THÈSE L`ÉCOLE CENTRALE DE LYON DOCTEUR Guillaume

Numéro d’ordre : 2008 - 40
Année 2008
THÈSE
présentée devant
L’ÉCOLE CENTRALE DE LYON
pour obtenir le grade de
DOCTEUR
Spécialité : Mécanique
par
Guillaume INQUIÉTÉ
Ingénieur de l’École Centrale de Lyon
SIMULATION NUMÉRIQUE DE LA PROPAGATION DES ONDES
DANS LES STRUCTURES COMPOSITES STRATIFIÉES
Présentée et soutenue publiquement le 19 décembre 2008, devant le jury d’examen :
Olivier Allix
Anne-Sophie Bonnet-BenDhia
Oliver Polit
Bernard Troclet
Benoît Petitjean
Louis Jezequel
Mohamed Ichchou
Professeur, ENS Cachan
Professeur, ENSTA
Professeur, Université Paris X
Senior Expert, EADS Astrium ST
Expert, EADS Innovation Works
Professeur, ECL
Professeur, ECL
President
Rapporteur
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Directeur de thèse
Co-Directeur de thèse
Remerciements
Cette thèse CIFRE est le fruit d’une collaboration entre l’Ecole Centrale de Lyon, EADS
Innovation Works et EADS Astruim Space Transportation. Dans ce triumvirat, je tiens tout d’abord à
remercier les professeurs Louis Jezequel et Mohammed Ichchou pour avoir accepté de me suivre
pendant ces trois années et pour tous les conseils avisés qui ont su me donner. Je remercie aussi
Bernard Troclet pour m’avoir fait confiance en me proposant ce sujet passionnant et pour m’avoir
suivit tout au long de cette étude. Ma gratitude s’adresse également à Benoit Petitjean qui a toujours su
être à mon écoute et qui m’a transmis ses connaissances et sa vision de la mécanique. Enfin, bien
qu’elle soit partie d’EADS Innovation Works avant la fin de mes travaux, j’exprime ma profonde
reconnaissance à Patricia Saad pour son écoute, ses conseils et sa disponibilité.
Mes remerciements s’adressent également aux professeurs Anne-Sophie Bonnet-BenDhia et Oliver
Polit pour avoir accepté de rapporter ma thèse et pour l’intérêt qui ont porté à ces travaux. J’espère
qu’à l’avenir nous serons amenés à échanger de nouveau sur ce sujet passionnant. Un grand merci
aussi au professeur Olivier Allix pour m’avoir fait l’honneur de présider le jury de ma thèse et pour
toutes les recommandations qui a su me donner lors de nos entrevues à EADS Innovation Works.
J’adresse également mes remerciements aux membres et aux thésards du laboratoire LTDS pour
leur accueil et leur sympathie. Un merci chaleureux à Isabelle Tixier pour s’être occupée des
formalités administratives, à Olivier Bareille et Stéphane Lemahieu pour m’avoir épaulé durant mes
essais et à Bastien Hiverniau et Vincent Jaumouillé, pour leur amitié et les échanges passionnants que
nous avons sur la mécanique.
J’associe aussi à ces remerciements mes collègues d’EADS Innovation Works qui ont souvent
répondu à mes questions techniques et avec qui j’ai passé des très bons moments de détente. Pensant
qu’il est très difficile de tous les citer, je tiens simplement à dire merci à tous ceux qui se reconnaitront
à travers ces quelques lignes.
Enfin, un immense merci à ma famille et mes amis qui ont toujours su être là pour m’encourager et
me soutenir durant ces longues années. Je remercie particulièrement mon amie, Bénédicte, pour sa
patience et pour tout le réconfort qu’elle a su m’apporter sans relâche.
vii
Résumé
Lors du vol d’un lanceur, la séparation de la coiffe et des charges utiles est assurée par des
dispositifs pyrotechniques. L’environnement vibratoire produit par ces dispositifs est généralement
très sévère, ce qui peut entraîner la dégradation des équipements « sensibles » placés à proximité. Pour
éviter ce type d’incident, il est nécessaire de prédire correctement les niveaux vibratoires en pied de
ces équipements. Des simulations numériques sont donc réalisées à partir de codes explicites, mais
peuvent parfois conduire à des prévisions médiocres. Des travaux de recherche ont donc été entrepris
afin de fiabiliser ces outils de simulation.
Dans ce contexte, nous étudions tout d’abord la capacité des éléments finis standard à représenter la
propagation d’ondes élastiques dans les poutres et plaques composites stratifiées, dès que l’on
s’intéresse à des fréquences relativement élevées. Pour ce faire, nous étudions la dispersion des ondes
à partir des théories utilisées pour formuler les éléments, et nous comparons les résultats obtenus à
ceux prédits à partir de la méthode des éléments finis ondulatoires. A travers différents cas tests, nous
montrons que les éléments finis standard peuvent être insuffisants pour modéliser les poutres et
plaques composites stratifiées à hautes fréquences. Des éléments finis d’ordre plus élevé ont aussi été
testés cependant aucun d’entre eux n’a été jugé satisfaisant. Nous en concluons donc pour l’instant que
seuls les éléments solides peuvent permettre de reproduire correctement les phénomènes de dispersion
d’ondes.
Par la suite, les travaux portent sur la capacité d’un code explicite à simuler la réponse transitoire
d’une structure composite stratifiée lorsque cette dernière est sollicitée par un choc haute fréquence [0100kHz]. Dans ce travail, différentes simulations ont été effectuées sous le logiciel Abaqus/Explicit et
leurs prévisions ont été comparées à des calculs semi-analytiques. Les résultats obtenus montrent que
le logiciel peut être employé dans le cadre de notre problématique à condition que le paramétrage
numérique (taille des éléments, ordre des fonctions d’interpolation, intégration numérique) soit
correctement ajusté pour que les erreurs de dispersion, inhérentes à la méthode des éléments finis
couplée à un schéma d’intégration en temps, restent faibles.
Pour finir, nous concluons ce travail en comparant les résultats théoriques aux mesures
expérimentales réalisées à partir de la technique inhomogeous wave correlation. Les comparaisons
effectuées montrent que la théorie du premier ordre en flexion reproduit correctement la dispersion de
l’onde de flexion pour une plaque composite stratifiée de 0 à 3 kilohertz. Des travaux complémentaires
sont à prévoir pour étudier la validité des modèles à plus hautes fréquences car le banc d’essai utilisé
est limité en raison de la fréquence de coupure du pot vibrant.
Mots clés
propagation d’ondes, structure composite stratifiée, méthode des éléments finis, hautes fréquences,
dispersion d’ondes, choc pyrotechnique, méthode des éléments finis ondulatoires, dynamique
transitoire.
ix
Abstract
During the launch phase, space launchers utilize pyrotechnic devices to separate fairing and
payload. Shocks generated by device activation and characterized by high peak acceleration and
broadband frequency spectrum could damage payload equipments placed at the vicinity of the devices.
Consequently, vibration level must be accurately predicted before flights in order to make sure that
equipments are not damaged. Numerical simulations are performed but, in some cases, results are not
accurate enough. Hence, research studies are conducted to improve the reliability of numerical tools.
In this context, the capability of standard finite element to model elastic wave propagation in
laminated composite plate and beam at high frequencies is first studied. To perform this study, wave
dispersion is evaluated theoretically and compared to the results estimated by the wave finite element
method. Results presented highlight that standard finite element can be insufficient to model laminated
composite beam and plate. Otherwise, comparisons are also performed with high order finite element
but results show that there are not sufficent. Therefore, we conclude that solid finite element can only
be used to model accurately wave dispersion phenomena.
Second, the study focus on the ability of explicit software to simulate the transient response of
laminated composite structure submitted to high frequency shocks [0-100 kHz]. In this work,
numerical simulations are performed with Abaqus/Explicit and a semi-analytical method. By
comparing the results, it is demonstrated that Abaqus/Explicit can be used to predict accurately the
propagation of elastic wave at high frequencies however numerical parameters (element length, order
of the interpolation function, numerical integration) must be adjusted correctly to avoid numerical
dispersion induced by the finite element method coupled with time integration method.
At last, measurements obtained by the inhomogeneous wave correlation technique are compared to
the theoretical results. It is shown that the first order shear deformation theory can be employed to
model the dispersion of flexural wave in a laminated composite plate from 0 to 3 kilohertz. To validate
model at higher frequencies, the mock up has to be enhanced because the cut off frequency of the
shaker restrict its use.
Keywords
wave propagation, laminated composite structure, finite element method, high frequencies, wave
dispersion, pyrotechnical shock, wave finite element method, transient dynamic.
xi
Abréviations
AE
CFL
CIFRE
CLPT
CND
DDL
DFT
EADS
ESD
ESL
FDM
FDTD
FEM
FRF
FSDT
IDFT
IWC
LTDS
LW
MAC
MEST
MMC
PDE
PST
RDM
SAFE
SEA
SEM
SFEM
SRS
VS-FDM
WFE
Acoustic Emission
Courant-Friedrich-Lewy
Convention Industrielle de Formation par la Recherche
Classical Laminate Plate Theory
Contrôle Non Destructif
Degré de liberté
Discrete Fourier Transform
European Aeronautic Defense and Space Company
Energy Spectral Density
Equivalent Single Layer
Finite Difference Method
Finite Difference in Time Domain
Finite Element Method
Fonction de Réponse en Fréquence
First order Shear Deformation Theory
Inverse Discrete Fourier Transform
Inhomogeneous Wave Correlation
Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes
Layer-Wise
Modal Assurance Criterion
Méthode Énergétique Simplifiée Transitoire
Mécanique des Milieux Continus
Partial Differential Equation
Periodic Structure Theory
Résistance Des Matériaux
Semi-Analytical Finite Element
Statistical Energy Analysis
Spectral Element Method
Spectral Finite Element Method
Shock Response Spectra
Velocity-Stress Finite Difference Method
Wave Finite Element
xiii
Table des matières
Introduction .............................................................................................................................. 1
Chapitre 1 État de l’art............................................................................................................ 5
1.1
Introduction ............................................................................................................................. 5
1.2
Comportement dynamique d’une structure soumise à un choc haute fréquence..................... 5
1.3
Revue des théories dédiées à la modélisation des structures................................................... 8
1.3.1
Hypothèses ...................................................................................................................... 9
1.3.2
Les théories de poutres .................................................................................................. 10
1.3.3
Les théories de plaques.................................................................................................. 14
1.4
Revue des méthodes dédiées à la simulation en dynamique transitoire ................................ 16
1.4.1
Les méthodes énergétiques............................................................................................ 16
1.4.2
Les méthodes numériques ............................................................................................. 18
1.4.3
Les méthodes semi-analytiques..................................................................................... 24
1.4.4
Les méthodes hybrides .................................................................................................. 28
1.4.5
Synthèse......................................................................................................................... 30
1.5
Conclusion............................................................................................................................. 31
Chapitre 2 Modélisation de la propagation d’ondes dans les poutres composites
stratifiées ................................................................................................................................. 33
2.1
Introduction ........................................................................................................................... 33
2.2
Analyse de la dispersion des ondes à partir des théories de poutres ..................................... 33
2.2.1
La théorie élémentaire ................................................................................................... 34
2.2.2
La théorie du premier ordre en flexion.......................................................................... 38
2.2.3
Les théories du premier ordre en traction...................................................................... 42
2.3
Analyse de la dispersion des ondes à partir de la méthode WFE .......................................... 48
2.3.1
Formulation ................................................................................................................... 48
2.3.2
Programmation .............................................................................................................. 55
2.3.3
Analyse de convergence................................................................................................ 55
2.4
Applications........................................................................................................................... 57
2.4.1
Poutre isotrope à section rectangulaire.......................................................................... 57
2.4.2
Poutre composite stratifiée « unidirectionnelle » à section rectangulaire ..................... 61
2.4.3
Poutre composite stratifiée « quasi-isotrope » à section rectangulaire.......................... 64
2.4.4
Convergence des prévisions calculées à partir de la WFE1D ....................................... 66
2.5
Conclusion............................................................................................................................. 69
Chapitre 3 Modélisation de la propagation d’ondes dans les plaques composites
stratifiées ................................................................................................................................. 71
3.1
3.2
Introduction ........................................................................................................................... 71
Analyse de la dispersion des ondes à partir des théories de plaques ..................................... 71
xv
xvi
3.2.1
La théorie élémentaire (CLPT)...................................................................................... 72
3.2.2
La théorie du premier ordre en flexion (FSDT) ............................................................ 76
3.3
Analyse de la dispersion des ondes à partir de la méthode WFE .......................................... 81
3.3.1
Extension de la formulation au cas des plaques ............................................................ 81
3.3.2
Analyse de convergence................................................................................................ 87
3.4
Applications........................................................................................................................... 87
3.4.1
Plaque isotrope .............................................................................................................. 88
3.4.2
Plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » .............................................................. 91
3.4.3
Plaque composite stratifiée « unidirectionnelle ».......................................................... 96
3.5
Conclusion........................................................................................................................... 101
Chapitre 4 Simulation de la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc haute
fréquence ............................................................................................................................... 103
4.1
Introduction ......................................................................................................................... 103
4.2
Simulation à partir d’un code explicite ............................................................................... 103
4.2.1
Discrétisation spatiale des équations de la MMC........................................................ 103
4.2.2
Résolution du système matriciel dans le domaine temporel........................................ 107
4.2.3
Réduction du coût numérique des simulations ............................................................ 108
4.2.4
Analyse de convergence.............................................................................................. 110
4.3
Simulation à partir de la méthode WFE .............................................................................. 112
4.3.1
Extension de la formulation à la dynamique transitoire .............................................. 113
4.3.2
Programmation ............................................................................................................ 114
4.4
Applications......................................................................................................................... 116
4.4.1
Poutre composite stratifiée « quasi-isotrope »............................................................. 116
4.4.2
Poutre composite stratifiée « unidirectionnelle » ........................................................ 120
4.4.3
Plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » ............................................................ 123
4.5
Conclusion........................................................................................................................... 126
Chapitre 5 Validation des modèles ..................................................................................... 127
5.1
Introduction ......................................................................................................................... 127
5.2
Revue des techniques d’identification de la vitesse de phase d’une onde........................... 127
5.2.1
Les techniques basées sur la propagation d’ondes ...................................................... 128
5.2.2
Les techniques basées sur les vibrations forcées ......................................................... 131
5.2.3
Synthèse....................................................................................................................... 133
5.3
Identification à partir de la technique IWC ......................................................................... 134
5.3.1
Mesure du champ vibratoire........................................................................................ 134
5.3.2
Corrélation du champ à partir d’ondes inhomogènes.................................................. 135
5.3.3
Limitations de la technique ......................................................................................... 137
5.4
Applications......................................................................................................................... 140
5.4.1
Plaque composite stratifiée « quasi isotrope » (essai virtuel)...................................... 140
5.4.2
Plaque composite stratifiée « quasi isotrope » (essai reel) .......................................... 142
5.5
Conclusion........................................................................................................................... 144
Conclusion et perspectives................................................................................................... 145
Références bibliographiques ............................................................................................... 147
Annexe A Résultantes et moments dans les théories de plaques...................................... 155
A.1
A.2
A.3
Loi de comportement d’un matériau composite.................................................................. 155
Théorie CLPT...................................................................................................................... 157
Théorie FSDT...................................................................................................................... 158
Annexe B Résultantes et moments dans les théories de poutres ...................................... 161
xvii
B.1
B.2
B.3
Théorie élémentaire............................................................................................................. 161
Théorie du premier ordre en flexion.................................................................................... 163
Théorie de Gopalakrishnan ................................................................................................. 164
Annexe C Identification par intercorrélation de la vitesse d’une onde........................... 167
Introduction
Dans l’industrie spatiale, les dispositifs pyrotechniques tels que les cordeaux de découpe, les vérins
poussoirs ou bien encore les boulons explosifs sont largement utilisés afin d’accomplir de nombreuses
fonctions de séparation et de déploiements. A titre d’exemple, la figure 0.1 illustre la séparation de la
coiffe du lanceur européen Ariane V réalisée à partir de cordeaux de découpe.
Figure 0.1 : Séparation de la coiffe du lanceur Ariane V à partir de cordeaux de découpe.
Ces dispositifs sont privilégiés par rapport aux autres technologies car ils offrent de nombreux
avantages comme un gain important de masse, une bonne résistance aux conditions extrêmes de
température et de pression, ainsi qu’une grande longévité nécessaire lors de missions spatiales de
longue durée. Neanmoins, leur mise à feu est un inconvénient majeur car cela génère des chocs
mécaniques hautes fréquences sollicitant les structures environnantes. En raison du faible espace
disponible sur un lanceur, les équipements électroniques sont souvent placés à proximité des
dispositifs pyrotechniques. Ils subissent donc un environnement vibratoire très sévère pouvant les
endommager.
Historiquement, les effets de ces chocs sur les équipements étaient négligés pensant que leur faible
durée ne pouvait les détériorer. C’est seulement à la suite d’une expertise [Moening, 1986] qu’on
comprit qu’ils pouvaient être à l’origine de dommages survenus soit au moment même du choc soit
après celui-ci. Un choc peut donc fragiliser un équipement qui sera ensuite mis hors service par les
effets d’autres ambiances vibratoires. D’après les expertises, ces dommages peuvent être mécaniques
(fissuration des matériaux fragiles, derackage de connecteurs, desserrage de visserie, etc.) ou bien
électriques (changement d’état de relais, perte de continuité électrique, microcoupures, éjection de
particules conductrices générant un court-circuit, etc.). Pour bien mesurer l’importance de cette
problématique, on ne peut s’empêcher de rappeler l’échec dramatique de la mission Soyouz 11 causé
par l’ouverture accidentelle d’une valve de pressurisation lors de la séparation de l’orbiteur et de la
capsule, qui entraîna la mort par axphyxie de trois cosmonautes.
1
2
Depuis, la problématique des chocs d’origine pyrotechnique a été prise en compte par les
industriels. Les équipements dits « sensibles » subissent désormais une procédure de qualification
avant vol afin de garantir leurs intégrités durant les missions. Cette procédure issue du savoir-faire
industriel était basée à l’origine uniquement sur des analyses expérimentales mais depuis quelques
années les outils de simulation numériques viennent de plus en plus assister les ingénieurs en phase de
conception. Il est donc envisageable, à partir de ces nouveaux moyens, d’atteindre la spécification dite
« 0.1 f » garantissant ainsi aux clients un meilleur confort des charges utiles.
Pour y arriver, les 27 industriels européens participant au développement des lanceurs Ariane ont
créé en 1994 le pôle « choc pyrotechnique ». L’un des objectifs de ce pôle est d’améliorer les outils de
simulation afin que les ingénieurs puissent estimer la propagation des chocs, depuis la source
jusqu’aux pieds des équipements plus précisément. En effet, pour l’instant, les corrélations entre les
essais et les calculs sont médiocres ce qui les oblige à spécifier des niveaux de qualification bien plus
importants que ceux mesurés en vol. Un autre objectif de ce pôle concerne la mise au point de
protocoles destinés à guider les ingénieurs lors de la mise au point d’une simulation. En effet, les
industriels constatent bien souvent que ce qui est le plus coûteux pour obtenir des prévisions fiables
n’est pas le temps de la simulation elle-même mais le temps de mise au point de cette dernière.
A l’heure actuelle, ces simulations sont réalisées à partir de codes de calcul développés à l’origine
pour la dynamique rapide (exemple les codes Radioss, LS-Dyna, Abaqus/Explicit, MSC.Marc). Ces
codes se basent sur la méthode des éléments finis (FEM, Finite Element Method) couplée à un schéma
d’intégration en temps afin de solutionner les équations du mouvement dans le domaine spatiotemporel. Pour mettre au point une simulation à partir de ce type de code, il faut suivre les étapes
suivantes.
La première étape consiste à établir un modèle physique des phénomènes que l’on cherche à
simuler. Pour être performant, ce modèle doit représenter correctement les phénomènes tout en
possédant un nombre très limité de paramètres. Pour la problématique des chocs pyrotechniques, les
difficultés rencontrées dans l’établissement d’un modèle concernent principalement la modélisation
des structures, de l’amortissement et des liaisons [Dommanget et al., 1997]. Si l’on ne tient compte
que de la modélisation des structures de type poutre ou plaque, ce qui nous intéressera plus
particulièrement dans cette thèse, on note l’existence d’un grand nombre de théories pour représenter
leur comportement dynamique. Pour les phénomènes à grandes longueurs d’ondes (basses
fréquences), les théories élémentaires, basées sur des hypothèses statiques, sont couramment
employées car elles représentent bien les différents mécanismes de déformation (flexion, traction,
cisaillement). L’utilisation de ces théories permet alors une réduction significative du nombre de degré
de liberté (ddl) par rapport aux modèles tridimensionnels. Pour les phénomènes à petites longueurs
d’ondes (hautes fréquences), les mécanismes se complexifient mettant alors à défaut les hypothèses
statiques. Des théories approchées prenant en compte des mécanismes de déformation supplémentaires
ont alors été proposées pour pallier ces limitations ; toutefois, ces dernières nécessitent l’introduction
de nouveaux paramètres qui les rendent parfois inapplicables pour certaines structures en raison de
leur géométrie ou bien de leur matériau. Ces limitations sont bien maîtrisées pour les structures en
matériaux isotropes ; par contre, pour celles en matériaux composites et sandwich, cela n’est pas le
cas. Enfin, notons que dans le cas où les théories élémentaires et approchées ne sont pas applicables,
on est obligé de recourir à une modélisation tridimensionnelle de la structure.
Une fois le modèle physique défini, on se retrouve en possession d’un système d’équation que l’on
cherche à résoudre pour simuler les phénomènes. Dans la plupart des problèmes, les structures ont des
géométries complexes, ce qui impose l’emploi d’une méthode adaptée car le calcul analytique n’est
alors plus envisageable. La méthode des éléments finis, souvent implémentée dans les codes
industriels, est l’une des plus adaptées pour traiter ce type de problématique. En effet, en discrétisant
en sous domaine la structure, on transforme le système d’équation continu en un système discret qui
peut ensuite être résolu en temps à partir des méthodes d’intégration temporelle. Le modèle est alors
dit numérique et non plus physique car les solutions approchées qui en découlent dépendent des
paramètres physiques ainsi que des paramètres numériques de la discrétisation spatio-temporelle. Ces
3
paramètres numériques ont une influence significative sur la qualité des résultats. En effet, des erreurs
liées à la discrétisation peuvent survenir lorsque certains de ces paramètres ne sont pas bien calibrés.
Par exemple, lorsqu’on cherche à simuler la propagation d’un choc dans une structure, on constate
d’après [Géradin et al., 1992] que ces erreurs peuvent entraîner une modification sur la vitesse de
propagation (erreur de dispersion), ainsi qu’une amplification ou une atténuation artificielle de
l’amplitude du choc (erreur d’amplification). Par ailleurs, il faut signaler que ces erreurs se cumulent à
chaque incrément de temps ce qui veut dire que pour des simulations en temps longs (régime
stationnaire établie), l’erreur initiale doit être très faible si l’on veut que l’erreur finale soit
négligeable. Ce type d’erreur a été étudié dans la littérature par [Belytschko et al.,1977] ; toutefois
dans les applications industrielles, elles sont souvent peu contrôlées. Pour calibrer la taille des
éléments et donc garantir la convergence de la FEM temporel, on utilise la règle couramment admise
qui dit qu’un minimum de 5 éléments par longueur d’ondes à la fréquence maximale suffit. Bien
qu’elle semble suffire dans certains cas, cette règle est purement empirique et aucune étude n’a
démontré sa validité. Une attention particulière doit donc être donnée lors du choix de la taille des
éléments si l’on veut éviter que les erreurs de dispersion et d’amplification dégradent les prévisions.
Autrement, lorsque les phénomènes présentent des longueurs d’ondes très faibles ou bien que la
discrétisation spatio-temporelle est très fine, on peut être amené à dépasser les capacités du calculateur
ce qui amène l’industriel à recourir à des méthodes de réduction de coût de calcul comme le calcul
adaptatif-parallèle [Grédé et al., 2006], ou bien en la couplant à d’autres méthodes plus adaptées à
hautes fréquences, comme par exemple la théorie variationnelle des rayons complexes [Chevreuil,
2005].
Enfin, la dernière étape consiste à valider le modèle en vue de garantir des simulations fiables et
précises. En règle générale, les industriels comparent les résultats de simulation à des mesures
acquises lors de campagnes d’essais. Dans le cadre des études sur les chocs pyrotechniques, les
validations sont souvent très difficiles à mettre en place et ceci pour plusieurs raisons. Tout d’abord,
les mesures sont réalisées à partir de jauges de déformation ou bien d’accéléromètres ce qui veut dire
que les corrélations essai/calcul se font à partir de réponses temporelles locales. Ces mesures sont très
sensibles aux conditions d’essais (positionnement du capteur, offset lié au support du capteur, etc.).
C’est pourquoi, on préfère les post traitées afin de comparer des spectres de réponse au choc [Lalanne,
1999]. Par ailleurs, le nombre de mesures acquises est souvent limité en raison du coût des essais. On
peut donc effectuer des corrélations uniquement en certains points de la structure. De plus, il est très
difficile pour l’heure de mesurer l’effort généré par un dispositif pyrotechnique sur une structure. En
raison de ces limitations, il est souvent difficile pour les industriels de comprendre l’origine des
différences entre essai et calcul. Lors des tests de validation menés par le pôle choc [Dommanget et
al., 2005], il a été choisi de corréler les prévisions obtenues à partir de différents codes industriels à
des mesures acquises lors de découpes pyrotechniques sur des plaques isotrope et sandwich. A partir
des corrélations, les industriels ont pu dresser une liste de recommandations concernant
l’établissement du modèle physique cependant, l’influence des paramètres numériques sur les
corrélations semble encore peu connue.
Cette thèse CIFRE, réalisée à EADS Innovation Works en collaboration avec le Laboratoire de
Tribologie et Dynamique des Systèmes (LTDS) de l’École Centrale de Lyon et EADS Astrium Space
Transportation, a pour but d’évaluer la capacité d’un code explicite à simuler les phénomènes de
propagation d’ondes lorsque ces derniers présentent une petite longueur d’ondes comparativement à la
taille de la structure étudiée. Dans ce travail, nous nous intéresserons uniquement à des structures
élémentaires (poutres et plaques) réalisées en matériaux composites stratifiées et dont les dimensions
sont représentatives de celles d’un lanceur (de l’ordre du mètre). Par ailleurs, le choc sollicitant la
structure ne sera pas représentatif d’un choc pyrotechnique ; toutefois, son contenu fréquentiel sera
suffisamment élevé (de l’ordre du kHz) pour que les ondes engendrées par le choc présentent des
longueurs d’ondes comparables.
Le présent document synthétise les travaux de recherche menés durant les trois années de thèse. Ils
sont dissociés en cinq chapitres dont l’organisation répond au plan suivant :
4
Après une description succincte de la phénoménologie d’un choc pyrotechnique, nous chercherons,
dans le premier chapitre, à synthétiser les difficultés inhérentes à la simulation numérique des
phénomènes de propagation d’ondes dans les structures composites stratifiées. Pour cela, les
différentes théories utilisées pour établir un modèle représentatif des phénomènes sont revues ainsi
que les différentes méthodes permettant le calcul de la réponse transitoire.
Fort de cette synthèse, nous étudierons dans le second et le troisième chapitres la limite
d’utilisation des éléments finis poutres et plaques proposés dans le code Abaqus/Explicit. Pour ce
faire, nous comparerons les prévisions (vitesses de phase, plans d’ondes) obtenues à partir des
différentes théories utilisées pour la formulation de ces éléments, à celles calculées à partir de la
méthode des éléments finis ondulatoires (WFE, Wave Finite Element). A travers ce travail, nous
montrerons que certains éléments structuraux ne peuvent être utilisés pour reproduire les phénomènes
de propagation d’ondes et qu’il est donc nécessaire d’utiliser un modèle tridimensionnel pour les
représenter. De plus, nous verrons dans certains cas que le caractère prédictif des théories utilisées
peut être remis en cause ; toutefois, cela peut être résolu en s’appuyant sur la méthode WFE.
Dans le quatrième chapitre, nous allons ensuite évaluer la capacité de la FEM temporel
implémentée dans le code Abaqus/Explicit à simuler les phénomènes de propagation d’ondes à haute
fréquence. Lors de ces simulations, les différents paramètres numériques tels que le nombre de ddl,
l’ordre des fonctions d’interpolation ou bien encore l’intégration numérique seront ajustés afin de
garantir la convergence des solutions EF. La validité de ces solutions sera ensuite étudiée en
comparant les réponses transitoires et les vitesses de phase mesurées par intercorrélation aux
prévisions calculées par la méthode WFE. A partir de ces comparaisons, nous montrons que les erreurs
de dispersion ne sont pas négligeables et demandent à être mieux contrôlées en temps moyens et a
fortiori en temps longs. Des pistes de recherche sont alors proposées pour accroître les capacités du
code explicite.
Enfin, dans le dernier chapitre, nous proposons un essai visant à étudier la validité du modèle
numérique utilisé pour les simulations. Cet essai s’appuie sur la technique d’identification
inhomogeneous wave correlation (IWC) développée par [Berthaut, 2004] pour mesurer les
caractéristiques ondulatoires de structure de type plaque (vitesse de phase, amortissement spatial). En
corrélant les résultats expérimentaux à ceux théoriques, nous démontrons que ce type d’essai est
prometteur pour garantir la validité de la théorie utilisée pour modéliser une plaque composite
stratifiée.
Chapitre 1
État de l’art
1.1 Introduction
A travers ce chapitre, nous allons tout d’abord décrire brièvement le comportement dynamique
d’une structure soumise à un choc afin d’éviter toutes ambiguïtés avec d’autres problématiques sur ce
que l’on désignera ensuite par phénomène « haute fréquence ». De plus, nous profiterons de cette
description pour établir les hypothèses prises dans ce travail. Suite à cette discussion, les différentes
théories approchées classiquement utilisées pour représenter le comportement dynamique des poutres
et des plaques seront discutées. Nous tenterons alors de dégager pour chacune d’elles les limites
d’utilisation en ce qui concerne l’analyse de la propagation des chocs hautes fréquences. Une seconde
revue est ensuite proposée sur les méthodes utilisées en dynamique transitoire. Après avoir rappelé
brièvement leurs formulations, nous discuterons de l’applicabilité de ces méthodes pour notre
problématique. Enfin, pour conclure cette étude bibliographique, nous synthétiserons certaines
difficultés inhérentes à une simulation numérique, ce qui nous permettra alors d’introduire les
développements apportés tout au long de cette thèse pour mettre au point des simulations fiables et
prédictives.
1.2 Comportement dynamique d’une structure soumise à un choc
haute fréquence
Figure 1.1 : Plaque soumise à un choc mécanique.
5
6
Lorsqu’une structure est soumise à un choc mécanique très bref, comme c’est le cas lorsque l’on
active un dispositif pyrotechnique sur un lanceur ou bien lorsqu’un projectile impacte une structure, on
observe différents régimes vibratoires qui peuvent être dissociés en fonction de l’allure du champ de
déplacement. Pour illustrer notre propos, nous considérerons l’exemple d’une plaque sollicitée
ponctuellement par un choc F(t) (figure 1.1). Les quatre régimes vibratoires pouvant être dissociés
sont les suivants :
1) Temps très courts après le choc
(0 à 0.5 millisecondes)
2) Temps courts après le choc
(0.5 à 1 millisecondes)
3) Temps moyens après le choc
(1 à 3 millisecondes)
4) Temps longs après le choc
(3 à 10 millisecondes)
Figure 1.2 : Régimes vibratoires d’une plaque soumise à un choc mécanique.
1) Dans les temps très courts après le choc, on observe un premier régime vibratoire caractérisé par
la propagation d’une onde dans un milieu semi infini (l’onde n’a subi aucune réflexion au niveau
des parois de la structure).
2) Dans les temps courts après le choc, on observe un régime vibratoire qui est là encore caractérisé
par un phénomène de propagation d’ondes ; toutefois, ces dernières sont désormais guidées par
l’épaisseur de la plaque. Ce phénomène de guidage se rencontre très fréquemment puisqu’une
grande majorité de structures, comme les poutres, les plaques ou bien encore les coques présentent
au moins une dimension plus faible que les autres. Dans ce cas, on désigne souvent la structure par
le terme de « guides d’ondes ».
3) Dans les temps moyens après le choc, les ondes guidées se sont propagées jusqu’aux bords de la
plaque, ce qui entraîne alors des phénomènes de réflexion d’ondes. Les ondes réfléchies interfèrent
avec l’onde directe ce qui donne alors naissance à des modes de vibration localisés en certains
endroits de la plaque.
7
4) Enfin, dans les temps longs après le choc, les ondes guidées se sont réfléchies de nombreuses
fois au niveau des bords de la plaque. Ces ondes interfèrent désormais entre elles sur l’ensemble de
la plaque ce qui fait que la structure vibre en tous points. A partir de cet instant, on ne distingue
plus l’onde directe ainsi que ses multiples réflexions mais les modes globaux de la structure. Ces
modes, bien connus en dynamique des structures, semblent être engendrés par les phénomènes
d’interférence entre les différentes ondes ; toutefois, ceci n’a jamais pu être rigoureusement
démontré comme le mentionne [Langley, 1997]. Pour s’en convaincre, on peut s’intéresser à
l’étude proposée dans [Doyle, 1997] qui consiste à analyser le spectre d’un signal temporel
présentant un nombre plus ou moins élevé de réflexions. A travers cet exemple simple, on constate
que les pics de résonance sont de plus en plus marqués suite aux arrivées successives des réflexions
au point de mesure (figure 1.3). Bien que très intéressante, cette étude ne nous permet pas
d’appréhender l’influence de l’amortissement structural puisque le signal temporel choisi est non
amorti. Or, l’amortissement a une influence très significativement sur le comportement vibratoire
d’une structure. En effet, si l’on observe le spectre calculé à partir d’un signal amorti (figure 1.4),
on constate que les pics de résonances sont moins marqués dans le domaine dit des moyennes
fréquences (MF), et sont lissés en hautes fréquences (HF). De ce fait, on peut dire que les ondes
réfléchies arrivant à des temps de plus en plus longs ont un contenu fréquentiel de plus en plus
faible ou bien encore que les hautes fréquences parcourent des distances plus faibles que les basses
fréquences. Dans ce cas, la réponse d’une structure soumise à un choc présente un contenu
fréquentiel HF uniquement à proximité de la source du choc et non un champ diffus comme cela
peut être le cas lorsque la structure est soumise à des chocs aléatoirement distribués en temps et en
espace (exemple la pluie sur un toit).
Figure 1.3 : Analyse spectrale des signaux mesurés sur une poutre soumise à un choc mécanique.
Lors d’un choc pyrotechnique, on peut distinguer trois zones en fonction de leur éloignement de la
source du choc pour lesquelles les phénomènes en temps courts (propagation d’ondes) et temps longs
(réponse modale) contribuent différemment. D’après [Troclet et al., 1999], ces zones se définissent
ainsi :
1) Zone proche : cette zone est suffisamment proche du dispositif pyrotechnique pour que la
réponse structurale soit dominée par l’onde émise directement par le dispositif. Les niveaux
d’accélération atteints dans cette zone peuvent être supérieurs à 100000g sur une bande
8
fréquentielle pouvant aller jusqu’à 100 kHz. Selon les structures et l’intensité de la source, la
dimension de cette zone peut varier de 15 à 50 cm.
2) Zone intermédiaire : localisée à la suite de la zone proche, la zone intermédiaire est dominée par
l’onde directe ainsi que la réponse modale. Les niveaux d’accélération sont plus faibles mais avec
un contenu fréquentiel toujours important au dessus de 10 kHz. Cette zone s’étend
approximativement jusqu’à 1 mètre.
3) Zone lointaine : Cette zone est suffisamment loin de la source du choc pour que la réponse
structurale soit dominée uniquement par la réponse modale. Les niveaux d’accélération atteignent
quelques milliers de g pour un contenu fréquentiel compris entre 0 et 10 kHz.
Généralement, les concepteurs doivent respecter les normes en vigueur en plaçant les équipements
en zone lointaine pour que les niveaux vibratoires en pied d’équipements soient minimes. Cependant,
en raison du faible espacement disponible sur un lanceur ou un missile, il arrive parfois que ces
équipements subissent les forts niveaux d’accélérations liés à la propagation d’ondes. Ces phénomènes
que l’on désignera comme phénomènes hautes fréquences du fait de leur contenu fréquentiel très élevé
(~100 kHz) sont ceux que nous allons tenter de simuler dans ce mémoire. Par ailleurs, il est intéressant
de préciser en vue des simulations que les structures sollicitées par un choc d’origine pyrotechnique
vibrent environ quelques dizaines de millisecondes.
Figure 1.4 : Spectre d’un signal amorti.
1.3 Revue des théories dédiées à la modélisation des structures
Lorsque l’on souhaite bâtir un modèle numérique à partir d’un code de calcul, on a généralement
accès à une large gamme d’éléments finis qui ont été formulés à partir de différentes théories.
Premièrement, on rencontre les éléments structuraux (poutres, plaques et coques) qui sont formulés
à partir de théories élémentaires ou bien approchées (pour les poutres, Euler-Bernoulli ou Timoshenko
et, pour les plaques, Kirrchoff-Love ou Mindlin). Ces éléments permettent une réduction significative
du nombre de degrés de liberté (ddl) d’un modèle tout en conservant son caractère prédictif.
Seulement, à haute fréquence, ils peuvent être mis en défaut car les théories approchées utilisées pour
leur formulation ne permettent plus de reproduire les phénomènes de propagation d’ondes. Dans ce
cas, il existe un second type d’éléments : les éléments solides. Ces éléments ne sont pas limités à haute
fréquence pour reproduire les phénomènes puisqu’ils sont formulés à partir de la theorie de l’élasticité
3D, cependant ils imposent souvent un nombre prohibitif de ddl. En pratique, on veut bâtir des
modèles ayant un nombre de paramètres le plus faible. C’est pourquoi, les éléments structuraux sont
préférés aux éléments solides dans la plupart des études car leur paramétrage est réduit. Pour faire un
bon usage de ces éléments, il est toutefois primordial de bien connaître leurs limites car sinon on
risque de les utiliser en dehors de leur domaine de validité.
9
Dans cette section, nous allons effectuer une revue des différentes théories proposées dans la
littérature pour modéliser le comportement dynamique d’une structure. On s’intéressera en particulier
à leur capacité à reproduire la dispersion d’une onde, c’est-à-dire la dépendance de la vitesse de l’onde
par rapport à la fréquence. L’objectif de cette revue est d’évaluer si les éléments finis structuraux
proposés dans les codes seront adaptés à notre problématique. Si ce n’est pas le cas, cette revue doit
aussi permettre d’identifier les théories pouvant servir à formuler de nouveaux éléments qui seront eux
aptes à répondre à nos besoins. Sachant que nos cas d’applications dans cette thèse se limiteront aux
poutres et aux plaques, nous allons présenter dans un premier temps les théories de poutres puis dans
une seconde partie les théories de plaques. Une attention particulière sera portée à la prise en compte
des matériaux composites stratifiés.
1.3.1 Hypothèses
Conscients qu’il existe un grand nombre de théories pour représenter le comportement dynamique
d’une structure, nous allons adopter des hypothèses de travail afin de restreindre l’étendue de notre
revue.
La première hypothèse considérée dans ce travail concerne l’échelle d’observation du matériau.
Pour définir cette échelle, il faut tenir compte de la plus petite longueur d’ondes mise en jeu et la
comparer aux dimensions de la structure étudiée ainsi qu’à la taille des hétérogénéités présentes dans
le matériau. A partir de cette comparaison, on pourra alors déterminer s’il est possible d’utiliser ou pas
des propriétés homogénéisées pour représenter le comportement dynamique du matériau considéré.
Figure 1.5 : Les différentes échelles d’observation d’un matériau composite.
Dans cette étude, les longueurs d’ondes mises en jeu peuvent être de l’ordre du millimètre ce qui
veut dire que pour les matériaux comme l’aluminium l’échelle macroscopique suffit. On s’appuiera
donc sur les lois de Hooke pour représenter, dans les différentes théories, le comportement de ce type
de matériau. En ce qui concerne les matériaux composites stratifiés, il existe plusieurs types
d’hétérogénéités dont les échelles d’observations varient (figure 1.5). De ce fait, on peut être amené à
homogénéiser partiellement ou complètement un matériau composite. Premièrement, on distingue les
hétérogénéités liées aux constituants d’un pli de matériau composite, c’est-à-dire, les fibres de carbone
et la résine. Ces hétérogénéités étant à une échelle microscopique (10 µm), on peut raisonnablement
homogénéiser les propriétés du pli et décrire ce dernier à partir d’une loi de Hooke orthotrope. La
seconde source d’hétérogénéité résulte de l’empilement des plis de matériau composite (stratification).
Ces hétérogénéités ont une dimension de l’ordre de 0.1 à 0.3 mm ce qui veut dire qu’elles sont à une
échelle mésoscopique. Les longueurs d’ondes des phénomènes étudiés étant assez proches, une
homogénéisation complète du matériau peut être mise en défaut. Une attention particulière doit donc
10
être portée durant cette étude sur l’homogénéisation complète des plis si l’on veut être en mesure de
reproduire correctement le comportement dynamique dans la direction de stratification.
Enfin, sachant que le choc imposé à la structure est élastique, nous nous placerons dans le cadre de
la théorie linéaire de l’élasticité (petits déplacements et petites déformations), ceci quelque soit le
matériau considéré.
1.3.2 Les théories de poutres
Historiquement, la première théorie développée pour étudier les vibrations libres (modes propres)
d’une poutre est celle proposée par Euler (1744) et Bernoulli (1751). Cette théorie, couramment
appelée « théorie élémentaire » du fait qu’elle repose sur les hypothèses de la résistance de matériaux
(RDM), est simple à mettre en œuvre, seulement elle est fortement limitée dès que l’on s’intéresse à
des fréquences élevées car elle est valable uniquement lorsque le champ de déplacement dans la
section de la poutre est uniforme et reste perpendiculaire à la fibre neutre.
En 1876, une seconde théorie dite « exacte » a été proposée par Pochhammer afin d’étudier
l’ensemble des ondes se propageant à travers une poutre isotrope à section circulaire. Pour bâtir sa
théorie, l’auteur s’est basé sur les équations élastodynamiques écrites en coordonnées cylindriques afin
d’obtenir un système d’équations (relation de dispersion) qui une fois résolu permet de caractériser la
vitesse de l’onde ainsi que le champ de déplacement dans la section de la poutre (déformée de section)
qui lui est associée. Seulement, la résolution de ces équations était plutôt ardue ce qui fait qu’il fallu
attendre le développement des méthodes numériques pour que [Onoe et al., 1962] puisse déterminer
les caractéristiques ondulatoires associées aux différentes ondes. A partir de ce travail, il a été
démontré qu’il existait une infinité d’ondes pouvant se propager dans une poutre, dont une partie est
progressive quelle que soit la fréquence (ondes principales), tandis que pour l’autre partie, elles sont
évanescentes à basses fréquences et deviennent progressives à partir d’une certaine fréquence de
coupure (ondes secondaires). En analysant les déformées de section associées à ces ondes, on est en
mesure de distinguer trois types d’ondes : les ondes de traction souvent appelées ondes longitudinales,
les ondes de flexion souvent appelées ondes transversales, et enfin les ondes de torsion. Les
désignations utilisées dans ce travail pour distinguer ces ondes seront : Ln pour les ondes
longitudinales, TZn pour les ondes transversales suivant z, TYn pour les ondes transversales suivant y,
Tn pour les ondes de torsion. Pour ce faire une idée de la dispersion de ces ondes, les courbes de
dispersion ainsi que les déformées de section associées à quelques ondes pouvant se propager dans une
poutre cylindrique ont été représentées sur la figure 1.6.
En parallèle des études sur la théorie de Pochhammer, certains chercheurs ont voulu mettre au point
des théories plus simplifiées que la théorie exacte, mais moins rudimentaires que la théorie
élémentaire. Pour développer ce type de théories, différentes approches ont été proposées ; toutefois le
concept est le même. Il faut chercher à approcher le comportement dynamique à partir d’un nombre
limité de mécanismes de déformation. Toute la difficulté est alors d’arriver à choisir les mécanismes
qui contribuent majoritairement dans la bande fréquentielle d’étude.
Dans ces théories dites « approchées », on retrouve tout d’abord la théorie de Timoshenko (1921)
qui propose d’additionner à la théorie élémentaire les effets du cisaillement transverse ainsi que les
effets d’inerties de rotation de la section mis en avant plus tôt par Rayleigh (1894). Grâce à cette
nouvelle théorie, il démontra qu’il était possible de prédire correctement la dispersion de l’onde
principale de flexion (TZ0) à des fréquences plus élevées (figure 1.7). En ce qui concerne les ondes
longitudinales, Love (1927) propose d’incorporer à la théorie élémentaire les effets d’inertie liés aux
efforts latéraux (effet de Poisson) afin de prédire à plus hautes fréquences la dispersion de l’onde
principale longitudinale (L0).
Dans les années 50, Mindlin propose une approche générale permettant de développer des théories
approchées. Pour cela, il ne s’appuie plus directement sur les équations d’équilibre comme c’était le
cas dans les précédentes théories, mais sur une approximation du champ de déplacement par un
développement en série de Taylor, ce qui permet, une fois le principe de Hamilton appliqué, d’obtenir
11
les équations d’équilibre. La complexité de la théorie dépend alors du degré d’approximation de la
série de Taylor. Par exemple, on parlera de théorie du nième ordre si un champ de déplacement u est
développé en série de Taylor par rapport à la variable z de la façon suivante :
n
ui ( x, y, z , t ) = ∑ ( z ) uij ( x, y, t )
j
(1.1)
j =0
Grâce à cette approche, Mindlin et Herrmann proposèrent dans [Mindlin et al., 1950] une théorie
du premier ordre capable de prédire la dispersion de l’onde longitudinale principale (L0) ainsi que
l’apparition de l’onde longitudinale secondaire (L1). A partir des travaux de [Miklowitz et al., 1957],
on constate que les prévisions obtenues par cette théorie sont comparables à celles mesurées lors
d’essais. En 1960, Mindlin et McNiven raffinent dans [Mindlin et al., 1960a] la théorie précédente en
approximant le champ de déplacement à l’ordre deux. Les comparaisons avec la théorie exacte montre
alors que cette nouvelle théorie prédit plus précisément la dispersion de l’onde longitudinale principale
et aussi l’apparition de non plus une mais deux ondes longitudinales secondaires (L1, L2). En
s’appuyant sur ces résultats, on remarque que la quantité d’ondes secondaires qui sera prédite par la
théorie correspond à l’ordre d’approximation choisi. De plus, lorsque l’ordre de la théorie est supérieur
ou égal à deux, on peut dire aussi que le gauchissement de la section est pris en compte.
Figure 1.6 : Dispersion des ondes dans une poutre cylindrique isotrope : (a) géométrie de la poutre, (b) courbes
de dispersion, (c) déformée de section de l’onde L0, (d) déformée de section de l’onde T0
(extrait de [Mazuch, 1996]).
Hormis les théories d’Euler-Benoulli et de Timoshenko, les différentes théories citées
précédemment ont toutes été développées pour étudier les ondes dans les poutres isotropes à section
circulaire (si le lecteur souhaite plus de détails sur ces études il peut se référer à [Graff, 1991]).
Sachant que dans ce travail on souhaite modéliser des poutres composites stratifiées à section
rectangulaire, nous devons également recenser les théories développées pour des poutres à section
rectangulaire, ainsi que celles développées pour des poutres constituées d’un matériau non isotrope.
Pour ce qui est de la prise en compte d’une section rectangulaire, Mindlin et Fox ont tenté dans
[Mindlin et al., 1960b] d’obtenir une théorie exacte ; toutefois, cette dernière ne peut s’appliquer
12
qu’aux poutres possédant un rapport spécifique entre épaisseur et largeur. Dans [Medick, 1966],
l’auteur utilise l’approche générale proposée par Mindlin pour les poutres à section circulaire, et
montre que cette dernière peut s’étendre facilement aux cas des poutres à section rectangulaire. Un peu
plus tard, [Muller, 1983], propose lui aussi une théorie approchée. En comparant sa théorie à celle de
[Medick, 1966], il montre qu’à hautes fréquences sa théorie est plus à même de prédire la dispersion
de l’onde longitudinale principale. Enfin, plus récemment, une théorie de poutre bidimensionnelle
comparable à celle de [Mindlin et al., 1950] a été proposée dans [Doyle, 1997] afin d’étudier la
dispersion des ondes longitudinales dans les poutres à section rectangulaire.
Figure 1.7 : Comparaison des courbes de dispersion de l’onde principale de flexion pour les théories de EulerBernoulli, Timoshenko, Pochhammer (extrait de [Graff, 1991]).
Concernant les poutres dont le matériau n’est pas isotrope, on constate là encore une abondance de
travaux influencés principalement par l’arrivée dans l’industrie des matériaux composites. L’une des
premières théories développées est celle de [Touratier, 1980]. Pour construire sa théorie, l’auteur
s’appuie sur la formulation à deux champs de Hellinger-Reissner qui consiste à approcher à la fois le
champ de déplacement ainsi que le champ de contrainte. De plus, il utilise non plus des séries de
Taylor pour approcher les deux champs mais des séries de fonctions trigonométriques. En
approximant à un certain ordre ces expressions, il construit à la manière de Mindlin, des théories
approchées d’ordre plus ou moins élevé.
Pour les poutres composites stratifiées, [Reddy, 2003] propose d’utiliser les théories de plaques
appelées CLPT et FSDT, qui seront présentées à la section suivante, en imposant des hypothèses sur
les résultantes et les moments. Dans cette théorie, on postule donc à la fois des hypothèses sur le
champ de déplacement et de contrainte ; cela peut donc s’apparenter à une approche mixte. Au final,
on obtient une théorie dont les équations du mouvement sont analogues à celle d’Euler-Bernoulli et
Timoshenko mais pour les poutres composites stratifiées. Enfin, [Gopalakrishnan et al., 2007] propose
une théorie du premier ordre en flexion et en traction en utilisant la même approche que [Doyle,
1997]. Dans cette théorie, l’hypothèse de contrainte plane est aussi appliquée mais sur la loi de
comportement d’un pli et les approximations sont faites uniquement sur le champ de déplacement.
13
Dans la plupart des théories approchées, il est nécessaire d’introduire des coefficients
« pondérateurs »1 si l’on veut que les valeurs asymptotiques des vitesses de phase soient comparables
à celles mesurées expérimentalement. A priori, cela veut donc dire que les théories approchées ne sont
pas prédictives puisque ces coefficients ne peuvent être évalués qu’à partir d’essais. Pour pallier cette
limitation, certains travaux proposent d’estimer a priori ces coefficients. On note par exemple le travail
de [Cowper, 1966] à partir duquel on peut connaître les valeurs prises par le coefficient de la théorie
de Timoshenko pour différents types de section. D’autres travaux cherchent à satisfaire exactement les
contraintes aux frontières latérales en choisissant des formulations adaptées, ce qui leur évite ainsi
d’introduire des coefficients pondérateurs. La formulation à deux champs de Heillinger-Reissner
utilisée dans [Touratier, 1980] en fait partie.
Le tableau 1.1 synthétise les différentes théories discutées précédemment suivant six critères. On
constate à partir de cette synthèse qu’aucune théorie ne peut être généralisable mais qu’il faut
sélectionner en fonction de ces besoins celles qui sera la plus adaptée. Dans les codes de calcul, on est
limité car les éléments structuraux sont formulés uniquement à partir des théories d’Euler-Bernoulli et
de Timoshenko. Bien entendu, on peut utiliser des éléments solides pour obtenir un modèle numérique
qui ne sera pas limité sur la bande fréquentielle d’étude ; toutefois, au prix d’un nombre important de
ddl. Des travaux récents ont permis le développement d’éléments finis à partir des théories approchées
d’ordre élevé. On notera par exemple le travail de [Ganapathi et al., 1999] qui a développé à partir de
la théorie de Touratier un élément fini à 3 nœuds pour analyser le comportement statique et dynamique
de poutres composites stratifiées.
Nom
Type
Matériau
Section
Coefficients
Type d’ondes
Euler-Bernoulli
élémentaire
isotrope
circulaire
non
Ln (1)
TZn (2)
Timoshenko
approchée
isotrope
quelconque
oui
TZn (2)
Love
approchée
isotrope
circulaire
oui
Ln (1)
Mindlin-Herrmann
approchée
isotrope
circulaire
oui
Ln (2)
Mindlin-McNiven
approchée
isotrope
circulaire
oui
Ln (3)
Mindlin-Fox
approchée
isotrope
rectangulaire
non
Muller
approchée
isotrope
rectangulaire
oui
Doyle
approchée
isotrope
rectangulaire
oui
Reddy
approchée
rectangulaire
oui
Touratier
approchée
rectangulaire
non
Gopalakrishnan
approchée
rectangulaire
oui
Pochhammer
elasticité 3D
circulaire
non
composite
stratifié
isotrope
transverse
composite
stratifié
isotrope
Ln (inf)
TZn (inf)
Ln (3)
TZn (2)
Ln (2)
TZn (2)
Ln (1)
TZn (2)
Ln (inf)
TZn (inf)
Ln (2)
TZn (2)
Ln (inf)
TZn (inf)
Tableau 1.1 : Synthèse des théories de poutres.
1
Dans la littérature, ce coefficient est souvent nommé de différentes manières comme par exemple : coefficient
pondérateur, coefficient ajusteur, coefficient de cisaillement, coefficient de Timoshenko, etc.
14
1.3.3 Les théories de plaques
Concernant les plaques, le développement des théories se rapproche fortement de celui des poutres
parfois même des approches similaires sont utilisées, en particulier en ce qui concerne les premières
théories développées pour les plaques isotropes.
A la fin du 19ème siècle, les travaux de Kirchhoff et Love, utilisant les hypothèses de la RDM, ont
permis de développer une théorie élémentaire capable de prédire le comportement dynamique d’une
plaque isotrope. Cette théorie, limitée en fréquence comme celle d’Euler-Bernoulli en raison des
hypothèses de la RDM, permet de caractériser uniquement dans les basses fréquences les ondes
transversale et longitudinale principales.
En 1917, Lamb propose une théorie exacte pour les plaques isotropes en s’appuyant sur l’étude
menée par Rayleigh en 1887 sur les ondes de surface. L’auteur analyse non plus les ondes se
propageant à la surface d’un milieu semi-infini mais le guidage des ondes de volumes (P, SV, SH)
dans un milieu doublement borné, c’est-à-dire une plaque. Pour bâtir sa théorie, Lamb utilise les
équations élastodynamiques en imposant dans la largeur de la plaque une hypothèse de déformation
plane, ainsi qu’une hypothèse sur le champ de contrainte afin de tenir compte des surfaces libres de la
plaque (surface inférieure σ zz ( x, y, − h, t ) = 0 , surface supérieure σ zz ( x, y, h, t ) = 0 ). A partir de la
théorie proposée, on constate qu’il y a existence d’une infinité d’ondes qui peuvent être dissociées en
fonction de la distribution de leurs champs de déplacement dans l’épaisseur de la plaque. On distingue
les ondes longitudinales et transversales qui présentent respectivement un champ de déplacement
symétrique et antisymétrique parallèle à la direction de propagation. Par ailleurs, il y a aussi les ondes
de cisaillement dont le champ de déplacement est perpendiculaire à la direction de propagation. Pour
tenir compte du fait qu’il existe plusieurs ondes du même type, nous utiliserons les notations Sn, An et
SHn qui sont couramment employées pour désigner respectivement les ondes longitudinales,
transversales et de cisaillement. Il faut noter également qu’il existe, comme pour les poutres, des ondes
principales et secondaires. On peut les identifier simplement grâce au système de notation choisi car
les ondes principales correspondent aux ondes pour lesquelles le paramètre n est nul. Pour illustrer ces
résultats, nous avons représenté à la figure 1.8 les courbes de dispersion ainsi que les variations du
champ de déplacement dans l’épaisseur de certaines ondes. Enfin, pour conclure sur la théorie exacte,
on notera que [Meeker et al., 1964] ont modifié l’approche prise par Lamb afin de caractériser à la fois
les ondes An, Sn et les ondes SHn car ceci ne pouvait se faire auparavant en raison de l’hypothèse de
déformation plane. C’est d’ailleurs cette théorie qui est le plus souvent présentée dans les ouvrages.
Pour s’en convaincre le lecteur pourra se référer à [Graff, 1991].
Figure 1.8 : Dispersion des ondes dans une plaque isotrope (extrait de [Graff, 1991]).
15
A partir de 1950, les chercheurs ont une nouvelle fois voulu mettre au point des théories
approchées afin de pouvoir analyser plus simplement la propagation d’ondes dans les plaques. Pour ce
faire, l’approche générale de Mindlin basée sur une approximation du champ de déplacement en série
de Taylor a été appliquée avec succès aux plaques isotropes. Une première théorie du premier ordre
proposée dans [Mindlin, 1951] a permis de caractériser à haute fréquence les ondes transversales. De
même, Mindlin et Medick développent dans [Mindlin et al., 1959] une théorie d’ordre deux pour
étudier la propagation des ondes Sn. Si l’on compare ces deux théories à la théorie élémentaire, on
constate que pour l’onde A0, la valeur asymptotique de la vitesse de phase est désormais finie et que,
pour l’onde S0, la dispersion est prise en compte. On notera enfin que les deux théories prennent en
compte l’apparition des ondes secondaires et que deux coefficients pondérateurs sont introduits afin
que les valeurs asymptotiques approchent les valeurs expérimentales.
Maintenant, en ce qui concerne les plaques constituées d’un matériau composite stratifié, les
premières théories à avoir été proposées sont des extensions des théories précédentes. On note par
exemple la théorie classique des stratifiés (CLPT, Classical Laminate Plate Theory) de [Stavsky,
1961] qui reprend les hypothèses de la théorie élémentaire de Kirchoff-Love ou bien encore la théorie
du premier ordre en cisaillement transverse (FSDT, First order Shear Deformation Theory) de
[Whitney et al., 1970] qui est une extension de la théorie du premier ordre proposée dans [Mindlin,
1951] pour étudier les ondes transversales. Pour chacune de ces théories approchées, le matériau
composite stratifié est homogénéisé complétement ; c’est pourquoi, elles sont souvent désignées par le
terme de couche équivalente (ESL, Equivalent Single Layer). Dans cette classe de théorie, on note
aussi la théorie des modules effectifs (en anglais, Effective Modulus Theory) introduite dans [Sun et
al., 1990] et dont les prévisions ont été comparées à la théorie exacte par [Sun et al., 1996].
Nom
Type
Matériau
Homogénéisation
Coefficients
Kirchhoff-Love
élémentaire
isotrope
-
non
Reissner (CLPT)
élémentaire
composite
stratifié
ESL
non
Mindlin
approchée
isotrope
-
oui
An (2)
Mindlin-Medick
approchée
isotrope
-
oui
Sn (3)
Muller-Touratier
approchée
isotrope
-
non
Whitney (FSDT)
approchée
ESL
oui
Sun
approchée
ESL
non
Reddy
approchée
LW
non
Rayleigh-Lamb
élasticité 3D
isotrope
-
non
Nayfeh
élasticité 3D
composite
stratifié
-
non
composite
stratifié
composite
stratifié
composite
stratifié
Type d’onde
Sn (1)
An (2)
Sn (1)
An (2)
Sn (1)
An (1)
Sn (1)
An (2)
Sn (n)
An (n)
Sn (n)
An (n)
Sn (inf)
An (inf)
Sn (inf)
An (inf)
Tableau 1.2 : Synthèse des théories de plaques.
Au cours des trente dernières années, des améliorations significatives ont été apportées aux théories
approchées afin qu’elles prédisent plus précisément le comportement dans l’épaisseur de la plaque,
c’est-à-dire la distribution des champs de contrainte, déformation, déplacement. On note tout d’abord
les théories développées à partir de la formulation à deux champs de Heillinger-Reissner, comme par
exemple la théorie de [Muller et al., 1995]. Comme pour les poutres discutées précédemment, ces
théories permettent de prédire correctement la dispersion des ondes tout en s’affranchissant de
l’introduction de coefficients pondérateurs, comme c’est le cas pour la FSDT. Par ailleurs, une
seconde classe de théorie désignée par le terme zig-zag (LW, Layer-Wise), abolit l’hypothèse
16
d’homogénéisation et considère indépendant chaque pli [Reddy, 2003]. Malheureusement, ces théories
peuvent, pour certaines stratifications, être très lourdes car le nombre de degrés de liberté dépend du
nombre de plis contrairement aux théories de type ESL. Pour ce faire une idée des améliorations
apportées par ces nouvelles théories, on peut se référer au travail de [Carrera, 2000], qui montre que
les prévisions globales (modes propres) et locales (distribution du champ des déformations et des
contraintes dans l’épaisseur) sont mieux prédites par rapport aux théories CLPT ou FSDT. Pour ce qui
est de la caractérisation des ondes dans les plaques composites stratifiées, peu de travaux ont été
proposés à partir de ces nouvelles théories approchées comme le fait remarquer Lih dans [Lih, 1995].
Enfin, on ne pourrait conclure cette revue sans mentionner la théorie exacte développée par
[Nayfeh, 1995] pour les matériaux composites qui reprend globalement l’approche prise par Lamb,
c’est-à-dire la réflexion des ondes de volumes (P, SV, SH) dans un milieu borné par plusieurs plans
toutefois, en ne retenant plus l’hypothèse de déformation plane du fait de l’existence de couplages
entre les modes An, Sn et SHn [Prosser et al., 1994].
Une synthèse des théories suivant cinq critères est proposée dans le tableau 1.2. On constate à
nouveau qu’aucune théorie ne peut être généralisable et qu’il faut suivant nos besoins employer la
théorie la plus adaptée si l’on veut que le modèle qui en découle soit simple à mettre en œuvre et
prédictif sur la bande fréquentielle d’étude. Ce choix est limité dans les codes de calcul puisque leurs
éléments structuraux sont développés uniquement à partir des théories CLPT et FSDT. Ce problème a
bien été compris par les universitaires ce qui fait que des nouveaux éléments ont été développés à
partir des théories approchées d’ordre plus élevé que la CLPT et la FSDT. Toutefois, peu de codes
commerciaux proposent ces nouveaux éléments. Des explications supplémentaires sur ce point
bloquant seront données à la section 1.4.2.2 lorsque l’on abordera les méthodes utilisées en dynamique
transitoire. Finalement, lorsque les théories CLPT et FSDT sont mises en défaut, il nous faut recourir
aux éléments solides. Une réduction significative du nombre de ddl peut toutefois être apportée pour
les plaques isotropes si l’on utilise des éléments solides à déformation plane (2D) car cette hypothèse
est valable pour ce type de structure.
1.4 Revue des méthodes dédiées à la simulation en dynamique
transitoire
Pour simuler la réponse transitoire d’une structure, nous avons en règle générale deux choix
possibles. Tout d’abord, on peut calculer analytiquement la réponse par synthèse modale ou
ondulatoire (décomposition en ondes planes). Ce type de calcul est cependant vite limité dès lors que
l’on étudie des structures à géométries complexes. C’est pourquoi, on doit recourir à d’autres
méthodes de calcul, comme par exemple la FEM couplée aux méthodes d’intégration temporelle, très
répandue dans les codes de calcul. Ces méthodes « numériques » sont très bien adaptées pour traiter
les structures à géométrie complexe ; toutefois, ceci est moins vrai lorsque l’on souhaite étudier des
phénomènes à petites longueurs. C’est pourquoi certains codes ont été développés à partir des
méthodes « énergétiques » du fait de leurs performances. Un inconvénient majeur toutefois concerne
leurs hypothèses fondatrices. Si l’on prend par exemple la SEA (Statistical Energy Analysis), il faut
vérifier qu’un nombre suffisant de modes propres contribue dans la réponse pour que ces prévisions
soient correctes. Par ailleurs, il existe aussi des méthodes « semi-analytiques » ou bien « hybrides »
qui ont été proposées par les universitaires mais qui pour l’heure sont peu appliquées industriellement.
En résumé, il n’existe pas de méthode universelle pour effectuer un calcul transitoire mais une
large gamme de méthodes plus ou moins adaptées en fonction du problème à traiter. C’est la raison
pour laquelle, dans cette section, nous allons décrire succinctement les différentes méthodes existantes
et analyser celles qui sont les plus adaptées pour traiter notre problématique.
1.4.1 Les méthodes énergétiques
Le terme « méthodes énergétiques » fait référence aux méthodes utilisées couramment en
dynamique des structures pour prédire les niveaux vibratoires en moyennes et hautes fréquences. Bien
17
qu’à l’origine ce type de méthodes ait été utilisé pour prédire les phénomènes stationnaires, des
extensions ont été proposées afin qu’elles puissent être aussi applicables aux phénomènes transitoires.
Pour développer ces méthodes, on s’appuie généralement sur un bilan énergétique qui, une fois résolu,
permet d’estimer l’évolution temporelle des grandeurs énergétiques (énergies internes, puissances
dissipées, puissances transmises). Pour tenir compte du comportement dynamique de la structure, on
calcule a priori des paramètres dits « ondulatoires » (vitesse de groupes, coefficients de couplage)
intervenant dans le bilan énergétique via les théories présentées à la section 1.3 ou bien par essais.
Parmi les méthodes énergétiques, on distingue principalement deux types de méthodes, celles pour
lesquelles les grandeurs sont définies globalement, et celles pour lesquelles les grandeurs énergétiques
sont définies localement.
1.4.1.1 Analyse statistique transitoire de l’énergie
La première méthode, l’analyse statistique transitoire de l’énergie (TSEA, Transient Statistical
Energy Analysis) proposée par [Lyon et al., 1995], est une extension de la méthode SEA au cas
transitoire. En ajoutant, au bilan de puissance, un terme de flux d’énergie dépendant du temps de la
façon suivante :
∂Ei
= Pi injectee − Pijtransmise − Pi dissipee
∂t
(1.2)
la TSEA est capable d’estimer les variations temporelles des énergies internes associées à chaque sous
système. Pour obtenir des prévisions correctes, il n’est pas utile de décrire précisément les structures et
donc cela facilite grandement sa mise en œuvre. Cependant, des difficultés majeures peuvent être
rencontrées avec la TSEA :
(a) Les prévisions obtenues par la TSEA sont valables uniquement en temps longs car elle suppose
que la réponse de la structure soit diffuse pour être applicable. En effet, d’après l’étude menée dans
[Sui, 2003], on constate que les équations de la TSEA découlent des équations de diffusion de la
chaleur, ce qui veut donc dire qu’elle peut prédire la réponse structurale uniquement dans le cas où
les ondes se sont diffusées dans l’ensemble de la structure.
(b) La méthode TSEA exige la connaissance a priori de paramètres ondulatoires (coefficients de
couplage, vitesses de groupe). En pratique, ces caractéristiques sont déterminées à partir d’essais ce
qui peut mettre en défaut le caractère prédictif de la méthode. On notera que l’approche numérique,
présentée aux sections 2.3 et 3.3, est de plus en plus employée afin de pallier cette limitation.
(c) La méthode TSEA n’est pas applicable lorsque peu de modes propres sont mis en jeu (densité
modale faible).
1.4.1.2 Méthode énergétique simplifiée transitoire
Contrairement à la méthode TSEA qui emploie les équations de la diffusion de la chaleur, la
méthode énergétique simplifiée transitoire (MEST), développée dans [Sui, 2003], se base sur la théorie
du transport des ondes dans les milieux inhomogènes, ce qui veut dire qu’elle peut être appliquée sans
qu’il y ait nécessairement diffusion des ondes dans la structure, c’est-à-dire en temps courts. Par
ailleurs, l’énergie n’est plus prédite par sous système (vision globale) mais en tout point de la structure
(vision locale). Ceci permet donc une analyse plus approfondie des phénomènes transitoires. Bien que
très prometteuse, la MEST nécessite la connaissance a priori de paramètres ondulatoires, problème qui
a déjà été soulevé pour la TSEA. De plus, cette méthode n’a été appliquée pour l’instant qu’à des
structures académiques. Des développements supplémentaires sont donc nécessaires afin de pouvoir
utiliser cette méthode dans notre problématique.
18
1.4.2 Les méthodes numériques
Dans le groupe des méthodes numériques, nous avons classé les méthodes faisant appel aux
techniques de discrétisation en espace et en temps développées pour solutionner de façon approchée
les équations aux dérivées partielles (PDE, Partial Differential Equation) dans le domaine spatiotemporel. L’opération de discrétisation est indépendante de la physique à simuler, ce qui veut dire que
ces méthodes peuvent être utilisées afin de traiter un grand nombre de problèmes : électromagnétisme,
acoustique ou bien encore mécanique. On comprend donc pourquoi elles se sont très bien répandues
industriellement, sachant qu’en plus, le nombre d’inconnues considéré peut être très important grâce à
la puissance des moyens informatiques actuels et aux possibilités offertes par le calcul parallèle. Le
seul inconvénient de ces méthodes provient des erreurs numériques pouvant être engendrées lors de la
discrétisation. Pour certaines problématiques, il se peut que les solutions approchées divergent de la
solution exacte en raison de la consistance ou de la stabilité de la méthode.
1.4.2.1 La méthode des différences finies en temporel
La méthode des différences finies (FDM, Finite Difference Method) est sans nul doute la technique
de discrétisation la plus simple à mettre en œuvre puisqu’il suffit de s’appuyer sur des développements
de Taylor pour approximer une dérivée partielle. Pour illustrer le concept de la FDM, nous allons
cherché à approximer les dérivées partielles présentes dans les équations élastodynamiques suivantes :
∂ 2 ui
∂ 2 ui
ρ 2 = Cijkl
+ fi
∂t
∂x j ∂xk
(1.3)
Considérons tout d’abord les développements de Taylor d’ordre deux du champ de déplacement u
aux points xi +1 et xi −1 :
u ( x i +1 ) = u ( xi ) + h
∂u
h 2 ∂ 2u
x + ο h3
( xi ) +
2 ( i)
2 ∂x
∂x
(1.4)
u ( x i +1 ) = u ( xi ) + h
∂u
h 2 ∂ 2u
( xi ) +
( xi ) + ο h3
∂x
2 ∂x 2
(1.5)
( )
( )
En sommant les expressions (1.4) et (1.5), on exprime une approximation d’ordre deux de la dérivée
seconde comme suit :
u ( xi +1 ) − 2u ( xi ) + u ( xi −1 )
∂ 2u
x ≈
2 ( i)
∂x
h2
(1.6)
En approximant de cette façon les différentes dérivées partielles présentes dans (1.3), on est en mesure
de calculer une solution approchée des équations élastodynamiques. En se référant à [Cohen, 2002],
on constate qu’il existe différents types de schémas d’approximation qui conduisent tous à une
solution approchée du problème traité mais dont la qualité de la solution peut varier. Deux notions
apparaissent alors primordiales pour analyser la convergence d’un schéma : la consistance et la
stabilité. La première notion, la consistance, correspond à la différence entre la solution approchée et
la solution exacte d’un problème tandis que la seconde, la stabilité, permet d’évaluer si, au fil des
itérations, la solution reste stable, c’est-à-dire qu’elle ne présente aucune amplification artificielle.
Différentes versions de la FDM ont été proposées dans la littérature afin d’optimiser la consistance et
la stabilité de la méthode. Dans le cadre de l’élastodynamique, la méthode proposée dans [Virieux,
1984] est la plus répandue. Cette méthode se base sur une réécriture des équations élastodynamiques
pour ne faire intervenir que les champs de vitesse et de contrainte. Après réécriture, ces équations
s’expriment :
19
∂σ ij
 ∂vi
= Cijkl
+ Fi

