Diagrammes HR et amas globulaires

Diagrammes HR et amas globulaires
Année 2013-2014: TD 4
Résumé du TD :
Ce TD est divisé en 2 parties :
– La première partie concerne des aspects pratiques de la construction des diagrammes HR
– La deuxième partie concerne leur utilisation pour l’estimation de la distance et de l’âge d’un amas d’étoiles.
Objectifs du TD :
– Comprendre la construction des diagrammes HR
– Comprendre l’utilisation des diagrammes HR pour les mesures de distance (paralaxe spectroscopique)
– Comprendre l’utilisation des diagrammes HR pour les mesures d’âge
1
Construction des diagrammes de Hertzsprung-Russel : L(T)
Les diagrammes de Hertzsprung-Russel sont extrêmement utilisés en astrophysique car il permettent d’appréhender
de nombreux aspects de l’évolution stellaire. De manière générale, ils représentent la luminosité bolométrique L des
étoiles 1 en fonction de leur température de surface T : L(T). Cependant, comme il existe plusieurs moyens d’estimer
ces deux grandeurs, plusieurs types de diagramme HR peuvent être utilisés.
Figure 1 – Spectre solaire mesuré hors de l’atmosphère terrestre. Les parties grises montrent approximativement
les position des bandes B à 450 nm et V à 550 nm.
1. On appelle luminosité bolométrique la luminosité totale, intégrée sur toutes les longueurs d’onde (ou toutes les fréquences)
1
1.1
Rappels sur le corps noir
Le spectre des étoiles est souvent proche de celui d’un corps noir à une température donnée. Par exemple, la
Fig. 1 donne le spectre du soleil. L’émissivité d’un corps noir est donnée par la loi de Planck :
Iλ (T ) =
1
2hc2
λ5 ehc/λkB T − 1
(W/m2 /str/m)
• Le flux bolométrique d’un corps noir augmente fortement avec sa température. Il est donné par la loi de
Stefan :
Fbol = σS T 4 (W/m2 )
où σS = 5.7 × 10−8 W/m2 /K4 est la constante de Stefan.
• Le maximum de l’émissivité Iλ se situe à une longueur d’onde qui diminue avec la température. Il est donné
par la loi du déplacement de Wien :
λmax = σW /T
avec σW = 2.9 × 10−3 K.m.
1.2
Mesures de Température
Pour mesurer la température de la surface d’une étoile on suppose que celle-ci émet un rayonnement de corps
noir. Voici 3 différentes manières d’estimer la température des étoiles.
Loi du déplacement de Wien
1 - En utilisant la loi de déplacement de Wien et le spectre solaire de la Fig. 1, estimer la température de surface
du Soleil.
2 - Quelle peut être la limitation d’une telle méthode ?
Loi de Stefan-Boltzmann
3 - En utilisant la loi de Stefan, relier la luminosité d’une étoile à son rayon et sa température.
4 - Sachant que le rayon et la luminosité du soleil sont de R = 7 × 108 m et L = 4 × 1026 W respectivement,
estimer la température de surface du soleil.
5 - Quelle peut être la difficulté à utiliser cette méthode pour des étoiles autres que le soleil ?
Indices de couleur
Souvent, les observations d’étoiles ne donnent pas accès à tout le spectre, mais seulement à une ou quelques
bandes bien spécifiques de longueur d’onde (par exemple la bande B centrée sur 450 nm et la bande B centrée sur
550 nm). Lorsque l’on a accès à ces deux bandes B et V , on peut estimer la température des étoiles grâce à la
différence de magnitudes : B-V= mB − mV . Cette différence s’appèle l’l’indice B-V.
6 - Exprimer l’indice B-V en fonction du rapport de flux FB /FV dans les bandes B et V . Montrer qu’il est
indépendant de la distance de l’étoile et qu’on peut donc l’utiliser à toutes les étoiles peu, quelle que soit leur
distance.
