est convergente et
f (x) dx = 2 = 1
2
−∞
−∞
En conclusion f est bien une densité de probabilité.
3. a) Calculer Y (Ω) signifie qu’il faut calculer les valeurs d’arrivée de Y . Comme la fonction x →
ln(1 + |x|) est à valeur dans [0; +∞[ (car le logarithme d’un nombre plus grand que 1 est toujours
positif) on a Y (Ω) = R+ .
Informatique
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Colle no 10 : corrigé
b) Par définition G(x) = P (Y 6 x) = P (ln(1 + |X|) 6 x).
• Comme on l’a vu dans la question précédente l’événement [ln(1 + |X|) 6 x] est impossible
quand x < 0. Donc si x < 0, G(x) = 0.
• Si x > 0,
G(x) = P (1 + |X| 6 ex ) = P (|X| 6 ex − 1) = P (1 − ex 6 X 6 ex − 1) = F (ex − 1) − F (1 − ex )
(
0
si x < 0
En conclusion G(x) =
x
x
F (e − 1) − F (1 − e ) si x > 0
c) Pour obtenir une densité de Y il suffit de dériver G là où cette fonction est dérivable et de
≪ compléter ≫ les points manquants. On a donc
(
0
si x < 0
g(x) =
x ′ x
x ′
x
e F (e − 1) + e F (1 − e ) si x > 0
(
0
si x < 0
=
x
x
x
x
e f (e − 1) + e f (−(e − 1)) si x > 0
(
0
si x < 0
=
x
x
2e f (e − 1) si x > 0
d) On a pour x > 0, ex − 1 > 0 donc :
2ex f (ex − 1) = 2ex
On a donc g(x) =
Informatique
(
0
e−x
1
ex
=
= e−x
2(1 + ex − 1)2
e2x
si x < 0
et donc Y suit la loi exponentielle de paramètre 1.
si x > 0
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Colle no 10 : corrigé