∂x j
 ∂t

 ∂σ ij = C ∂vk
ijkl
 ∂t
∂xl

(1.7)
où Fi est le terme source d’accélération. Dans ces nouvelles équations, les quantités calculées sont
désormais les vitesses et les contraintes et non plus le déplacement, c’est pourquoi cette méthode porte
le nom suivant : Velocity-Stress Finite Difference Method (VS-FDM). De manière analogue à la
Finite Difference in Time Domain (FDTD) de [Yee, 1966] utilisée en électromagnétisme (la vitesse
représentant la champ électrique E et la contrainte le champ magnétique B), Virieux propose de
résoudre par un schéma « saute mouton » les équations (1.7), c’est-à-dire que les maillages sont
décalés d’un demi pas de temps en espace et en temps, permettant ainsi d’utiliser des approximations
centrées uniquement. Cela veut donc dire que pour calculer les composantes de la vitesse en ti , on
utilise les valeurs des contraintes calculées en ti −1 2 qui ont été quant à elles obtenues à partir des
valeurs de la vitesse en ti −1 . En répétant ce schéma « saute mouton » pour tous les incréments de
temps, on est en mesure de calculer la réponse sur tout l’intervalle de temps. De même pour le
domaine spatial, on estime la réponse sur tout le domaine spatial en utilisant là encore un schéma
« saute mouton ».
A l’origine, la VS-FDM était appliquée pour étudier la propagation d’ondes volumiques dans un
milieu hétérogène non borné (Géophysique). Plus récemment, [Dominguez, 2006] a appliqué cette
méthode afin de simuler la propagation d’ondes volumiques à travers l’épaisseur de plaques
composites stratifiées présentant des porosités. Bien que cette méthode présente de nombreux
avantages, il paraît difficile de l’employer pour notre problématique car elle est très mal adaptée pour
traiter les géométries complexes ainsi que les conditions limites. De plus, elle est très coûteuse dès que
l’on cherche à calculer la réponse dans un espace tridimensionnel car elle ne permet pas l’utilisation
des théories approchées discutées à la section 1.3.
1.4.2.2 La méthode des éléments finis en temporel
Dans la partie précédente, nous avons conclu que la FDM était limitée pour traiter les problèmes
dans lesquels les structures ont des géométries complexes. Fort de ce constat, nous proposons ici
d’utiliser une seconde technique de discrétisation spatiale mieux adaptée, il s’agit de la FEM. Enfin,
par rapport au domaine temporel, on discrétisera les équations à partir de la technique d’intégration
temporelle directe [Géradin et al., 1992] qui fait partie des méthodes FDM. Cette méthode sera
denommée FEM temporel tout au long de ce mémoire.
Discrétisation spatiale
Contrairement à la FDM, la FEM ne cherche plus à solutionner une PDE écrite sous une forme
forte mais plutôt sous une forme faible (formulation variationnelle). En dissociant la forme faible en
sous domaines (éléments finis), on va chercher à approcher le champ de déplacement continu à partir
de fonctions d’interpolation définies sur chaque domaine (fonctions par morceaux). Si l’on considère
un élément fini i, le déplacement en un point M de cet élément s’exprime alors :
ui ( x, y, z , t ) = N ( x, y, z ) qi ( t )
(1.8)
avec : N la matrice des fonctions d’interpolation et qi le vecteur des déplacements associés aux
nœuds de l’élément i. Les nœuds d’un élément sont définis en fonction du type de fonctions
d’interpolation. Dans les codes de calcul, les éléments utilisent bien souvent des polynômes de
20
Lagrange linéaires (P1) ou quadratiques (P2) comme fonctions d’interpolation. La répartition des
nœuds associée à ces types d’éléments est représentée sur la figure 1.10.
Ensuite, pour calculer le champ de déplacement sur l’ensemble de la structure, on doit assembler les
vecteurs des déplacements nodaux de chaque élément afin d’aboutir au système matriciel suivant :
[ M ]{Uɺɺ} + [C ]{Uɺ } + [ K ]{U } = {F }
(1.9)
où [ M ] est la matrice de masse, [C ] la matrice d’amortissement, [ K ] la matrice de raideur. Les
vecteurs {U } et { F } représentent respectivement le vecteur des déplacements nodaux et le vecteur
des forces nodales.
Figure 1.9 : Méthodes numériques proposées dans les codes de calcul pour simuler la réponse transitoire d’une
structure.
Discrétisation temporelle
La résolution en temps du système matriciel (1.9) peut s’opérer à partir de différentes techniques
comme le montre la figure 1.9 ; toutefois, comme le déclare [Géradin et al., 1992], l’intégration
temporelle est la plus adaptée par rapport à la synthèse modale à hautes fréquences car un nombre trop
important de modes propres sont mis en jeu. Cette technique de discrétisation fait partie des méthodes
FDM car elle cherche à approcher les dérives temporelles présentes dans (1.9) de la façon suivante :
Uɺ n +1 = Uɺ n + (1 − γ ) ∆tUɺɺn + γ∆tUɺɺn +1
1

