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Modélisation et contrôle des véhicules
aérospatiaux
Caroline Bérard – Daniel Alazard
1
Le sommaire
•  Introduction : boucle ouverte, boucle fermée, représentation des
systèmes
•  Les commandes de vol des avions
•  Le pilotage des lanceurs
•  La commande des structures flexibles
•  Les systèmes de contrôle d’attitude de satellites
2
Exemple introductif : le SCAO
Rôle de SCAO :
•  contrer les forces et couples perturbateurs
•  orienter le satellite
•  assurer les performances de pointage et de stabilité requises par la mission (pointage d’une
antenne, d’un télescope, d’un radar, !)
Des capteurs :
•  un senseur stellaire qui fournit une mesure d’attitude. Capteur qui a généralement une
bande passante plutôt faible, pas de dérive mais du bruit à court terme.
•  un gyromètre, qui a une large bande passante mais qui fournie une mesure biaisée, donc
une dérive à long terme, faible bruit en hautes fréquences.
Un actionneur : une roue à inertie
Le problème de commande se décompose en deux sous problèmes : le calcul d’un
estimateur d’attitude et le réglage de l’asservissement.
-
3
Un premier modèle: la représentation d’état
Equations de la dynamique :
$
d"
&C = J dt + C pert
%
&" = d#
'
dt
x(t) est un vecteur d’état pour le système ! si c’est un vecteur contenant le nombre minimal
de variables nécessaires à la vérification de la propriété suivante :
!
Si, à chaque instant t0, x0(t) est connu alors y(t1) et x(t1) peuvent être déterminés de manière
unique pour tout t1>t0 si u(t) est connue sur l’intervalle [t0 t1].
!
!
U
Vecteur d’entrée
$ x1 = "
%
& x2 = #
!
!
X
Vecteur d’état
Y
Vecteur de sortie
+
" 0 %
" 0 %
" 0 1%
- X˙ = $
' X + $ 'C ( $ 'C pert
#1/J &
#1/J &
# 0 0&
,
" c) 0 %
-.Y = $# 0 c '& X
*
4
Un deuxième modèle : la fonction de transfert
Résoudre des équations différentielles n’est pas facile => nécessité d’une autre
représentation, utilisation de la transformée de Laplace.
Laplace :
Définition :
!Passage d’un problème intégro-différentiel => problème algébrique
Soit f(t) une fonction causale: f(t) = 0 pour t<0
La transformée de Laplace de f(t) est donnée par :
L{ f (t)} = F( p) =
avec p=a+jb
[
Dérivation
L[ f (t " a)] = F( p).e "ap
#t
& F( p)
L % " f (u).du ( =
p
$0
'
!
Retard temporel
$
d"
&C = J dt + C pert
%
&" = d#
'
dt
!
0
]
Linéarité
!
f (t).e $ pt .dt
+
L f˙ (t)
! = p.F( p) " f (0 )
L[a.f(t) + b.g(t)] = a.F(p) + b.G(p)
!
"
#
!F( p) =
Intégration
1
" ( p)
= 2
C( p) Jp
5
!
Fonction de transfert vs représentation d’état
F ( p) =
x = M˜x
!
!
#
˜ x˜ + B
˜u
% x˙˜ = M "1 AM˜
x + M "1Bu = A
$
˜ x˜ + Du
% y = CMx˜ + Du = C
&
b0 + b1 p + ... + bm p m
N ( p)
=K
D( p)
a0 + a1 p + ... + an p n
CI = 0 ; m " n
N(0) = 1 ; D(0) = 1 #K : gain statique
?
p tels que D( p ) = 0 : poles
du système
i
i
z i tels que N(z i ) = 0 : zéros du système
"1
Unicité de la fonction de transfert et même équation caractéristique $ F ( p) = C( pI " A) B + D
&
!
"  pôles du système = valeurs propres de A
%#( p) = det( pI " A)
&
n
' D( p) = a0 + a1 p + ... + an p
•  La fonction de transfert permet :
•  d’étudier les propriétés dynamiques d’un système sans intégrer les
équations différentielles
!
•  de faire une interprétation fréquentielle du comportement du système
•  La représentation d’état permet :
•  d’analyser l’effet des conditions initiales
•  de représenter avec le même formalisme les systèmes MIMO
•  conserve l’information structurelle du système
•  permet l’analyse de gouvernabilité et d’observabilité
6
Analyse élémentaire
Réponse temporelle :!
Stabilité déterminée par les pôles du système:
•  Singularités de F(p)!