7 - En se basant sur la forme du spectre de corps noir, montrer que deux étoiles de luminosités différentes,
mais de même température auront le même indice B-V, alors que deux étoiles de même luminosité mais de
températures différentes auront des indices différents. En déduire que l’indice B-V est un bon indicateur de
la température des étoiles.
8 - Un exemple de relation B-V(T) empirique (calibrée sur des étoiles de référence) est montré sur la Fig. 2
à gauche. En se basant sur la position des bandes B et V par rapport au pic de la loi de Planck, expliquer
qualitativement l’allure de cette courbe (forme, signe, position du zéro...).
9 - Plus précisément, la calibration de la Fig. 2 à gauche donne la relation suivante :
B − V ≈ −3.68 log T (K) + 14.5 .
A partir du spectre solaire de la Fig. 1, estimer le rapport de flux FB /FV dans les deux bandes. En déduire
l’indice B-V du soleil et sa température (on donne que le flux de référence par unité de longueur d’onde
intervenant dans la définition de la magnitude est FV0 = 3.9 × 10−8 W/m2 /µm dans la bande V et FB0 =
7.2 × 10−8 W/m2 /µm dans la bande B, (Tokunaga 2007)).
Figure 2 – À gauche : Calibration de l’indice de couleur B-V(T) (Reed, JRASC 92, 1998). À droite : Calibration
de la correction bolométrique mBC (T ) en bande V ;
1.3
Mesure de Luminosité
Le diagramme HR implique la luminosité (ou magnitude) bolométrique des étoiles. À nouveau, les observations
d’étoiles ne donnent malheureusement pas accès à cette luminosité totale, mais uniquement à la luminosité dans
une ou quelques bande bien précises (par exemple la bande V). Cependant, en supposant que le spectre est celui
d’un corps noir de température T , on peut relier la magnitude mV mesurée dans la bande V à la magnitude
bolométrique mbol recherchée. Une telle relation est de la forme : mbol = mi + mBC (T ) où mBC (T ) est appelée
correction bolométrique. La Fig. 2 (à droite) donne un exemple empirique de correction calibrée sur des étoiles de
référence.
10 - Exprimer la correction bolométrique mBC en fonction du flux bolométrique Fbol et du flux FV dans la
bande V . Montrer qu’elle est indépendante de la distance d’une étoile et qu’on peut donc l’utiliser pour toutes
les étoiles, quelle que soit leur distance.
11 - En se basant sur la position de la bande V par rapport au pic de la loi de Planck, expliquer qualitativement
l’allure de la courbe mBC (T ) de la Fig. 2 à droite (forme, signe, maximum...).
En conclusion, différents types de diagrammes HR existent. Selon les utilisations, l’ordonnée des diagrammes HR peut être la luminosité intrinsèque Lbol de l’étoile ou bien sa magnitude absolue MV en bande V ; et leur abscisse
peut être la température de surface T, ou l’indice B-V. Les modèles mènent plus naturellement à des diagrammes
L(T ), alors que les observations mènent plus naturellement à des diagrammes MV (B-V). Les relations empiriques
comme celles de la Fig. 2 permettent de comparer les deux.
2
Distance et âge de l’amas globulaire M12
L’amas M12 est un amas d’étoiles de notre Galaxie. Nous allons tenter de déterminer certaines de ses propriétés.
Figure 3 – L’amas globulaire M12.
2.1
Diagramme HR
Figure 4 – Diagrammes HR de l’amas de Hyades (à gauche) et de l’amas M12 (à droite). La magnitude des étoiles
de M12 est apparente alors que celle des étoiles des Hyades est absolue.
Des observations étoile par étoile ont permis de mesurer les magnitudes apparentes en bandes B et V de plusieurs
étoiles de deux amas : l’amas M12 et l’amas des Hyades. La calibration de la partie précédente a permis de convertir
l’indice B-V en température.