U n +1 = U n + ∆tUɺ n + ∆t 2  − β  Uɺɺn + ∆t 2 β Uɺɺn +1
2

(1.10)
21
avec : ∆t = tn +1 − tn l’incrément de temps et ( γ , β ) les constantes d’approximation. Dans le cas où
γ = 1 2 et β = 0 , on a affaire à un schéma dit « explicite » puisque les quantités U n+1 et Uɺ n+1 sont
calculées uniquement à partir des quantités calculées à l’incrément de temps n . Inversement, lorsque
γ = 1 2 et β = 1 4 , le schéma est dit « implicite » car les quantités U n+1 et Uɺ n+1 sont calculées à
partir des quantités calculées aux incréments n et n + 1 . Ces schémas d’approximation qui font partie
de la famille des schémas de [Newmark, 1959] sont les plus répandus dans les codes de calcul. En
règle générale, le schéma implicite est dédié à la résolution des problèmes de vibrations stationnaires
tandis que le schéma explicite est plutôt dédié à la résolution des problèmes de propagation d’ondes
comme l’explique [Bonini, 1995].
Figure 1.10 : Répartition des nœuds dans les éléments linéaire (gauche) et quadratique (droite).
Avantages et inconvénients
La méthode qui vient d’être présentée est fréquemment utilisée pour simuler les phénomènes
transitoires en dynamique des structures, que ce soit dans un contexte industriel ou universitaire. Ceci
est dû au fait que la méthode est bien adaptée pour traiter les géométries complexes, mais aussi parce
que des éléments finis structuraux ont pu être développés à partir des théories élémentaires et
approchées discutées à la section 1.3, ce qui a permis une réduction significative du coût des calculs
(temps, stockage mémoire) pour calculer la réponse transitoire de grandes structures ce qui n’était pas
le cas pour la FDM. Dans l’ensemble des travaux proposés, on notera en particulier le travail de
[Bartoli et al., 2005] dans lequel l’auteur étudie à partir du code de calcul Abaqus/Explicit la détection
des défauts dans les rails de chemin de fer à partir d’ondes guidées. Bien que très efficace, on peut
relever tout de même certains inconvénients de la FEM temporel :
Le premier inconvénient concerne la formulation des éléments finis, en particulier le choix de la
théorie. Nous avons déjà conclu lors des revues menées à la section 1.3 qu’il y avait dans les codes de
calcul une insuffisance d’éléments finis développés à partir de théories approchées d’ordre élevé
capables de prédire les phénomènes de dispersion d’ondes à hautes fréquences. De ce fait, lorsque les
éléments structuraux proposés sont mis en défaut, on ne peut éviter l’utilisation d’éléments solides
(théories exactes) pouvant entraîner des calculs prohibitifs. Il faudrait donc inclure dans les codes de
nouveaux éléments ; toutefois, ceci n’est pas trivial comme le fait remarquer [Tessler, 1995]. En effet,
des incompatibilités pourraient alors exister entre les éléments de différents ordres ou bien encore
parce que certaines théories ont un nombre de ddl très important comme par exemple les théories
approchées de type LW.
Le second inconvénient, numérique cette fois, concerne la consistance et la stabilité de la méthode.
En analysant ces deux notions, [Belytschko et al.,1977] met en avant des erreurs liées à la
discrétisation spatio-temporelle pouvant dégrader la convergence des solutions approchées. Tout
d’abord, on note les erreurs liées à la consistance de la méthode qui interviennent quand le nombre
d’éléments par longueurs d’ondes est trop faible (figure 4.5). En pratique, lorsque le nombre
d’éléments est trop faible, on constate sur les réponses transitoires une modification de la vitesse de
propagation (erreur de dispersion) ainsi qu’une diminution de l’amplitude. En règle générale, pour
assurer un faible taux d’erreur, les concepteurs utilisent un minimum de 5 éléments par longueur
d’ondes à la fréquence maximale d’étude. Seulement, cette règle est basée sur des considérations
22
physiques et non sur des considérations numériques, ce qui veut dire qu’elle ne garantit pas la
convergence des solutions approchées à chaque calcul comme le fait remarquer [Bouillard, 1997].
Enfin, [Géradin et al., 1992] fait remarquer qu’il existe des problèmes liés à la stabilité de la
méthode intervenant lorsque l’incrément de temps ∆t est supérieur à la limite de stabilité. Ce type de
problème existe uniquement lorsque le schéma est conditionnellement stable, ce qui est le cas du
schéma de Newmark explicite. En pratique, lorsque l’incrément de temps est supérieur à la limite de
stabilité, on observe une amplification sévère de la réponse transitoire qui fait généralement diverger
le calcul (erreur d’amplification). Pour contrôler ces phénomènes d’instabilité, il faut déterminer la
limite de stabilité du schéma et ainsi choisir un incrément de temps inférieur à cette limite. Seulement,
la détermination de cette limite n’est pas simple car elle requiert le calcul de la plus grande fréquence
propre du système matriciel (1.9), ce qui peut être très coûteux lorsque le nombre de ddl est important.
C’est pourquoi, on préfère plutôt employer l’approximation dite CFL (Courant–Friedrichs–Lewy) qui
permet de calculer une valeur approchée de la limite de stabilité.
Pour indication, on notera qu’il existe aussi des réflexions d’ondes artificielles lorsque les
maillages sont irréguliers [Rodriguez, 2004]. Pour ne pas avoir à tenir compte de ce type d’erreur,
nous utiliserons dans ce travail uniquement des maillages réguliers.
Réduction du temps de calcul et du stockage mémoire
Au fil des années, des enrichissements ont été apportés à la méthode pour réduire le temps des
calculs ainsi que le stockage mémoire. Dans ces enrichissements, on note tout d’abord l’intégration
réduite [Imbert, 1979] qui cherche à réduire le nombre de points d’intégration lors du calcul
numérique des matrices élémentaires (figure 1.11). Cette technique fait apparaître des modes de
déformation à énergie nulle (en anglais Hourglass modes) qui peuvent venir dégrader les réponses
transitoires. Associées à l’intégration réduite, des techniques de contrôle sont généralement proposées
pour éviter que ces modes artificiels viennent pénaliser les prévisions. Dans ces techniques, on note
par exemple la « physical stabilization » proposée par [Belytschko et al., 1994] qui a été implémentée
dans le code Radioss.
Par ailleurs, un second enrichissement permettant un gain significatif sur les temps de calcul est la
condensation de masse (en anglais Mass lumping). L’idée est de diagonaliser la matrice de masse qui
est généralement diagonale par bande (consistante) afin qu’elle puisse être inversible plus rapidement.
Pour effectuer la diagonalisation, il existe différentes techniques comme la « HRZ mass lumping »
[Hinton et al., 1976] et la « Lobatto mass lumping » [Fried et al., 1975] toutefois la plus répondue est
celle qui consiste à sommer les termes de la matrice de masse [Belytschko et al.,1977]. Ces techniques
sont très intéressantes pour réduire le temps de calcul ; toutefois, Belytschko montre que les erreurs de
dispersion peuvent être réduites lorsque la matrice de masse est une combinaison des matrices de
masse consistante et diagonale. Il se peut donc que le gain de temps avec la condensation de masse ne
soit pas si significatif à hautes fréquences lorsque les erreurs sont importantes car il faudrait alors
raffiner le maillage afin de réduire l’erreur et donc augmenter le temps de calcul.
Figure 1.11 : Répartition des points d’intégration dans un élément linéaire à integration complète (gauche) et à
intégration réduite (droite).
Enfin, les techniques de calcul parallèle permettent elles aussi une réduction significative du temps
de calcul puisque l’objectif de ce type de méthode est de diviser un calcul sur n calculateurs afin de
23
réduire de n fois le temps de calcul. D’un point de vue pratique, les gains obtenus sont plus faibles car
il faut tenir compte de l’algorithme permettant de répartir le calcul sur les n calculateurs. Cette
technique souvent implémentée dans les codes tend à être de plus en plus employée grâce à l’arrivée
des « clusters » de calcul dans les entreprises.
Amélioration de la convergence
D’autres enrichissements ont été proposés pour améliorer la convergence de la méthode FEM. Les
éléments finis d’ordre élevé qui utilisent des fonctions d’interpolation polynomiales d’ordre élevé font
partie de ces enrichissements. Généralement, ces éléments sont couplés à la technique « Lobatto mass
lumping » afin d’obtenir une convergence « spectrale » de la solution [Cohen, 2002]. On ne parle alors
plus d’éléments finis d’ordre élevé mais d’éléments finis spectraux et donc la méthode qui en découle
porte le nom de méthode des éléments finis spectraux (SFEM, Spectral Finite Element Method). Pour
aller même plus loin, [Fauqueux, 2003] propose d’utiliser une formulation mixte afin de réduire aussi
le stockage mémoire de la matrice de raideur. Dans ce travail, les éléments définis se nomment alors
les éléments finis mixtes spectraux. Cette méthode a été appliquée dans [Grob, 2006] pour simuler la
propagation d’ondes dans les plaques. A travers ce travail, on constate que la méthode permet
d’obtenir de meilleures réponses transitoires sans pénaliser le temps de calcul et le stockage mémoire.
Adaptation de maillage en temps
Les techniques d’adaptation de maillage ont tout d’abord été mises au point pour les problèmes
statiques [Babuska et al., 1978] puis elles ont été extrapolées dans d’autres domaines comme par
exemple l’acoustique par [Bouillard, 1997]. Parmi ces techniques, on recense la r-méthode qui modifie
le placement des noeuds, la p-méthode qui modifie l’ordre des fonctions d’interpolation, et enfin la hméthode qui modifie la quantité d’éléments. L’utilisation de telles techniques requiert au préalable de
mesurer l’erreur commise. Pour cela, on emploie les estimateurs d’erreur a posteriori comme l’erreur
en relation de comportement [Ladevèze, 1983], la méthode de lissage [Zienkiewicz et al., 1987], ou
bien encore la méthode des résidus [Babuska et al., 1978].
Dans le cadre de notre problématique, les phénomènes hautes fréquences sont localisés. De ce fait,
le maillage n’a pas nécessairement besoin d’être raffiné là où les phénomènes ne sont pas présents.
Inversement, le maillage devrait être raffiné suffisamment là où le phénomène se produit pour que la
solution approchée converge mieux. Il serait donc intéressant d’adapter le maillage en fonction du
temps. Fort de cette idée, [Leclère, 2001] propose d’enrichir la méthode FEM en couplant les
techniques de calcul adaptatif (améliorer la convergence) ainsi que la technique de décomposition de
domaine (réduire le temps). Pour mettre au point sa méthode, l’auteur propose tout d’abord
d’employer la méthode de Galerkin discontinue au lieu de la méthode de Galerkin classique afin de
pouvoir découpler le maillage spatial et le maillage temporel. Ainsi, il sera possible d’adapter le
maillage à chaque incrément de temps. L’adaptation de maillage est quant à elle effectuée à partir de
technique d’adaptation discutée précédemment c’est-à-dire la h-méthode pour l’adaptation et la
méthode des résidus pour l’estimation de l’erreur. Au final, les résultats présentés par l’auteur
montrent que le maillage se raffine bien au niveau du phénomène (figure 1.12) montrant ainsi la
faisabilité d’une telle méthode. Par ailleurs, des simulations sur la propagation des chocs d’origine
pyrotechnique ont aussi été menées à partir de cette méthode par [Boullard, 2004] et [Grédé et al.,
2006].
24
Figure 1.12 : Simulation de la propagation d’ondes avec adaptation de maillage (extrait de [Leclère, 2001]).
Pour résumer, la FEM temporel paraît bien adaptée pour traiter les géométries complexes. En
revanche, elle ne l’est pas très bien en ce qui concerne les phénomènes à petites longueurs d’ondes
(éléments structuraux mis en défaut, erreurs numériques importantes). Des enrichissements ont donc
été proposés pour réduire le temps de calcul et/ou améliorer la convergence de la méthode. A première
vue, les techniques proposées sont intéressantes ; cependant il est nécessaire de les tester auparavant
afin de vérifier leur applicabilité car dans certains cas, elles peuvent réduire le temps de calcul au
détriment de la convergence des solutions (condensation de masse) ou bien faire apparaître des modes
de déformation artificiels (intégration réduite).
1.4.3 Les méthodes semi-analytiques
Dans le paragraphe précédent, nous avons présenté des méthodes cherchant à approcher la solution
des équations du mouvement à partir de fonctions polynomiales par morceaux. Nous avons conclu
qu’une de ces méthodes, la FEM temporel, était très bien adaptée pour traiter des géométries
complexes mais qu’elle l’était moins pour traiter les phénomènes à petites longueurs d’ondes. Pour
pallier ces limitations, des chercheurs ont alors voulu mettre au point de nouvelles méthodes mieux
adaptées : les méthodes semi-analytiques. Dans la littérature, on distingue trois grands types de
méthodes semi-analytiques : la méthode des éléments spectraux2, la méthode des éléments finis semianalytiques et enfin la méthode des éléments finis ondulatoires. Le concept fondateur de ces méthodes
est souvent proche. En effet, on couple les techniques de calcul pour traiter à la fois les géométries
complexes (numérique) et les phénomènes à petites longueurs d’ondes (analytique). Du fait de
l’utilisation de techniques analytiques, il est souvent nécessaire de transformer le problème temporel
en un problème fréquentiel afin d’en calculer la solution. La réponse transitoire peut être finalement
obtenue à partir d’une transformation de Fourier ou Laplace. En règle générale, on préfère employer la
transformation de Fourier car il existe un outil numérique puissant très largement implémentée dans
des codes comme Matlab ou Scilab et qui est capable d’approcher une transformée de Fourier
continue : la transformation de Fourier discrète (DFT, Discrete Fourier Transform). Enfin, on notera
que certains auteurs comme [Tang, 2008] ont cherché à mettre au point des méthodes semi analytiques
en s’affranchissant du passage dans le domaine fréquentiel ; toutefois, nous n’en discuterons pas dans
cette revue car elles sont limitées pour l’instant aux problèmes stationnaires.
1.4.3.1 La méthode des éléments spectraux
Proposée par [Doyle, 1997], la méthode des éléments spectraux (SEM, Spectral Element Method)
est semblable à la méthode FEM dans le sens où elle cherche à transformer les équations du
mouvement en un système matriciel afin de pouvoir les résoudre plus simplement à partir de
techniques numériques. La différence fondamentale entre la SEM et la FEM provient de la
formulation des éléments. Dans la SEM, les éléments sont formulés à partir de fonctions
2
Cette méthode porte aussi souvent le nom de méthode des rigidités dynamiques (DSM, Dynamic Stiffness
Matrix)
25
d’interpolation sinusoïdales dont la phase a été déterminée a priori à partir des théories élémentaires
ou approchées discutées à la section 1.3. Grâce à ces fonctions, il est possible comme pour le calcul
analytique d’approcher exactement le champ de déplacement à une fréquence donnée puisque ces
dernières vérifient exactement les équations du mouvement.
Principe
Pour illustrer le principe de la méthode, nous allons montrer la manière de formuler un élément
spectral permettant d’étudier la propagation d’ondes longitudinale dans une poutre. Pour cela, il faut
premièrement postuler la forme du champ de déplacement. On utilise alors la décomposition en ondes
planes suivante :
− ik L − x
uˆ ( x ) = Ae−ik1 x + Be 1 ( )
(1.11)
où k1 est le nombre d’ondes gouvernant la phase et û désigne le spectre de u . Le nombre d’onde k1
est déterminé en menant une analyse de dispersion à partir de la théorie d’Euler-Bernoulli (pour avoir
des détails sur ce type d’analyse on pourra se reporter à la section 2.2.1). Les amplitudes A et B sont
quant à elles déterminées à partir des conditions limites en x = 0 et x = L .
uˆ ( 0 ) = uˆ1 = A + Be −ik1L ,
uˆ ( L ) = uˆ2 = Ae −ik1L + B
(1.12)
avec : û1 et û2 les déplacements nodaux en x = 0 et x = L . Ensuite, en remplaçant les amplitudes
déterminées précédemment dans (1.11), il est possible d’exprimer le déplacement et la force axiale en
un point M de l’élément spectral à partir des expressions suivantes :
uˆi ( x ) = gˆ1 ( x ) uˆ1 + gˆ 2 ( x ) uˆ2
Fˆi ( x ) = EA  gˆ1′ ( x ) uˆ1 + gˆ 2′ ( x ) uˆ2 
(1.13)
avec : ĝ1 et ĝ 2 les fonctions d’interpolation sinusoïdales définies par :
(
gˆ ( x ) = ( −e
− ik 2 L − x
gˆ1 ( x ) = e − ik1 x − e 1 ( )
2
− ik1 ( L + x )
−e
) (1 − e )
( )
) (1 − e )
− i 2 k1L
− ik1 L − x
− i 2 k1 L
(1.14)
En définissant, les forces nodales à partir de l’expression (1.13) de la manière suivante :
Fˆ1 = − Fˆ ( 0 ) = − EA  gˆ1′ ( 0 ) uˆ1 + gˆ 2′ ( 0 ) uˆ2 
Fˆ2 = Fˆ ( L ) = EA  gˆ1′ ( L ) uˆ1 + gˆ 2′ ( L ) uˆ2 
(1.15)
on obtient finalement la matrice élémentaire associée à l’élément spectral :
 Fˆ1 
 − g1′ ( 0 ) − g 2′ ( 0 )   uˆ1 
1 + e − i 2 k1L −2e − ik1L   uˆ1 
ik1 L
  = EA 
   = EA

   (1.16)
1 − e− i 2 k1L  −2e − ik1L 1 + e − i 2 k1L  uˆ2 
 Fˆ2 
 g1′ ( L ) g 2′ ( L )  uˆ2 
(
)
Une fois l’élément défini, il suffit alors d’assembler comme pour la FEM les différentes matrices
élémentaires et de calculer la réponse fréquentielle en imposant les conditions limites et les
chargements sur la structure complète. La réponse transitoire est finalement obtenue en calculant la
26
transformée de Fourier discrète inverse (IDFT, Inverse Discrete Fourier Transform) de la réponse
fréquentielle.
Avantages et inconvénients
Cette méthode est très avantageuse pour traiter les problèmes à petites longueurs d’ondes car elle
ne requiert pas un nombre minimal d’éléments par longueur d’ondes pour converger. Ainsi, le coût des
calculs ne varie plus en fonction de la fréquence d’étude comme c’était le cas avec la FEM. Dans les
applications proposées à partir de cette méthode, on note le travail de [Ruotolo, 2005] qui étudie la
propagation d’un choc haute fréquence dans un treillis de poutres composites. Les résultats présentés
dans ce travail montrent que la SEM est capable de simuler avec précision la réponse transitoire du
treillis à haute fréquence. Malheureusement, la SEM est limitée à des cas académiques car elle utilise
les théories de poutre et de plaque élémentaires ou approchées pour définir les fonctions
d’interpolation.
1.4.3.2 La méthode des éléments finis semi-analytiques
Dans la méthode des éléments finis semi-analytiques (SAFE, Semi-Analytical Finite Element), le
champ de déplacement est formulé à partir d’une décomposition en ondes planes (fonctions
d’interpolation sinusoïdales) dans la direction de propagation, et à partir d’éléments finis (fonction
d’interpolation polynomiales par morceaux) dans les directions perpendiculaires à la propagation. De
ce fait, elle permet d’approcher exactement le champ là où les longueurs d’ondes sont faibles sans
avoir à utiliser une quantité importante d’éléments.
Principe
Si l’on considère un élément semi-analytique i, le déplacement d’un point M de cet élément
s’écrit :
i kx −ωt )
uˆi ( x, y, z , t ) = N ( y, z ) qˆi ( t ) e (
(1.17)
avec : N la matrice des fonctions d’interpolation polynomiales, qi le vecteur des déplacements
nodaux associé à l’élément i et k le nombre d’ondes.
Ensuite, on procède comme pour la FEM, c’est-à-dire qu’on va transformer les équations
élastodynamiques en un système matriciel. Après calcul et, si l’on ne tient pas compte des efforts
extérieurs appliqués pour l’instant, le système matriciel obtenu est le suivant :
([ K ] − ik [ K ] + k [ K ] − ω [ M ]){Uˆ } = 0
2
1
2
2
(1.18)
3
où: [ K1 ] , [ K 2 ] , [ K 3 ] et [ M ] sont respectivement les matrices globales de raideur et de masse. Le
{ }
vecteur Û représente quant à lui les déplacements de l’ensemble des nœuds du maillage ( û désigne
le spectre de u ). Généralement, le système (1.18) est transformé de la manière suivante :
([ A] − k [ B ]){Qˆ } = 0
(1.19)
avec :

0
[ A] = 
2
 K1 − ω M
K1 − ω 2 M 
 ,
−iK 2 
 K1 − ω 2 M
B
=
[ ] 
0

0 
 ,
− K3 
 Uˆ 
Qˆ =   (1.20)
kUˆ 
{}
27
Le système (1.19) peut se résoudre à partir de méthodes numériques simples puisqu’il s’agit d’un
problème aux valeurs propres. Les solutions de ce système permettent de déterminer les vitesses de
phase (valeurs propres) ainsi que les déformées (vecteurs propres) des différentes ondes pouvant se
propager dans la direction x. Le nombre de ces ondes dépend alors directement du nombre d’éléments
utilisés pour le maillage. On peut ainsi facilement adapter le modèle numérique en fonction de la
quantité d’ondes se propageant dans la structure sur la bande fréquentielle d’étude.
Une fois avoir déterminé numériquement ces paramètres ondulatoires, on calcule ensuite
analytiquement la réponse fréquentielle en imposant les conditions aux limites et les chargements.
Pour cela, on s’appuie simplement sur la synthèse ondulatoire (calcul analytique) puisque le champ est
formulé en ondes planes dans la direction de propagation. A partir de ce calcul, les amplitudes
associées à chacune des ondes sont alors déterminées. Enfin, si l’on souhaite déterminer la réponse
transitoire, il suffit finalement de calculer la IDFT de la réponse fréquentielle.
Avantages et inconvénients
La SAFE est une méthode fréquemment employée en contrôle non destructif (CND) afin d’étudier
l’interaction d’une onde avec un défaut [Hayashi et al., 2003], [Damljanovic et al., 2004] et [Jezzine,
2006] ou bien encore en dynamique des structures pour réduire les vibrations [Gry, 1996]. Dans ces
différentes applications, les auteurs s’intéressent principalement à des poutres ayant une section
complexe comme par exemple des rails de chemin de fer [Damljanovic et al., 2004], [Gry, 1996].
Cependant, des travaux ont aussi été menés en ce qui concerne les plaques par [Dong et al., 1972],
[Mukdadi et al., 2002] et [Chitnis et al., 2003] ; toutefois, seules les caractéristiques ondulatoires
(vitesse de phase, déformée) ont été déterminées. A partir de ces différents travaux, on constate que la
SAFE est très bien adaptée pour traiter les phénomènes à petites longueurs d’ondes ; seulement aucun
code ne propose pour l’instant des éléments semi-analytiques, ce qui veut dire que l’on doit
systématiquement développer de nouveaux éléments pour traiter un problème. Par ailleurs, la SAFE
est limitée à des cas académiques, poutres et plaques, ce qui veut dire qu’on ne peut l’utiliser pour
traiter des structures plus complexes.
1.4.3.3 La méthode des éléments finis ondulatoires
Dans les deux méthodes précédentes, nous avons vu que le champ de déplacement était formulé à
partir de fonctions sinusoïdales dans la direction de propagation. Malheureusement, pour la SEM, nous
avons vu qu’elle pouvait être limitée car elle emploie des théories élémentaires pour caractériser la
phase des fonctions d’interpolation. De même, pour la SAFE, nous avons vu qu’il était nécessaire de
développer des éléments semi-analytiques, ce qui limite fortement son utilisation. La troisième
méthode que nous allons présenter ici, la méthode des éléments finis ondulatoires (WFE, Wave Finite
Element) tente de pallier ces limitations en couplant la théorie des structures périodiques (PST,
Periodic Structural Theory) introduite dans [Mead, 1973] à la FEM.
Principe
Pour appliquer la WFE, il faut tout d’abord mailler à partir d’éléments finis une période de la
structure (cellule). Une fois le maillage défini, on se retrouve alors en possession du système matriciel
(1.9) qui, exprimé ensuite dans le domaine fréquentiel, nous donne :
([ K ] − ω [ M ]){uˆ} = { fˆ }
2
(1.21)
avec : û le spectre de u . Ensuite, on postule le vecteur des déplacements nodaux ainsi que le vecteur
des forces nodales sous forme d’ondes planes de la façon suivante :
28
uˆ ( x, y, z ) = Uˆ ( y, z ) e −ikx
fˆ ( x, y, z ) = Fˆ ( y, z ) e−ikx
(1.22)
où : Û et F̂ représente la déformée de l’onde. En utilisant le théorème de Floquet, on est capable de
déduire des relations entre les extrémités droite et gauche de la cellule car les déplacements et les
efforts sont égaux à ces extrémités. En effet, si l’on prend l’exemple d’une structure 1D-périodique,
les relations entre les extrémités s’écrivent :
Uˆ ( x + d , y, z ) = Uˆ ( x, y, z )
Fˆ ( x + d , y, z ) = Fˆ ( x, y, z )
(1.23)
avec : d la taille d’une cellule. A partir des expressions (1.22) et (1.23), on est en mesure de
transformer le système matriciel (1.21) en un problème aux valeurs propres dont les solutions
représentent les vitesses de phase (valeurs propres) et les déformées (vecteurs propres) associées aux
différentes ondes. Grâce à la base formée par ces ondes, il suffit d’imposer les conditions limites et les
chargements extérieurs et ainsi calculer à partir d’une synthèse ondulatoire la réponse fréquentielle de
la structure. Finalement, la réponse transitoire peut ensuite être déterminée en appliquant une IDFT à
la réponse fréquentielle précédemment calculée.
Avantages et inconvénients
Dans les applications de la WFE, on note tout d’abord qu’elle a beaucoup été employée afin de
caractériser les vitesses de groupes qui sont nécessaires lorsqu’on utilise des méthodes énergétiques
comme la SEA. Dans ces travaux, on retrouve le travail de [Houillon, 1999] sur les ossatures de caisse
automobile ou bien encore le travail de [Akrout, 2005] sur les plaques raidies. D’autres travaux
s’axent plutôt sur le calcul de la réponse forcée d’une structure comme par exemple [Mencik et al.,
2006] qui calcule la réponse d’une conduite submergée par un fluide ou bien encore [Duhamel et al.,
2003] qui calcule la réponse d’une plaque simplement supportée et excitée en son centre. A travers ces
applications, on constate que la WFE est un outil simple à mettre en œuvre car elle nécessite peu de
développements contrairement à la SAFE. En effet, Il suffit pour développer le modèle numérique de
la cellule d’utiliser un code de calcul capable d’extraire les matrices de masse et de raideur du modèle
et de les exploiter ensuite à partir d’un logiciel de calcul matriciel comme par exemple Matlab ou
Scilab. En revanche, on constate aussi que le fait d’utiliser une discrétisation éléments finis d’une
cellule peut entraîner des erreurs numériques. C’est pourquoi, certains chercheurs comme [Akrout,
2005] et [Waki et al., 2006] pour les structures 1D-périodiques ou bien [Manconi et al., 2007] pour les
structures 2D-périodiques ont mené des travaux sur ce thème. Enfin, on remarque qu’il existe peu de
résultats dans la littérature concernant des études sur la réponse transitoire à haute fréquence d’une
structure à partir de la WFE. Généralement, les auteurs cherchent principalement à résoudre des
problèmes stationnaires.
1.4.4 Les méthodes hybrides
Dans les travaux de recherche menés sur la problématique des chocs pyrotechniques, certains
laboratoires ont développé des méthodes hybrides couplant les méthodes basses fréquences et les
méthodes hautes fréquences. De ce fait, le principe des méthodes hybrides consiste à calculer la
réponse fréquentielle sur les domaines basses et hautes fréquences à partir de la méthode la plus
adaptée. En règle générale, les méthodes hybrides utilisent systématiquement la FEM pour traiter la
partie basse fréquences car elle est très répandue. En revanche, en ce qui concerne la partie moyennes
et hautes fréquences, différentes méthodes ont été utilisées : la SEA ou bien la théorie variationnelle
des rayons complexes (TVRC).
29
1.4.4.1 FEM + SEA
La première méthode hybride présentée ici est celle développée par [Bodin, 2001] pour calculer la
réponse d’un équipement électronique à un choc pyrotechnique. Cette méthode utilise la FEM pour
calculer la partie basse fréquence et la SEA pour calculer la partie haute fréquence.
Principe
Pour procéder à un tel calcul, il faut tout d’abord marquer la fréquence de transition entre les
domaines basses et hautes fréquences. Pour cela, l’auteur propose d’utiliser le paramètre de
transmissibilité effective qui traduit l’accélération transmise par un mode propre depuis la source du
choc jusqu’au point de mesure.
Une fois cette fréquence déterminée, on procède ensuite au calcul de la réponse fréquentielle sur
chaque domaine. Pour les basses fréquences, les calculs FEM sont réalisés à partir du code de calcul
MSC.Nastran. Le calcul des réponses temporelles est mené à partir de la synthèse modale ou bien à
partir de la méthode d’intégration temporelle implicite. Un filtrage passe bas de la réponse est pratiqué
pour ne conserver que l’information avant la fréquence de transition. Pour les hautes fréquences, on
utilise tout d’abord la SEA via le code de calcul AutoSEA2 pour déterminer l’amplitude de la réponse
fréquentielle. La phase n’étant pas prédite par la SEA, il faut donc la reconstruire. L’auteur propose
pour cela d’employer l’approche dite « pseudo-aléatoire » qui consiste à affecter à n modes propres
présents sur le domaine haute fréquence une phase définie aléatoirement sur l’intervalle [ −π , π ] par
une loi normale. La réponse transitoire est une nouvelle fois obtenue en appliquant une IDFT à la
réponse fréquentielle reconstruite (amplitude, phase). Comme pour les basses fréquences, un filtrage
passe haut est appliqué à la réponse afin de conserver l’information après la fréquence de transition.
Enfin, la réponse transitoire couvrant les deux domaines est calculée en sommant les réponses
transitoires basse et haute fréquence.
Avantages et inconvénients
A partir de cette méthode, l’auteur montre que les prévisions sont comparables aux résultats
d’essais, si l’on tient compte d’une marge de 6 dB. L’intérêt majeur de cette méthode réside dans le
fait qu’il est possible d’utiliser le maillage construit pour d’autres problématiques (statique, analyse
modale) ce qui permet de réduire le temps de mise au point des simulations. Toutefois, ce gain n’est
peut être pas si élevé car comme le fait remarquer l’auteur la mise au point d’une simulation SEA
nécessite de l’expertise. De plus, le caractère prédictif de cette approche peut être mis en cause car il
est nécessaire de connaître a priori les paramètres ondulatoires (vitesse de groupe, facteurs de
couplage) du fait de l’utilisation de la SEA.
1.4.4.2 FEM + TVRC
Cette méthode développée par [Chevreuil, 2005] permet elle aussi de calculer la réponse transitoire
d’une structure soumise à un choc en couplant deux méthodes de calcul sur les domaines basses et
moyennes fréquences à la différence près que la sommation des réponses se fait d’abord sur les
réponses fréquentielles et non sur les réponses transitoires et qu’elle contourne les difficultés liées à la
SEA.
Principe
Dans cette méthode, le problème est tout d’abord scindé en deux domaines en définissant une
fréquence de transition. Ensuite, le calcul de la partie basse fréquence de la réponse fréquentielle est
réalisé à partir du code de calcul MSC.Nastran. La méthode de calcul choisie dans le code est la
synthèse modale car elle est bien adaptée lorsque peu de modes contribuent à la réponse, ce qui est le
cas en basse fréquence. Ensuite, pour la partie moyenne fréquence, les prédictions sont réalisées par la
TVRC (Théorie Variationnelle des Rayons Complexes). Cette méthode, initialement développée par
[Rouch, 2003] pour résoudre les problèmes stationnaires en moyennes fréquences, permet de faire face
30
aux limitations des méthodes FEM et SEA. La formulation de la TVRC s’appuie sur une approche dite
multi-échelle, c’est-à-dire qu’au lieu d’approcher à partir de polynômes par morceaux le champ de
déplacement comme pour la FEM, on va utiliser une base de fonctions sinusoïdales vérifiant
exactement les équations du mouvement (rayons complexes). Ensuite, en utilisant une forme faible
pour vérifier les conditions aux limites, on va être en mesure de calculer la réponse fréquentielle en
tout point de la structure en calculant la participation de chaque rayon complexe. Finalement, les
parties basses et moyennes fréquences des réponses fréquentielles sont fenêtrées puis sommées afin
d’estimer la réponse sur la bande fréquentielle complète. Finalement, la réponse transitoire est calculée
en appliquant une IDFT à la réponse fréquentielle.
Avantages et inconvénients
Les prédictions réalisées à partir de cette méthode ont été comparées à la méthode FEM temporel
(section 1.4.2.2). Les comparaisons montrent que les coûts de calcul de la méthode proposée sont plus
faibles que pour la FEM. Des premières simulations ont été réalisées afin d’étudier la propagation des
chocs pyrotechniques dans des plaques ; toutefois, aucune validation expérimentale n’a pour l’instant
été effectuée. Des simulations sur des structures plus complexes et composites devraient elles aussi
être proposées.
Nom
Catégorie
Domaine de
résolution
Coût numérique
Type des
structures
Applicabilité
TSEA
énergétique
temporel
faible
complexe
industrielle
MEST
énergétique
temporel
faible
poutre
universitaire
FDM
numérique
temporel
élevé
poutre / plaque
industrielle
FEM
numérique
temporel
élevé
complexe
industrielle
SEM
semi-analytique
fréquentiel
moyen
poutre / plaque
universitaire
SAFE
semi-analytique
fréquentiel
moyen
poutre / plaque
universitaire
WFE
semi-analytique
fréquentiel
moyen
poutre / plaque
universitaire
FEM + TVRC
hybride
fréquentiel
moyen
poutre / plaque
universitaire
FEM + SEA
hybride
fréquentiel
moyen
complexe
industrielle
Tableau 1.3 : Synthèse des méthodes de simulation.
1.4.5 Synthèse
Afin de comparer plus efficacement les méthodes qui viennent d’être présentées, nous les avons
regroupées dans le tableau 1.3. Les quatre critères pris pour la comparaison permettent d’évaluer les
avantages et inconvénients à utiliser industriellement les différentes méthodes dans le cadre de notre
problèmatique. A partir de cette synthèse, on est en mesure de comprendre qu’aucune des méthodes ne
possède un niveau de maturité suffisant pour prédire avec précision la propagation des chocs hautes
fréquences. En effet, pour certaines, le coût numérique est trop élevé, voire prohibitif, à hautes
fréquences, tandis que pour les autres, on peut simuler uniquement la réponse transitoire de structures
simples comme les plaques et les poutres. Sachant qu’industriellement les structures sont
majoritairement complexes, il a donc été décidé de realiser les prévisions à partir de la FEM temporel
31
malgré ses limitations. En règle générale, ces calculs sont realisés à partir de code de calcul existant
comme par exemple Radioss. Toute la difficulté pour l’industriel réside dans le choix du code car ils
ne proposent pas tous le même type d’éléments et de méthode de simulation.
1.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons tout d’abord décrit le comportement dynamique d’une structure
soumise à un choc haute fréquence afin de spécifier ce qu’on entendait par phénomène « haute
fréquence ». Lors de cette description, nous avons vu que ces phénomènes étaient des phénomènes de
propagation d’ondes localisés à proximité de la source du choc. Il ne faut donc pas les confondre avec
ceux que l’on rencontre fréquemment dans les problématiques stationnaires car ils sont eux localisés
sur l’ensemble de la structure (champ diffus) en raison d’excitations aléatoirement distribuées en
temps et en espace. Ceci étant dit, d’un point de vue industriel, seule la partie basse fréquence du choc
est prise en compte lors de la qualification des équipements puisque les normes imposent qu’ils soient
placés suffisamment loin de la source du choc pour ne pas subir les phénomènes hautes fréquences.
Seulement, il arrive parfois qu’en raison du faible espace disponible et des méconnaissances sur ces
phénomènes que les équipements subissent ces niveaux vibratoires très sévères. C’est pourquoi, afin
de mieux les contrôler, nous apportons notre contribution aux travaux de recherche menés sur cette
thématique en évaluant la capacité des outils de simulations industriels à prendre en compte les
phénomènes hautes fréquences. Pour mener cette étude, nous avons dressé les hypothèses suivantes :
1) Les structures étudiées présenteront une géométrie simple de type poutre ou plaque, les
dimensions de ces structures seront cependant comparables à celles rencontrées sur un lanceur,
c’est-à-dire de l’ordre du millimètre pour les sections (poutre) et les épaisseurs (plaque) et du mètre
pour les autres dimensions.
2) Les matériaux constituant les structures seront isotropes ou composites stratifiés.
3) Seuls les phénomènes hautes fréquences seront pris en compte dans les simulations numériques,
la réponse modale intervenant dans les temps longs ne sera pas, quant à elle, investiguée dans cette
thèse.
4) Le choc ne sera pas représentatif d’un cordeau de découpe pyrotechnique (charge défilante,
explosion) mais il tiendra compte du contenu fréquentiel très élevé (~100kHz).
A partir de ces hypothèses de travail et grâce aux différentes revues menées dans les sections 1.3 et
1.4, nous pouvons affirmer que des difficultés existent pour mettre au point des simulations
numériques fiables et précises dans le cadre de la propagation d’ondes. Tout d’abord, on constate des
difficultés dans les codes industriels liés à la modélisation des structures. En règle générale, on
s’appuie sur des éléments structuraux pour effectuer ce type de modélisation afin d’obtenir un modèle
possédant un nombre de paramètres physiques et numériques faible. Malheureusement, les théories
élémentaires et approchées utilisées pour formuler ces éléments sont limitées sur un certain domaine
fréquentiel pour reproduire la dispersion des ondes. Dans ce cas, on doit recourir aux éléments
solides ; toutefois, le nombre de paramètres peut rapidement devenir prohibitif si l’on s’intéresse à un
contenu fréquentiel élevé. Au cours des dernières années, des améliorations notables ont été apportées
sur les théories approchées afin d’étendre leurs domaines de validité ; seulement nous avons vu
qu’elles ne sont pas pour l’instant implémentées dans les codes pour des raisons numériques, ou bien
tout simplement parce qu’elles n’ont pas encore demontré leurs intérêts. Par conséquent, si l’on veut
développer des modèles numériques de faible taille et prédictif, il nous faut être en mesure d’évaluer a
priori leur capacité à reproduire les phénomènes locaux (champ de déplacement) et globaux (vitesse et
directivité d’une onde).
Autrement, ils existent des difficultés dans les codes mais cette fois liés à la méthode numérique
utilisée pour effectuer les calculs transitoires. Bien souvent, les industriels utilisent les codes de
dynamique rapide tels que Radioss s’appuyant sur la FEM temporel. Ces codes souvent appelés
32
« codes explicites » du fait qu’ils utilisent le schéma de Newmark explicite sont les mieux adaptés par
rapport aux autres méthodes car ils permettent de traiter aisément les structures complexes
(section 1.4). Néanmoins, nous avons aussi vu qu’ils l’étaient moins en ce qui concerne les
problématiques hautes fréquences en raison d’erreurs numériques qui leurs sont inhérentes. On note
tout d’abord des erreurs liées à la discrétisation spatio-temporelle (erreur de dispersion) qui font qu’on
est obligé de raffiner le maillage à mesure où là fréquence augmente. Pour assurer un niveau d’erreur
faible, des règles ont été définies ; seulement elles ne tiennent compte que des aspects physiques et
non des aspects numériques des techniques de discrétisation. Bien qu’elles semblent suffire pour
certaines problématiques, nous devons tout de même vérifier leur pertinence en ce qui concerne la
propagation d’ondes. Par ailleurs, nous avons aussi constaté lors de la description de la FEM temporel
que certaines techniques numériques comme la condensation de masse, l’intégration réduite ou bien
encore les éléments finis d’ordre élevé sont proposées afin de réduire le coût des calculs ou bien
améliorer la convergence des solutions approchées. Sur ces techniques, il a alors été dit que certaines
pouvaient dans le cadre d’étude sur la propagation d’ondes entraîner l’apparition d’ondes artificielles
ou bien augmenter les erreurs de dispersion. A nouveau, nous devons nous questionner sur l’intérêt
d’utiliser de telles techniques dans notre étude car peu de réponses à ces questions sont accessibles
dans la littérature. En règle générale, les problèmes rencontrés avec la FEM temporel sont solutionnés
en développant de nouvelles méthodes de calcul plus à même de répondre aux besoins comme par
exemple les méthodes semi-analytiques ou hybrides présentées respectivement aux sections 1.4.3 et
1.4.4. Cependant, ces dernières restent pour la plupart limitées aux cas académiques et n’ont pour
l’instant pas été implémentées dans les codes de calcul, ce qui limite fortement leur usage par les
industriels.
En conclusion, si nous voulons simuler avec fiabilité et précision la propagation d’ondes à hautes
fréquences dans les structures composites stratifiées, nous devons investiguer les différentes questions
suscitées précédemment en ce qui concerne la mise au point d’une simulation à partir d’un code
explicite. Nous allons donc tout d’abord évaluer a priori le domaine de validité des éléments finis
structuraux proposés par les codes explicites. Ceci fera l’objet du chapitre 2 en ce qui concerne les
éléments poutres et du chapitre 3 en ce qui concerne les éléments plaques. Ensuite, nous vérifierons la
précision des simulations réalisées à partir d’un code explicite dans le chapitre 4 en comparant les
prévisions à celle de la méthode WFE. Enfin, au chapitre 5, nous proposerons des essais permettant
d’étudier la validité des modèles. Lors de ces essais, on cherchera avant tout à comparer des grandeurs
globales telles que la vitesse des ondes car nous pensons qu’elles sont moins sensibles aux conditions
d’essais ce qui permet de meilleures corrélations essais/calculs.
Chapitre 2
Modélisation de la propagation d’ondes dans les
poutres composites stratifiées
2.1 Introduction
A travers ce chapitre, on cherche à établir la limite d’utilisation des éléments finis poutres proposés
dans les codes de calcul pour étudier la propagation d’ondes. Pour cela, nous allons étudier leurs
capacités à reproduire les phénomènes de dispersion d’ondes, en particulier la dépendance de la
vitesse par rapport à la fréquence (courbe de dispersion). De plus, pour parfaire cette étude sur la
dispersion, nous étudierons la déformation de la section de la poutre (déformée de section) pour
chaque onde, ce qui nous permettra d’appréhender si l’élément reproduit bien les mécanismes de
déformation mis en jeu sur la bande fréquentielle d’étude.
Pour ce faire, nous allons analyser la dispersion à partir des théories de poutres, utilisées pour
formuler les éléments et comparer les prévisions obtenues à celles calculées numériquement par la
méthode WFE. Ainsi, on sera en mesure d’appréhender la limite fréquentielle des différentes théories,
mais aussi d’identifier l’origine de ces limitations, ce qui permettra alors de proposer des
enrichissements aux éléments poutres présents dans les codes de calcul. Pour démontrer l’intérêt de
cette approche, différents cas d’applications sont présentés à la fin de ce chapitre.
Enfin, il est important de noter qu’à travers cette étude nous nous intéressons uniquement à
l’influence du paramétrage physique de l’élément (choix de la théorie de poutres) sur la reproduction
des phénomènes de dispersion. L’influence des paramètres numériques sera quant à elle abordée au
Chapitre 4.
2.2 Analyse de la dispersion des ondes à partir des théories de
poutres
Dans cette première partie, nous allons conduire une analyse sur la dispersion des ondes à partir des
théories élémentaires et approchées utilisées pour formuler les éléments finis poutres. De plus, nous
avons décidé de mener cette analyse à partir des théories approchées d’ordre plus élevé afin
d’appréhender leurs intérêts. Pour cela, nous allons développer pour chaque théorie, les équations du
mouvement, ce qui nous permettra ensuite, en postulant le champ de déplacement sous forme d’ondes
planes harmoniques, de caractériser la dispersion des ondes. Pour les poutres isotropes, ce travail ne
présente aucune nouveauté ; toutefois, en ce qui concerne les poutres composites stratifiées à section
rectangulaire, ce qui nous intéresse ici, ceci est moins vrai car la prise en compte de matériau
composite stratifié n’est pas une chose maîtrisée dans les théories de poutres. Nous avons donc du
33
34
nous baser sur les travaux de [Reddy, 2003] afin de définir des caractérisques mécaniques
homogénéisés dans les théories élémentaire et du premier ordre en flexion. De plus, une attention
particulière sera aussi accordée sur l’influence des coefficients pondérateurs utilisés dans certaines
théories.
2.2.1 La théorie élémentaire
La théorie élémentaire proposée ici est basée sur les travaux de [Reddy, 2003] qui utilise un
développement en série pour définir les équations du mouvement. Cette théorie peut être vue comme
une extension de la théorie d’Euler-Bernouilli aux cas des poutres composites stratifiées car les
équations du mouvement qui en découlent sont équivalentes. Ceci vient du fait que dans les deux
théories, on emploie les hypothèses de la résistance des matériaux (RDM) qui sont 1) la section de la
poutre est indéformable et 2) la section de la poutre reste perpendiculaire à la fibre moyenne après
déformation.
Dans le cadre des hypothèses de la RDM, le champ de déplacement de la poutre se formule de la
manière suivante :
u = u0 ( x ) − z
∂w0 ( x )
∂x
w = w0 ( x )
,
(2.1)
avec : u0 le déplacement longitudinal de la section suivant x et w0 le déplacement transversal de la
section suivant z . A la figure 2.1, nous avons représenté les différents efforts et moments qui résultent
du champ de déplacement.
Figure 2.1 : Réprésentation des efforts et des moments pris en compte dans la théorie élémentaire.
A partir de (2.1), il est possible, en employant la théorie linéaire de l’élasticité, d’écrire le champ de
déformation comme suit :
ε xx =
∂2w
∂u ∂u0
=
− z 20 = ε xx0 − zκ x ,
∂x ∂x
∂x
ε zz =
∂w
=0 ,
∂z
γ xz =
∂u ∂w
+
=0
∂z ∂x
(2.2)
0
avec : ε xx
la déformation longitudinale et κ x la courbure. On remarque via (2.2) que le cisaillement
transverse est nul dans la théorie élémentaire. Maintenant, en vue d’obtenir les équations du
mouvement représentant le comportement dynamique de la poutre, nous allons calculer la variation
des énergies potentielle et cinétique. Ces variations s’expriment :
δ U = ∫ (σ xxδε xx )dv ,
V
δ T = ∫ ρ ( uɺδ uɺ + wɺ δ wɺ ) dv
V
En introduisant les expressions des déformations dans les équations (2.3), on obtient :
(2.3)
35