•  Valeurs propres de A!
y(t)
y(t)
Im(p)
y(t)
t
Systèmes
stables
X!
y(t)
X!
X!
X!
t
Systèmes
instables
X!
t
t
X!
X!
Re(p)
X!
y(t)
Limite de
stabilité
t
7
SCAO : analyse boucle ouverte
•  Capteurs et actionneur : modèle statique ou dynamique, la bande passante fixe les
performances atteignables.
8
Importance des mesures : retour position
k
"
= 2 s
p + k p ks
"c
)
" 0 1%
"0%
+ X˙ = $
' X + $ 'u
*
# 0 0&
# ks &
+ u = h( + k x
,
c
p 1
Boucle fermée
Boucle ouverte
!
" 0
"0%
1%
X˙ = $
' X + $ ' h( c
# ks &
# k p k s 0&
!
Système non stabilisable via un simple gain sur la mesure de position :
en boucle fermée pôle imaginaire pur
!
9
Importance des mesures : retour vitesse et
position
ks
"
= 2
" c p + k v k s p + k p ks
)
" 0 1%
"0%
+ X˙ = $
' X + $ 'u
# 0 0&
# ks &
*
+
, u = h( c + k p k v X
[
Boucle fermée
]
!
Boucle ouverte
" 0
˙
X =$
# k p ks
"0%
1 %
' X + $ ' h( c
kv k s &
# ks &
!
Système stabilisable via deux gains sur les deux mesures :
possibilité de fixer intégralement la dynamique de la boucle fermée
!
10
Estimateur
Soit parce que l’état n’est pas accessible, soit parce que l’on ne dispose pas
de certains capteurs, l’objectif de l’estimateur est de restituer les informations manquantes en vue
de réaliser la commande
e
H
u
Système
D
y
+ -
Estimateur
•  modèle déterministe : observateur
•  modèle stochastique : filtre
K
De manière générale, un estimateur est un système dynamique de la forme :
On voit apparaître un terme correctif en fonction de l’erreur d’estimation
Le gain L de l’estimateur peut être synthétisé par une approche modale ou par une approche
optimale, en dual de ce qui se fait pour la commande
11
Les commandes de vol
12
Les actionneurs de l’avion
13
14
Les commandes de vol
Définition : ensemble des éléments entre le manche et les gouvernes destinés à contrôler l’altitude, la trajectoire et
la vitesse de l’avion en mode de pilotage manuel.
Objectifs : assurer la qualité de vol, assurer le niveau de sécurité requis,
diminuer la charge de travail de l’équipage, réduire les masses et le coût, assurer la stabilité structurale, accroître le
confort des passagers
Calculateur
Pilote automatique
Ordres pilote
Manche - Palonnie r
Capteurs
Calculateur
Commande de vol
Actionneurs
Servo -gouvernes - Moteurs
14
Les commandes de vol
Les avions de combats, avec des centres de gravité reculés en arrière du foyer aérodynamique, sont des
avions instables :
• les effets des braquages sont très efficaces, ils peuvent réagir très
rapidement aux ordres de pilotage,
• la liaison entre les commandes et les gouvernes ne peut pas être directe,
elle se fait par l'intermédiaire de systèmes électroniques, Commandes De
Vol Électriques pour au moins contrer en permanence cette instabilité,
indépendamment des ordres du pilote,
Nouveaux défis (A380) :
•  Maîtriser l’interaction avec la structure :
•  réduction des charges en rafales
•  réduction des charges en manœuvres
•  confort en turbulence
•  fatigue des servo-gouvernes.
# un problème de synthèse de correcteur multi-objectifs
•  Multiplication des surfaces de contrôle :
A 340 : 6 organes de commande, A 380 : 12 organes de commande
15
Structure du pilote automatique
16
Objectifs en approche
17
Description du modèle : quelques équations
18
Modèle Simulink : vue des principaux blocs
19
Modèle Simulink : aérodynamique
20
Equilibre et linéarisation
21
Technique de synthèse des lois de commande
Objectifs
•  Maintenir ou obtenir la stabilité.
•  Obtenir une bonne précision.
•  Obtenir des réponses rapides sans brutaliser les actionneurs.
•  Rejeter les perturbations non mesurées.
•  Tenir compte du “spectre” des consignes et des perturbations dans la conception de la commande.
•  Eviter de transmettre les bruits de mesures aux actionneurs.