– La distance de l’amas des Hyades étant connue, les magnitudes apparentes ont pu être converties en magnitudes
absolues. Le diagramme HR M (T ) ainsi obtenu est représenté sur la Fig. 4 à droite.
– La distance de M12 n’étant pas connue, le diagramme de cet amas n’est pas un diagramme HR M (T ), mais
un diagramme m(T ) entre magnitude apparente m et température T .
1 - Sur les diagrammes de la Fig. 4, identifier la séquence principale, la branche des géantes et le point de
retournement.
2.2
Distance de l’amas : parallaxe spectroscopique
2 - Pour quelques valeurs de températures, comparer les magnitudes des étoiles de la séquence principale dans
les deux amas, et en déduire la distance de M12.
3 - Des mesures indépendantes ont permis de montrer que l’absorption interstellaire était de AV = 0.57 magnitudes dans la bande V. En présence d’absorption, le module de distance s’exprime : µ = 5log(D/10pc) + A. En
déduire une nouvelle estimation de la distance de M12. La comparer à la valeur trouvée dans la littérature :
D = 4.9 kpc.
2.3
Relation entre âge et luminosité
4 - Rappeler qualitativement la manière dont le temps de vie typique t∗ (M, L) d’une étoile dépend de sa masse
M et de sa luminosité L.
5 - Par ailleurs, des mesures de masse montrent que les étoiles de la séquence principale ont des luminosités
corrélées à leur masse suivent une relation de la forme : L ∝ M α , avec α ≈ 3 − 4. En déduire comment le
temps de vie dépend qualitativement de la luminosité seule d’une étoile : t∗ (L). Les étoiles les plus lumineuses
vivent-elles plus ou moins longtemps ?
6 - Afin d’éliminer les constante numériques de proportionnalité, on choisit de se référer au soleil. Exprimer le
rapport t∗ /t∗ entre le temps de vie d’une étoile donnée et celui du soleil, en fonction du rapport L/L de
leur luminosité.
2.4
Age de l’amas : point de retournement
Les amas sont des groupes d’étoiles formées toutes en même temps, depuis le même nuage moléculaire. Toutes
les étoiles d’un amas ont donc le même âge. Cependant, selon leur masse, elles évoluent différemment et ont des
temps de vie plus ou moins longs.
7 - Justifier que la mesure de la luminosité des étoiles au point de retournement permet de déterminer l’âge de
l’amas. De l’observation du diagramme HR de M12 (Fig. 4), trouver la magnitude apparente de ces étoiles.
8 - Exprimer le rapport L/L en fonction des magnitudes apparentes de ces étoiles (m) et du soleil (m ), ainsi
qu’en fonction de leur distances respectives D, D (pour simplifier, on ne tiendra plus compte de l’absorption).
Sachant que le soleil possède une magnitude apparente en bande V de m = −26.5, calculer ce rapport pour
les étoiles au point de retournement.
9 - En déduire l’âge de l’amas (on donne t∗ ≈ 1010 ans et on pourra prendre α = 3.5.). Quelle conclusion
peut-on tirer sur l’âge de l’univers ? L’âge de l’univers est estimé à environ 14 milliards d’années. Que peut-on
dire de l’âge de l’amas.
2.5
Taille et densité de l’amas
10 - De la même manière que précédemment, exprimer le rapport de luminosité Lcl /L entre la luminosité
totale de l’amas et celle du soleil en fonction de leurs distances respectives, de leur magnitude apparente et
de l’absorption.
11 - La magnitude apparente totale de M12 est de mV = 6.7. En supposant que les étoiles de l’amas ont en
moyenne la luminosité du soleil, en déduire le nombre d’étoiles regroupées dans l’amas M12.
12 - Sachant que l’image de la Fig. 3 fait 20’ par 30’, donner une estimation de la taille de M12. La comparer
à la distance entre nous et l’étoile la plus proche (1pc).