 ∂δ u0
∂ 2δ w0  
z
−
σ


 dsdx
0 ∫S  xx
∂x 2  
 ∂x

L


∂wɺ 
∂δ wɺ 0 
δ T = ∫ ∫ ρ   uɺ0 − z 0  δ uɺ0 − z
 + wɺ 0δ wɺ 0  dsdx
0 S
∂x 
∂x 


δU = ∫
L
(2.4)
Ensuite, en calculant l’intégrale sur la section de la poutre présente dans l’équation (2.4), on est en
mesure d’exprimer les variations des énergies potentielle et cinétique de la manière suivante :
L

δU = ∫  N x
0

δT = ∫
L
0
∂δ u0
∂ 2δ w0 
− Mx
dx
∂x
∂x 2 

 ∂δ wɺ 0 ∂wɺ 0

 ∂wɺ ∂δ wɺ 0  
δ uɺ0  + J Y 2  0
−
 J 0 ( uɺ0δ uɺ0 + wɺ 0δ wɺ 0 ) + J Y 1  uɺ0
 dx
∂x
∂x


 ∂x ∂x  

(2.5)
Les équations (2.5) font alors apparaître les différents mécanismes de déformation. Soit, N x la
résultante associée à la traction et M x le moment associé à la flexion dont les expressions sont
données par :
N x = ∫ σ xx ds ,
S
M x = ∫ σ xx zds
S
(2.6)
ainsi que J 0 la masse linéique et ( J Y 1 , J Y 2 ) les moments d’inerties d’ordre 1 et 2 suivant y définies
par :
( J 0 , JY 1 , JY 2 ) = ∫S ρ (1, z, z 2 ) ds
(2.7)
En négligeant les moments d’inerties ( J Y 1 , J Y 2 ) supposés très faibles, puis en intégrant par parties
(2.5), les variations d’énergie deviennent :
δU = ∫
L
0
 ∂N x

∂2M x
δ u0 −
δ
w
−
dx ,
0
∂x 2
 ∂x

ɺɺ0δ w0 )dx
δ T = ∫ − J 0 ( uɺɺ0δ u0 + w
L
0
(2.8)
A présent, on peut appliquer le principe de Hamilton en vue d’obtenir les équations du mouvement. En
l’absence de forces extérieures, le principe de Hamilton s’écrit :
∫ (δ U − δ T )dt = 0
T
0
(2.9)
Sachant que les variations δu0 et δw0 varie indépendamment et arbitrairement, on peut alors formuler
les équations du mouvement de la façon suivante :

∂N x
∂ 2 u0
=
δ
u
:
J
0
 0
∂x
∂t 2

2
2
δ w : ∂ M x = J ∂ w0
0
 0
∂x 2
∂t 2
(2.10)
36
Si l’on veut analyser la dispersion des ondes, il nous faut exprimer les équations (2.10) uniquement à
partir des déplacements (u0 , w0 ) . Pour ce faire, on doit donc établir les relations entre les résultantes,
les moments et les déplacements présents dans (2.10). Dans le cadre des poutres composites stratifiées
à section rectangulaire, nous allons suivre l’approche de [Reddy, 2003] afin de déterminer la résultante
N x et le moment M x en fonction des déplacements ( u0 , w0 ) . Pour ce faire, on utilise les relations
développées en annexe B.1:
Nx =
b ∂u0
,
A11* ∂x
Mx = −
b ∂ 2 w0
D11* ∂x 2
(2.11)
A partir de (2.11), on peut identifier les modules élastiques homogénéisés suivants :
b
,
A11* A
Ex =
Ez =
b
D I
(2.12)
*
11 Y
avec : b la largeur de la poutre, A l’aire de la section S, IY le moment quadratique de la section S
suivant l’axe y définis par :
A = ∫ ds ,
IY = ∫ z 2 dz
S
(2.13)
S
Ce qui permet alors de réécrire (2.11) de la façon suivante :
N x = Ex A
∂u0
,
∂x
M x = − Ez IY
∂ 2 w0
∂x 2
(2.14)
On notera que dans le cas de la poutre isotrope, les expressions sont semblables, à condition de
prendre E x = E z = E . Finalement, en remplaçant les relations (2.14) dans (2.10), on est en mesure
d’écrire les équations du mouvement fonction uniquement des déplacements ( u0 , w0 ) . Ces équations
s’écrivent :

∂ 2 u0
∂ 2 u0
E
A
−
J
=0
0
 x
∂x 2
∂t 2

4
2
 E I ∂ w0 + J ∂ w0 = 0
0
 z Y ∂x 4
∂t 2
(2.15)
Fort des équations du mouvement (2.15), nous pouvons désormais caractériser la dispersion des ondes.
Pour ce faire, on postule le champ de déplacement (2.1) sous forme d’ondes planes harmoniques
comme suit :
u0 ( x, t ) = Ue (
i ωt − kx )
,
w0 ( x, t ) = We (
i ωt − kx )
(2.16)
En introduisant les expressions (2.16) dans les équations (2.15), on obtient les relations de dispersion
suivantes :
 E x Ak 2 − ω 2 J 0 = 0

4
2
 E z IY k + ω J 0 = 0
(2.17)
37
Les nombres d’ondes solutions des relations (2.17) sont :
k1,2
 J

= ± 0 ω  ,
 Ex A 
k3,4
 J0 
= ±
2 
 Ez IY ω 
1
4
,
k5,6
 J0 
= ±i 
2 
 Ez IY ω 
1
4
(2.18)
ce qui nous donne en terme de vitesses de phase pour les ondes progressives :
E A
c1,2 = ± x
,
J0
c3,4
E I 
= ± z Y 
 J0 
1
4
ω
(2.19)
En analysant les solutions (2.18) et (2.19), on retrouve les résultats bien connus de la théorie
élémentaire sur la dispersion des ondes, c'est-à-dire que la théorie prédit uniquement l’onde principale
longitudinale, et les deux premières ondes transversales, l’une progressive (nombre d’ondes réel) et
l’autre évanescente (nombre d’ondes imaginaire). On notera enfin que pour toutes ces ondes, il y a
existence d’une onde se propageant vers les x positifs (nombre d’ondes positif) et une onde se
propageant vers les x négatifs (nombre d’ondes négatif).
Si l’on mène une analyse asymptotique à hautes fréquences (ou pour des petites longueurs d’ondes),
on obtient les vitesses limites suivantes :
c1,2 = ±
Ex A
,
J0
c3,4 = ±∞
(2.20)
A partir de cette analyse, on constate que la vitesse de l’onde longitudinale est inchangée et que la
vitesse de l’onde transversale tend vers une valeur infinie. Une nouvelle fois, on retrouve un constat
classique fait sur la théorie élémentaire, c’est-à-dire, que la théorie est fausse puisqu’elle prédit une
vitesse infinie pour l’onde transversale et ne tient pas compte de la dispersion de l’onde principale
longitudinale à hautes fréquences. A titre d’exemple, les courbes de dispersion d’une poutre isotrope à
section rectangulaire sont représentées à la figure 2.2.
Figure 2.2 : Exemple de courbes de dispersion pour la théorie élémentaire.
38
2.2.2 La théorie du premier ordre en flexion
Comme nous venons de le voir lors de l’étude asymptotique, la théorie élémentaire est limitée dès
que l’on s’intéresse aux fréquences élevées. Ceci est dû au fait que les hypothèses issues de la RDM
ne suffisent plus pour modéliser le comportement dynamique de la poutre à ce niveau de fréquence.
Pour pallier ces limitations, il est intéressant d’employer une théorie du premier ordre en flexion car ce
type de théorie revoit l’hypothèse stipulant que la section de la poutre reste perpendiculaire à la fibre
moyenne. Nous allons donc à nouveau utiliser une approche comparable à celle de [Reddy, 2003] afin
de développer une théorie du premier ordre en flexion comparable à celle de Timoshenko mais pour
les matériaux composites stratifiés. Les éléments finis poutres formulés à partir de la théorie de
Timoshenko pourront ainsi être utilisés pour traiter les poutres composites stratifiés.
Pour tenir compte des hypothèses de la théorie de Timoshenko, le champ de déplacement de la poutre
doit être formulée comme suit :
u ( x, z ) = − zφ0 ( x ) ,
w ( x, z ) = w0 ( x )
(2.21)
avec : w0 le déplacement transverse de la section suivant z et φ0 la rotation de la section dans le plan
(x, z ) . Les différents effort et moment qui résultent du champ de déplacement sont illustrés sur la
figure 2.3.
Figure 2.3 : Réprésentation des efforts et moments pris en compte dans la théorie du premier ordre en flexion.
De même, le champ de déformation s’exprime désormais de la façon suivante :
ε xx =
∂φ
∂u
= −z 0 ,
∂x
∂x
ε zz =
∂w
=0 ,
∂z
γ xz = 2ε xz =
∂u ∂w  ∂w0

+
=
− φ0 
∂z ∂x  ∂x

(2.22)
A partir de (2.22), on note que, pour la théorie du premier ordre en flexion, le cisaillement transverse
n’est pas nul. C’est d’ailleurs ce mécanisme de déformation qui fait que la section de la poutre n’est
plus perpendiculaire à la fibre moyenne [Graff, 1991]. Pour développer les équations du mouvement,
on procède de la même manière analogue à la théorie précédente, c’est-à-dire que l’on va calculer les
variations des énergies potentielle et cinétique puis appliquer le principe de Hamilton. Après calculs et
en l’absence de forces extérieures, les équations obtenues s’écrivent :

∂Qx
∂ 2 w0
= J0 2
δ w0 :
∂x
∂t

2
δφ : Q − ∂M x = J ∂ φ0
0
x
Y2
∂x
∂t 2

(2.23)
avec : M x le moment de flexion, Qx la résultante associée au cisaillement transverse, J 0 la masse
linéique et J Y 2 le moment d’inertie d’ordre 2 suivant y définis par :
39
( J 0 , JY 2 ) = ∫S ρ (1, z 2 ) dz
Qx ( x ) = ∫ σ xz ds ,
M x = ∫ σ xx zds ,
S
S
(2.24)
Désormais, pour analyser la dispersion des ondes, on doit exprimer les équations du mouvement
uniquement à partir des déplacements (w0 , φ0 ) . Dans le cadre des poutres composites stratifiées à
section rectangulaire, il faut procéder comme pour la théorie élémentaire, c’est-à-dire à partir des
expressions entre les résultantes, les moments et les déformations d’une plaque puis poser les
hypothèses simplificatrices de la théorie des poutres [Reddy, 2003]. D’après les calculs menés en
annexe B.2, on aboutit alors aux relations suivantes :
Qx =
α b  ∂w0

− φ0  ,

F  ∂x

Mx = −
*
55
b ∂φ0
D11* ∂x
(2.25)
Il est important de noter que dans les expressions (2.25) nous avons introduit le coefficient
pondérateur α . Ceci vient du fait que le cisaillement transverse n’est pas constant sur la section de la
poutre et donc Qx ne peut pas être intégré facilement sur la section.
De nouveau, on peut identifier des modules élastiques homogénéisés, ce qui donne :
Ez =
b
D I
*
11 Y
G=
,
b
F55* A
(2.26)
avec : IY le moment quadratique de la section S suivant y défini par :
IY = ∫ z 2 dz
(2.27)
S
En remplaçant (2.26) dans (2.25), les résultantes et les moments se réécrivent :
 ∂w

Qx = α GA  0 − φ0  ,
 ∂x

M x = − Ez IY
∂φ0
dx
(2.28)
A partir des relations déterminées précédemment, on peut écrire les équations (2.23) uniquement à
partir des déplacements ( w0 , φ0 ) de la façon suivante :

 ∂ 2 w0 ∂φ0 
∂ 2 w0
GA
−
=
J
α

0
 2

∂x 
∂t 2

 ∂x

∂ 2φ0
∂ 2φ0
 ∂w0


α
GA
−
φ
+
E
I
=
J
0
z Y
Y2
 ∂x

∂x 2
∂t 2



(2.29)
Pour déterminer les relations de dispersion, on postule ensuite le champ de déplacement (2.21) sous
forme d’ondes planes harmoniques :
w0 = We (
i ω t − kx )
,
φ0 = Φee
i(ωt −kx )
Puis en introduisant (2.30) dans les équations (2.29), on aboutit au système d’équations suivant :
(2.30)
40
α GAk 2 − J 0ω 2

ikα GA

 W  0 
−ikα GA
= 
2
Ez IY k + α GA − J Y 2ω   Φ  0 
(2.31)
2
Pour que ce système possède une solution non triviale, il est nécessaire que son déterminant soit nul.
On en déduit ainsi la relation de dispersion des ondes transversales pour la théorie du premier ordre en
flexion :
A2 k 4 − A1k 2 + A0 = 0
(2.32)
avec : les coefficients A2, A1 , A0 définis par
A2 = α GAEz IY ,
A1 = α GAJ Y 2ω 2 + Ez IY J 0ω 2 ,
(
)
A0 = J Y 2ω 2 − α GA J 0ω 2
(2.33)
Tout d’abord, on constate, en analysant la relation de dispersion (2.32), qu’elle est polynomiale
d’ordre deux en k 2 . Cela veut donc dire qu’il existe quatre ondes transversales dont une moitié se
propage vers les x positifs et l’autre vers les x négatifs du fait que les nombres d’ondes k et –k sont
solutions de (2.32). A présent, intéressons nous aux améliorations apportées par la théorie du premier
ordre en flexion. A la figure 2.4, les courbes de dispersion obtenues à partir de la théorie du premier
ordre en flexion et la théorie élémentaire sont comparées pour une poutre isotrope à section
rectangulaire. A basse fréquence, on constate que les deux théories sont identiques. Ceci peut aussi se
vérifier en menant une analyse asymptotique, les vitesses limites calculées étant alors :
c3,4
E I 
= ± z Y 
 J0 
1
4
ω
(2.34)
Figure 2.4 : Comparaison des courbes de dispersion entre la théorie élémentaire (-) et la théorie du premier
ordre en flexion (- -).
En comparant les expressions (2.19) et (2.34), on vérifie bien que les deux théories donnent des
résultats semblables à basses fréquences. Par contre, à hautes fréquences, les valeurs limites des
vitesses de phase sont :
41
c3,4 = ±
α GA
J0
,
c5,6 = ±
EIY
JY 2
(2.35)
A la vue des valeurs (2.35) et des courbes de dispersion (figure 2.4), on peut dire que la vitesse de
l’onde principale transversale est désormais finie contrairement à celle prédite par la théorie
élémentaire pour laquelle la vitesse tendait vers une valeur infinie (cf. équation (2.20)). De plus, on
constate que la première onde secondaire, évanescente quelque soit la fréquence pour la théorie
d’Euler-Bernouli, devient progressive à partir d’une certaine fréquence de coupure. Cette fréquence
peut être déterminée en recherchant la fréquence pour laquelle le nombre d’ondes est nul. Après
calcul, cette fréquence de coupure s’exprime :
fc =
1
2π
α GA
JY 2
(2.36)
Influence du coefficient correcteur
Pour exprimer la résultante Qx , nous avons vu qu’il fallait introduire un coefficient pondérateur α
dans (2.28). Ce coefficient a une importance cruciale sur les courbes de dispersion comme on peut le
voir à la figure 2.5 ou bien au niveau des expressions (2.35) et (2.36). En effet, les vitesses limites de
l’onde principale, ainsi que la fréquence de coupure de l’onde secondaire dépendent de α . Il est donc
indispensable de bien savoir l’évaluer si l’on souhaite obtenir un modèle physique prédictif. Pour ce
faire, différentes méthodes ont été proposées dans la littérature. Grâce à ces travaux, les valeurs de ce
coefficient pour une majorité de sections (circulaire, rectangulaire, etc.) ont pu être établies et sont
recensées dans [Cowper, 1966]. Pour une section rectangulaire, ce qui nous intéresse particulièrement
dans cette étude, le coefficient pondérateur vaut 0.85 pour un coefficient de Poisson ν = 0.3 . Par
ailleurs, il faut noter que ces coefficients ont été déterminés pour des poutres isotropes, ce qui veut
dire qu’ils ne sont pas forcément les mêmes pour les poutres composites stratifiées. Si l’on se réfère à
[Reddy, 2003], on constate même qu’ils sont obligatoirement différents et dépendent
malheureusement des propriétés de chaque pli ainsi que de la stratification. Cela veut donc dire qu’on
est obligé de les déterminer pour chaque stratification, ce qui peut être très pénalisant dans certains
cas. Dans les cas d’application présentés à la section 2.4, nous étudierons l’influence de ces
coefficients sur les prévisions et on vérifiera ainsi s’ils dépendent bien de la stratification.
Figure 2.5 : Influence du coefficient pondérateur sur la dispersion des ondes : α = 0,85 (-) et α = 0,65 (- -).
42
2.2.3 Les théories du premier ordre en traction
A partir de la théorie du premier ordre en flexion présentée précédemment, nous avons vu qu’il
était possible, en tenant compte d’un plus grand nombre de mécanismes de déformation, d’améliorer
les prévisions à hautes fréquences pour les ondes transversales. Ainsi, les éléments finis formulés à
partir de cette théorie pourront être plus à même de modéliser le comportement dynamique des poutres
composites stratifiées à hautes fréquences tout en ayant un nombre limité de paramètres physiques.
Pour les ondes longitudinales, les éléments finis sont formulés uniquement à partir de la théorie
élémentaire, ce qui laisse à penser que nous pourrons être limités pour traiter nos cas d’application, du
fait qu’elle ne prédit pas la dispersion de l’onde principale ainsi que l’existence des multiples ondes
secondaires. En vue de faire face à ces limitations, nous avons choisi de tester la capacité des théories
approchées d’ordre élevé dédiées aux ondes longitudinales, même si ces dernières ne sont pas encore
implémentées dans les codes de calcul. De ce fait, si les éléments structuraux sont mis en défaut, nous
pourrons proposer des enrichissements à apporter aux codes pour ainsi éviter l’emploi des éléments
solides générant un nombre de ddl prohibitif.
2.2.3.1 Théorie de Muller
La première théorie approchée choisie dans ce travail est la théorie du premier ordre en traction
proposée dans [Muller, 1983] pour les poutres isotropes. Cette théorie prend en compte des
mécanismes de déformation liés aux effets de Poisson et au cisaillement transverse. Pour introduire
ces nouveaux mécanismes, Muller postule le champ de déplacement de la poutre de la façon suivante :
u ( x, y, z ) = u0 ( x ) ,
v ( x, y, z ) = yϕ0 ( x ) ,
w ( x, z ) = zψ 0 ( x )
(2.37)
avec : u0 le déplacement longitudinal de la section suivant x et ϕ0 , ψ 0 les déplacements latéraux de
la section suivant y et z . Les efforts et les moments associés à chaque ddl
( u0 , ϕ0 ,ψ 0 )
sont
représentés à la figure 2.6.
Figure 2.6 : Réprésentation des efforts et moments pris en compte dans la théorie de Muller.
A partir du champ de déplacement (2.37), on en déduit, via la théorie linéaire de l’élasticité, le champ
de déformation comme suit :
∂u ∂u0
∂v
∂w
=
,
ε yy = = ϕ0 ,
ε zz =
=ψ 0
∂x ∂x
∂y
∂z
∂ϕ
∂ψ 0
∂u ∂v
∂u ∂w
∂v ∂w
γ xz = +
γ yz = +
=
+
=y 0 ,
=z
,
=0
∂y ∂x
∂x
∂z ∂x
∂x
∂z ∂y
ε xx =
γ xy
(2.38)
De même que pour les précédentes théories, on va exprimer les équations du mouvement à partir du
principe de Hamilton. Pour cela, on exprime les variations d’énergie potentielle et cinétique. Ces
variations sont données par les expressions suivantes :
43
L
 ∂N x
∂M y

δ u0 +  N y −
∂x

 ∂x
δU = ∫ −
0

∂M z

 δϕ0 +  N z −
∂x




 δψ 0 dx


(2.39)
δ T = ∫ ( − J 0uɺɺ0δ u0 − J Z 2ϕɺɺ0δϕ0 − J Y 2ψɺɺ0δψ 0 )dx
L
0
avec : N x la résultante associée à la traction, N y la résultante associée à l’effort latéral suivant y, N z
la résultante associée à l’effort latéral suivant z, M y et M z les moments associés au cisaillement
transverse, J Y 2 et J Z 2 les moments d’inerties d’ordre 2 suivant l’axe y et z. Ces efforts, ainsi que les
moments, sont définis par les expressions suivantes :
N y = ∫ σ yy ds ,
S
M z = ∫ σ xz zds ,
S
N z = ∫ σ zz ds ,
M y = ∫ σ xy yds
S
S
J Y 2 = ∫ ρ z ds ,
(2.40)
J Z 2 = ∫ ρ y 2 ds
2
S
S
En appliquant le principe de Hamilton en l’absence de forces extérieures, on obtient les équations du
mouvement suivantes :

δ u0 :


δϕ0 :


δψ 0 :

∂N x
∂ 2 u0
= J0 2
∂x
∂t
∂M y
∂ 2ϕ
− N y = J Z 2 20
∂x
∂t
∂ 2ψ 0
∂M z
− N z = JY 2 2
∂x
∂t
Pour exprimer les relations entre les résultantes
(N ,N
x
y
(2.41)
, N z ) , les moments
(M
y
, M z ) et les
déplacements ( u0 , ϕ0 ,ψ 0 ) dans le cadre des poutres isotropes à section rectangulaire, on commence
par exprimer la loi de Hooke :
σ xx  λ + 2 µ
λ
σ  
λ + 2µ
 yy   λ
σ zz   λ
λ
 =
0
σ yz   0
σ xz   0
0
  
0
σ xy   0
λ
λ
λ + 2µ
0
0
0
0
0
0
µ
0
0
0
0
0
0
µ
0
0  ε xx 
 
0  ε yy 
0   ε zz 
 
0  γ yz 
0  γ xz 
 
µ  γ xy 
(2.42)
Puis en introduisant les expressions (2.42) dans (2.40), on obtient les relations recherchées qui sont
données par :
N x = ( λ + 2µ ) A
Nz = λ A
∂u0
+ λ Aϕ0 + λ Aψ 0 ,
∂x
∂u0
+ λ Aϕ0 + ( λ + 2 µ ) Aψ 0 ,
∂x
∂u0
+ ( λ + 2 µ ) Aϕ0 + λ Aψ 0
∂x
(2.43)
∂ϕ0
∂ψ 0
M y = µ IZ
M z = µ IY
,
∂x
∂x
Ny = λA
44
avec : ( IY , I Z ) les moments quadratiques de la section S suivant y et z définis par :
IY = ∫ z 2 dz ,
I Z = ∫ y 2 dy
S
S
(2.44)
Fort des relations (2.43), on déduit finalement les équations du mouvement fonction uniquement des
déplacements ( u0 , ϕ0 ,ψ 0 ) de la façon suivante :

∂ 2 u0
∂ϕ0
∂ψ 0
∂ 2 u0
+λA
= J0 2
( λ + 2 µ ) A 2 + λ A
∂x
∂x
∂x
∂t

2

∂ ϕ0
∂u0
∂ 2ϕ0
I
−
A
−
+
A
−
A
=
J
µ
λ
λ
2
µ
ϕ
λ
ψ
(
)
 Z
0
0
Z2
∂x 2
∂x
∂t 2


∂ 2ψ 0
∂u0
∂ 2ψ 0
−λA
− λ Aϕ0 − ( λ + 2 µ ) Aψ 0 = J Y 2 2
 µ IY
∂x 2
∂x
∂t

(2.45)
En postulant le champ de déplacement sous forme d’ondes planes harmoniques comme suit :
u0 = Uei(ωt − kx ) ,
ϕ0 = Γei(ωt − kx ) ,
ψ 0 = Ψei(ωt − kx )
(2.46)
On obtient le système d’équation suivant :
 a1 − a2 k 2

 ia3 k
 ia3 k

−ia3k
a4 − a5 k 2
− a3
−ia3k  U 

− a3   Γ 
a7 − a6 k 2   Ψ 
(2.47)
avec : les coefficients ai définis par :
a1 = J 0ω 2 ,
a2 = ( λ + 2 µ ) A ,
a5 = µ I Z ,
a6 = µ IY ,
a3 = λ A ,
a4 = J Z 2ω 2 − ( λ + 2 µ ) A
a7 = JY 2ω 2 − ( λ + 2 µ ) A
(2.48)
Ce système d’équations possède une solution non triviale uniquement si son déterminant est nul, on en
déduit ainsi la relation de dispersion des ondes longitudinales :
A3 k 6 + A2 k 4 + A1k 2 − A0 = 0
(2.49)
avec : les coefficients Ai définies par :
A3 = − a2 a5 a6
A2 = a1a5 a6 + a32 a6 + a2 a5 a7 + a2 a4 a6 + a32 a5
A1 = − a2 a4 a7 − a1a5 a7 − a1a4 a6 − 2a33 − a32 a4 − a32 a7 + a2 a32
A0 = a1a4 a7 − a1a32
(2.50)
45
La relation de dispersion obtenue est d’ordre trois en k2, ce qui veut dire qu’il y a existence de trois
ondes longitudinales pouvant se propager vers les x négatifs ou positifs puisque k et –k sont solutions
de (2.49).
Figure 2.7 : Comparaison des courbes de dispersion entre la théorie élémentaire (-) et la théorie de Muller (--).
Les courbes de dispersion obtenues à partir de la théorie du premier ordre en traction sont comparées à
celles de la théorie élémentaire sur la figure 2.7. A partir de ces courbes, on constate qu’à basse
fréquence la théorie présente des résultats identiques à celle de la théorie élémentaire. On peut vérifier
cette affirmation à partir d’une analyse asymptotique. En effet, si l’on cherche les vitesses limites
lorsque la fréquence tend vers zéro (ou bien lorsque les longueurs d’ondes sont grandes), on obtient les
valeurs suivantes :
µ A ( 3λ + 2µ )
EA
=±
J0 (λ + µ )
J0
c1,2 = ±
(2.51)
A plus haute fréquence, on observe des écarts entre les deux théories. La première est due à la
dispersion de l’onde principale et la seconde à l’apparition des deux ondes secondaires. Les fréquences
de coupure des ondes secondaires peuvent être obtenues en cherchant la fréquence pour laquelle le
nombre devient nul. En menant le calcul, on détermine deux fréquences de coupure :
( f1 , f 2 ) =
1
2π 2 J Y 2 J Z 2
(
A ( λ + 2 µ )( J Y 2 + J Z 2 )
± ( λ + 2 µ ) ( JY 2 + J Z 2 ) − 16 J Y 2 J Z 2 µ ( λ + µ )
2
2
)
(2.52)
1/ 4
Enfin, à fréquences très élevées, l’étude asymptotique nous permet de déterminer les vitesses
suivantes :
c1,2 = ±
µ IZ
JZ2
,
c3,4 = ±
µ IY
JY 2
,
c5,6 =
( λ + 2µ ) A
J0
(2.53)
46
On constate que les vitesses de l’onde principale et de la première onde secondaire tendent vers la
µ ρ , tandis que pour la deuxième onde secondaire, la
vitesse des ondes de cisaillement cS =
vitesse tend vers l’onde de pression cP =
( λ + 2µ )
ρ . D’après les travaux de [Muller, 1983], la
vitesse de l’onde principale doit tendre vers la vitesse de l’onde de Rayleigh cR . C’est pourquoi, on
introduit un coefficient pondérateur qui va permettre d’ajuster la vitesse limite de l’onde principale. Si
l’on définit le coefficient α R de la façon suivante :
cR2
αR = 2
cS
(2.54)
et que l’on l’introduit dans l’expression des moments M y et M z (cf. équation (2.43)), on obtient :
M xz = α R µ I Z
∂ψ 0
,
∂x
M xy = α R µ IY
∂ϕ0
∂x
(2.55)
Les vitesses limites obtenues à partir des nouvelles expressions de M y et M z sont alors :
c1,2 = ± cR ,
c3,4 = ± cR ,
c5,6 =
( λ + 2µ ) A
J0
(2.56)
Comme convenu, en introduisant le coefficient pondérateur, on constate à partir de (2.56) que la
vitesse limite de l’onde principale est bien celle de l’onde de Rayleigh. Pour bien appréhender
l’influence du coefficient pondérateur sur la dispersion des trois ondes longitudinales, nous avons
représenté, à titre d’exemple, les courbes de dispersion d’une poutre isotrope à section rectangulaire
pour plusieurs valeurs de α R (figure 2.8).
Figure 2.8 : Influence du coefficient pondérateur sur la dispersion des ondes : αR=1 (-) et αR=0.8 (--).
2.2.3.2 Théorie de Gopalakrishnan
Pour modéliser les poutres composites stratifiées à haute fréquence, il faut faire appel à la théorie
du premier ordre en traction proposée par [Gopalakrishnan et al., 2007]. Cette théorie est comparable à
47
celle de Muller dans l’approche ; toutefois, la poutre est modélisée uniquement dans le plan (x,z). De
ce fait, la résultante N y et le moment M y schématisés à la figure 2.6 ne sont plus pris en compte dans
cette théorie. En suivant la même approche que la théorie de Muller, les équations du mouvement pour
une poutre composite stratifiée à section rectangulaire sont :

∂N x
∂ 2 u0
u
=
J
δ
:
0
 0
∂x
∂t 2

2
δψ : ∂M z − N = J ∂ ψ 0
z
Y2
 0
∂x
∂t 2
(2.57)
En utilisant les relations entre la résultante ( N x , N z ) , le moment M z et les déplacements ( u0 ,ψ 0 )
développées annexe B.3 qui sont :
∂u
N x = Aɶ11 0 + Aɶ13ψ 0 ,
∂x
∂u
N z = Aɶ13 0 + Aɶ33ψ 0 ,
∂x
M z = Dɶ 55
∂ψ 0
∂x
(2.58)
on est en mesure d’exprimer les équations du mouvement (2.57) en fonction uniquement des
déplacements ( u0 ,ψ 0 ) :
 ɶ ∂ 2u0 ɶ ∂ψ 0
∂ 2 u0
A
+
A
=
J
13
0
 11 2
∂x
∂x
∂t 2

2
2
 Dɶ ∂ ψ 0 − Aɶ ∂u0 + Aɶ ψ = J ∂ ψ 0
13
33 0
Y2
 55 ∂x 2
∂x
∂t 2
(2.59)
A partir des équations (2.59), nous pouvons analyser la dispersion des ondes en postulant le champ de
déplacement sous forme d’une onde plane harmonique :
u0 = Uei(ωt − kx ) ,
ψ 0 = Ψei(ωt − kx )
(2.60)
En introduisant (2.60) dans (2.59), on en déduit le système d’équation suivant :
 J 0ω 2 − Aɶ11k 2

ikAɶ13

 U  0 
−ikAɶ13

 = 
2
2
J Y 2ω − Dɶ 55 k − Aɶ33   Ψ  0 
(2.61)
La relation de dispersion recherchée est ensuite obtenue en calculant le polynôme caractéristique de
(2.61) :
A2 k 4 + A1k 2 + A0 = 0
(2.62)
A2 = Aɶ11 Dɶ 55
A1 = Aɶ11 Aɶ33 − Aɶ132 − Aɶ11 JY 2ω 2 − J 0ω 2 Dɶ 55
(2.63)
avec : Ai les coefficients définis par :
A0
(
= (J
ω2
Z2
)
− Aɶ ) J ω
33
0
2
48
Les solutions obtenues à partir de (2.62) correspondent aux nombres d’ondes associés à l’onde
principale et secondaire. Du fait que k et − k sont solution de (2.62), il y a pour chaque type d’ondes
une onde se propageant vers les x positifs et un onde se propageant vers les x negatifs. Si l’on effectue
une analyse asymptotique à basses fréquences de la relation de dispersion, on obtient les vitesses
limites suivantes :
c1,2 = ±
( Aɶ
11
Aɶ33 − Aɶ132
Aɶ J
33
)
,
c3,4 = ±∞
(2.64)
0
En analysant ces vitesses limites calculées pour les différents cas d’application présentés à la section
2.4, nous verrons que cette théorie convient pour modéliser uniquement certaines stratifications du
matériau composite stratifié. Nous n’avons donc pas présenté l’analyse de dispersion à hautes
fréquences car, n’étant pas généralisable à l’ensemble des stratifications, cette théorie conviendrait peu
si elle était implémentée dans un code de calcul. Pour poursuivre ce travail, il faudrait donc
s’intéresser à d’autres théories, comme par exemple celle de Touratier (cf. section 1.3.2), si l’on veut
contourner l’usage des éléments solides lorsque la théorie élémentaire est limitée.
2.3 Analyse de la dispersion des ondes à partir de la méthode
WFE
Dans cette seconde partie de l’étude, nous présentons la méthode WFE qui permettra, à partir de
ses prévisions, d’évaluer la validité des théories de poutres. Le choix de cette méthode a été
conditionné principalement par le fait qu’elle est à la fois simple à mettre en oeuvre et prédictive sur
une large bande fréquentielle. Pour l’adapter à nos besoins, des travaux complémentaires sur sa
convergence ont été menés car, nous le verrons, les critères de convergence proposés dans la littérature
sont inadaptés dès que l’on s’intéresse à la dispersion des ondes à hautes fréquences.
2.3.1 Formulation
A l’origine, différents travaux ont été initiés par [Mead, 1973] en vue de simuler le comportement
dynamique des structures en MF et HF à partir de la théorie des structures périodiques (PST, Periodic
Structure Theory). Dans ces travaux, l’auteur propose de caractériser dans un premier temps les ondes
planes harmoniques pouvant se propager à travers une période de la structure (cellule), puis ensuite
d’estimer, à partir d’une superposition ondulatoire (calcul analytique), la réponse dynamique de la
structure complète. Par la suite, des travaux ont été proposés par [Thompson, 1993] afin d’étudier la
propagation des ondes à hautes fréquences dans les rails de chemin de fer. Afin de prendre en compte
la section complexe du rail, l’auteur couple la FEM et la PST, ce qui lui permet alors de ne pas être
limitée fréquentiellement pour déterminer les caractéristiques ondulatoires (courbes de dispersion,
déformées de section). Dans les deux travaux précédents, les caractéristiques ondulatoires sont
calculées à partir d’un problème aux valeurs propres polynomiales d’ordre deux qui peut s’avérer
délicat à résoudre. C’est pourquoi, [Zhong et al., 1995] propose de reformuler le problème aux valeurs
propres en s’appuyant sur une description en variables d’état. S’en suit alors le travail de [Houillon,
1999] qui adapte la méthode WFE afin qu’elle puisse être formulée à partir d’éléments finis standard
proposés dans les codes de calcul. De ce fait, il sera possible de généraliser la méthode WFE à
l’ensemble des structures périodiques sans avoir recours à de nouveaux éléments finis, comme c’est le
cas pour la méthode SAFE (cf. 1.4.3.2). Grâce aux différents développements proposés par [Houillon,
1999], différents travaux ont pu être proposés afin d’analyser les caractéristiques ondulatoires pour des
structures complexes. On notera par exemple le travail de [Mencik et al., 2006] dans lequel on cherche
à estimer les caractéristiques ondulatoires d’une poutre submergée par un fluide, ou bien encore le
travail de [Akrout, 2005] sur les poutres à section creuses. Dans cette section, nous allons tout d’abord
revenir sur la définition d’une structure 1D-périodique afin de dresser certaines hypothèses d’étude.
Ensuite, nous écrirons les équations du mouvement en suivant l’approche prise par [Houillon, 1999].
A partir de ces équations, nous formulerons le problème aux valeurs propres permettant de caractériser
49
les ondes pouvant se propager librement dans les structures 1D-périodiques. Enfin, nous verrons de
quelle manière les courbes de dispersion ont été post traitées à partir des valeurs et vecteurs propres.
2.3.1.1 Définition d’une structure 1D-périodique
Figure 2.9 : Structure 1D-périodique.
Tout d’abord, définissons le terme de structure « 1D-périodique » pour ainsi bien comprendre les
hypothèses d’utilisation de la méthode WFE1D. D’une manière générale, on désigne par structure 1Dpériodique, toute structure divisible en sous domaines, appelés cellules, ayant des propriétés
géométriques et mécaniques similaires suivant une direction de l’espace (figure 2.9). Dans les
problèmes de dynamique des structures, ce type de structures se rencontre souvent. On peut citer par
exemple les rails de chemin de fer supportés périodiquement, les structures raidies, etc. Pour ces cas
d’applications, la période est clairement définie par l’espacement des supports ou des raidisseurs. En
ce qui concerne les structures ne comportant aucune modification d’impédance mécanique liée à la
présence d’un support ou d’un raidisseur, comme c’est le cas pour les poutres à section constante, la
période peut être choisie arbitrairement puisque la structure est divisible en sous domaines de
dimension quelconque. Dans ce travail, nous étudierons uniquement ce dernier type de structures 1Dpériodiques.
2.3.1.2 Modélisation d’une cellule par éléments finis
Dans cette section, nous allons écrire, pour une structure 1D-périodique, l’équation de transfert
modélisant le franchissement d’une cellule à partir de la FEM. Cette équation nous permettra à la
section suivante d’extraire les caractéristiques ondulatoires, c’est-à-dire les courbes de dispersion,
ainsi que les déformées de la section associées à chaque onde.
Figure 2.10 : Modélisation éléments finis d’une cellule 1D-périodique.
Considérons la cellule p de longueur d discrétisée par la FEM (figure 2.10). À partir de matrices de
masse et raideur obtenues par un code de calcul, on peut exprimer dans le domaine fréquentiel
l’équation du mouvement discrétisée de la cellule p de la manière suivante :
50
( (1 + iα ) [ K ] − ω [ M ]){uˆ} = { fˆ}
p
2
{ fˆ}
avec : [ K ] la matrice de raideur, [ M ] la matrice de masse,
p
(2.65)
p
le vecteur des forces nodales de la
cellule p , {uˆ} le vecteur des déplacements nodaux de la cellule p et α le facteur d’amortissement
p
hystérétique ( û p désigne le spectre de u p ). On notera que dans ce travail nous limitons la
discrétisation spatiale à un seul élément suivant la direction de propagation car les cellules étudiées ont
toutes une section constante suivant cette direction. Seule la section de la cellule, définie dans le plan
( x, y ) , peut comporter plusieurs éléments. La technique de condensation, présentée dans [Akrout,
2005] pour décrire la cellule uniquement à partir des noeuds de sections, ne sera donc pas employée
dans cette thèse.
Maintenant, reformulons l’équation du mouvement en introduisant la matrice de rigidité dynamique
définie par [ D ] = (1 + iα ) [ K ] − ω2 [ M ] , et décomposons le vecteur des forces nodales et le vecteur
des déplacements nodaux sur les sections gauche (indice L) et droite (indice R) de la cellule.
L’équation du mouvement (2.65) devient alors :
p
 fˆL 
DLR  uˆL 
=
 