•  Tenir compte des incertitudes omniprésentes
Techniques de synthèse
•  Approche fréquentielle : action proportionnelle, dérivée, intégrale
•  Synthèse modale : placement des pôles de la boucle fermée
• 
• 
Synthèse optimale LQ/LQG : minimisation d’un critère quadratique (erreur/commande)
Synthèse robuste Hinf : réjection de perturbation
22
Structure d’un PA longitudinal :
approche fréquentielle
Approche fréquentielle :
•  hypothèses de découplage, modèle SIMO
•  réglage de la dynamique rapide Nz (placement de pôles)
•  réglage de la boucle en V (fréquentiel)
•  réglage de la boucle en Vz (fréquentiel)
•  découplage empirique (gain)
2
Vzc
Vzc
nzc
2
nzc
u
DVz
1
Correcteur de Vz
uc
Vcc
Vcc
Dx
dthc
dth
DVc
moteur
y
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
Correcteur de Vc
1
y
dec
der
Avion
profondeur
Commande de vol
Controle nz
Kdec
Vc
q
nz
Vz
23
Structure d’un PA longitudinal :
placement de structure propre
Approche MIMO :
•  modèle couplé multi entrées
•  technique de placement de structure propre
•  contrainte de découplage prise en compte
dans la synthèse
24
25
Placement de structure propre
Équation d’état Boucle Fermée!
Placement de pôles!
x! = ( A ! BKC ) x + BHe
•  En mono entrée, K : 1.n
•  1 entrée, n états => n ddl,
•  le nombre de pôles placés est égal au nombre de mesures.!
•  si p = n, tous les pôles BF sont fixés.!
•  si p < n, p pôles sont placés et les n-p autres sont libres.
•  En multi entrées, K : m.n
•  m entrée, n états => m.n ddl
K permet de placer n pôles en BF : n.m-n ddl restants. Utiliser pour faire du découplage ou de
la robustesse
*
,K = " w ...w (C v ...v
1
q
1
q
,
+
avec
,
B
A " #i I
,
-
[
] [
[
]
] + D[w
]
...w q ) "1
1
$ vi '
& )=0
%wi (
25
!
!
−
−
Boucle de guidage
−
δ
δ
−
−
−
$
7
$
7
7
"
%
%
$
#
75
"
3 607/761
% 6
8
%
%
%
$
%
+&
7+−+$ ++++
8−+$ +++++
' +−+$
# ++
( +−+ ++++
) +−+ ++++++
* +−+
, +−+$ ++++
- +−+ ++++++
. +−+ # ++
76+−+ # +
77+−+ #
++
78+−+ +++++++
7' +−+
+++
%
&
%
&
'
&
(
7( +−+
+
&
)
&
!
&
#
7) +−+
*
&
+2+
+2+%
+2+
0 ' ' 6481
26
Les lanceurs : description schématique
GUIDAGE
PILOTAGE
NAVIGATION
ACTIONNEURS
CAPTEURS
Calculateur programme de vol
Guidage : assure que le lanceur rejoigne le point d’injection visé. Gestion des forces de manœuvres pour
diriger le centre de gravité du lanceur et minimiser un critère tel que la consommation ou le temps de vol.
La fonction « guidage » dispose :
–  des informations de navigation,
–  des objectifs de la mission,
–  des caractéristiques du lanceur,
Hypothèse : lanceur = point matériel, la poussée et la vitesse sont alignées.
27
Les lanceurs : description schématique
GUIDAGE
PILOTAGE
NAVIGATION
ACTIONNEURS
CAPTEURS
Calculateur programme de vol
Pilotage : stabilise le lanceur autour de son centre de gravité et limite les efforts généraux (prise d ’incidence
en réponse aux rafales de vent). Suivi des instructions du guidage. La fonction « pilotage » dispose :
•  des attitudes,
•  des vitesses angulaires,
•  des consignes de guidage.
28
Les lanceurs : description schématique
GUIDAGE
PILOTAGE
NAVIGATION
ACTIONNEURS
CAPTEURS
Calculateur programme de vol
Actionneurs : braquage des tuyères.
Vérins hydrauliques à fluide perdu : importance de la consommation.
Le « pilotage » fournit la consigne de braquage à la chaîne Servogouverne.
29
Les lanceurs : description schématique
GUIDAGE
PILOTAGE
NAVIGATION
ACTIONNEURS
CAPTEURS
Calculateur programme de vol
Capteurs, Navigation : à partir des capteurs, la navigation fournit les informations nécessaires au guidage et
au pilotage. Pour le pilotage, les mesures sont issues de :
•  centrales inertielles pour l ’angle de lacet,
•  gyromètres pour la vitesse de lacet.