 
DRR  uˆR 
 fˆR 
 DLL
D
 RL
p
(2.66)
Ensuite, à partir des deux vecteurs d’état suivants :
uˆ L 
ˆ 
 f L 
p
p
 uˆ R 
 ˆ  ,
− f R 
,
(2.67)
on réécrit l’équation (2.66) de la façon suivante :
p
uˆL 
 uˆ R 
[T ]  ˆ  =  ˆ 
− f R 
 f L 
p
(2.68)
avec la matrice de transfert de la cellule p définie par
−1

− DLR
DLL
[T ] = 
−1
 − DRL + DRR DLR DLL
−1

DLR
−1 
− DRR DLR 
(2.69)
En exprimant la continuité des déplacements et l’équilibre des forces entre les cellules p et p + 1 , on
est en mesure de relier le vecteur d’état de la section gauche de la cellule p à celui de la section
gauche de la cellule p + 1 comme suit :
uˆ L 
ˆ 
 f L 
p +1
 uˆR 
=

− fˆR 
p
(2.70)
51
Finalement, en remplaçant (2.70) dans (2.68), on détermine l’équation de transfert reliant les vecteurs
d’état de la section gauche des cellules p et p + 1 :
p
uˆL 
uˆ L 
[T ]  ˆ  =  ˆ 
 f L 
 f L 
p +1
(2.71)
Pour certains cas d’applications, il peut être délicat de calculer la matrice de transfert [T ] car, si l’on
analyse la relation (2.69), on constate que DLR doit être inversible. De plus, même si DLR est
inversible, des problèmes de conditionnement peuvent survenir. C’est pourquoi, [Zhong et al., 1995]
propose une nouvelle formulation de l’équation de transfert afin de pallier ces problèmes. Si l’on
considère les matrices suivantes :
 I
[ L ] =  Dn

LL
0 
,
DRL 
 0
[ N ] = − D

RL
In 
− DRR 
(2.72)
on montre facilement que :
uˆ L 
ˆ 
 f L 
p +1
uˆ 
= [ L]  L 
uˆR 
p +1
p
,
uˆL 
uˆR 
 ˆ  = [N ] 
uˆR 
 f R 
p
(2.73)
A partir des expressions (2.73) et de la relation (2.71), on détermine une nouvelle équation de transfert
qui s’exprime :
p
uˆ 
uˆ 
[ N ] uˆ L  = [ L ] uˆ L 
 R
 R
p +1
(2.74)
Tout d’abord, il faut noter que :
[T ] = [ N ][ L ]
−1
(2.75)
Ensuite, si l’on analyse les relations (2.73), on constate que les matrices [ N ] et [T ] ne nécessitent
plus l’inversion de DLR , ce qui confirme donc que cette nouvelle formulation sera plus adaptée lors de
la résolution du problème aux valeurs propres que nous aborderons dans la section suivante.
2.3.1.3 Caractérisation des ondes
A partir du modèle éléments finis décrit dans la section précédente, nous allons pouvoir caractériser
les différentes ondes. Pour ce faire, on va bâtir à partir du théorème de Floquet une relation qui traduit
la différence de phase entre les sections de la cellule p lorsqu’une onde plane harmonique se propage.
Formulation du problème aux valeurs propres
Si l’on exprime premièrement le vecteur d’état de la section gauche sous forme d’ondes planes
harmoniques comme suit :
52
p
uˆL 
Uˆ L  − ikx
=
,
ˆ 
 e
ˆ
F
 f L 
 L 
(2.76)
on peut exprimer à partir du théorème de Floquet, l’égalité entre les vecteurs d’état des cellules p et
p + 1 du fait que la structure soit périodique d’une longueur d . Cette relation s’exprime :
uˆL 
ˆ 
 f L 
p +1
uˆ L 
=λ 
 fˆL 
p
(2.77)
avec : λ = e x la constante de phase. Cette relation est bien entendu valable pour les vecteurs d’état
de la section droite :
− jk d
uˆ R 
ˆ 
 f R 
p +1
uˆR 
=λ 
ˆ
 f R 
p
(2.78)
Fort des relations (2.77) et (2.78), on peut formuler un problème aux valeurs propres polynomiales
qui, en le solutionnant, nous permettra d’obtenir les caractéristiques des différentes ondes. Si l’on
consulte la littérature, on distingue trois variantes pour formuler ce problème. La première est celle
proposée par [Mead, 1973]. Elle consiste à injecter les relations (2.77) et (2.78) dans l’équation du
mouvement (2.66) pour ainsi obtenir le problème aux valeurs propres suivant :
(λ [D ] + [D
LR
LL
)
+ DRR ] + λ −1 [ DRL ] {uˆL } = 0
(2.79)
A une pulsation ω donnée, ce système revient alors à un problème aux valeurs propres polynomial
d’ordre deux difficile à résoudre. C’est pourquoi, on propose plutôt d’injecter les relations (2.77) et
(2.78)dans l’équation de transfert (2.74), proposée par [Zhong et al., 1995], ce qui nous permettra
d’obtenir un problème aux valeurs propres mieux posé qui s’exprime :
[ N ] Φ = λ [ L] Φ
(2.80)
φiuR 
avec : λi les valeurs propres et Φ i =  u  les vecteurs propres.
L
φi 
Le problème (2.80) est un problème aux valeurs propres généralisé d’ordre un. Il est donc plus simple
à résoudre d’un point numérique que le problème (2.79). De ce fait, une grande majorité des travaux
utilise la formulation (2.80). Par ailleurs, on peut remarquer que les solutions de (2.80) s’exprime
directement à partir de celles de (2.73). En effet, si l’on se réfère à [Zhong et al., 1995], on constate
que les valeurs propres sont identiques et que les vecteurs propres sont reliés à partir des expressions
(2.73). Dans les cas d’applications proposés dans la section 2.4, nous nous sommes donc basés sur la
formulation (2.80) pour caractériser les différentes ondes.
Liens entre les valeurs et vecteurs propres et les caractéristiques ondulatoires
Maintenant, analysons les relations entre les valeurs et vecteurs propres, obtenues à partir de (2.80)
et les caractéristiques ondulatoires recherchées (vitesse de phase, déformées de section). En définissant
n comme étant le nombre de déplacements nodaux d’une section, on peut dire qu’il existe 2n valeurs
propres λi et vecteurs propres Φ i à la pulsation ωk . Physiquement, une valeur propre λi représente
53
la constante de phase, et un vecteur propre Φ i représente la déformée de la section de la i -ème onde.
Pour calculer le nombre d’ondes d’une onde i à partir de λi , il suffit simplement d’employer la
relation suivante :
ki =
log ( λi )
(2.81)
− jd
En analysant les valeurs prises par les nombres d’ondes, on constate qu’il existe à la pulsation ω , n
ondes se dirigeant vers les x positifs (partie réelle positive), et n ondes se dirigeant vers les x négatifs
(partie réelle négative). Par ailleurs, on distingue trois types d’ondes : les ondes progressives ( k
purement réel), les ondes évanescentes ( k purement imaginaire) et enfin les ondes complexes ( k
complexes). Pour bien distinguer les liens existants, une synthèse est proposée au tableau 2.1.
Type
d’onde
λ
λ
k
progressive
Re ( λ ) ≪ Im ( λ )
≈1
Re ( k ) ≫ Im ( k )
complexe
Re ( λ ) ≈ Im ( λ )
<1
Re ( k ) ≈ Im ( k )
évanescente
Re ( λ ) ≫ Im ( λ )
<1
Re ( k ) ≪ Im ( k )
Tableau 2.1 : Liens entre les valeurs propres et les nombres d’ondes.
2.3.1.4 Post traitement des courbes de dispersion
A partir de la WFE1D présentée précédemment, il est possible d’afficher, pour une pulsation
donnée ωk , les nombres d’ondes ainsi que les déformées de section de l’ensemble des ondes.
Seulement, en pratique, on souhaite plutôt pouvoir afficher, pour une onde donnée, l’évolution de son
nombre d’ondes ainsi que sa déformée de section sur un ensemble de pulsations [ω1 ⋯ωn ] . Dans ce
cas, il est nécessaire d'identifier, pour chaque onde, les nombres d’ondes et les déformées qui lui sont
associés sur l’ensemble des pulsations [ω1 ⋯ωn ] . Pour réaliser ce post traitement, on apparie tout
d’abord les différentes valeurs et vecteurs propres ( λ , Φ )i déterminés aux pulsations ωk et ωk +1 .
Pour ce faire, deux méthodes ont été proposées dans la littérature. La première méthode, proposée par
[Houillon, 1999], s’appuie sur le Modal Assurance Criterion (MAC) développé en analyse modale
pour apparier les modes propres à partir des déformées modales. Dans le cadre de la WFE1D, ce
critère est extrapolé pour apparier les ( λ , Φ )i à partir des déformées de section. A titre d’exemple, si
l’on souhaite apparier à une déformée φiu déterminée à la pulsation ωk , l’une des déformées φ uj
déterminée à la pulsation ωk +1 , il faut que le MAC :
(φ
MAC =
(φ
t u
i
⋅ φ ju
t u
i
⋅ φi
u
)( φ
)( φ
t u
j
⋅ φi u
t u
j
⋅φ
u
j
)
)
(2.82)
54
soit supérieur à une valeur donnée comprise entre 0 et 1 ( φ ju représente le conjugué de φ uj ).
Figure 2.11 : Post traitement des courbes de dispersion.
La seconde méthode, proposée par [Zhong et al., 1995], s’appuie quant à elle sur le fait qu’à une
pulsation donnée ωk , les vecteurs propres Φ i vérifient la propriété suivante :
ΦTj [ J n ] Φ i = 0
si λ j = λi−1
(2.83)
avec : [ J n ] la matrice définie par
 0
[ J n ] = − I

n
In 
0 
(2.84)
55
A partir de cette propriété, [Zhong et al., 1995] proposent d’apparier au vecteur propre Φ i (ωk ) , le
vecteur propre Φ j (ωk +1 ) , si ce dernier maximise la quantité suivante :
( Φ (ω ) ) [ J ] ( Φ (ω ) )
T
i
k
n
j
k +1
(2.85)
Pour que ce critère soit valide, il faut que les vecteurs propres Φ (ωk ) se différencient peu des
vecteurs propres Φ (ωk +1 ) car sinon (2.85) ne peut être apparentée à (2.83). En pratique, cette
hypothèse semble vérifiée dès lors que l’écart entre ωk et ωk +1 est faible.
Ensuite, une fois les ( λ , Φ )i appariés entre ωk et ωk +1 par l’une des deux méthodes, il suffit d’itérer
l’opération sur [ω1 ⋯ωn ] pour ainsi obtenir le post traitement désiré. Pour les applications présentées
à la section 2.4, le post traitement mis en place pour afficher les courbes de dispersion est celui
schématisé à la figure 2.11. A partir de ce schéma, on constate que seules les ondes progressives sont
post traitées. De plus, la méthode retenue pour apparier les ( λ , Φ )i est celle proposée par [Houillon,
1999], ceci en raison de sa simplicité de mise en œuvre.
2.3.2 Programmation
La programmation de la WFE1D est l’un des avantages majeurs de la méthode par rapport aux
autres méthodes semi-analytiques (cf. section 1.4.3). En effet, comme on peut le constater sur le
schéma à la figure 2.12, elle repose sur l’utilisation de logiciels standard fréquemment utilisés par les
industriels et les universitaires, ce qui facilite ainsi fortement sa programmation. La première étape
consiste à extraire les matrices de masse et de raideur à partir du code Abaqus/Standard. Pour ce faire,
il suffit d’établir un modèle EF de la cellule en utilisant la librairie d’EF standard implémentée dans le
code et de les extraire à partir de la fonction proposée par le code. Une fois ces matrices extraites, on
résout le problème aux valeurs propres (2.80) sur l’ensemble des pulsations, à partir d’une méthode de
résolution standard que l’on retrouve dans le logiciel Matlab. Enfin, en programmant le post traitement
discuté à la section 2.3.1.4, on est finalement en mesure d’afficher la courbe de dispersion ainsi que les
déformées de section d’une ou plusieurs ondes sur la bande fréquentielle d’étude.
Figure 2.12 : Programmation de la méthode WFE1D.
2.3.3 Analyse de convergence
Les prévisions obtenues à partir de la WFE1D peuvent être dégradées en raison d’erreurs
numériques liées à l’utilisation de la FEM. À titre d’exemple, on compare sur la figure 2.13, les
courbes de dispersion obtenues à partir de la théorie élémentaire à celles calculées à partir de la
WFE1D lorsque la cellule est modélisée à partir d’un élément fini de poutre. Théoriquement, les
résultats devraient être identiques car il s’agit du même modèle physique. Or, on remarque qu’à partir
d’une certaine fréquence les prévisions de la WFE1D se dégradent par rapport à la référence
56
analytique. Pour comprendre l’origine de ces erreurs, un travail a été mené dans [Waki et al., 2006]. A
partir des résultats de son travail, l’auteur a mis en avant trois sources d’erreur possibles.
La première source d’erreur est liée au mauvais conditionnement de la matrice de transfert [T ] .
Elle se caractérise par l’apparition de valeurs propres artificielles lors de la résolution du problème aux
valeurs propres (2.80). Pour réduire ces erreurs, l’auteur recommande d’utiliser la formulation de
[Zhong et al., 1995] présentée à la section 2.3.1.3.
La seconde source d’erreur provient de la discrétisation par EF de la cellule. Cette erreur,
négligeable en BF, s’amplifie à mesure où la fréquence augmente car les longueurs d’ondes mises en
jeu deviennent de plus en plus faibles par rapport à la taille des EF. Les travaux, menés par [Duhamel
et al., 2003], montrent que pour une cellule modélisée à partir des matrices de masse et de raideur
suivantes (élément poutres en traction formulé à partir de la théorie d’Euler-Bernoulli) :
[K ] =
EA  1 −1
,
d  −1 1 
[M ] =
ρ Sd  2 1 
6 1 2 
(2.86)
L’erreur relative entre les nombres d’ondes analytiques et numériques reste négligeable à condition
que la taille des éléments respecte le critère suivant :
d ≤ λx 2π
(2.87)
avec : λx la longueur d’ondes de l’onde longitudinale principale. A partir de (2.87), on retrouve la
conclusion classique stipulant qu’un minimum de six éléments par longueur d’ondes est nécessaire
pour obtenir des résultats précis. Par ailleurs, si l’on monte encore plus haut en fréquence, [Akrout,
2005] montre qu’il y a existence d’un phénomène de repliement de spectre (en anglais Aliasing effect),
c’est-à-dire l’apparition d’une limite dans la détermination du nombre d’ondes. Pour prédire cette
limite, les auteurs ont mis en place un critère de recouvrement analogue à celui de Nyquist-Shannon :
Re ( k ) <
π
d
(2.88)
Pour réduire cette erreur liée à la discrétisation FEM, il parait donc trivial de choisir une valeur de
d suffisamment faible pour ainsi respecter (2.87) et (2.88). Malheureusement, comme le montre
[Waki et al., 2006], une troisième source d’erreur peut être rencontrée lorsque d est trop faible. Cette
erreur, liée à la précision des nombres flottants, se manifeste lors du calcul des termes de la matrice de
rigidité dynamique [ D ] .
A partir de cette analyse, nous constatons que les études menées sur les erreurs numériques se
limitent à des cellules modélisées à partir d’éléments finis de poutres ou bien à l’analyse des
phénomènes de repliement de spectre pouvant être observés pour un maillage donné. Par contre,
aucune étude de convergence n’a pour l’instant été proposée afin de garantir la convergence des
prévisions WFE1D dès que l’on modélise la cellule à partir d’éléments solides. C’est pourquoi, pour
traiter nos cas d’application, nous avons tenté dans un premier temps d’utiliser le critère de
convergence (2.87) afin de garantir des prévisions correctes. Malheureusement, comme nous le
verrons lors de l’étude de convergence proposée à la section 2.4.4, ce dernier est mis en défaut dès
qu’on cherche à prédire la dispersion des ondes à hautes fréquences.
57
Figure 2.13 : Erreur numérique sur les prévisions WFE : (-) théorie élémentaire, (--) WFE1D.
2.4 Applications
Dans cette section, nous allons mettre en oeuvre la WFE1D et montrer qu’elle est efficace pour
étudier la validité des différentes théories de poutres présentées à la section 2.2. Pour cela, nous allons
nous appuyer sur deux structures tests : une poutre isotrope à section rectangulaire et une poutre
composite stratifiée à section rectangulaire. Un troisième test sera aussi mené afin d’étudier l’influence
de la stratification de la poutre composite stratifiée. A travers les comparaisons, nous verrons que les
théories de poutres peuvent être limitées sur la bande fréquentielle d’étude fixée à [0-100kHz]. Ces
limitations peuvent provenir des prévisions globales (vitesses de phase) et/ou des prévisions locales
(déformée de section). De plus, il sera montré que les théories du premier ordre ne peuvent être
utilisées pour reproduire les phénomènes de propagation dans certaines configurations d’empilement
de la poutre composite stratifiée. Enfin, en ce qui concerne la méthode WFE1D, on constatera à partir
d’une analyse de convergence que des erreurs numériques viennent dégrader les prévisions lorsque la
cellule est modélisée grossièrement. Pour garantir la fiabilité des prévisions, le critère de convergence
discuté à la section 2.3.3 a été employé ; toutefois, on montrera qu’il ne suffit pas pour traiter nos
applications.
2.4.1 Poutre isotrope à section rectangulaire
La première structure test est une poutre isotrope à section rectangulaire dont les propriétés
géométriques et mécaniques sont regroupées sur la figure 2.14.
Figure 2.14 : Propriétés géométriques et mécaniques de la première poutre test.
58
2.4.1.1 Caractérisation des ondes par WFE1D
Dans un premier temps, nous allons analyser les prévisions obtenues à partir de la WFE1D. Ceci
nous permettra de filtrer les ondes qui ne seront pas prises en compte lors de la validation des théories.
Pour obtenir ces prévisions, nous avons testé plusieurs maillages toutefois on se contente ici de
présenter les prévisions obtenues à partir d’un seul calcul. Les résultats obtenus à partir des autres
maillages seront comparés lors de l’étude de convergence à la section 2.4.4. Par ailleurs, les
paramètres numériques utilisés pour le calcul WFE1D sont listés dans le tableau 2.2. Ils seront
identiques pour les prochains tests.
f0
f max
∆f
(kHz)
(kHz)
(kHz)
1
100
1
Amortissement
0
α
Critère MAC
Critère IMAG
0.5
1
Tableau 2.2 : Paramètres numériques WFE1D utilisés pour les tests 1, 2 et 3.
Les figures 2.15 et 2.16 représentent respectivement les courbes de dispersion et les déformées de
section calculées à partir de la WFE1D. On constate sur les courbes que onze ondes progressives
existent sur la bande [0-100kHz]. A partir de leurs déformées de section, on peut identifier leurs types.
A basse fréquence, on retrouve les quatre ondes principales transversale suivant z (TZ0), transversale
suivant y (TY0), longitudinale (L0) et de torsion (T0). Ensuite, à partir de 40kHz, on observe
l’apparition de deux ondes secondaires, l’onde secondaire transversale suivant y (TY1) et une onde
secondaire de flexion cylindrique suivant z qu’on denommera (FCZ1). Enfin, à haute fréquence, on
observe cinq nouvelles ondes dont trois correspondent aux ondes secondaires longitudinale (L1),
transversale suivant z (TZ1) et de torsion (T1). Pour les comparaisons avec les théories, nous nous
restreignons aux ondes longitudinales L0 et L1 ainsi qu’aux ondes transversales suivant z, TZ0 et TZ1 car
un choc pyrotechnique sollicite majoritairement la structure longitudinalement et transversalement
suivant z. Après cette sélection, il ne nous reste donc plus que quatre ondes sur la bande [0-100kHz].
Figure 2.15 : Courbes de dispersion determinées par WFE1D.
2.4.1.2 Validation des théories de poutres
Les courbes de dispersion obtenues à partir des différentes théories de poutres sont comparées à la
figure 2.17 aux courbes de dispersion calculées par la WFE1D. A partir de ces comparaisons, on note
tout d’abord que la théorie élémentaire est valide jusqu’à 7kHz pour l’onde TZ0 et jusqu’à 50kHz pour
l’onde L0. Ce constat n’est pas étonnant car si l’on analyse par exemple les déformées de section de
l’onde L0 (figure 2.18), on constate qu’à partir de 50kHz les inerties latérales ne peuvent plus être
négligées. Les hypothèses de la théorie élémentaire ne sont donc plus suffisantes pour approcher le
comportement dynamique de la poutre.
59
onde TZ0 (1)
onde TY0 (2)
onde T0 (3)
onde L0 (4)
onde TY1 (5)
onde FCZ1 (6)
onde (7)
onde (8)
onde T1 (9)
onde TZ1 (10)
onde L1 (11)
Figure 2.16 : Déformées de section déterminées par la WFE1D.
En ce qui concerne la théorie de Muller, on constate qu’elle n’est valide jusqu’à 50kHz tout comme
la théorie élémentaire. Ceci paraît surprenant car dans la théorie de Muller, les inerties latérales sont
prises en compte. Une explication peut toutefois être donnée. Si l’on observe précisément la déformée
de section à 50kHz (figure 2.18), on constate que le champ de déplacement présente une distribution
demi-sinusoïdale dans la largeur de la poutre. Or dans la théorie de Muller, les mécanismes de
déformation pris en compte ne peuvent approcher de manière exacte ce type de déformation (cf.
section 2.2.3). Cette explication peut d’ailleurs aussi être utilisée pour expliquer les différences
observées pour l’onde L1.
Enfin, pour la théorie du premier ordre en flexion, on observe à partir des courbes qu’elle prédit
parfaitement la dispersion de l’onde TZ0 sur la bande [0-100kHz]. On peut d’ailleurs faire une
remarque intéressante sur cette conclusion en analysant l’évolution de la déformée de section de
l’onde à la figure 2.19. On observe que la section de la poutre ne reste pas plane à partir de 50kHz tout
comme l’onde L0. Or, dans la théorie du premier ordre en flexion, on postule une hypothèse selon
laquelle la section reste plane. On peut donc dire que les prévisions locales (déformée de section) sont
erronées ; toutefois, en ce qui concerne les prévisions globales (vitesse de phase), les résultats sont en
accord avec la référence. Cette remarque déjà faite par d’autres chercheurs [Muller, 1983] est très
60
intéressante car elle montre bien que les théories élémentaires ou approchées peuvent convenir pour
prédire certaines grandeurs et pas d’autres. Pour l’onde TZ1, on observe un léger décalage sur la
fréquence de coupure qui peut toutefois être corrigé en ajustant précisément le coefficient pondérateur.
Ce coefficient a été fixé conformément aux recommandations du code de calcul, c’est-à-dire à 0.85.
Figure 2.17 : Comparaison des courbes de dispersion pour les théories d’Euler-Bernoulli (bleu), Timoshenko
(vert), Muller (rouge) et la WFE1D (noir).
Le premier test proposé dans cette section montre clairement la limite des différentes théories. La
conclusion majeure apportée par ce test est la suivante : la théorie du premier ordre en traction (théorie
de Muller) n’offre aucune amélioration par rapport à la théorie élémentaire pour les poutres à section
rectangulaire. Cette conclusion est intéressante car dans le cadre des poutres à section circulaire, la
théorie du premier ordre en traction (théorie de Mindlin-Herrmann) donne de meilleurs résultats que la
théorie élémentaire [Graff, 1991]. Finalement, pour modéliser la structure test en traction, il faut tester
d’autres théories approchées (cf. tableau 1.1) ou bien se contenter d’utiliser des éléments finis solides.
Pour le comportement dynamique en flexion suivant z, la théorie du premier ordre en flexion convient
mais uniquement si l’on s’intéresse à des prévisions globales (vitesse de phase, nombre d’ondes). Par
contre, en ce qui concerne les prévisions locales (déformée de section), il est nécessaire d’enrichir la
théorie car elle ne tient pas compte de tous les mécanismes de déformation existant dans la bande de
fréquence.
Figure 2.18 : Évolution de la déformée de section de l’onde L0.
Figure 2.19 : Évolution de la déformée de section de l’onde TZ0.
61
2.4.2 Poutre composite
rectangulaire
stratifiée
« unidirectionnelle »
à
section
La seconde structure test est une poutre composite stratifiée à section rectangulaire dont les
propriétés géométriques et mécaniques sont regroupées à la figure 2.20. Pour ce test, nous choisirons
premièrement d’orienter tous les plis composites à 0°, c'est-à-dire parallèles à la direction de
propagation.
Figure 2.20 : Propriétés géométriques et mécaniques de la seconde et troisième poutre test.
2.4.2.1 Caractérisation des ondes par WFE1D
Les courbes de dispersion ainsi que les déformées de section calculées à partir de la WFE1D sont
représentées aux figures 2.21 et 2.22.
Figure 2.21 : Courbes de dispersion déterminées par WFE1D.
On constate à partir de ces prévisions qu’il y a existence de onze ondes progressives sur la bande
fréquentielle [0-100kHz]. On peut grâce à leur déformée de section identifier le type de chacune de ces
ondes. A basse fréquence, on remarque la présence des quatre ondes TZ0, TY0, L0 et T0. A mesure où
l’on monte en fréquence, on constate l’apparition de différentes ondes secondaires à partir de 25kHz.
La première onde secondaire observée est l’onde FCZ1. Ensuite, à partir de 40kHz, on observe
l’apparition de la deuxième onde secondaire qui est cette fois l’onde TY1. Enfin, au delà de 50kHz, on
voit apparaître quatre nouvelles ondes secondaires dont trois correspondent aux ondes FCZ2, L1 et
FCZ3. Pour la suite, nous allons conserver uniquement les ondes TZ0, L0, L1 afin de les comparer aux
prévisions calculées à partir de théories de poutres en vue de les valider.
2.4.2.2 Validation des théories de poutres
Les courbes de dispersion obtenues à partir des différentes théories de poutres sont comparées sur
la figure 2.23 aux courbes de dispersion calculées par la WFE1D. A partir de ces comparaisons, on
note tout d’abord que la théorie élémentaire est incapable de prédire le comportement en flexion
suivant z . Inversement, elle est valide jusqu’à 40 kHz pour prédire le comportement en traction de la
poutre composite stratifiée.
62
onde TZ0 (1)
onde TY0 (2)
onde T0 (3)
onde L0 (4)
onde FCZ1 (5)
onde TY1 (6)
onde (8)
onde FCZ2 (9)
onde L1 (10)
onde FCZ3 (11)
Figure 2.22 : Déformées de section déterminées par WFE1D.
Maintenant, en ce qui concerne les théories du premier ordre, on constate que, pour la théorie de
Gopalakrishnan, les prévisions sont correctes jusqu’à 40kHz. Au delà de cette fréquence, la vitesse de
l’onde L0 n’est plus correctement prédite, en particulier sur la bande (40-90kHz), là où les phénomènes
de dispersion deviennent complexes. Pour expliquer cet échec, on doit analyser l’évolution de la
déformée de section associée à l’onde L0. Sur la figure 2.24, on voit très clairement apparaître trois
mécanismes de déformation de la section : une déformation axiale, une déformation latérale suivant z
et une déformation latérale suivant y. Les deux premiers mécanismes sont très bien reproduits à partir
de la théorie de Gopalakrishnan ; par contre, le troisième ne peut l’être car cette théorie est basée sur
des hypothèses de contrainte plane. De part cette explication, on comprend mieux pourquoi la théorie
est limitée dans la bande (40-90kHz) pour prédire l’onde L0.
63
Figure 2.23 : Comparaison des courbes de dispersion pour les théories de Euler-Bernoulli (bleu pointillé),
Timoshenko avec α=0.85 (vert), Timoshenko avec α=0.9 (vert pointillé),Gopalakrishnan (rouge) et la WFE1D
(noir).
Pour le comportement en flexion de la poutre, on constate que la théorie du premier ordre en
flexion est apte à reproduire la vitesse de l’onde TZ0 ; toutefois, à condition de modifier le coefficient
pondérateur. En effet, comme on peut le constater à la figure 2.23, les prévisions obtenues à partir
d’un coefficient de 0.85 montrent des divergences par rapport aux courbes calculées par WFE1D. En
affectant une valeur de 0.9 à ce coefficient, on remarque alors que les prévisions s’améliorent en
particulier la vitesse asymptotique à haute fréquence ; toutefois des écarts persistent à basses
fréquences. Pour tenter de comprendre ces écarts, nous pouvons analyser l’évolution de la déformée de
section de l’onde TZ0 représentée à la figure 2.25. On visualise alors bien le déplacement transverse
mais pas la rotation de la section alors que l’on s’attend à l’observer sur la bande de fréquence [0100kHz]. Ceci est sans doute dû au fait que nous analysons uniquement les déformées de section à
partir de leurs champ de déplacement, or il faudrait pour mieux se rendre compte des mécanismes de
déformation post traiter le champ de déformation de la section.
Figure 2.24 : Évolution de la déformée de section de l’onde L0.
Pour cette seconde structure test, nous pouvons donc conclure que les différentes théories en
traction sont incapables de donner des prévisions globales (vitesse de phase, nombre d’ondes) et
locales (déformées) tandis que la théorie du premier ordre en flexion donne des prévisions globales
correctes sur la dispersion des ondes ; toutefois, des validations complémentaires devront être
apportées car les post traitements proposés ne sont pas suffisants. En vue des simulations à partir du
code explicite que nous aborderons au chapitre 4, nous retiendrons qu’il faut modéliser les structures à
partir d’éléments solides si l’on veut pouvoir prédire avec précision la propagation d’un choc sur la
bande [0-100kHz].
64
Figure 2.25 : Évolution de la déformée de section de l’onde TZ0.
2.4.3 Poutre composite stratifiée « quasi-isotrope » à section rectangulaire
Dans ce troisième test, nous cherchons à savoir si, lorsque l’on modifie la stratification d’une
poutre composite stratifiée, les conclusions apportées sur la validité des théories sont sensiblement les
mêmes ou bien si elles sont à revoir complètement. Dans le dernier cas, il faudrait mettre au point un
nouveau modèle numérique qui alourdirait alors le temps de mise au point d’une simulation puisque
les éléments finis ne seraient alors pas les mêmes. Pour évaluer l’influence de la stratification, nous
allons considérer la même structure test que celle définie à la section 2.4.2. Les propriétés
géométriques et mécaniques seront donc celles données sur la figure 2.20. La stratification choisie
pour ce troisième test est la suivante : [45/-45/0/90]8S ce qui correspond à une stratification dite
« quasi-isotrope ».
Figure 2.26 : Courbes de dispersion déterminées par WFE1D.
2.4.3.1 Caractérisation des ondes par WFE1D
Les courbes de dispersion ainsi que les déformées de section calculées à partir de la WFE1D sont
représentées sur les figures 2.26 et 2.27. On observe à partir des courbes de dispersion l’existence de
six ondes progressives dont quatre sont des ondes principales et deux sont des ondes secondaires. Pour
identifier le type d’ondes, on observe les déformées qui leur sont associées (figure 2.27). Pour les
basses fréquences, on retrouve les quatre ondes classiques c’est-à-dire les ondes TZ0, TY0, L0 et T0. A
plus hautes fréquences, les ondes qui apparaissent sont identifiées comme étant les ondes FCZ1 et FCZ2
(flexion cylindriques suivant z). Pour la validation des théories que nous allons présenter ensuite,
seules les ondes TZ0 et L0 seront conservées.
2.4.3.2 Validation des théories de poutres
Les courbes de dispersion obtenues à partir des différentes théories de poutres sont comparées à la
figure 2.28 aux courbes de dispersion calculées par la WFE1D. A travers ces comparaisons, on
constate tout d’abord que la vitesse de phase de l’onde L0 est correctement prédite par la théorie
élémentaire sur la bande [0-100kHz]. Si l’on analyse les prévisions locales, c’est-à-dire qu’on analyse
l’évolution de la déformée de section (figure 2.29), on remarque que la section ne reste plus plane à
partir de 80kHz, ce qui veut dire que les hypothèses de la théorie élémentaire sont insuffisantes à partir
de cette fréquence.
65
onde TZ0 (1)
onde TY1 (2)
onde T0 (3)
onde L0 (4)
onde FCZ1 (5)
onde FCZ2 (6)
Figure 2.27 : Déformées de section déterminées par WFE1D.
Pour la théorie de Gopalakrishnan, on constate, contrairement à la seconde structure test, que les
prévisions sont incorrectes, quelle que soit la fréquence. Cette observation se fait simplement à partir
des vitesses de phase ; toutefois, elle est moins claire lorsque l’on analyse les nombres d’ondes car
comme on peut le voir à la figure 2.28, il semble alors que les nombres d’ondes prédits soient en
accord avec les résultats WFE1D. Cette remarque est intéressante car elle montre une nouvelle fois
que la validation d’une théorie dépend fortement de la grandeur physique que l’on cherche à simuler.
On conçoit donc que, lorsque l’on mène une étude de validation, il est important de bien mettre en
avant les grandeurs qui seront prises comme référence. Par exemple, dans notre cas, on s’est intéressé
aux courbes de dispersion (nombres d’ondes ou vitesse de phase) et aux champs de déplacement dans
la section de la poutre (déformée de section). On aurait pu prendre aussi des grandeurs comme les
vitesses de groupe (globale), ou bien le champ de déformation dans la section de la poutre (locale).
Figure 2.28 : Comparaison des courbes de dispersion pour les théories de Euler-Bernoulli (bleu pointillé),
Timoshenko avec α=0.85 (vert), Timoshenko avec α=0.913 (vert pointillé),Gopalakrishnan (rouge) et la
WFE1D (noir).
66
Figure 2.29 : Évolution de la déformée de section de l’onde L0.
Ceci étant dit, on va désormais discuter de la validité de la théorie du premier ordre en flexion.
D’après la figure 2.28, on constate que les vitesses de phase et les nombres d’ondes sont correctement
prédits, à condition de prendre un coefficient pondérateur de 0.913 et non 0.85 afin d’éviter le léger
écart observé à hautes fréquences sur la comparaison des nombres d’ondes et ainsi, éviter des erreurs
de dispersion d’origine physique lors de simulations. Pour les prévisions locales, on constate là aussi
que la théorie du premier ordre en flexion est correcte à partir de l’évolution de la déformée de section
représentée à la figure 2.30.
Figure 2.30 : Évolution de la déformée de section de l’onde TZ0.
Finalement, on conclut à partir de ce troisième test que lorsqu’on travaille sur une bande
fréquentielle fixe et que l’on modifie la stratification d’une poutre composite stratifiée ; dans ce cas, il
faut reconduire systématiquement une étude de validité car les prévisions changent significativement,
ce qui fait qu’on peut être amené à revoir nos conclusions. En effet, lorsque les plis sont orientés à
[0]32S, on constate qu’il est nécessaire d’utiliser des éléments solides si l’on veut prédire le
comportement dynamique en flexion et en traction de la poutre. A contrario, lorsque les plis sont
orientés à [45/-45/0/90]8S, on constate que les éléments solides sont à utiliser uniquement pour prédire
le comportement en traction, car celui en flexion peut être correctement prédit à partir des éléments
finis poutres formulés par la théorie du premier ordre en flexion, à condition de bien ajuster le
coefficient pondérateur a priori.
2.4.4 Convergence des prévisions calculées à partir de la WFE1D
Pour établir les prévisions des différents tests, nous avons préalablement mené plusieurs calculs
WFE1D en vue d’analyser la convergence des solutions obtenus. Pour ce faire, nous nous sommes
basés sur le critère de convergence discuté dans la section 2.3.3. Ce critère stipule qu’un minimum de
six éléments par longueurs d’ondes suffit pour obtenir des prévisions fiables. Or, comme nous l’avons
déjà fait remarquer, il existe plusieurs longueurs d’ondes mises en jeu lorsque l’on étudie la dispersion
d’ondes à hautes fréquences. En effet, il y a celle dans la direction de propagation mais aussi celles
dans les directions perpendiculaires à la propagation. C’est pourquoi, nous proposons de mener l’étude
de convergence en deux étapes. Tout d’abord, on fait varier la taille des éléments suivant la direction
de propagation. Dans ce cas, on applique le critère discuté à la section 2.3.3. Puis, dans la deuxième
partie de l’étude, on fait varier le nombre d’éléments dans la section de la poutre. Enfin, il est aussi
important de noter que nous nous sommes intéressés dans cette étude uniquement à des maillages
réguliers. Pour d’autres types de poutres comme par exemple les poutres à section circulaires, il
faudrait aussi tenir compte de cette source d’erreur.
67
2.4.4.1 Influence de la discrétisation dans la direction de propagation
Dans cette section, nous allons faire varier uniquement la taille des éléments solides dans la
direction de propagation. Les différents maillages utilisés sont ceux représentés à la figure 2.31. On
constate bien à partir de cette figure que le nombre d’éléments reste identique dans les directions
perpendiculaires à la propagation. La taille de ces éléments est fixée à 3 millimètres (mm) suivant les
directions z et y . En ce qui concerne la taille des éléments suivant x , elle varie entre 0.6 et 10 mm.
Maillage très grossier (nx = 10 mm)
Maillage grossier (nx = 5 mm)
Maillage fin (nx = 1 mm)
Maillage très fin (nx=0.6 mm)
Figure 2.31 : Maillages utilisés pour étudier l’influence de la discrétisation dans la direction de propagation.
Les courbes de dispersion obtenues à partir des différents maillages sont représentées à la figure
2.32. A travers ces comparaisons, on constate, tout d’abord, que la taille des éléments influence les
prévisions à mesure que la fréquence augmente, ce qui paraît tout à fait normal puisque l’on emploie la
FEM. Par ailleurs, les erreurs observées montrent qu’on a tendance à surévaluer les prévisions pour ce
qui est des nombres d’ondes et donc, à sous évaluer les vitesses de phase. Maintenant, si on s’intéresse
à la taille des éléments, on peut dire que les prévisions convergent dès lors que l’on prend une taille
inférieure ou égale à 1 mm. La longueur d’ondes maximum étant de 225 rad/m, cela nous donne un
total de 28 éléments par longueur d’ondes. Si l’on prend un total de 6 éléments par longueur d’ondes
(courbe bleue), on constate sur les courbes de dispersion que le comportement en flexion est
correctement reproduit mais pas le comportement en traction, en particulier lorsque l’onde devient
dispersive. Pour ce test, nous avons donc mis en défaut le critère proposé à la section 2.3.3. Pour
comprendre cet échec, il faut revoir les conditions dans lesquelles ce critère a été défini. En effet,
l’étude menée par [Duhamel et al., 2003] était basée sur des éléments poutres en traction qui ne
reproduisent pas la dispersion de l’onde principale longitudinale. Or c’est principalement la raison
pour laquelle ce critère est mis en défaut. On en conclut donc que ce critère ne peut être généralisé
lorsque l’on utilise des éléments finis solides.
68
Figure 2.32 : Comparaison des courbes de dispersion pour les maillages très grossier (vert), grossier (bleu), fin
(rouge) et très fin (noir).
2.4.4.2 Influence de la discrétisation de la section de la poutre
Dans la section précédente, nous avons vu qu’il fallait au minimum 28 éléments par longueur
d’ondes dans la direction de propagation afin d’assurer la convergence des résultats. Nous avions
volontairement raffiné le maillage afin de ne pas observer d’écarts liés à la discrétisation dans la
section de la poutre. Or, comme nous l’avons dit en introduction, la discrétisation dans la section peut
aussi jouer un rôle dans la convergence des solutions. C’est pourquoi, nous avons aussi fait varier
entre 2 mm et 9 mm la taille des éléments dans les directions perpendiculaires à la propagation (figure
2.33). On notera que ces éléments ont des tailles identiques dans les directions perpendiculaires et que
leur taille dans la direction de propagation est inférieure à 1 mm.
Maillage très grossier (ny=nz=9 mm)
Maillage grossier (ny=nz=6 mm)
Maillage fin (ny=nz=3 mm)
Maillage très fin (ny=nz=2 mm)
Figure 2.33 : Maillages utilisés pour étudier l’influence de la discrétisation dans la section de la poutre.
69
Les courbes de dispersion obtenues à partir des différents maillages sont représentées à la figure
2.34. A travers ces comparaisons, on remarque une nouvelle fois qu’à mesure où l’on monte en
fréquence les erreurs s’amplifient. De plus, on peut dire que, quand le maillage est grossier, les
fréquences de coupure prédites ont une tendance à être sous évaluées, que ce soit pour les ondes L1 et
TZ1. En ce qui concerne les ondes principales, on constate que les erreurs interviennent principalement
sur l’onde longitudinale et en particulier lorsque cette dernière est dispersive.
Figure 2.34 : Comparaison des courbes de dispersion pour les maillages très grossier (vert), grossier (bleu), fin
(rouge) et très fin (noir).
2.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons étudié la validité des éléments poutres dans le cadre de la propagation
d’ondes. En particulier, nous nous sommes interessés à la capacité de ces éléments à reproduire la
dispersion des ondes. Pour ce faire, nous avons choisi de comparer les courbes de dispersion calculées
à partir des différentes théories de poutre à celles obtenues par la méthode WFE1D. Le choix de la
méthode WFE1D a été conditionné par le fait que la méthode garantit des résultats fiables sur le
domaine fréquentiel d’étude. A travers les différentes applications présentées, nous avons démontré
l’intérêt de notre approche dans le cadre des poutres composites stratifiées à section rectangulaire. En
particulier, nous avons pu montrer qu’on était à même de déceler les limites des différentes théories,
en ce qui concerne la reproduction de grandeurs globales, comme les vitesses de phase ou bien les
nombres d’ondes (courbes de dispersion), mais aussi de grandeurs locales comme la distribution du
champ de déplacement dans le section de la poutre (déformées de section). Finalement, grâce à ce
travail, nous pouvons affirmer que le paramétrage physique (théories de poutres) des EF proposés par
les codes de calcul ne répond pas entièrement aux besoins industriels, que ce soit pour simuler le
comportement dynamique en traction ou en flexion d’une poutre. Dans le premier cas, cette limitation
est due principalement au fait que les éléments ne permettent pas de reproduire la dispersion de l’onde
longitudinale principale, tandis que dans le second cas, ceci vient du fait qu’il faille ajuster a priori un
coefficient pondérateur pour obtenir des résultats prédictifs. En conclusion, on peut dire que
l’introduction de nouveaux éléments dans les codes parait nécessaire si l’on veut optimiser la taille des
modèles et ainsi éviter d’avoir recours systématiquement aux éléments solides, comme ce sera le cas
lors des calculs transitoires présentées au chapitre 4.
Chapitre 3
Modélisation de la propagation d’ondes dans les
plaques composites stratifiées
3.1 Introduction
Dans ce chapitre, on va chercher à établir la limite d’utilisation des éléments finis plaques dans le
cadre des études sur la propagation d’ondes. Pour ce faire, nous allons reprendre la démarche proposée
au chapitre 1 pour les éléments finis poutres, c’est-à-dire que nous allons étudier la capacité des
théories de plaque, utilisées pour formuler les éléments, à reproduire les phénomènes de dispersion.
Ces phénomènes sont proches de ceux rencontrés dans les poutres ; toutefois, il faut tenir compte en
plus de la directivité des ondes car elles peuvent se propager dans plusieurs directions. L’analyse de
validité se fera donc à partir des courbes de dispersion mais aussi à partir des plans d’ondes. De ce fait,
on évaluera si la dépendance de l’onde par rapport à la fréquence et à la direction de propagation est
correcte. A nouveau, nous compléterons cette analyse de validité en étudiant le champ de déplacement
dans l’épaisseur (déformée d’épaisseur) de la plaque pour chaque type d’ondes. Ainsi, on sera en
mesure d’apporter des meilleures conclusions sur la validité des théories, lors des applications
présentées en fin de ce chapitre, car on tiendra compte de leur capacité à prédire des grandeurs globale
(vitesses de phase, nombres d’ondes) et locale (champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque).
3.2 Analyse de la dispersion des ondes à partir des théories de
plaques
Dans cette première partie, nous allons conduire une analyse sur la dispersion à partir des théories
élémentaires et approchées utilisées pour formuler les éléments finis plaques dans les codes de calcul.
On écrira pour chaque théorie les équations du mouvement, ce qui nous permettra ensuite, en postulant
le champ de déplacement sous forme d’ondes planes harmoniques, de déterminer les caractéristiques
ondulatoires associées à chaque type d’ondes. Toute la difficulté dans ce travail provient à nouveau de
la prise en compte d’un matériau composite stratifié. En effet, dans la plupart des études proposées
dans la littérature, on se restreint bien souvent aux stratifications dites « symétriques » (orientation des
plis identiques par rapport au feuillet moyen de la plaque) afin de simplifier l’étude. Dans l’analyse
proposée ici, nous ne postulerons aucune hypothèse sur la stratification afin que notre analyse puisse
être généralisable aux matériaux composites non symétriques. Enfin, nous porterons à nouveau une
attention particulière sur les coefficients pondérateurs car ils peuvent jouer un rôle important sur la
dispersion des ondes.
71
72
3.2.1 La théorie élémentaire (CLPT)
La théorie élémentaire présentée dans [Stavsky, 1961] est analogue à la théorie de Kirchhoff-Love,
développée pour les plaques isotropes, car elle repose sur les hypothèses classiques utilisées en
résistance des matériaux : 1) l’épaisseur h est petite devant la longueur et la largeur de la plaque, 2) le
déplacement suivant l’épaisseur est supposé linéaire, 3) La section droite de la plaque reste
perpendiculaire au feuillet moyen. Pour tenir compte de ces hypothèses, le champ de déplacement est
formulé de la façon suivante :
∂w0
∂x
∂w
v ( x, y, z , t ) = v0 ( x, y, t ) − z 0
∂y
u ( x , y , z , t ) = u0 ( x , y , t ) − z
(3.1)
w ( x, y, z , t ) = w0 ( x, y, t )
avec : ( u0 , v0 , w0 ) les déplacements du feuillet moyen.
Figure 3.1 : Mécanismes de déformation dans la théorie CLPT.
A partir de ce champ de déplacement, on peut déduire le champ de déformation. Pour cela, on s’appuie
sur la théorie linéaire de l’élasticité, ce qui nous donne :
ε xx =
∂u0
∂2w
+ z 20 =ε xx0 + zκ x ,
∂x
∂x
∂v0
∂ 2 w0
+z
=ε yy0 + zκ y ,
∂y
∂y 2
∂w
,
ε zz = 0 = 0
∂z
ε yy =
avec :
(ε
0
xx
γ xy = 2ε xy =
∂u0 ∂v0
∂ 2 w0
+
− 2z
= γ xy0 + zκ xy
∂y ∂x
∂x∂y
γ xz = 2ε xz = 0
(3.2)
γ yz = 2ε yz = 0
, ε yy0 , γ xy0 ) les déformations membranaires et (κ x , κ y , κ xy ) les courbures. A partir des
expressions (3.2), on vérifie que les cisaillements transverses γ xz et γ yz sont bien négligés dans la
théorie élémentaire, ce qui veut dire que 3) est bien vérifié puisque aucun gauchissement de la section
de la plaque n’est pris en compte. Désormais, exprimons les variations d’énergie cinétique et
potentielle de la plaque :
73
δ U = ∫ (σ xxδε xx + σ yyδε yy + σ xyδγ xy ) dv
V
(3.3)
δ T = ∫ ρ ( uɺδ uɺ + vɺδ vɺ + wɺ δ wɺ ) dv
V
En intégrant suivant l’épaisseur de la plaque les expressions (3.3), on obtient :
  ∂N xx
δ U = ∫  
S
  ∂x
+
∂N xy 
 ∂N xy ∂N yy 
+
 δ u0 + 
 δ v0
∂y 
∂y 
 ∂x
 ∂ 2 M xx
∂ 2 M xy ∂ 2 M yy
+
+2
+
 ∂x 2
∂
x
∂
y
∂y 2



 δ w0  dS



(3.4)
ɺɺ0δ w0 ) dS
δ T = ∫ J 0 ( uɺɺ0δ u0 + vɺɺ0δ v0 + w
S
avec : N ij les résultantes membranaires, M ij les moments de flexion (voir la figure 3.1 pour la
définition des résultantes et des moments) et J 0 la masse surfacique définis par :
 N xx 
σ xx 
h2 



 N yy  = ∫− h 2 σ yy  dz ,
 N xy 
σ xy 


 
 M xx 
σ xx 
h 2 



 M yy  = ∫− h 2 σ yy  zdz ,
 M xy 
σ xy 


 
J0 = ∫
h 2
−h 2
ρ dz
(3.5)
avec : h l’épaisseur totale de la plaque. A partir des énergies (3.4), on détermine, via le principe de
Hamilton, les équations du mouvement de la plaque. En l’absence de forces extérieures appliquées sur
la plaque, ces équations s’expriment :
∂N xx ∂N xy
∂ 2 u0
δ u0 :
+
= J0 2
∂x
∂y
∂t
∂N xy ∂N yy
∂ 2 v0
δ v0 :
+
= J0 2
∂y
∂x
∂t
δ w0 :
(3.6)
∂ 2 M xy ∂ 2 M yy
∂ 2 M xx
∂ 2 w0
+
2
+
=
J
0
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂t 2
Les équations (3.6) dépendent des résultantes N ij et des moments M ij . Or, si l’on veut effectuer une
analyse de dispersion à partir de ces équations, nous avons besoin qu’elles soient exprimées
uniquement à partir des déplacements (u0 , v0 , w0 ) . Pour ce faire, on introduit dans (3.6) l’expression
des résultantes et des moments en fonction des déplacements, détaillées en annexe A.2, ce qui permet
ainsi de réécrire les équations (3.6) de la façon suivante :
A11
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2 v0
∂ 2 v0
∂ 2 v0
+
2
A
+
A
+
A
+
A
+
A
+
A
(
)
16
66
16
12
66
26
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂3 w
∂3w
∂ 3 w0
∂ 3 w0
∂ 2 u0
− B11 30 − 3B16 2 0 − ( B12 + 2 B66 )
−
B
=
J
26
0
∂x
∂x ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
∂t 2
(3.7)
74
A16
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2v0
∂ 2 v0
∂ 2 v0
A
A
A
A
2
A
A
+
+
+
+
+
+
( 12 66 )
26
66
26
22
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
− B16
D11
∂ 3 w0
∂ 3 w0
∂ 3 w0
∂ 3 w0
∂ 2v0
−
B
+
2
B
−
3
B
−
B
=
J
( 12
66 )
26
22
0
∂x3
∂x 2 ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
∂t 2
∂ 4 w0
∂ 4 w0
∂ 4 w0
∂ 4 w0
∂ 4 w0
+
4
D
+
2
D
+
2
D
+
4
D
+
D
(
)
16
12
66
26
22
∂x 4
∂x 3∂y
∂x 2 ∂y 2
∂x∂y 3
∂y 4
− B11
∂ 3 u0
∂ 3u0
∂ 3u0
∂ 3u0
−
3
B
−
B
+
2
B
−
B
(
)
16
12
66
26
∂x3
∂x 2 ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
− B16
∂ 3v0
∂ 3v0
∂ 3v0
∂ 3v0
∂ 2 w0
−
B
+
2
B
−
3
B
−
B
=
−
J
(
)
12
66
26
22
0
∂x3
∂x 2 ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
∂t 2
Fort des équations (3.7), nous allons désormais pouvoir étudier la dispersion des ondes en postulant le
champ de déplacement sous forme d’une onde plane harmonique de la manière suivante :
 u0  U 
 v  =  V  ei( kθ ( cos(θ )+ sin (θ )))r e− iωt
 0  
 w0  W 
(3.8)
En introduisant l’expression (3.8) dans les équations du mouvement (3.7), on en déduit alors un
système d’équation d’ordre trois ayant pour déterminant :
a1k 2 + a2
a3k 2
a3k 2
a4 k 3
a5 k 2 + a2
a6 k 3
a4 k 3
a6 k 3 = 0
a7 k 4 − a2
(3.9)
avec : les coefficients ai définis par :
a1 = A11 ( i cos θ ) + 2 A16 ( i cos θ )( i sin θ ) + A66 ( i sin θ )
2
a2 = − J 0 ( −iω )
2
2
a3 = A16 ( i cos θ ) + ( A12 + A66 )( i cos θ )( i sin θ ) + A26 ( i sin θ )
2
2
a4 = − B11 ( i cos θ ) − 3B16 ( i cos θ ) ( i sin θ ) − ( B12 + 2 B66 )( i cos θ )( i sin θ )
3
− B26 ( i sin θ )
2
2
3
a5 = A66 ( i cos θ ) + 2 A26 ( i cos θ )( i sin θ ) + A22 ( i sin θ )
2
(3.10)
2
a6 = − B16 ( i cos θ ) − ( B12 + 2 B66 )( i cos θ ) ( i sin θ ) − 3B26 ( i cos θ )( i sin θ )
3
− B22 ( i sin θ )
2
2
3
a7 = D11 ( i cos θ ) + 4 D16 ( i cos θ ) ( i sin θ ) + 2 ( D12 + 2 D66 )( i cos θ ) ( i sin θ )
4
3
+ 4 D26 ( i cos θ )( i sin θ ) + D22 ( i sin θ )
3
2
4
2
75
Finalement, si l’on calcule le polynôme caractéristique de ce déterminant, on obtient la relation de
dispersion souhaitée. Cette relation s’exprime :
(a a a
+ (a a
1 5 7
2
2 7
)
(
)
− a1a62 − a32 a7 + 2a3 a4 a6 − a42 a5 k 8 + a2 a5 a7 + a1a2 a7 − a2 a62 − a42 a2 k 6
)
(
)
+ a32 a2 − a1a5 a2 k 4 − a5 a22 + a1a22 k 2 − a2.3 = 0
(3.11)
Les racines de la relation (3.11) sont au nombre de huit et correspondent aux nombres d’ondes ki
associés aux ondes principales S0, A0, SH0 et à l’onde secondaire A1 (cf section 1.3.3 pour les
notations). En règle générale, les expressions des nombres d’ondes sont complexes car elles tiennent
compte des différents couplages existant dans une plaque composite stratifiée. Toutefois, pour s’en
faire une idée, nous allons considérer une plaque composite stratifiée dont l’empilement est
symétrique par rapport à la fibre neutre de la plaque, ce qui évitera ainsi le couplage
flexion/membrane. Par ailleurs, pour les ondes Sn et SHn, l’expression des nombres d’ondes peut se
complexifier en fonction de la direction de propagation. En effet, d’après [Prosser et al., 1994], on
remarque que, pour les ondes Sn, le champ de déplacement est purement longitudinal lorsque l’onde se
propage dans les axes d’orthotropie du matériau alors que dans les autres directions, le champ de
déplacement est quasi longitudinal, c’est-à-dire principalement longitudinal avec une composante
transversale. Pour les ondes SHn, les propriétés sont identiques, sauf que cette fois, le champ de
déplacement est purement transversal dans les axes d’orthotropie et quasi transversal partout ailleurs.
Si l’on considère que 0° est un axe d’orthotropie du matériau, alors les nombres d’ondes associées aux
différentes ondes S0, A0, SH0 dans cette direction s’expriment de la façon suivante :
cS0 =
A11
,
J0
A22
,
J0
cSH 0 =
c A0 =
4
D11
ω
J0
(3.12)
Maintenant, si l’on considère une direction hors axe d’orthotropie comme par exemple 45°, les
nombres d’ondes s’expriment dans cette direction :
( A11 + 2 A66 + A22 ) +
cS0 =
cA0 =
R
4J0
4
(D
11
,
cSH0 =
A22
J0
+ 4 D16 + 2 ( D12 + 2 D66 ) + 4 D26 + D22 )
4J0
(3.13)
ω
avec :
R = ( A11 + 2 A66 + A22 ) − 4 ( A11 + A66 )( A22 + A66 ) + 4 ( A12 + A66 )
2
2
A partir des expressions (3.12) et (3.13), nous pouvons dire que, dans les directions d’orthotropie, les
ondes S0 et SH0 sont non dispersives aussi bien à basses fréquences qu’à hautes fréquences.
Pour ce qui est de l’onde A0, on constate qu’à haute fréquence la vitesse de phase tend vers l’infini, ce
qui vent donc dire que la CLPT est limitée à partir d’une certaine fréquence. Enfin, pour l’onde
secondaire A1, le nombre d’ondes est purement complexe (onde évanescente) sur toute la bande
fréquentielle. Là encore, on peut affirmer que la théorie CLPT est limitée, car elle ne peut prédire le
passage à l’état progressif de l’onde A1. A titre d’exemple, les courbes de dispersion obtenues à partir
des expressions (3.11) pour une plaque isotrope sont tracées à la figure 3.2.
76
Figure 3.2 : Exemple de courbes de dispersion.
3.2.2 La théorie du premier ordre en flexion (FSDT)
Dans la section précédente, nous avons montré que la théorie élémentaire permettait uniquement
d’analyser la dispersion des ondes à basses fréquences. Nous devons donc employer une autre théorie
si l’on veut pouvoir caractériser les ondes principales et secondaires à des fréquences plus élevées. On
peut donc utiliser la FSDT proposée par [Whitney et al., 1970] qui revoit l’hypothèse 3) de la théorie
élémentaire en tenant compte des déformations liées au cisaillement transverse, ainsi que des inerties
de rotation de section. Du fait de ces nouvelles hypothèses, le champ de déplacement doit être
reformulé de la manière suivante :
u ( x, y, z , t ) = u0 ( x, y, t ) + zφx ( x, y, t )
v ( x, y, z , t ) = v0 ( x, y, t ) + zφ y ( x, y, t )
(3.14)
w ( x, y, z , t ) = w0 ( x, y, t )
Comme on peut le constater, le champ de déplacement dépend maintenant de cinq degrés de liberté et
non trois, comme c’était le cas pour la théorie élémentaire. Les deux nouveaux degrés de liberté
(φ , φ ) utilisés pour modéliser la plaque correspondent aux rotations suivant les axes Ox et Oy .
x
y
Figure 3.3 : Mécanismes de déformation dans la théorie FSDT.
A partir du champ de déplacement (3.14), on calcule, via la théorie linéaire de l’élasticité, le nouveau
champ de déformation de la plaque comme suit :
77
ε xx =
 ∂φ ∂φ y 
∂u0 ∂v0
0
+
+ z x +
 = γ xy + zκ xy
∂y ∂x
∂x 
 ∂y
∂w
γ xz = 2ε xz = 0 + φx
∂x
∂w
γ yz = 2ε yz = 0 + φ y
∂y
∂u0
∂φ
+ z x = ε xx0 + zκ x ,
∂x
∂x
γ xy = 2ε xy =
∂φ y
∂v0
+z
= ε yy0 + zκ y ,
∂y
∂y
∂w
ε zz = 0 = 0
,
∂z
ε yy =
(3.15)
A partir de (3.15), on constate bien que, désormais, les déformations γ xz et γ yz liées au cisaillement
transverse sont prises en compte par la théorie FSDT. Maintenant, si l’on calcule les variations des
énergies cinétique et potentielle de la façon suivante :
δ U = ∫ (σ xxδε xx + σ yyδε yy + σ xyδγ xy + σ yzδγ yz + σ xzδγ xz ) dv
V
δ T = ∫ ρ ( uɺδ uɺ + vɺδ vɺ + wɺ δ wɺ ) dV
(3.16)
V
et qu’on les intègre suivant l’épaisseur de la plaque, on obtient :
 ∂N xx ∂N xy
+
∂y
 ∂x

 ∂N xy ∂N yy 
 ∂Qx ∂Qy
+
+
 δ u0 + 
 δ v0 + 
∂y 
∂y

 ∂x
 ∂x
 ∂M xx ∂M xy

 ∂M xy ∂M yy

+
+
− Qx  δφx + 
+
− Qy  δφ y dS
∂y
∂y
 ∂x

 ∂x

δU = ∫ 
S

 δ w0

(3.17)
δ T = ∫ ( J 0uɺɺ0 + J1φɺɺx ) δ u0 + ( J 0 vɺɺ0 + J1φɺɺy ) δ v0 + ( J1uɺɺ0 + J 2φɺɺx ) δφx
S
(
)
ɺɺ0δ w0 dS
+ J1vɺɺ0 + J 2φɺɺy δφ y + J 0 w
avec : Qx et Qy les résultantes associées aux efforts tranchants (voir la figure 3.3 pour la définition
des résultantes) qui sont définies par :
h 2 σ xz 
Qx 
Q  = ∫− h 2 σ  dz
 y
 yz 
(3.18)
Pour déterminer les équations du mouvement, on applique le principe de Hamilton à partir des
variations d’énergie (3.17). En l’absence de forces extérieures, ces équations prennent la forme
suivante :
∂N x ∂N xy
+
= J 0uɺɺ0 + J1φɺɺx
∂x
∂y
∂N y ∂N xy
δ v0 :
+
= J 0vɺɺ0 + J1φɺɺy
∂y
∂x
∂Qx ∂Qy
ɺɺ0
δ w0 :
+
= J0w
∂x
∂y
δ u0 :
(3.19)
78
δφx :
δφ y :
∂M x ∂M xy
+
− Qx = J1uɺɺ0 + J 2φɺɺx
∂x
∂y
∂M y ∂M xy
+
− Qy = J1vɺɺ0 + J 2φɺɺy
∂y
∂x
Avant même de caractériser la dispersion des ondes, il est nécessaire d’exprimer les équations du
mouvement uniquement à partir des déplacements u0 , v0 , w0 , φx , φ y . Pour cela, on utilise les
(
)
relations entre les résultantes, les moments et les déplacements déterminés en annexe A.3. En injectant
ces relations dans (3.19), les équations (3.19) se réécrivent :
A11
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2v0
∂ 2v0
∂ 2v0
∂ 2φx
+
A
+
A
+
A
+
A
+
A
+
A
+
B
2
(
)
16
66
16
12
66
26
11
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
+2 B16
A16
∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φx
∂ 2φ
∂ 2u
∂ 2φ
+ B66 2x + B16 2 + ( B12 + B66 )
+ B26 2 = J 0 20 + J1 2x
∂x∂y
∂y
∂x
∂x∂y
∂y
∂t
∂t
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2 v0
∂ 2 v0
∂ 2 v0
∂ 2φx
+
A
+
A
+
A
+
A
+
2
A
+
A
+
B
(
)
12
66
26
66
26
22
16
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φx
∂ 2φx
∂ 2v0
+ ( B12 + B66 )
+ B26 2 + B66 2 + 2 B26
+ B22 2 = J 0 2 + J1 2
∂x∂y
∂y
∂x
∂x∂y
∂y
∂t
∂t
 ∂ 2 w ∂φ
F55  20 + x
∂x
 ∂x

 ∂φx
∂ 2 w0 ∂φ y
+
F
+
2
+
 45 
∂x∂y ∂x

 ∂y

 ∂ 2 w0 ∂φ y
+
F
 45  2 +
∂y

 ∂y

∂ 2 w0
=
J

0
∂t 2

∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φx
∂ 2φx
∂ 2φx
D11 2 + 2 D16
+ D66 2 + D16 2 + ( D12 + D66 )
+ D26 2
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂x∂y
∂y
+ B11
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2v0
∂ 2 v0
∂ 2 v0
+
2
B
+
B
+
B
+
B
+
B
+
B
(
)
16
66
16
12
66
26
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
 ∂w

∂ 2u
∂ 2φ
 ∂w

− F55  0 + φx  − F45  0 + φ y  = J1 20 + J 2 2x
∂t
∂t
 ∂x

 ∂y

D16
∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φ y
∂ 2φx
∂ 2φx
∂ 2φx
+
D
+
D
+
D
+
D
+
D
+
D
2
(
)
12
66
26
66
26
22
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
+ B16
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2 u0
∂ 2v0
∂ 2 v0
∂ 2v0
+
B
+
B
+
B
+
B
+
2
B
+
B
(
)
12
66
26
66
26
22
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
∂x∂y
∂y 2
∂ φy
 ∂w

∂ 2v
 ∂w

− F45  0 + φx  − F44  0 + φ y  = J1 20 + J 2 2
∂t
∂t
 ∂x

 ∂y

2
(3.20)
79
A présent, à partir de (3.20), on peut déterminer la relation de dispersion. Pour cela, on doit postuler
le champ de déplacement sous forme d’une onde plane harmonique :
u0
avec :
v0
w0 φx φ y  = U V W
(U ,V ,W , Φ , Φ )
x
y
Φx
Φ y  e
les amplitudes associées aux ddl
(
)
i kθ ( cos (θ ) + sin (θ ) ) r − iω t
e
(3.21)
(u , v , w ,φ ,φ ) .
En introduisant
0
0
0
x
y
ensuite (3.21) dans (3.20), on obtient un système d’équations d’ordre cinq dont le déterminant vaut :
a1k 2 + a2
a3 k 2
0
2
a4 k + a5
a6 k 2
a3k 2
a7 k 2 + a2
0
a6 k 2
a8 k 2 + a5
0
0
2
a9 k + a2
− a10 k
− a11k
a4 k 2 + a5
a6 k 2
a10 k
a12 k 2 + a13
a14 k 2 + a15
a6 k 2
a8 k 2 + a5
=0
a11k
2
a14 k + a15
a16 k 2 + a17
(3.22)
où : ai sont les coefficients définis par :
a1 = A11 ( i cos θ ) + 2 A16 ( i cos θ )( i sin θ ) + A66 ( i sin θ )
2
a2 = − J 0 ( −iω )
2
2
a3 = A16 ( i cos θ ) + ( A12 + A66 )( i cos θ )( i sin θ ) + A26 ( i sin θ )
2
a4 = B11 ( i cos θ ) + 2 B16 ( i cos θ )( i sin θ ) + B66 ( i sin θ )
2
a5 = − J1 ( −iω )
2
2
2
a6 = B16 ( i cos θ ) + ( B12 + B66 )( i cos θ )( i sin θ ) + B26 ( i sin θ )
2
a7 = A66 ( i cos θ ) + 2 A26 ( i cos θ ) ( i sin θ ) + A22 ( i sin θ )
2
a8 = B66 ( i cos θ ) + 2 B26 ( i cos θ )( i sin θ ) + B22 ( i sin θ )
2
a9 = F55 ( i cos θ ) + 2 F45 ( i cos θ )( i sin θ ) + F44 ( i sin θ )
2
2
2
2
2
a10 = F55 ( i cos θ ) + F45 ( i sin θ )
a11 = F45 ( i cos θ ) + F44 ( i sin θ )
a12 = D11 ( i cos θ ) + 2 D16 ( i cos θ )( i sin θ ) + D66 ( i sin θ )
2
a13 = − F55 − J 2 ( −iω )
2
2
a14 = D16 ( i cos θ ) + ( D12 + D66 )( i cos θ )( i sin θ ) + D26 ( i sin θ )
2
a15 = − F 45
2
(3.23)
a16 = D66 ( i cos θ ) + 2 D26 ( i cos θ )( i sin θ ) + D22 ( i sin θ )
2
a17 = − F44 − J 2 ( −iω )
2
2
Finalement, la relation de dispersion cherchée est obtenue en calculant le polynôme caractéristique du
déterminant (3.22). Les nombres d’ondes solutions de cette relation sont au nombre de dix ; toutefois
on peut en distinguer cinq pour lesquelles l’onde se dirige vers les x positifs et cinq pour lesquelles
80
l’onde se dirige vers x négatifs. Par ailleurs, ces nombres d’ondes ki sont associés aux trois ondes
principales S0, A0, SH0 et aux deux ondes secondaires A1, SH1. À l'inverse de la théorie CLPT, nous
n’allons pas tenter d’analyser les expressions analytiques de ces nombres d’ondes car elles sont trop
complexes, ceci quel que soit le type de stratification ou de direction de propagation. Néanmoins, pour
ce faire une idée des améliorations apportées par la FSDT, nous avons comparé à la figure 3.4 les
courbes de dispersion d’une plaque isotrope calculées à partir de la CLPT et de la FSDT. A partir de
ces comparaisons, la vitesse de l’onde A0 ne tend plus vers l’infini à hautes fréquences. De plus, la
théorie FSDT prédit bien le comportement progressif des ondes secondaires A1, SH1 à partir d’une
certaine fréquence de coupure. Enfin, on constate que seules les vitesses des ondes S0 et SH0 calculées
par la FSDT restent inchangées par rapport à la CLPT.
Figure 3.4 : Comparaison des courbes de dispersion calculées par la théorie CLPT (--) et FSDT (-).
Influence du coefficient pondérateur
Dans la théorie FSDT développée précédemment, nous avons dû introduire un coefficient
pondérateur afin d’établir une expression analytique des efforts tranchants Qx et Qy (cf. annexe A.3).
Ce coefficient peut influencer significativement le comportement dynamique de la plaque. Nous
devons donc appréhender de quelle manière il modifie la dispersion des ondes. Pour cela, nous avons
fait varier la valeur du coefficient pondérateur et nous avons comparé les courbes de dispersion
obtenues à la figure 3.5. A partir de cette comparaison, on peut constater que le coefficient modifie
principalement la vitesse limite de l’onde A0 à hautes fréquences, ainsi que les fréquences de coupure
des ondes A1 et SH1. De ce fait, il est possible, en ajustant la valeur de ce coefficient, d’approcher au
mieux les résultats expérimentaux. Pour les plaques isotropes, la valeur de ce coefficient est
généralement fixée à 5/6 pour que les énergies de déformation soient égales lorsque l’on considère une
distribution constante ou parabolique du cisaillement transverse dans l’épaisseur de la plaque [Reddy,
2003]. Cette valeur convient bien pour traiter les problèmes statiques ; toutefois, comme le montre
[Graff, 1991], il est préférable de le fixer à π 2 12 si l’on veut prédire de façon exacte la fréquence de
coupure de l’onde A1. On constate donc que la valeur de ce coefficient peut varier en fonction du type
de problème traité. De plus, lorsque la plaque est constituée d’un matériau composite stratifié, il se
peut aussi que ce coefficient prenne des valeurs différentes en fonction de la stratification du matériau
[Reddy, 2003]. Dans les cas d’applications présentés dans la section 2.4, nous analyserons si le
coefficient pondérateur influence nos prévisions, ceci afin d’évaluer le caractère prédictif de la FSDT
dans le cadre de notre problématique.
81
Figure 3.5 : Influence du coefficient pondérateur sur la dispersion des ondes : α = 5/6 (-) et α = 0,6 (- -).
3.3 Analyse de la dispersion des ondes à partir de la méthode
WFE
Dans la section précédente, une approche analytique a été proposée pour calculer les courbes de
dispersion associées aux ondes se propageant dans une plaque modélisée à partir des théories CLPT et
FSDT. En vue d’analyser leur validité, nous proposons à travers cette section d’étendre la méthode
WFE présentée au chapitre précédent au cas des plaques.
3.3.1 Extension de la formulation au cas des plaques
Pour étendre la méthode WFE, nous nous sommes tout d’abord intéressés au travail de [Hinke et
al., 2004] dans lequel la plaque est modélisée à partir d’éléments solides en déformation plane. Ce
modèle numérique est très intéressant car il revient à considérer que la plaque peut être vue comme
une structure 1D périodique. De ce fait, les courbes de dispersion peuvent être évaluées très
simplement en utilisant la formulation WFE1D proposée à la section 2.3.1. Nous avons testé cette
formulation pour traiter nos cas d’application, ceci afin d’éviter de nouveaux développements ;
seulement, nous le verrons à la section 2.4, les prévisions obtenues n’étaient pas à la hauteur de nos
attentes, ce qui nous a donc conduit vers les travaux de [Akrout, 2005]. Dans son travail, l’auteur
propose une nouvelle formulation de la WFE basée elle aussi sur la PST développée par [Mead, 1973]
mais pour les structures 2D-périodiques. Pour bien distinguer cette formulation de la WFE1D, nous
utiliserons le terme de WFE2D par la suite. Les exemples numériques proposés dans [Akrout, 2005]
montre que la WFE2D prédit correctement les plans d’ondes pour des plaques isotropes et orthotropes.
Autrement, on notera aussi les travaux de [Manconi et al., 2007] qui utilise aussi la WFE2D mais cette
fois pour étudier la dispersion des ondes dans les coques sandwich cylindriques. La différence notable
entre ces deux travaux provient principalement de l’écriture et de la résolution du problème aux
valeurs propres permettant de caractériser les ondes. Dans un cas, le problème est résolu dans un
système de coordonnées cartésiennes (WFE2D_CART) et, dans l’autre cas, le problème est résolu
dans un système de coordonnées cylindriques (WFE2D_CYL). Les solutions obtenues dans les deux
cas sont équivalentes ; toutefois, d’un point de vue numérique, il peut exister des différences notables.
C’est pour cette raison que nous avons été amenés à apporter des développements supplémentaires à la
WFE2D_CYL afin d’être en mesure de traiter les cas d’application présentés dans la section 3.4. Les
développements proposés ici ont pour but d’améliorer la résolution numérique du problème aux
valeurs propres, mais aussi de proposer des post traitements simples des courbes de dispersion et des
plans d’ondes, en utilisant les outils déjà développés pour la WFE1D dans la section 2.3.1.4.
82
3.3.1.1 Définition d’une structure 2D-périodique
Figure 3.6 : Structure 2D-périodique.
Pour qu’une structure soit dite 2D-périodique, il faut qu’elle puisse être divisible en sous domaines,
appelés cellules, ayant des propriétés géométriques et mécaniques identiques suivant deux directions
de l’espace (figure 3.6). A titre d’exemple, on peut citer les plaques bi raidies, dont la cellule est
définie par l’espacement entre les raidisseurs, ou bien encore les plaques sandwich nid d’abeille pour
lesquelles la cellule est définie à partir de la géométrie hexagonale du nida. Pour ces deux exemples, la
cellule se définie simplement en raison des éléments structuraux placés périodiquement (raidisseur,
nida). Néanmoins, les structures continues, comme les plaques ou bien encore les coques cylindriques,
peuvent elles aussi être considérées comme des structures 2D-périodiques car elles sont
décomposables en cellule de taille arbitraire. Dans cette thèse, nous nous intéressons uniquement aux
structures continues.
3.3.1.2 Modélisation par éléments finis d’une cellule
Pour analyser le comportement dynamique d’une structure 2D-périodique, nous utiliserons la
même démarche que pour les structures 1D-périodique, c’est-à-dire que nous allons tout d’abord
construire un modèle éléments finis de la cellule qui servira ensuite à définir un problème aux valeurs
propres. En solutionnant ce problème aux valeurs propres, les caractéristiques ondulatoires (courbes de
dispersion, plans d’ondes, déformée d’épaisseur) des différentes ondes pourront être déterminées.
Figure 3.7 : Modélisation par éléments finis d’une cellule 2D-périodique.
(
Tout d’abord, considérons le modèle éléments finis de la cellule ( p, q ) de taille d x , d y
) représentée
sur la figure 3.7. A partir des matrices de masse [ M ] et de raideur [ K ] calculées à partir d’un code de
calcul, il est possible d’écrire simplement dans le domaine spectral les équations du mouvement de la
cellule de la façon suivante :
83
( (1 + iα ) [ K ] − ω [ M ]) {uˆ}(
2
( p ,q )
avec : {uˆ}
vecteur des déplacements nodaux,
{ fˆ}
( p ,q )
p ,q )
{}
( p,q)
= fˆ
(3.24)
vecteur des efforts nodaux et α le facteur
d’amortissement hystérétique ( û désigne le spectre de u ). En introduisant la matrice de rigidité
dynamique [ D ] = (1 + iα ) [ K ] − ω 2 [ M ] et en décomposant les vecteurs des déplacements et efforts
nodaux sur les bords, gauche bas LB , gauche haut LT , droit bas RB , droit haut RT , on réécrit
l’équation du mouvement (3.24) comme suit :
 DLB , LB
D
 LT , LB
 DRB , LB

 DRT , LB
DLB , LT
DLB , RB
DLT , LT
DLT , RB
DRB , LT
DRB , RB
DRT , LT
DRT , RB
( p ,q )
( p,q)
 fˆLB 
 
 fˆLT 
= 
 fˆRB 
ˆ 
 f RT 
DLB , RT  uˆLB 
DLT , RT  uˆLT 
 
DRB , RT  uˆRB 

DRT , RT  uˆRT 
(3.25)
Nota : Le modèle de la cellule se compose uniquement d’un seul élément dans le plan ( x, y ) . Seule
l’épaisseur de la cellule peut comporter plusieurs éléments. Nous considérons donc qu’il n’existe
aucun nœud interne dans notre modèle numérique. Cette hypothèse est uniquement applicable aux
structures continues qui font l’objet de notre étude. En se référant à [Akrout, 2005], le lecteur trouvera
une formulation prenant en compte les nœuds internes indispensables pour traiter les structures 2Dpériodiques présentant des éléments structuraux, comme par exemple des raidisseurs.
La cellule
( p, q )
( p + 1, q ) , ( p, q + 1)
étant reliée aux cellules
et
( p + 1, q + 1)
par ses bords, on
peut exprimer la continuité des déplacements entre les cellules, ce qui nous donne les relations
suivantes entre les vecteurs des déplacements nodaux :
[uˆLB ]
( p +1, q )
= [uˆRB ]
( p ,q )
,
[uˆLB ]
( p , q +1)
= [uˆLT ]
( p ,q )
,
[uˆLB ]
( p +1, q +1)
= [uˆRT ]
( p ,q )
De plus, on peut aussi exprimer l’équilibre des efforts nodaux appliquées sur la cellule
(3.26)
( p, q ) .
Lorsque aucune force extérieure n’est appliquée sur la cellule, cette relation d’équilibre est la
suivante :
 fˆLB 
 
( p ,q )
+  fˆLB 
 
( p +1, q )
+  fˆLB 
 
( p , q +1)
+  fˆLB 
 
( p +1, q +1)
=0
(3.27)
A partir de l’équation du mouvement (3.25) et des relations de continuité (3.26) et d’équilibre (3.27)
qui viennent d’être développées, nous allons dans la partie suivante formuler un problème aux valeurs
propres nous permettant de caractériser les ondes harmoniques pouvant se propager librement dans
une plaque.
3.3.1.3 Caractérisation des ondes
Pour caractériser les ondes à partir du modèle EF développé dans la section précédente, on doit tout
d’abord exprimer la différence de phase entre les bords des cellules lorsqu’une onde plane harmonique
se propage à travers cette dernière. Pour ce faire, on emploie comme pour les poutres le théorème de
Floquet. Ensuite, à partir de cette relation, on formule un problème aux valeurs propres dont les
valeurs et vecteurs propres sont liés aux caractéristiques ondulatoires recherchées.
84
Formulation du problème aux valeurs propres
Si l’on exprime premièrement les vecteurs des déplacements et forces nodaux du bord LB sous
forme d’ondes planes harmoniques, cela nous donne les expressions suivantes :
{uˆLB }(
p ,q )
{ }
( p ,q )
= Uˆ LB
e
(
i kx x + k y y
)
,
{ fˆ }
( p ,q )
LB
{ }
= FˆLB
( p ,q )
e
(
i kx x + k y y
)
(3.28)
Ensuite, à partir du théorème de Floquet, on peut exprimer l’égalité entre les vecteurs des
déplacements et forces nodaux des cellules ( p, q ) , ( p + 1, q ) , ( p, q + 1) et ( p + 1, q + 1) comme
suit :
avec : λx = e
− ik x d x
[uˆLB ](
p +1, q )
et λ y = e
− ik y d y
( p,q)
[uˆLB ]( ) = λy [uˆLB ](
p +1, q +1)
( p ,q )
= λx λ y [uˆ LB ]
[uˆLB ](
= λx [uˆLB ]
,
p , q +1
p ,q )
(3.29)
les constantes de phase suivant les directions de propagation x et
y . De même pour les vecteurs des forces nodales, les expressions sont :
 fˆLB 
 
( p +1, q )
(
= λx  fˆLB 
 
(
 fˆLB 
 
p,q)
p +1, q +1)
,
(
 fˆLB 
 
p , q +1)
(
= λx λ y  fˆLB 
 
(
= λ y  fˆLB 
 
p ,q )
p ,q )
(3.30)
Enfin, en introduisant (3.29) dans (3.26), ainsi que (3.30) dans (3.27), on en déduit les relations
traduisant la différence de phase entre les bords de la cellule ( p, q ) :
 uˆLB 
uˆ 
 LT 
uˆRB 
 
uˆRT 
( p ,q )
 I 
 λI 
x
 [uˆ ]( p ,q )
=
 λ y I  LB


λx λ y I 
(3.31)
et
 I
λ y−1I λx−1 I
 fˆLB 
 
 fˆ 
−1 −1
λx λ y I   LT 
ˆ
 f RB 
ˆ 
 f RT 
( p ,q )
=0
(3.32)
Fort de ces relations, il suffit ensuite de remplacer (3.31) dans (3.25) puis de multiplier à droite
l’expression obtenue par  I
d’équations suivant :
λ y−1 I λx−1 I λx−1λ y−1I  , ce qui nous donne, après calcul, le système
85
( DLB , LB + DLT , LT + DRB , RB + DRT , RT ) + ( DLB , LT + DRB , RT ) λ y + ( DLT , LB + DRT , RB ) λ y−1