30
Les lanceurs : description schématique
GUIDAGE
PILOTAGE
NAVIGATION
ACTIONNEURS
CAPTEURS
Calculateur programme de vol
Lanceur :
•  hauteur : entre 45 et 55,4 m
•  masse au décollage : 745 à 750 tonnes
•  poussée : 11 360 kN
•  masse en GTO : environ 7 tonnes
31
Le lanceur & sa mécanique
Le lanceur est un corps élancé :
• 
• 
aux structures allégées au maximum
soumis à des forces latérales
#  prise en compte des modes flexibles, de la dynamique actionneurs et
capteurs pour la synthèse du pilote.
32
La commande active des structures flexibles
•  Vibration des structures = modes mal amortis = risques d’instabilité
•  Commande :
•  modèle rigide ou modèle flexible ?
•  positionnement capteurs - actionneurs ?
•  Satellite avec de larges panneaux solaires
•  Lanceur Ariane 5
•  Avion civil A340-600
33
Le modèle dynamique
yi
y
m
f1
$
u
u
m
f2
&
%
xi
O
J
r
x
l
•  u (Nm): le couple moteur (signal de commande),
•  ! (rd) : la déviation angulaire du plateau par rapport au bâti,
•  f1 et f2 (m) : les flèches à l’extrémité de chaque lame,
•  " (rd) : la déviation angulaire (par rapport à la position d’équilibre) de la lame au niveau de la masselotte
équipée du gyromètre (charge),
•  # = " + !
#J + 2mL2
%
% mL
%$ "mL
!
mL "mL &* )˙˙ - #0 0 0 &* ) - *1(, / %
(, / , /
m
0 (, ˙f˙1 / + %0 k 0 (, f1 / = ,0/u
, / , /
0
m (',+ ˙f˙2 /. %$0 0 k ('+ f 2 . +0.
34
L’analyse modale
Les modes :
Les déformées modales :
(M" i2 # K)$i = 0
!
!
det(M" 2 # K) = 0
#1&
% (
"1 = %0(
% (
$0'
X(t) vecteur des déplacements modaux
!
' matrice
des vecteurs propres
Q(t) = "X(t)
# x˙˙1 + "12 x1 &
*1
(
%
T
T
2
! % x˙˙2 + " 2 x 2 ( = () M)) ) Fu
2
%$ x˙˙3 + " 3 x 3 ('
#0&
% (
"2 = %1(
% (
$1'
!
!
!
#
%
"1 = 0
%
%
k
$ "2 =
m
%
%
(J + 2mL2
%&" 3 =
Jm
'
$
)
&
1
)
& J
" 3 = & # t 2 L)
& 2mL )
& J t 2 L!)
% 2mL (
$
0
&1
"T F = &0
1
&
J
&1 # t 2 L
%
2mL
'
)$1' $1'
)&0) = &0)
)&& )) && ))
Jt
) 0 %1(
2 L % (
2mL (
0
1
2e mode ingouvernable par u
35
!
Modélisation et loi de commande
u = K p (" c # " ) # K v"˙
!
u = K p (" c # " ) # K v $˙
!
36
SCAO : Système de contrôle d’attitude et d’orbite de
satellites
• 
Quelques spécificités du domaine spatial :
–  richesse des modèles de connaissance (environnement tranquillisé; faibles perturbations) # commande
en boucle ouverte fréquente.
–  découplage entre le mouvement du centre de gravité (contrôle d’orbite) et du mouvement autour du
centre de gravité (contrôle d’altitude).
–  étude et maîtrise des perturbations
•  internes : MEGS, enregistreur magnétique, parties mobile des CU
•  externes : gradient de gravité, pression solaire, traînée aérodynamique, couple magnétique
terrestre, effet plume, …
#  nécessité d’un contrôle d’attitude en boucle fermée.
• 
Besoin : pointage de charges utiles (optique, radar, antenne,…)
2 possibilités :
–  stabilisation du satellite et pointage de la ou les charges utiles
–  pointage du satellite lui-même (charge utile unique).
• 
Stabilisation du satellite
–  passive : gradient de gravité
–  spin : effet toupie
–  active : roues cinétiques : principe d ’action fondée sur la conservation du moment cinétique total +
magneto-coupleurs (désaturation des roues), ...
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Contrôle d’attitude de satellites d’observation
• 
• 
Au XXième siècle : satellite stabilisé et balayage ligne (seul le miroir de renvoi est piloté)
Au XXIième siècle : satellite agile et balayage cavalier entre les nuages # tout le satellite est basculé #
utilisation d ’actionneurs gyroscopiques.
38