+ ( DLB , RB + DLT , RT ) λx + ( DRB , LB + DRT , LT ) λx−1 + DLB , RT λx λ y + DRT , LB λx−1λ y−1
( p ,q )
+ DRB , LT λx λ y−1 + DLT , RB λx−1λ y  [uˆLB ]
(3.33)
=0
Si n est le nombre de déplacements nodaux au bord LB , alors les vecteurs des efforts et
déplacements nodaux sont de taille n × 1 , les matrices Dij ,kl de taille n × n et donc de surcroît le
système (3.33) est d’ordre n . En résolvant ce système, on obtient alors 2n solutions (problème aux
valeurs propres d’ordre 2).
D’après [Manconi et al., 2007], deux approches existent pour résoudre (3.33). La première consiste à
(
fixer deux des trois inconnues ω , λx , λ y
) pour ainsi se ramener à un problème aux valeurs propres
polynomial d’ordre 2 pour déterminer la troisième inconnue. Le problème aux valeurs propres ainsi
obtenu peut ensuite être résolu à partir de techniques numériques implémentées dans les codes comme
Matlab. Seulement, cette approche est très intéressante à condition qu’on connaisse a priori deux des
trois inconnues ω , λ y , λx . Ceci est le cas pour les cylindres car leurs nombres d’ondes
(
)
circonférentiel ne peut prendre que des valeurs discrètes. En pratique, on préfère généralement
analyser la dispersion des ondes à partir d’une onde plane harmonique exprimée dans un système de
coordonnées cylindriques, comme cela a été fait dans la section 3.2 pour les théories de plaque. La
formulation WFE2D_CYL proposée dans [Manconi et al., 2007] nous paraît donc plus adaptée à nos
besoins que la WFE2D_CART proposée dans [Akrout, 2005] qui emploie quant à elle la première
approche en fixant les inconnues (ω , λx ) .
(
Pour formuler la WFE2D_CYL, nous devons remplacer dans (3.33) les nombres d’ondes k x , k y
) par
leurs expressions en coordonnées cylindriques :
k x = kθ cos (θ ) ,
k y = kθ sin (θ )
(3.34)
On fait alors apparaître θ la direction de propagation et kθ le nombre d’ondes suivant la direction de
propagation. En fixant les variables (ω , θ ) connues a priori, le système (3.33) devient un problème
aux valeurs propres transcendentales en kθ , sauf pour les valeurs θ m =
mπ
pour lesquelles le
2
problème aux valeurs propres est polynomial d’ordre deux en kθ . La résolution des problèmes aux
valeurs propres transcendentaux peut être opérée à partir de techniques numériques ; toutefois, elles
donnent lieu à une infinité de valeurs
(k )
θ i
ce qui demande donc un tri car seulement 2n sont
réellement solutions de (3.33). Pour contourner ces difficultés et ainsi pouvoir utiliser la même
programmation que pour la WFE1D, nous proposons de fixer θ à zéro et de faire varier le repère du
matériau dans le modèle EF. Tout reviendra alors à considérer un modèle EF par direction de
propagation θi , ce qui permettra ensuite de n’avoir qu’à traiter des problèmes aux valeurs propres
polynomiaux d’ordre deux de la forme suivante :
86
( DLB , RB + DLT , RT + DRB , LT + DLB , RT ) λx2

+ ( DLB , LB + DLT , LT + DRB , RB + DRT , RT ) λx
(3.35)
+ ( DLB , LT + DRB , RT + DLT , LB + DRT , RB ) λx
(
+ ( DRB , LB + DRT , LT + DLT , RB + DRT , LB )  [uˆLB ]
p ,q )
=0
Pour bien distinguer la nouvelle formulation de la WFE2D_CYL par rapport à celle de [Manconi et
al., 2007], nous les avons comparé sur la figure 3.8.
Figure 3.8 : Les formulations de la WFE2D_CYL : (a) formulation proposée (b) formulation de
[Manconi et al, 2007].
Liens entre les valeurs et vecteurs propres et les caractéristiques ondulatoires
Une fois le problème aux valeurs propres résolu pour (ω , θ ) fixée, on se retrouve en possession
(
des 2n solutions λxi , Φ i
)
i =1⋯2 n
. A partir de ces solutions, on peut déduire les nombres d’ondes kθi à
partir de la relation suivante :
kθi =
( )
log λxi
− jd x
(3.36)
En examinant les valeurs des nombres d’ondes calculées précédemment, on constate qu’il existe
différents types d’ondes. La moitié d’entre elles a un nombre d’ondes à partie réelle positive et une
seconde moitié pour lesquelles la partie réelle est négative. Cela veut donc dire qu’il y a n ondes se
propageant dans la direction positive et n se dirigeant dans la direction négative. Par ailleurs, ces
ondes peuvent être de trois formes différentes si l’on compare la partie réelle et la partie imaginaire de
leurs nombres d’ondes : évanescente, complexe et progressive. Ces propriétés étant identiques pour la
87
WFE1D et la WFE2D, on peut donc se reporter au tableau 2.1 pour avoir une synthése des liens
existant entre les valeurs propres et les nombres d’ondes recherchées.
Enfin, à partir des 2n valeurs propres, Φ i c'est-à-dire, le champ de déplacements suivant l’épaisseur
de la plaque (déformée d’épaisseur), on est en mesure de retrouver les différentes ondes de plaques :
les ondes symétriques Sn, les ondes antisymétriques An et les ondes de cisaillement SHn.
3.3.1.4 Post-traitement des courbes de dispersion et des plans d’ondes
A partir des résultats obtenus par la WFE2D_CYL, il est possible d’afficher, pour une direction de
propagation θ 0 fixée et une pulsation ω0 fixée, les nombres d’ondes ainsi que les déformées
d’épaisseur pour l’ensemble des ondes. En pratique, on souhaiterait plutôt afficher la fonction
k (θ , ω0 ) (courbe de dispersion) ou bien la fonction k (θ , ω0 ) (plan d’ondes) pour une onde donnée.
Pour effectuer un tel post traitement, il faut identifier pour chaque onde les nombres d’ondes et les
déformées d’épaisseur qui leurs sont associées sur l’ensemble des pulsations [ω1 ⋯ωn ] si l’on
souhaite afficher les courbes de dispersion, ou bien sur l’ensemble des directions [θ1 ⋯θ n ] si l’on
souhaite afficher les plans d’ondes. Ce post traitement peut donc être réalisé simplement en utilisant
celui mis en place pour la WFE1D à la section 2.3.1.4.
3.3.2 Analyse de convergence
Tout comme la WFE1D, les résultats calculés à partir de la WFE2D_CYL peuvent présenter des
erreurs numériques. Si l’on se reporte à la section 2.3.3, nous avions mis en avant l’origine de ces
erreurs, particulièrement celles liées à la discrétisation EF de la cellule. Dans cette analyse, il avait
alors été dit que la taille des éléments utilisés pour modéliser la cellule devait respecter un certain
critère si l’on voulait restreindre les erreurs et ainsi caractériser précisément la dispersion des ondes.
Des tests, semblables à ceux de [Waki et al., 2006], ont été menés par [Manconi et al., 2007] pour
évaluer les erreurs numériques pouvant être rencontrées lors d’un calcul WFE2D_CYL. A travers ce
travail, l’auteur remarque une nouvelle fois qu’il est nécessaire d’utiliser un minimum de 6 à 10
éléments par longueur d’ondes pour que les nombres d’ondes calculés convergent vers les solutions
analytiques. Pour établir ce critère de convergence, des éléments finis de plaques formulés à partir de
la théorie de Kirchhoff-Love ont été utilisés. On peut donc penser que, tout comme le critère proposé
pour les poutres (cf. section 2.3.3), il peut être mis en défaut à hautes fréquences. Par ailleurs, une
étude a aussi été menée dans [Manconi et al., 2007] pour évaluer les erreurs de dispersion sur les plans
d’ondes. A partir de cette analyse, on montre que l’erreur fluctue périodiquement par rapport à la
direction de propagation θ . De plus, cette analyse nous informe que le maximum de cette erreur est
obtenu pour un certain rapport entre les tailles d x et d y de la cellule. Bien qu’intéressante, les
résultats de l’étude menée par [Manconi et al., 2007] ne semblent pas applicables dans notre travail et
ceci pour deux raisons. La première vient du fait que nous avons proposé une nouvelle formulation
pour la WFE2D_CYL et la seconde vient du fait que l’étude a été effectuée à partir d’éléments de
plaques, ce qui veut dire que le critère de convergence risque de ne pas être applicable à hautes
fréquences. Des développements sur ce thème sont donc à prévoir.
3.4 Applications
Dans cette section, nous allons mettre en oeuvre l’extension de la WFE proposée et montrer qu’elle
est efficace pour étudier la validité des différentes théories de plaques proposées à la section 3.2. Les
deux structures tests qui ont été choisies sont une plaque isotrope et une plaque composite stratifiée.
Un troisième test est aussi proposé afin d’étudier l’influence de la stratification sur la validité des
théories de plaques. Pour ces différents tests, nous allons procéder comme pour les poutres c’est-à-dire
comparer la dispersion des ondes par rapport à des grandeurs globales (nombre d’ondes, vitesses de
phase) ainsi que des grandeurs locales (déformée d’épaisseur), ceci afin de rendre nos conclusions
suffisament pertinentes sur la limite fréquentielle des théories. En même temps, nous comparerons
88
aussi les prévisions obtenues à partir des trois formulations de la WFE afin de démontrer les
améliorations apportées par la WFE2D_CYL par rapport aux WFE2D_CART et WFE1D. Lors des
différentes comparaisons, nous verrons que la théorie élémentaire est limitée sur la bande de fréquence
étudiée [0-100kHz]. Ces limitations peuvent survenir au niveau des grandeurs globales (vitesses de
phase) et/ou locales (champ de déplacement). En ce qui concerne la théorie FSDT, nous allons
montrer que cette théorie permet bien de reproduire avec précision les prévisions globales sur toute la
bande de fréquence, tandis que pour les prévisions locales elle peut donner des résultats erronés à
haute fréquence. De plus, nous verrons que, pour chaque stratification, il est nécessaire d’ajuster le
coefficient pondérateur de la FSDT si l’on veut obtenir des prévisions correctes.
3.4.1 Plaque isotrope
La première structure test est une plaque isotrope d’une épaisseur de 6 mm dont les propriétés
mécaniques sont regroupées au tableau 3.1. Pour information, ces propriétés ont été choisies
arbitrairement afin d’être identiques à celles de la plaque aluminium utilisée lors de la campagne
d’essai C1 du pôle chocs pyrotechniques [Dommanget et al., 2005].
E1
E2
E3
( GPa)
( GPa)
( GPa)
70
70
70
ν 12
0.3
ν 13
0.3
ν 23
0.3
G12
G13
G23
ρ
( GPa)
( GPa)
( GPa)
(kg m )
2.7
2.7
2.7
2500
3
Tableau 3.1 : Propriétés mécaniques de la première plaque test.
3.4.1.1 Caractérisation des ondes par WFE
Avant même d’étudier la validité des théories CLPT et FSDT, nous allons analyser les prévisions
obtenues à partir des différentes formulations de la WFE discutées à la section 3.3.1. Ces vérifications
numériques n’ont pour l’instant fait l’objet d’aucune publication dans la littérature. C’est pourquoi,
nous les avons répétées pour chaque structure test afin d’évaluer les limitations des différentes
formulations et ainsi justifier l’intérêt des développements effectués. L’objectif final étant bien
entendu de se doter d’une approche numérique capable d’être généralisée aux différents cas
d’applications.
(a) WFE1D
(b) WFE2D
Figure 3.9 : Maillages utilisés pour les calculs WFE1D et WFE2D.
Comparaison WFE1D / WFE2D_CYL
Tout d’abord, les résultats obtenus à partir de la WFE1D et la WFE2D_CYL sont comparés à la
figure 3.10(a), pour les courbes de dispersion dans la direction 0°, et à la figure 3.10(b), pour les plans
d’ondes à la fréquence 100kHz. Pour indication, les maillages utilisés pour obtenir ses résultats sont
représentés sur la figure 3.9. A travers ces comparaisons, on constate que les résultats prédits par la
WFE1D et la WFE2D_CYL sont analogues pour les ondes S0 et A0 sur la bande [0-100kHz]. En
89
revanche, pour l’onde SH0, on constate que la WFE1D ne la prédit pas et ceci parce que les éléments
utilisés sont bidimensionnels et donc n’ont pas de ddl perpendiculaire au plan de la plaque.
(a) courbes de dispersion à 0°
(b) plan d’ondes à 100kHz
Figure 3.10 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-).
Comparaison WFE2D_CART / WFE2D_CYL
Maintenant, si l’on compare les prévisions obtenues à partir de la WFE2D_CYL et la
WFE2D_CART (figure 3.11 (a-b)), on constate que les résultats sont strictement identiques sur la
bande [0-100kHz]. Les maillages utilisés pour effectuer ces deux calculs sont semblables et
correspondent à celui représenté à la figure 3.9. On conclut donc que pour effectuer les tests de
validation, la WFE2D_CYL et la WFE2D_CART peuvent être employées. Dans le cas où l’on
souhaite étudier la validité des théories uniquement pour les ondes S0 et A0, les trois formulations de la
WFE conviennent.
3.4.1.2 Validation des théories de plaques
Fort des résultats de la section précédente, nous avons choisi de mener l’étude sur la validité des
théories CLPT et FSDT à partir de la WFE2D_CYL.
(a) courbes de dispersion à 0°
(b) plan d’ondes à 100kHz
Figure 3.11 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-).
Comparaison CLPT / WFE2D_CYL
Dans un premier temps, intéressons nous à la théorie CLPT. Les courbes de dispersion suivant la
direction 0° obtenues à partir de cette théorie sont comparées sur la figure 3.12 aux courbes de
dispersion calculées à partir de la WFE2D_CYL. On constate alors que les grandeurs globales
(vitesses de phase) en ce qui concerne l’onde principale sont incorrectes à partir de 40kHz,
90
contrairement aux ondes SH0 et S0 pour lesquelles les prévisions sont exactes sur toute la bande
[0-100kHz].
(a) courbes de dispersion à 0°
(b) plan d’ondes à 100kHz
Figure 3.12 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-).
Si l’on s’intéresse aussi aux grandeurs locales et en particulier à la déformée d’épaisseur pour les
ondes S0, A0 et SH0 (figure 3.13), on constate à 100kHz que la distribution des champs de déplacement
pour les ondes A0 et S0 n’est plus linéaire. Cela veut donc dire que l’hypothèse de linéarité postulée
pour la CLPT ne convient plus à ce niveau de fréquence. On remarque donc, comme pour les poutres,
que les courbes de dispersion peuvent être correctement prédites bien que les hypothèses prises sur le
champ de déplacement soient trop simplificatrices.
onde S0
onde A0
onde SH0
Figure 3.13 : Évolution de la distribution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque pour les
ondes S0, A0 et SH0 (x : axe parallèle à la direction de propagation, y : axe perpendiculaire à la direction de
propagation, z : axe parallèle à l’épaisseur de la plaque).
91
Par ailleurs, pour évaluer la validité de la CLPT par rapport à la direction de propagation de l’onde,
nous avons aussi comparé les plans d’ondes associés aux différentes ondes principales à la fréquence
100kHz. A partir des résultats présentés sur la figure 3.12(b), on peut dire que la directivité des ondes
S0 et SH0 est correctement reproduite tandis que pour l’onde A0, on observe des écarts et ceci quelle
que soit la direction de l’onde.
Comparaison FSDT / WFE2D_CYL
Nous venons de voir précédemment que la théorie CLPT était limitée sur la bande [0-100kHz]. A
présent, nous allons étudier la validité de la théorie FSDT en procédant de la même façon que pour la
CLPT. Tout d’abord, si l’on compare les courbes de dispersion dans la direction 0° (figure 3.14 (a)),
on constate que les résultats sont identiques entre la FSDT et la WFE2D_CYL sur la bande
[0-100kHz]. De même, en ce qui concerne la directivité de l’onde, on observe sur la figure 3.14(b) que
les prévisions sont correctes sur toutes les directions du plan d’ondes. Pour ce qui est des grandeurs
locales, les conclusions sont les mêmes que pour la CLPT c’est-à-dire que le champ de déplacement
dans l’épaisseur ne peut être reproduit exactement à partir de théorie FSDT car elle est basée sur la
même hypothèse de linéarité que la CLPT. Enfin, il est important de noter que les calculs FSDT ont
été réalisés en utilisant un coefficient pondérateur déterminé à partir du critère énergétique (cf. section
3.2.2), c'est-à-dire 0.85.
(a) courbes de dispersion à 0°
(b) plan d’ondes à 100kHz
Figure 3.14 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-).
Pour résumer ce premier test, nous avons vu que la théorie CLPT était capable de prédire
correctement sur la bande [0-100kHz] les grandeurs globales pour les ondes principales SH0 et S0.
Pour la FSDT, on peut dire qu’elle est capable sur la bande [0-100kHz] de donner les prévisions
globales des ondes principales A0, S0 et SH0. Enfin, on rappelle que ces deux théories sont limitées en
ce qui concerne la prévision des grandeurs locales à hautes fréquences du fait de la non linéarité du
champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque.
3.4.2 Plaque composite stratifiée « quasi-isotrope »
La seconde structure test est une plaque composite stratifiée composée de 16 plis de matériau
M55J/M18 d’épaisseur 0,1 mm. Les propriétés mécaniques du matériau M55J/M18 sont regroupées
dans le tableau 3.2. Pour ce test, nous choisissons d’adopter une stratification quasi-isotrope
[45/-45/0/90]2S.
E1
E2
E3
( GPa)
( GPa)
( GPa)
310
6.5
6.5
ν 12
0.365
ν 13
0.365
ν 23
0.365
G12
G13
G23
ρ
( GPa)
( GPa)
( GPa)
(kg m )
4.3
4.3
2.87
1550
Tableau 3.2 : Propriétés mécaniques du matériau M55J/M18.
3
92
Dans la prochaine section, nous étudierons une plaque similaire en utilisant une stratification
différente pour ainsi voir l’influence de la stratification sur les résultats.
3.4.2.1 Caractérisation des ondes par WFE
Dans cette première partie du test, nous allons à nouveau chercher à analyser les prévisions
obtenues à partir des formulations WFE1D, WFE2D_CART et WFE2D_CYL. A travers cette
comparaison, on vérifiera si elles donnent toutes des résultats semblables ou bien, si l’une d’entre elles
est limitée car pour l’heure aucune des trois formulations n’a été employée pour étudier les
phénomènes de dispersion dans les plaques composites stratifiées. Pour effectuer les prévisions, nous
avons utilisé les maillages représentés sur la figure 3.15.
(a) WFE1D
(b) WFE2D
Figure 3.15 : Maillages utilisés pour les calculs WFE1D et WFE2D des plaques composites stratifiées.
Comparaison WFE1D / WFE2D_CYL
Premièrement, si l’on compare la WFE1D et la WFE2D_CYL, on constate sur la figure 3.16 que
les courbes de dispersion calculées à partir de ces deux approches sont identiques sur la bande
[0-100kHz] pour les ondes principales S0 et A0. Pour ce qui est de l’onde SH0, il est impossible pour la
WFE1D de reproduire cette onde car les éléments finis utilisés pour modéliser la cellule ne possèdent
pas de ddl dans la direction z comme on peut le voir sur la figure 3.16.
Figure 3.16 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.
Par ailleurs, si l’on s’intéresse à la directivité des ondes à 100kHz (figure 3.17), nous pouvons dire
que les approches WFE1D et WFE2D_CYL prédisent les mêmes résultats pour les ondes A0 et S0, et
ceci quelle que soit la direction de propagation.
93
(a) onde S0
(b) onde A0
Figure 3.17 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 100kHz.
Comparaison WFE2D_CART / WFE2D_CYL
Deuxièmement, comparons la WFE2D_CART à la WFE2D_CYL. Les courbes de dispersion ainsi
que les plans d’ondes calculés à partir de ces deux approches sont comparés sur la figure 3.18 et la
figure 3.19. On constate alors que les deux formulations prédisent des résultats identiques ; toutefois
on remarque que le coût numérique est plus important pour la WFE2D_CART que pour la
WFE2D_CYL. En effet, pour obtenir les prévisions à partir de la WFE2D_CART, il faut augmenter à
chaque fréquence l’étendue du domaine discrétisé λx , tandis que pour la WFE2D_CYL ; on conserve
toujours le même nombre de directions pour effecteur le calcul. A titre d’exemple, à la fréquence
100kHz, il faut tenir compte de 1201 incréments pour la WFE2D_CART alors que pour la
WFE2D_CYL, le nombre d’incréments est de 73 et reste fixe.
Figure 3.18 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-) - Courbes de dispersion à 0°.
En conclusion, nous pouvons donc dire que la WFE2D_CYL et la WFE2D_CART donnent des
résultats analogues ; toutefois, lorsqu’on cherche à prédire la dispersion des ondes à hautes fréquences,
le coût numérique peut devenir prohibitif pour la WFE2D_CART, d’où l’intérêt d’avoir développé
pour nos applications la WFE2D_CYL. De ce fait, on privilégiera la formulation WFE2D_CYL pour
analyser la validité des théories de plaque pour la seconde structure test.
3.4.2.2 Validation des théories de plaques
Pour valider les théories de plaques, nous avons décidé, comme pour la première structure test, de
comparer les grandeurs globales (courbes de dispersion, plans d’ondes) et locales (déformée
d’épaisseur) à celles calculées à partir de la WFE. La formulation WFE choisie est la WFE2D_CYL
car, comme nous venons de le voir précédemment, elle est la plus adaptée pour ce test.
94
(a) onde S0
(b) onde SH0
(b) onde A0
Figure 3.19 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-) - Plans d’ondes à 100kHz.
Comparaison CLPT / WFE2D_CYL
Pour débuter cette analyse de validité, nous allons nous intéresser aux prévisions fournies par la
théorie CLPT. En observant sur la figure 3.20, la dispersion des ondes suivant la direction de
propagation 0°, on constate tout d’abord que les grandeurs globales pour les ondes principales S0 et
SH0 sont en accord avec celles de référence calculées par WFE2D_CYL sur la bande [0-100kHz]. En
revanche, pour ce qui est de l’onde principale A0, on voit très clairement sur la figure 3.20 qu’à partir
de 40kHz, la vitesse de phase de l’onde divergent de la courbe de référence. A partir des plans d’ondes
tracés sur la figure 3.21, on constate même que cette divergence s’observe sur toutes les directions de
propagation. Au passage, on remarquera que la directivité des différentes ondes dans la seconde
structure test est circulaire et donc semblable à celle de la première structure test. Ainsi, on comprend
mieux pourquoi la stratification choisie pour la seconde structure test est appelée stratification quasi
isotrope.
Figure 3.20 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.
De plus, il est important de bien remarquer les valeurs maximales prises par les grandeurs globales car,
comme nous le verrons à la section suivante, elles évoluent significativement dès qu’on modifie la
stratification.
(a) onde A0
(b) onde S0
(c) onde SH0
Figure 3.21 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 100kHz.
95
Par ailleurs, si l’on observe l’évolution de la déformée d’épaisseur pour chaque onde (figure 3.22),
on remarque que l’hypothèse de linéarité du champ de déplacement prise dans la théorie CLPT
convient sur la bande [0-100kHz]. Enfin, pour l’onde A0, il est difficile d’arriver à discerner
l’influence de l’inertie de rotation sur le champ de déplacement. Il serait plus intéressant pour cela de
post traiter les champs de contraintes ou déformations. De toute façon, cette vérification a peu
d’intérêt pour ce test car nous avons déjà constaté qu’à partir de 40kHz les grandeurs globales
divergent ; or, on sait que c’est l’inertie de rotation qui est responsable de cette divergence.
onde S0
onde A0
onde SH0
Figure 3.22 : Évolution de la distribution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque pour les
ondes A0, S0 et SH0 (x : axe parallèle à la direction de propagation, y : axe perpendiculaire à la direction de
propagation, z : axe parallèle à l’épaisseur de la plaque).
Comparaison FSDT / WFE2D_CYL
A présent, intéressons nous à la validité de la théorie FSDT. Pour ce faire, nous comparons aux
résultats obtenus par WFE2D_CYL, les courbes de dispersion dans la direction 0° (figure 3.23), ainsi
que les plans d’ondes à la fréquence 100kHz (figure 3.24). A partir de ces comparaisons, on constate
que la théorie FSDT prédit précisément la dispersion des ondes A0, S0 et SH0, ceci quelle que soit la
fréquence dans la bande [0-100kHz] et aussi quelle que soit la direction de propagation. Par ailleurs,
on peut aussi dire que les déformées d’épaisseur sont correctement reproduites à partir de la théorie
FSDT, car comme nous l’avons déjà observé pour la CLPT, l’hypothèse de linéarité est valable sur la
bande [0-100kHz]. Néanmoins, on note un inconvénient majeur à la théorie FSDT : le coefficient
pondérateur. En effet, pour valider cette théorie, il nous a fallu utiliser un coefficient pondérateur de
0.65. On constate donc que grâce à l’outil numérique proposé ici, nous sommes en mesure d’évaluer a
priori ce coefficient et ainsi ne pas avoir à remettre en cause le caractère prédictif de la théorie FSDT.
D’ailleurs, cette estimation a priori du coefficient pondérateur est indispensable car comme nous le
verrons à la section suivante, il diffère en fonction de la stratification choisie.
96
Figure 3.23 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.
En résumé, nous pouvons dire pour ce second test que la théorie CLPT donne des prévisions
correctes sur la bande [0-100kHz] pour les ondes principales S0 et SH0, et sur la bande [0-40kHz] pour
l’onde principale A0, que ce soit pour les grandeurs globales ou locales. Enfin, la théorie FSDT est
valide pour reproduire la dispersion des différentes ondes principales sur toute la bande [0-100kHz] à
condition d’ajuster correctement le coefficient pondérateur à partir de la WFE2D.
(a) onde A0
(b) onde S0
(c) onde SH0
Figure 3.24 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 100kHz.
3.4.3 Plaque composite stratifiée « unidirectionnelle »
La dernière structure test que nous présentons ici est analogue à celle étudiée à la section 3.4.2, ce
qui veut dire que les propriétés mécaniques des plis sont celles présentées au tableau 3.2. A travers ce
test, nous souhaitons analyser l’influence de la stratification sur les phénomènes de dispersion et ainsi,
évaluer les modifications qu’il faut apporter sur les conclusions données à la section 3.4.2. Pour ce
faire, nous avons choisi de modifier l’orientation des plis et de tous les aligner suivant la direction 0°.
Figure 3.25 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.
97
3.4.3.1 Caractérisation des ondes par WFE
Dans la section précédente, nous avions conclu que la WFE2D_CYL était la plus adaptée pour
analyser la dispersion des ondes dans une plaque composite stratifiée dont la stratification est quasi
isotrope. Pour voir si ces conclusions sont les mêmes lorsqu’on modifie la stratification, nous allons
mener les mêmes comparaisons que dans la section 3.4.2.
(a) onde S0
(b) onde A0
Figure 3.26 : Comparaison WFE1D (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 100kHz.
Comparaison WFE1D / WFE2D_CYL
Dans un premier temps, nous allons comparer les prévisions obtenues par la WFE1D et la
WFE2D_CYL. Dans la direction de propagation 0°, la figure 3.25 présente une comparaison des
courbes de dispersion calculées à partir des deux formulations. On constate alors que les résultats sont
en accord pour les ondes principales A0 et S0, et que la WFE1D ne prend toujours pas en compte
l’onde SH0 à cause du fait qu’elle utilise des éléments solides à déformation plane. Ensuite, si l’on
s’intéresse à la directivité des ondes (figure 3.26), on constate cette fois que les résultats pour l’onde
principale S0 sont en désaccord pour toutes les directions de propagation, hormis celles correspondant
aux axes principaux d’orthotropie du matériau c'est-à-dire 0° et 90°.
Figure 3.27 : Évolution de la distribution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque pour l’onde S0
(x : axe parallèle à la direction de propagation, y : axe perpendiculaire à la direction de propagation, z : axe
parallèle à l’épaisseur de la plaque).
Pour comprendre cet échec, il faut s’intéresser aux déformées d’épaisseur des ondes Sn et SHn
lorsqu’elles se propagent dans un matériau composite stratifié. En effet, d’après [Prosser et al., 1994],
on sait que hors des directions principales d’orthotropie, les ondes Sn sont quasi longitudinales car leur
98
déplacement est une combinaison des déplacements longitudinal et transversal. Ceci est aussi vrai pour
les ondes SHn car elles sont quasi transversales. On conclut donc que la WFE1D n’est pas utilisable
hors des axes d’orthotropie. Pour illustrer nos propos, nous avons représenté l’évolution du champ de
déplacement dans l’épaisseur de la plaque en fonction de la direction de propagation pour l’onde
principale S0 (figure 3.27). A partir de ces figures, on observe bien que l’onde S0 est purement
longitudinale pour les directions de propagation 0° et 90°, tandis que pour la direction de propagation
45°, on voit que le champ de déplacement n’est plus purement longitudinal mais qu’une composante
transverse apparaît.
Comparaison WFE2D_CART / WFE2D_CYL
Maintenant, si l’on compare les prévisions obtenues à partir de la WFE2D_CART et de la
WFE2D_CYL, on constate, à partir de la figure 3.28, qui représente les courbes de dispersion dans la
direction 0° et, à partir de la figure 3.29, qui représente les plans d’ondes à la fréquence 10kHz, que les
résultats sont corrects pour les trois ondes principales. Toutefois, le coût numérique peut devenir
prohibitif pour la WFE2D_CART à mesure où l’on s’intéresse aux hautes fréquences ; c’est pourquoi
il est à nouveau préférable d’employer la WFE2D_CYL.
Figure 3.28 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-) - Courbes de dispersion à 0°.
3.4.3.2 Validation des théories de plaques
Fort des résultats obtenus à la section précédente, nous pouvons désormais étudier la validité de la
théorie CLPT, s’en suivra celle de la théorie FSDT.
(a) onde A0
(b) onde S0
(c) onde SH0
Figure 3.29 : Comparaison WFE2D_CYL (o) et WFE2D_CART (-) - Plans d’ondes à 10kHz.
Comparaison CLPT / WFE2D_CYL
Tout d’abord, s’il l’on compare les courbes de dispersion dans la direction 0° (figure 3.30) et les
plans d’ondes à 10kHz (figure 3.31), on peut dire que les prévisions obtenues pour les ondes S0 et SH0
sont en accord entre la théorie CLPT et la WFE2D_CYL. A contrario, pour l’onde A0, on constate que
99
la théorie est limitée sur la bande [0-20kHz] et ceci quelque soit la direction de propagation.
Maintenant, si l’on analyse les grandeurs locales prédites par la WFE2D_CYL (figure 3.32), on peut
dire que l’hypothèse de linéarité du champ de déplacement utilisée pour la CLPT est valide sur la
bande de fréquence [0-100kHz]. On conclut donc, tout comme pour la seconde plaque test, que les
grandeurs locales et globales sont correctement prédites par la théorie CLPT pour les ondes S0 et SH0
sur la bande [0-100kHz], et pour l’onde A0 sur la bande [0-20kHz].
Figure 3.30 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.
Comparaison FSDT / WFE2D_CYL
Sachant que pour la CLPT les conclusions sont identiques pour les tests 2 et 3, nous allons tenter de
voir s’il en va de même pour la théorie FSDT. Pour cela, les courbes de dispersion à 0° (figure 3.33)
ainsi que les plans d’ondes à 10kHz (figure 3.34) calculés à partir de la FSDT sont comparés aux
prévisions de la WFE2D_CYL. On constate alors simplement que la dépendance fréquentielle et
angulaire des grandeurs globales (nombres d’ondes) est correctement prédite par la théorie FSDT. De
même, en ce qui concerne les grandeurs locales, les déformées d’épaisseur représentées sur la figure
3.32 montrent que l’hypothèse de linéarité du champ de déplacement est valide sur la bande
[0-100kHz].
(a) onde A0
(b) onde S0
(c) onde SH0
Figure 3.31 : Comparaison CLPT (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 10kHz.
On peut donc conclure que la théorie FSDT n’est pas limitée que ce soit pour prédire les grandeurs
globales et locales. Enfin, il est important de noter que, pour cette troisième structure, nous avons
utilisé un coefficient pondérateur égal à 0.85. On voit donc que pour la FSDT, la stratification peut
entraîner des modifications car pour une stratification [45/-45/0/90]2S, le coefficient doit être ajusté à
0.65, alors que pour une stratification [0]8S, le coefficient doit être ajusté à 0.85.
100
onde S0
onde A0
onde SH0
Figure 3.32 : Évolution de la distribution du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque pour les
ondes A0, S0 et SH0 (x : axe parallèle à la direction de propagation, y : axe perpendiculaire à la direction de
propagation, z : axe parallèle à l’épaisseur de la plaque).
En conclusion, nous pouvons dire que la stratification a une influence sur les conclusions apportées
à la théorie FSDT et non à la théorie CLPT. Cette influence est due essentiellement au coefficient
pondérateur utilisé par la théorie FSDT qui varie en fonction de la stratification. Il faut donc
impérativement ajuster a priori ce coefficient sinon on risque d’engendrer des erreurs de dispersion
lors de simulation. L’utilisation de la WFE2D_CYL avant une simulation peut donc être une bonne
voie pour éviter ce type d’erreur ; toutefois, le mieux serait de s’orienter vers des théories approchées
qui ne nécessitent pas de coefficients pondérateurs, comme par exemple les théories approchées
développées à partir de la formulation à deux champs de Heillinger-Reissner (cf. tableau 1.2).
Figure 3.33 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-) - Courbes de dispersion à 0°.
101
(a) onde A0
(b) onde S0
(c) onde SH0
Figure 3.34 : Comparaison FSDT (o) et WFE2D_CYL (-) - Plans d’ondes à 10kHz.
3.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons étudié la capacité des éléments plaques à reproduire la propagation
d’ondes. En particulier, nous avons voulu voir si le paramètrage physique (théorie de plaque) des
éléments proposés dans les codes de calcul convenait en terme de dispersion des ondes. Pour ce faire,
nous avons étendu l’approche prise dans le cadre des poutres (cf. chapitre 1) c’est-à-dire que nous
avons analysé la dispersion prédite par les différentes théories de plaque et nous avons comparé les
prévisions obtenues à celles de la méthode WFE. Dans un premier temps, il nous a fallu étendre la
WFE car elle ne répondait pas intégralement à nos besoins d’un point de vue numérique. En
comparant les différentes formulations de la WFE lors de nos applications, nous avons alors pu
montrer l’interêt de nos développements dans le cadre des plaques composites stratifiées. Fort de cet
outil, nous avons alors pu étudier la validité des différentes théories en analysant à chaque fois si elles
pouvaient reproduire précisément les grandeurs globales (vitesse de phase, nombres d’ondes) ainsi que
les grandeurs locales (champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque). Sachant que dans les
plaques les ondes peuvent se propager dans plusieurs directions, nous avons dû prendre en compte la
dépendance fréquentielle de ces grandeurs, mais aussi la dépendance vis à vis de la direction de
propagation. Finalement, à partir de différentes applications présentées, nous avons pu constater que le
paramétrage physique (théories de plaques) des éléments était correct en ce qui concerne les grandeurs
globales, à condition d’ajuster a priori le coefficient pondérateur. En revanche, en ce qui concerne les
grandeurs locales, nous avons vu que le paramétrage n’est pas forcément adéquat à hautes fréquences
en raison de la complexification du champ de déplacement dans l’épaisseur de la plaque. Néanmoins,
pour parfaire cette analyse, il serait intéressant d’observer la répartition des contraintes dans
l’épaisseur de la plaque, car nous avons vu que, dans certaines applications, il était difficile
d’interpréter les prévisions à partir uniquement des déplacements. Pour conclure, on peut donc dire
que l’approche proposée est bien adaptée pour étudier la validité des éléments et que, grâce à cette
dernière approche, nous avons pu mettre en avant le fait que les éléments proposés dans les codes de
calcul sont bien adaptés ; toutefois, des études complémentaires sont à prévoir en ce qui concerne leurs
prévisions locales.
Chapitre 4
Simulation de la réponse transitoire d’une structure
soumise à un choc haute fréquence
4.1 Introduction
Dans les précédents chapitres, nous avons étudié la validité du paramétrage physique (théorie de
poutre et de plaque) des EF afin qu’ils reproduisent les phénomènes de propagation d’ondes à hautes
fréquences. Désormais, nous allons simuler la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc et
évaluer l’influence du paramétrage numérique (taille des éléments, fonction d’interpolation d’ordre
élevé, intégration réduite). Pour realiser ces simulations, nous emploierons le code Abaqus/Explicit,
ainsi que la méthode WFE qui sera étendue dans ce chapitre au calcul transitoire. A partir des
différentes applications présentées, nous verrons que le code explicite est mis en défaut à plusieurs
reprises. Dans ce cas, des recommandations sont données afin d’enrichir le code et accélérer le
paramètrage numérique du modèle.
4.2 Simulation à partir d’un code explicite
A travers cette première section, nous allons tout d’abord décrire la méthode implémentée dans un
code explicite tel que Abaqus/Explicit, c’est-à-dire : la FEM temporel. Dans un premier temps, nous
détaillerons la discrétisation par la FEM des équations de la mécanique des milieux continus (MMC).
Ensuite, afin d’évaluer la réponse transitoire en tout point de la structure, les équations semi
discrétisées en espace seront résolues dans le domaine temporel à partir de l’intégration directe
temporelle. Au final, une discussion sur la convergence de la méthode sera proposée afin d’identifier
les sources d’erreurs numériques pouvant venir dégrader les prévisions.
4.2.1 Discrétisation spatiale des équations de la MMC
Figure 4.1 : Problème de référence en mécaniques des milieux continus.
103
104
Pour pouvoir appliquer une méthode numérique telle que la FEM, il faut impérativement écrire les
équations de la MMC sous une forme variationnelle, ce qui veut dire que les équations seront résolues
au sens faible. Pour ce faire, rappelons tout d’abord la forme forte des équations de la MMC pour la
structure représentée sur la figure 4.1
∂σ ij

 ρ uɺɺi =
∂xi

σ n = f
ext
 ij j
sur Ω
(4.1)
sur ∂Ωσ
où : Ω est la structure et ∂Ωσ la frontière de la structure où sont appliqués les efforts extérieurs
(conditions limites statiques). Dans ce système d’équations, le champ des contraintes σ ij est relié au
champ des déformations ε ij à partir de la loi de comportement du matériau. Cette dernière s’exprime :
σ ij = Cijkl : ε ij
(4.2)
De même, à partir de la théorie de l’élasticité, une seconde relation peut être établie entre le champ de
déplacement ui et le champ de déformation ε ij :
1  ∂ui ∂u j 
+

2  ∂x j ∂xi 
ε ij ( u ) = 

(4.3)
Enfin, les conditions limites cinématiques doivent aussi être prises en compte
u ∂Ω = ud
(4.4)
u
où : ∂Ωu est la frontière de la structure où sont imposés les déplacements. Enfin, il faut aussi tenir
compte des conditions initiales
u t =0 = u0

uɺ t =0 = uɺ0
(4.5)
Formulation variationnelle
A partir des équations précédentes, nous pouvons écrire une forme variationnelle du problème en
nous appuyant sur le principe des puissances virtuelles (PPV). Si l’on considère le champ de
déplacement virtuel δ u vérifiant les conditions limites cinématiques (champ cinématiquement
admissible) et qu’on intégre les équations (4.1) sur le domaine spatiale défini par la structure, on
obtient la forme variationnelle suivante :
 ∂σ ij
∫ ( ρuɺɺ δ u )dv = ∫  ∂x
i
Ω
i
Ω
i

δ ui  dv +

∫ (σ
∂Ωσ
ij
n jδ ui )ds
(4.6)
On peut ensuite réécrire la forme variationnelle en intégrant par partie le second terme de l’équation
(4.6)
105
 ∂σ ij

∫Ω  ∂xi δ ui  dv = σ ijδ ui  − Ω∫ (σ ij ⋅ ε ij (δ u ) )dv
(4.7)
Sachant que le champ est cinématiquement admissible, on peut simplifier l’expression (4.7) puisque
σ ijδ ui  = 0 . La forme variationnelle s’exprime alors :
∫ ( ρuɺɺ δ u )dv = − ∫ (σ
i
i
Ω
Ω
ij
⋅ ε ij (δ u ) )dv +
∫ (σ
∂Ωσ
ij
n jδ ui )ds
(4.8)
Définition des matrices élémentaires
A présent, nous pouvons appliquer la FEM à la forme variationnelle (4.8) en vue de transformer les
équations en un système matriciel. Pour cela, il faut décomposer la structure (domaine Ω ) en
éléments finis (sous domaines Ωe ) de formes géométriques simples pour lesquels le champ de
déplacement est approché par des fonctions d’interpolation. Si l’on considère un élément e, le champ
de déplacement au sein de cet élément s’écrit en un point M de la façon suivante :
{u ( M , t )} =  N ( M ) {q ( t )}
e
(4.9)
avec :  N e  matrice des fonctions d’interpolation pour l’élément e, {q} vecteur des déplacements
aux nœuds de l’élément e.
Remarque : les fonctions d’interpolation utilisées pour formuler des éléments finis sont
majoritairement des polynômes de Lagrange, de Serendip ou bien encore des polynômes d’Hermite, le
degré du polynôme définissant alors l’ordre de l’élément fini. Dans la majorité des codes industriels
comme Abaqus/Explicit, les éléments sont au maximum d’ordre deux ce qui veut dire que les fonctions
d’interpolation ont un dégré inférieur ou égale à deux.
Maintenant, si l’on substitue le champ de déplacement (4.9) dans l’équation (4.3), on peut exprimer le
champ de déformation à partir des déplacements nodaux de la façon suivante :
{ε } = [ D ] {v }
T
ij
i
= [ D ]  N e  {qi }
=  B e  {qi }
T
(4.10)
Finalement, en introduisant (4.9) et (4.10) dans (4.8) puis en considérant que le champ de déplacement
vituel δ u est unitaire, il est possible de transformer, pour un élément e, la forme variationnelle (4.8)
en un système matriciel de la façon suivante :
 M e  {qɺɺ} +  K e  {q} = { F e }
avec :  K e  la matrice de raideur,
{F }
e
matrice de masse de l’élément e définis par :
(4.11)
le vecteur des forces extérieures aux noeuds,  M e  la
106
 K e  = ∫  B e  [C ]  B e dv ,
T
T
 M e  = ∫ ρ  N e   N e dv
Ω
 F  =
e
∫  N
Ω
e T
∂Ω

{ fi } ds
(4.12)
Les éléments isoparamétriques
En pratique, pour formuler ces matrices élémentaires, on procède généralement à une
transformation géométrique des coordonnées nodales (figure 4.2). Ainsi, les fonctions d’interpolation
peuvent être définies aisément pour un élément de géométrie simple (élément fini de référence) et
ensuite être projetées sur la géométrie physique (élément fini physique). La matrice de transformation
jacobienne permettant de projeter les fonctions de l’espace de référence (ξ ,η ) dans l’espace physique
( x, y ) étant alors définies de la façon suivante :
 ∂N e

 ∂ξ
[ J ] =  e
 ∂N
 ∂η

T

 ⋅X

T

 ⋅X

T

 ∂N e 

⋅
Y



 ∂ξ 

T
 ∂N e 


 ⋅Y 
 ∂η 

(4.13)
Grâce à cette transformation, l’intégration des matrices élémentaires (4.12) peut desormais être
indépendante de la géométrie de l’élément puisqu’elles peuvent se réécrire comme suit :
 K  =
e
 M  =
e
+1 +1
∫ ∫  B  [C ]  B
e T
−1 −1
+1 +1
∫ ∫ ρ  N
−1 −1
e
 det ( J ) d ξ dη
(4.14)
  N  det ( J ) d ξ dη
e T
e
Remarque : lorsque les fonctions de l’élément fini de référence sont identiques à celles de l’élément
fini physique, on dit alors que l’élément fini est isoparamétrique, tandis que si les fonctions sont
différentes entre les deux éléments, on parle alors d’éléments finis subparamétriques. En règle
générale, les éléments finis proposés dans les codes industriels sont isoparamétriques.
Figure 4.2 : Élément isoparamétrique brick 2D.
107
Assemblage des matrices élémentaires sur l’ensemble de la structure
A présent, pour obtenir le système matriciel de la structure complète, il faut assembler les matrices
élémentaires pour l’ensemble des éléments constituants le modèle. Ce système matriciel s’écrit alors :
[ M ]{Uɺɺ} + [ K ]{U } = {F }
(4.15)
avec : [ M ] et [ K ] la matrice de masse et de raideur de la structure, ainsi que { F } le vecteur des
forces extérieures définis par
nb _ elements
[K ] = ∑
e =1
 K e  ,
nb _ elements
[M ] = ∑
e =1
 M e  ,
nb _ elements
[F ] = ∑
e =1
 F e 
(4.16)
Prise en compte de l’amortissement de la structure
Enfin, si l’on introduit de l’amortissement dans le système matriciel (4.15), on obtient :
[ M ]{Uɺɺ} + [C ]{Uɺ } + [ K ]{U } = {F }
(4.17)
avec : [C ] la matrice d’amortissement s’exprimant à partir des matrices de masse et de raideur si l’on
prend un modèle d’amortissement de Rayleigh :
[C ] = α [ M ] + β [ K ]
(4.18)
Dans la section suivante, on va évaluer les différentes dérivées en temps présentes dans (4.17) afin de
calculer la réponse transitoire de la structure.
4.2.2 Résolution du système matriciel dans le domaine temporel
A travers cette section, nous allons chercher à résoudre l’équation (4.17) sur un intervalle de temps
discret [tn ]n =1⋯N . Pour ce faire, les codes de calcul proposent différentes méthodes numériques
comme la synthèse modale ou bien l’intégration temporelle directe (voir figure 1.9). La méthode
recommandée lorsque la réponse transitoire présente un contenu fréquentiel élévé est, comme nous
l’avons vu lors de la revue des méthodes (cf. section 1.4.2.2), l’intégration directe temporelle et, en
particulier, celle formulée à partir du schéma explicite de Newmark. Ce schéma d’intégration, aussi
appelé schéma des différences centrées, est un schéma à un pas de temps qui nécessite la connaissance
de l’accélération au temps tn pour déterminer le déplacement et la vitesse au temps tn +1 . Si l’on pose
γ = 1 2 et β = 0 dans (1.10), on obtient les équations suivantes :
2

ɺ + ∆t Uɺɺ
U
=
U
+
∆
tU
n
n
n
 n +1
2

Uɺ = Uɺ + ∆t (Uɺɺ + Uɺɺ )
n
n +1
n
 n +1
2
(4.19)
À partir des équations (4.19), on constate alors, bien que ce schéma d’intégration nécessite la
connaissance de Uɺɺn +1 pour déterminer U n +1 et Uɺ n +1 . Il n’est donc pas purement explicite. C’est
pourquoi, on doit le coupler avec un algorithme de résolution de type prédicteur-correcteur ou bien
utiliser des vitesses intermédiaires, c'est-à-dire décaler les grilles vitesse et déplacement d’un demi pas
108
de temps. En règle générale, les codes explicites utilisent le second algorithme. Pour bien cerner le
caractère explicite obtenu via l’algorithme de résolution, supposons Uɺɺn connue. La vitesse au temps
tn +1 2 se calcule alors comme suit :
∆t
Uɺ n +1 2 = Uɺ n −1 2 + Uɺɺn
2
(4.20)
avec : Uɺ n −1 2 la vitesse déterminée au temps t n−1 2 .
A partir de l’expression (4.20), on est en mesure de déterminer le déplacement au temps t n+1 de la
manière suivante :
U n +1 = U n + Uɺ n +1 2 ∆t
(4.21)
Ensuite, à partir de (4.21), on déduit les forces internes présentes dans le système matriciel (4.17) :
Fnint+1 = [ K ]{U n+1}
(4.22)
ɺ
Fnvis
+1 = [ C ]{U n +1 2 }
(4.23)
ainsi que les forces visqueuses
Enfin, en remplaçant (4.22) et (4.23) dans (4.17) et en supposant que les forces extérieures sont
connues au temps tn +1 , il est possible d’estimer l’accélération au temps t n+1 en inversant la matrice de
masse dans l’équation (4.17) :
(
-1
vis
int
Uɺɺn +1 = [ M ] Fnext
+1 − Fn +1 − Fn +1
)
(4.24)
Lors de la prochaine itération, l’accélération Uɺɺn +1 servira à calculer la vitesse Uɺ n +3 2 puis le
déplacement U n + 2 . On a alors bien affaire à un schéma explicite puisqu’il suffit de connaître
l’accélération au temps précédent pour évaluer la vitesse et le déplacement au temps suivant.
L’algorithme de résolution qui vient d’être présenté et qui est programmé dans le code explicite utilisé
à la section 4.4, est celui réprésenté à la figure 4.3.
Remarque : ce schéma est souvent appelé schéma explicite de type accélération [Bonini, 1995] pour
bien le distinguer des autres schémas, comme par exemple le schéma explicite de type déplacement.
4.2.3 Réduction du coût numérique des simulations
Au fil des années, la FEM temporel proposée dans les codes de calcul a été enrichie par les
développeurs en vue de réduire le coût numérique des simulations (temps de calcul, taille mémoire).
Conscient qu’il existe un grand nombre d’approches permettant de réduire le coût numérique d’une
simulation, nous allons présenter uniquement celles qui peuvent être mis en défaut dans notre cadre
d’étude.
4.2.3.1 Intégration numérique des matrices élémentaires
Tout d’abord, comme on peut le constater dans [Imbert, 1979], il existe différentes possibilités pour
réaliser l’intégration des matrices élémentaires (4.14). On a premièrement l’intégration complète qui
109
permet de realiser une intégration exacte des matrices en utilisant un nombre défini de points
d’intégration. Il existe aussi l’intégration reduite qui, comme son nom l’indique, permet d’intégrer les
matrices élémentaires à partir d’un nombre réduit de points d’intégration sans modifier les propriétés
de convergence du schéma d’intégration. Cette technique d’intégration est intéressante pour deux
raisons. La première permet de réduire le coût numérique de la méthode, en particulier en dynamique
non linéaire. La seconde permet de compenser la surévaluation de la rigidité des éléments inhérente à
toutes méthodes d’approximation de type déplacement. Malheureusement, il existe aussi certains
inconvénients à cette technique. En effet, lorsqu’on utilise l’intégration réduite, des modes de
déformations parasites (en anglais Hourglass mode) apparaissent. Pour contrôler ces modes, plusieurs
techniques ont été proposées comme par exemple celle de [Flanagan et al., 1981]. Ces techniques
proposent généralement d’injecter des forces secondaires afin de contrer la déformation de l’élément.
A la suite d’une simulation, une attention particulière doit alors être donnée sur l’énergie des forces
secondaires car elle doit reste négligeable par rapport à l’énergie totale. En règle générale, les codes
explicites préconisent que cette énergie reste inférieure à dix pour cent de l’énergie totale.
Figure 4.3 : Algorithme de résolution implémenté dans un code explicite.
4.2.3.2 Condensation de masse
Un second enrichissement apporté à la FEM temporel est la condensation de masse (en anglais,
Mass lumping). Cette technique a pour but de rendre moins coûteux le calcul de l’expression (4.24) en
procédant à une diagonalisation de la matrice de masse. A nouveau, plusieurs techniques de
condensation ont été proposées, comme nous l’avons montré lors de la revue des méthodes de calcul
(cf. section 1.4). En s’intéressant plus particulièrement à la technique utilisée pour les applications de
la section 4.4, on constate qu’elle est l’une des plus simples à mettre en œuvre car il suffit d’effectuer
la sommation des termes lignes et colonnes de la matrice de masse :
 nl e
 M ik
e
 M diag
 = ∑
k =1
0

i= j
(4.25)
i≠ j
A titre d’exemple, la matrice de masse d’un élément poutre linéaire en traction se diagonalise à partir
de (4.25) comme suit :
ρ SL  2 1 
 M e  =
,
6 1 2 
ρ SL 1 0 
e
 M diag
 =
2 0 1 
(4.26)
110
Numériquement, la condensation de masse a un intérêt certain car elle permet une réduction
significative du coût numérique.
Remarque : le code explicite utilisé lors des applications présentées à la section 4.4 impose d’utiliser
des matrices de masse diagonales.
4.2.4 Analyse de convergence
Comme pour toutes méthodes numériques, les solutions obtenues à partir de la FEM temporel sont
des solutions approchées du problème (4.1) en raison de la discrétisation spatio-temporelle. Pour
s’assurer de la convergence de ces dernières, il est donc crucial d’effectuer une analyse de
convergence, c'est-à-dire étudier la stabilité et la consistance de la méthode. Dans le cadre de
structures complexes, ce type d’étude est souvent très compliquée voir impossible. C’est pourquoi, il
est proposé ici de ne pas en mener mais plutôt de résumer les conclusions fournies dans la littérature.
4.2.4.1 Stabilité
Tout d’abord, intéressons nous à la stabilité de la FEM temporel. D’après l’étude menée dans
[Géradin et al., 1992], il apparaît que le schéma explicite de Newmark, présenté à la section 4.2.2, est
conditionnellement stable. Cela veut dire que le pas de temps ∆t défini dans (4.19) doit toujours être
inférieur à un pas de temps critique si l’on souhaite que la réponse transitoire ne diverge pas. Pour une
structure amortie, cette limite de stabilité s’exprime
∆t ≤ ∆tcrit =
2
ωmax
(
2
1 + ξ max
− ξ max
)
(4.27)
avec : ωmax la plus grande valeur propre du système matriciel (4.17) et ξ max le facteur
d’amortissement à la pulsation ωmax .
En règle générale, on ne cherche pas à déterminer la plus grande valeur propre du système matriciel
(4.17) car cela peut s’avérer coûteux numériquement lorsque cette dernière présente un nombre
important de ddl. On préfere plutôt s’appuyer sur le fait que cette valeur propre est majorée par la plus
grande valeur propre d’une matrice élémentaire, soit :
e
ωmax ≤ max (ωmax
)
(4.28)
elements
Ainsi, la limite de stabilité (4.27) peut être modifiée de la façon suivante :
∆t ≤
2
e
ωmax
(4.29)
e
En pratique, pour estimer la valeur propre ωmax
, on utilise la condition de Courant-Friedrich-Lewy
(CFL) [Courant et al., 1928] qui montre que, dans le cas d’un élément poutre linéaire en traction, la
valeur propre est égale à :
e
ωmax
=
2c
∆xmin
(4.30)
avec : ∆xmin la longueur du plus petit élément et c la vitesse de l’onde longitudinale dans une poutre.
Pour les autres types d’éléments (coques, solides, etc.), la condition CFL peut être généralisée
111
toutefois, la longueur ∆xmin , ainsi que la vitesse c sont alors plus complexes à évaluer comme on
peut le constater dans [Abaqus/Explicit, 2007].
Remarque : les pas de temps utilisés pour les simulations présentées à la section 4.4 ont été
déterminés automatiquement par le code à partir de la condition CFL présentées précédemment.
4.2.4.2 Consistance
Figure 4.4 : Analyse de la consistance de la FEM temporel.
Pour évaluer la consistance de la FEM temporel, on doit estimer l’écart entre la solution approchée
et la solution exacte du problème (4.1). Pour cela, nous nous sommes intéressés au travail de
[Belytschko et al.,1977] qui étudie l’écart entre la vitesse théorique et la vitesse approchée lorsqu’une
onde longitudinale se propage dans une poutre isotrope (figure 4.4). Pour conduire cette analyse,
l’auteur considère tout d’abord l’équation du mouvement d’une poutre isotrope en traction
∂ 2u 2 ∂ 2u
− c0 2 = 0
∂t 2
∂x
(4.31)
avec : c0 = E ρ la vitesse théorique de l’onde longitudinale et u le déplacement longitudinal de la
poutre. Ensuite, une discrétisation spatio-temporelle de l’équation (4.31) est réalisée à partir de la
FEM temporel. Les équations discrétisées obtenues sont alors les suivantes :
 u m +1 − 2unm+1 + unm+−11 
uɺɺnm+1 + c02  n +1
=0
∆x 2


2
∆t m
unm+1 = unm + ∆tuɺnm +
uɺɺn
2
∆t
uɺnm+1 = uɺnm + ( uɺɺnm+1 + uɺɺnm )
2
(4.32)
où : unm = u ( m∆x, n∆t ) représente le déplacement approché, ∆t le pas de temps, ∆x la taille de
l’élément. Maintenant, si l’on conduit une analyse de dispersion comme à la section 2.2 à partir de
l’onde plane harmonique suivante
unm = e
i ( mk − nω )
(4.33)
avec : k = k ∆x le nombre d’ondes adimensionné et ω = ω∆t la pulsation adimensionnée. On est en
mesure, en introduisant (4.33) dans (4.32), de déterminer une relation de dispersion approchée.
D’après [Belytschko et al.,1977], cette relation de dispersion s’exprime :
σ 2 sin 2 ( k 2 ) − sin 2 (ω 2 ) = 0
(4.34)
où : σ = c0 ∆t ∆x le nombre de Courant qui est égal à un lorsque ∆t = ∆x c 0 (pas de temps critique).
112
Si l’on analyse la relation de dispersion déterminée précédemment, on peut tout d’abord faire
remarquer qu’on retrouve bien la relation de dispersion théorique si l’on effectue un développement
limité pour ( ∆t , ∆x ) → 0 , soit
c02 k 2 − ω 2 = 0
(4.35)
La méthode est donc bien consistante puisque la solution approchée est alors égale à la solution
exacte. Cependant, lorsque la discrétisation est trop grossière, la relation (4.34) nous informe de
l’apparition d’un phénomène de dispersion numérique. Sur une réponse transitoire mesurée en un
point de la structure, ce phénomène se traduit par un étalement du signal qui s’amplifie au fil des
itérations temporelles ainsi qu’un affaiblissement de l’amplitude (figure 4.5). Pour contrôler ces
phénomènes néfastes et ainsi garantir une précision suffisante des simulations, les industriels utilisent
actuellement une règle préconisant qu’un minimum de cinp à huit éléments par longueur d’ondes à la
fréquence maximale de l’excitation suffit pour garantir la convergence des solutions approchées.
Néanmoins, en dynamique transitoire, cette règle ne semble pas viable car elle tient compte
uniquement de l’erreur de dispersion induite par la discrétisation spatiale. Or, comme nous venons de
le voir, il existe aussi une erreur de dispersion liée à la discrétisation temporelle qui s’amplifie à
mesure des itérations. Il semble donc nécessaire de tenir compte du nombre total d’itérations si l’on
veut garantir des prévisions fiables sur toute la durée d’une simulation. Une première idée consisterait
donc à raffiner encore plus le maillage ; toutefois, le coût numérique des simulations risque alors de
devenir prohibitif. Pour pallier cette limitation, certains chercheurs proposent de raffiner uniquement
le maillage là où il y a propagation d’ondes [Grédé et al., 2006]. Une autre méthode consiste à
améliorer la convergence de la FEM temporel en utilisant des éléments finis spectraux [Cohen, 2002] ;
toutefois, cette dernière n’a pour l’instant pas été mise en oeuvre dans nos cas d’application.
Figure 4.5 : Illustration des erreurs de dispersion sur une réponse transitoire.
4.3 Simulation à partir de la méthode WFE
Dans la section précédente, nous avons décrit la FEM temporel implémentée dans un code
explicite. Lors de l’analyse de convergence, nous avons vu que cette méthode pouvait donner des
prévisions médiocres, voire fausses, en raison d’un phénomène de dispersion numérique lié à la
discrétisation spatio-temporelle. Lors des applications présentées à la section 4.4, il est intéressant,
pour vérifier la qualité des prévisions, de comparer ces dernières à celles calculées analytiquement.
113
Pour effectuer ce type de calcul, il faut premièrement décomposer le champ de déplacement en
ondes planes harmoniques, puis procéder à une synthèse ondulatoire pour déterminer la réponse
fréquentielle. La réponse transitoire se calcule ensuite simplement en appliquant la tranformée de
Fourier discrète inverse (IDFT) de la réponse fréquentielle. Cette méthode analytique est très souvent
utilisée pour étudier la propagation d’ondes lorsque la structure peut être modélisée à partir des
théories simplifiées et approchées présentées à la section 1.3.2 comme le montre [Doyle, 1997]. En
revanche, à hautes fréquences, la méthode analytique ne convient plus puisque les théories sont trop
simplifiées pour pouvoir prendre en compte un nombre suffissant d’ondes guidées (mode stationnaire
dans la direction de propagation) lors de la synthèse ondulatoire. Bien entendu, on pourrait employer
une théorie exacte ; toutefois, elles sont limitées aux structures simples.
Pour pallier ces limitations, nous proposons dans cette section une méthode semi-analytique
utilisant pour la synthèse ondulatoire les ondes planes harmoniques caractérisées à partir de la
méthode WFE1D (section 2.3.1). Grâce à cette méthode, on ne sera plus limité fréquentiellement
puisque la base d’ondes guidées utilisée pour le calcul sera suffisamment complète en vue d’assurer la
convergence des résultats à hautes fréquences. Pour bien différencier cette méthode de celle proposée
pour les problématiques stationnaires [Mencik et al., 2006], nous la dénommerons par la suite :
WFE1D temporel. Il est aussi important de noter que les prévisions obtenues par la méthode semi
analytique peuvent être desormais dégradées, contrairement à la méthode analytique, du fait de la
discrétisation spatiale (voir section 2.3.3). Néanmoins, ces erreurs peuvent être contrôlées a priori en
menant une analyse de convergence semblable à celle menée à la section 2.4.4. Enfin, précisons que la
WFE1D temporel est limitée aux structures pour lesquelles la WFE1D est valable. Cela veut donc dire
que pour traiter des structures plus complexes comme les plaques composites stratifiées, des
dèveloppements supplémentaires sont à prévoir.
4.3.1 Extension de la formulation à la dynamique transitoire
Figure 4.6 : Structure périodique soumise à un choc.
Pour simuler la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc haute fréquence, il nous faut
premièrement exprimer le choc dans le domaine fréquentiel [ωk ]k =1⋯M à partir d’une DFT :
M
fˆext ( ωk ) = ∑ f ( tm ) e− jtmωk
(4.36)
m =1
Ensuite, le vecteur d’état doit être décomposé sur la base des ondes guidées caractérisées par la
WFE1D (voir section 2.3.1). Pour une cellule p, la décomposition du vecteur d’état s’exprime :
p
n 
 u  n 
uˆL 
p-1 φi
p-1− N
 ˆ  = ∑  ai λi  f   + ∑  bl λl
φ
i =1 
 i   l =1 
 f L 
φlu  
 f  
φl  
(4.37)
114
avec : [ ai ]i =1⋯n et [bl ]l =1⋯n les facteurs de participation des n ondes se propageant respectivement
vers les x positifs et négatifs (rappel : n correspond au nombre de ddl utilisés pour modéliser l’une des
sections de la cellule p). Dans ce problème, les inconnues ne sont plus les forces nodales fˆLp et les
déplacements nodaux uˆLp mais les facteurs de participation ai et bl . Pour les déterminer, nous devons
formuler un système matriciel à partir des conditions aux limites appliquées au niveau des cellules 1 et
N (figure 4.6). Par exemple, lorsque la poutre est soumise à un effort sur la section gauche de la
cellule 1 et que la section droite de la cellule N est libre, les conditions aux limites s’expriment :
  ˆ1  
ˆ
  f L     f ext  
 N =

  f R    [ 0] 
(4.38)
En introduisant l’expression des forces nodales données par (4.37) dans (4.38), on obtient le système
matriciel suivant :
  ai φi f 
bl λl− N φl f     fˆext  



 =   
f
  ai λiN φi f 




bl φl    [ 0] 

(4.39)
Les facteurs ai et bl peuvent ensuite être calculés en inversant le sytème matriciel (4.39) comme suit :
f
λl− N φl f  
[ ai ]  φi 

 = N f
φl f  
[bl ]   λi φi 

−1
  fˆ  
  ext  
 [ 0] 


(4.40)
Enfin, en itérant sur l’ensemble des pulsations discrètes le calcul des facteurs de participation et en
introduisant ces derniers dans (4.37), on obtient finalement la réponse fréquentielle de la structure. Il
ne reste alors plus qu’à calculer la réponse temporelle sur le domaine temporel [ti ]i =1⋯M en effectuant
une IDFT de la réponse fréquentielle déterminée précédemment. Pour une cellule p, les déplacements
nodaux de la section gauche s’expriment de la manière suivante :
{u ( t )}
L
k
p
=
1
M
∑ {uˆ ( ω )}
M
m =1
L
m
p
e − jtk ωm
(4.41)
4.3.2 Programmation
A l’instar de la WFE1D, la programmation de la WFE1D temporel est l’un des avantages majeurs
de cette méthode par rapport aux autres méthodes semi-analytiques (cf. section 1.4.3). En effet, elle
repose sur l’utilisation de fonctions standards implémentées dans les codes de calcul, ce qui simplifie
alors fortement sa programmation. Le code, qui a été developpé dans le logiciel Matlab pour effectuer
les simulations, est celui schématisé sur la figure 4.7. A travers ce schéma, on constate que la
principale difficulté concerne le passage du domaine temporel au domaine fréquentiel, en particulier le
paramétrage numérique des fonctions DFT et IDFT. Bien entendu, pour développer ces fonctions,
nous nous sommes basés sur les fonctions de base proposées sous Matlab, néanmoins il a fallu les
surcharger afin de tenir compte du problème de repliement (en anglais Aliasing), mis en évidence dans
[Doyle, 1997], lors du calcul de la réponse transitoire.
115
Figure 4.7 : Programmation de la méthode WFE1D temporel.
Figure 4.8 : Illustration du phènomène de repliement.
Ce problème, intrinsèque à la discrétisation des signaux, se manifeste lorsque M, le nombre de
valeurs discrètes dans [ti ]i =1⋯M , n’est pas suffisamment grand par rapport à la durée totale de la
vibration. Pour illuster ce problème de repliement, nous avons représenté, sur la figure 4.8, les signaux
temporels mesurés à différentes positions d’observation lorsqu’une onde longitudinale se propage dans
une poutre infinie. A travers cet exemple, on constate que la réponse temporelle se replie dés lors que
la vibration entraînée par le passage de l’onde ne peut être contenu dans le domaine temporel
[ti ]i =1⋯M . Pour simplifier, on peut dire que ce phénomène de repliement s’apparente à une machine à
écrire dont le chariot revient en début de ligne lorsqu’il a atteint la fin de cette dernière. En pratique, il
nous faut donc s’assurer que le nombre M est suffisamment grand pour que le domaine temporel
puisse contenir l’ensemble de la réponse sans repliement.
116
Enfin, lors du calcul de la réponse fréquentielle, une hypothèse doit être faite concernant la valeur
de la réponse à la pulsation ω0 . En effet, à cette pulsation, les ondes ne se propagent pas, et de ce fait
il est impossible d’estimer leurs facteurs de participation. Or, pour les applications présentées à la
section 4.4, nous avons décidé de ne pas inclure de composante statique lors de la définition du choc.
Nous pouvons donc, considérer que la réponse fréquentielle est nulle à cette pulsation, soit :
{uˆ ( ω )} = {0}
p
L
0
(4.42)
4.4 Applications
Dans cette section, nous allons évaluer l’influence du paramètrage numérique sur les prévisions
lorsque l’on cherche à simuler la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc haute
fréquence. Pour cela, des simulations vont être menées à partir du code Abaqus/Explicit en faisant
varier les différents paramètres numériques (taille des éléments, ordre des fonctions d’interpolation,
intégration reduite). En comparant les réponses transitoires simulées, nous tenterons d’évaluer le
paramétrage garantissant la convergence des solutions. Ensuite, à partir de ce paramètrage, nous
vérifierons la qualité des prévisions en les comparant avec celles calculées par la WFE1D temporel.
Grâce aux différents cas tests présentés, nous constaterons que le code explicite est mis à défaut à
plusieurs reprises. Des pistes seront donc proposées afin que l’on puisse obtenir des prévisions fiables
et précises dans le cadre de la problématique des chocs pyrotechniques. Enfin, il faut rappeler que l’on
évalue les limitations du code explicite en ce qui concerne la modélisation de la structure. Les chocs
utilisés dans les cas tests ne seront donc pas représentatifs de ceux générés par un dispositif
pyrotechnique.
4.4.1 Poutre composite stratifiée « quasi-isotrope »
La première structure test est la poutre composite stratifiée « quasi-isotrope » présentée à la section
2.4.3. Ses propriétés mécaniques et géométriques sont donc celles données sur la figure 2.20. Par
ailleurs, la longueur de la poutre étudiée est de 1,50 m.
Figure 4.9 : Représentation du signal temporel (gauche) et de la DFT du choc défini pour les poutres
composites stratifiées quasi-isotrope et unidirectionnelle.
Au chapitre 2, nous avions évalué la capacité du paramétrage physique des éléments poutres à
modéliser les phénomènes de propagation d’ondes. Désormais, nous allons définir un modèle
numérique à partir de ces éléments et appliquer un choc à l’une des extremités de la poutre. A partir du
code explicite, nous tenterons de simuler la réponse de la poutre à proximité du choc en temps
moyens, c'est-à-dire que les ondes émises par le choc auront eu le temps de se propager et de se
réflechir sur les bords. Sachant qu’un choc pyrotechnique génère principalement des ondes L0 et TZ0,
nous avons décidé d’analyser les réponses transitoires de la poutre lorsque cette dernière est sollicitée
longitudinalement et transversalement. Pour ce faire, nous utiliserons le choc représenté sur la figure
4.9 qui est caractérisé par un contenu fréquentiel élevé s’étendant jusqu’à 100kHz. Cela veut donc dire
que les réponses mesurées à proximité du choc présenteront elles aussi un contenu fréquentiel élevé. Il
faut toutefois noter que les deux chocs ne seront pas appliqués en même temps, ceci afin d’éviter la
117
superposition des ondes L0 et TZ0 dans la réponse. Les schémas réprésentés sur la figure 4.10 résume
ce cas test.
Génération et détection d’une onde onde L0
Génération et détection d’une onde TZ0
Figure 4.10 : Description des cas de charge imposés aux poutres les poutres composites stratifiées quasiisotrope et unidirectionnelle.
4.4.1.1 Influence des paramètres numériques du modèle
La première étape de notre test consiste à faire varier la taille des éléments et comparer les réponses
transitoires simulées. En procédant à cette analyse, on cherche à déterminer la taille minimale
permettant d’assurant la convergence des réponses. Pour réaliser ces simulations, nous nous sommes
basés sur des éléments poutres car, comme nous l’avons montré à la section 2.4.3, ils sont suffisants
pour modéliser les phénomènes de propagation d’ondes sur la bande [0-100kHz]. Deux types
d’éléments poutres sont proposés par le code explicite [Abaqus/Explicit, 2007]. Il y a des éléments dits
linéaires car leur fonction d’interpolation est d’ordre un, et des éléments dits quadratiques dont les
fonctions d’interpolation sont d’ordre deux. Dans ce test, nous avons décidé d’analyser la convergence
des solutions pour ces deux types d’éléments car, comme le montre [Belytschko et al.,1977], elle peut
varier significativement. Enfin, on notera que, dans toutes simulations realisées, les éléments ont une
taille identique.
Figure 4.11 : Influence de la discrétisation sur les vitesses longitudinales mesurées à 15 cm du choc : éléments
linéaires (gauche) et éléments quadratiques (droite).
Les résultats de cette première analyse sont présentés sur la figure 4.11, pour le choc longitudinal,
et sur la figure 4.12, pour le choc transversal. Pour les éléments poutres linéaires, on constate qu’il y a
convergence des réponses en temps moyens dès lors que la taille des éléments est inférieure à 5 mm
pour le choc longitudinal, et 0.5 mm pour le choc transversal. Sachant que les dimensions de la section
sont de 20 mm x 6.4 mm, on remarque que les résultats convergent, même lorsque le rapport
dimension minimale de la section sur longueur des éléments est inférieur à 1. Cette remarque est
interessante car il arrive parfois que les industriels preconisent de ne pas utiliser des éléments poutres
lorsque ce ratio est inférieur 1. De plus, on constate que, pour dimensionner le maillage, la règle
classique stipulant que les ondes de flexion sont dimensionnantes est valable. Ceci n’est pas vraiment
surprenant car les ondes L0 et TZ0 présentent des longueurs d’ondes bien distinctes (voir section 2.4.3)
comme en basse fréquence, là où cette régle s’applique. Pour les éléments quadratiques, on retrouve
les mêmes constatations puisque les résultats montrent que les réponses convergent lorsque la taille
des éléments est inférieure à 20 mm pour le choc longitudinal et 2 mm pour le choc transversal.
118
Figure 4.12 : Influence de la discrétisation sur les vitesses transversales mesurées à 15 cm du choc : éléments
linéaire (gauche) et éléments quadratiques (droite).
Bien qu’à partir des éléments linéaires et quadratiques nous pouvons garantir la convergence des
réponses, il nous faut tout de même effectuer un choix. Pour cela, intéressons nous au coût numérique
des différentes simulations. Le tableau 4.1 repertorie pour chaque taille d’élément le nombre total de
ddl utilisés ainsi que le nombre d’itérations temporelles nécessaires pour calculer la réponse sur
l’intervalle de temps fixé. Pour le calcul des critères de maille, nous nous sommes basés sur les
longueurs d’ondes calculées à partir de la WFE1D, c'est-à-dire, 84 mm pour l’onde L0 et 14 mm pour
l’onde TZ0. A partir du tableau 4.1, nous pouvons conclure que le coût numérique pour les éléments
quadratiques est plus faible que celui des éléments linéaires car leur rapport nombre total de ddl /
nombre total d’itérations temporelles reste plus faible, quelque soit le type d’ondes. De plus, nous
pouvons aussi dire, à la vue des valeurs du critère de maille, qu’au moins huit éléments par longueur
d’ondes doivent être utilisés si l’on veut garantir la convergence des solutions en temps moyens. Cette
constatation montre alors bien que la règle appliquée industriellement ne peut être valable dans ce cas
puisque les erreurs de dispersion ne sont alors pas négligeables.
Type d’élément
élément poutre
linéaire (B31)
élément poutre
quadratique (B32)
élément poutre
linéaire (B31)
élément poutre
quadratique (B32)
Type
d’ondes
Taille élément
(suivant x)
Critère de
maille à 100kHz
Nombre total de
ddl
Nombre total
d’incréments
temporels
L0
5 mm
λ 16
1 806
6 193
L0
20 mm
λ 4
906
3 645
TZ0
0.5 mm
λ 30
18 006
165 916
TZ0
2 mm
λ8
9 006
190 462
Tableau 4.1 : Paramètres numériques correspondant aux différentes tailles d’élément.
4.4.1.2 Vérification des prévisions à partir de la WFE1D temporel
Fort de l’analyse précédente, nous pouvons désormais vérifier la qualité des prévisions en les
comparant à celles de référence calculées par la WFE1D temporel. Premièrement, comparons les
réponses transitoires. Pour réaliser les calculs WFE1D temporel, nous avons utilisé les paramètres
donnés dans le tableau 4.2.
La figure 4.13 présente les comparaisons des réponses transitoires simulées à partir du code
explicite et de la WFE1D temporel pour les chocs longitudinal et transversal. On constate à partir de
ces comparaisons que le code simule avec précision la réponse de la poutre en temps courts (onde
directe) et ceci pour les deux chocs. Pour s’en convaincre, nous avons mesuré virtuellement les
vitesses de phase des ondes propagées par le choc à partir de la technique d’identification présentée
Annexe C. Nous les avons ensuite comparées aux vitesses calculées à la section 2.4.3. Les
comparaisons des vitesses présentées sur la figure 4.14 montrent alors bien que le code simule
119
correctement la propagation des ondes L0 et TZ0 puisque leur vitesse est comparable à celle déterminée
par la WFE1D.
type d’élément
nombre
nœud
epaisseur
nombre
nœud
longueur
nombre
nœud
largeur
amortissement
hystérétique
incrément
temps
temps
simulation
élément solide
multicouche
linéaire (C3D8)
9
2
11
0.01
0.5 µs
20 ms
Tableau 4.2 : Paramètres utilisés pour les calculs WFE1D temporel.
Autrement, en ce qui concerne les simulations en temps moyens, on observe directement à partir de
la comparaison des réponses transitoires (figure 4.13) que le code est incapable de prédire
correctement la vitesse des ondes réfléchies pour le choc transversal. En effet, les instants à partir
desquels les ondes réflechies atteignent la position de mesure, ici 15 cm, sont sous estimés. Ce constat
est en accord avec l’analyse de convergence de la FEM temporel menée dans [Belytschko et al.,1977]
puisque l’auteur déclare que la méthode sous estime la vitesse des ondes lorsque l’on emploie une
matrice de masse diagonale, ce qui est le cas ici. On peut toutefois émettre une reserve sur cette
conclusion car les conditions limites sont prises en compte différemment dans les simultations FEM
temporel (conditions limites 1D) et WFE1D temporel (conditions limites 3D). Or, on sait que ces
dernières peuvent entrainées des différences importantes sur la propagation d’onde.
Figure 4.13 : Vérification à partir de la WFE1D temporel des vitesses longitudinale (gauche) et transversale
(droite) mesurées à 15 cm du choc.
Pour conclure sur ce premier test, nous pouvons dire que les éléments quadratiques sont plus
intéressants que les éléments linéaires car ils permettent une convergence plus rapide des solutions EF
tout en conservant un rapport faible entre le nombre total de ddl à utiliser, et le nombre total
d’itérations temporels. Par ailleurs, nous avons aussi observé que les éléments quadratiques sont
insuffisants pour prédire la réponse transitoire de la poutre en temps moyens lorsque cette dernière est
soumise à un choc transversal.
Figure 4.14 : Vérification à partir de la WFE1D temporel des vitesses de phase de l’onde L0 (gauche) et de
l’onde TZ0 (droite).
120
4.4.2 Poutre composite stratifiée « unidirectionnelle »
La seconde structure testée dans cette section est la poutre composite stratifiée unidirectionnelle
étudiée à la section 2.4.2. L’objectif de ce test est donc d’évaluer l’influence de la stratification sur les
simulations en vue d’appréhender les risques inhérents à la simulation lorsque l’on modifie
l’empilement d’une structure. Pour effectuer cette étude, nous allons pratiquer les mêmes analyses que
lors du test précédent, c'est-à-dire évaluer l’influence des paramètres numériques et vérifier la qualité
des prévisions pour ainsi conclure. Avant même de mener ce test, il est primordial de rappeler que la
stratification influence déjà la modélisation de la poutre. En effet, si l’on se reporte à la section 2.4.2,
nous avons constaté que les théories de poutre étaient incapables de reproduire la dispersion des ondes
L0 et TZ0 et donc, que le modèle numérique devait être réalisé à partir d’éléments solides.
Malheureusement, le code Abaqus/Explicit ne propose pas d’éléments solides multicouches pour
modéliser les structures composites stratifiées. Il propose uniquement des éléments coques solides
multicouches. Nous nous sommes donc basés sur ces éléments pour réaliser ce cas test.
4.4.2.1 Influence des paramètres numériques du modèle
Le code Abaqus/Explicit propose seulement des éléments coques solides à intégration réduite. Ce
type d’élément est intéressant pour réduire le coût numérique des simulations ; toutefois, à condition
que l’énergie des forces utilisées pour contrôler les modes de déformation à énergie nulle soit
négligeable par rapport à l’énergie totale de la structure (section 4.2.3.1). Pour s’en assurer, il est
possible sous Abaqus/Explicit d’effecter un bilan énergétique afin de vérifier que l’énergie des forces
reste inférieure à dix pour cent de l’énergie totale. La figure 4.15 présente deux exemples de bilan
énergétique effectué lorsque l’on applique un choc longitudinal et transversal sur l’une des extrémités
de la poutre. A travers ces exemples, on constate que l’influence de l’intégration réduite est
négligeable puisque l’énergie des forces de contrôle est nulle sur toute la durée de la simulation. Nous
pouvons donc l’utiliser sans crainte pour réduire le coût de nos simulations.
Figure 4.15 : Influence de l’intégration réduite.
Suite au travail sur l’intégration réduite, nous nous sommes interessés à l’influence de la taille des
éléments sur les réponses transitoires. Comme pour la première structure test, nous avons fait varier la
taille des éléments et nous avons ensuite comparé les résultats jusqu’à ce qu’il y ait corrélation des
réponses. Les modèles étant realisés à partir d’éléments coques solides, seule la taille des éléments
suivant la direction de propagation de l’onde est considérée comme variable. La discrétisation utilisée
dans la section de la poutre est alors fixée à dix éléments dans la largeur et 8 éléments dans
l’épaisseur. Pour effectuer ce choix, nous nous sommes une nouvelle fois basés sur la méthode
WFE1D. En effet, au regard des déformées de section évaluées à la section 2.4.2, nous avons pu
appréhender, pour chaque onde guidée, les longueurs d’ondes dans la section et ainsi trouver la taille
minimale des éléments dans la largeur et l’épaisseur de la poutre.
Ceci étant dit, nous pouvons désormais nous intéresser aux résultats obtenus. La figure 4.16
présente une comparaison des réponses transitoires lorsque l’on fait varier la taille des éléments dans
la direction de propagation, ceci pour les chocs longitudinal et transversal. On constate que la taille
121
minimale des éléments doit être de 2 mm pour assurer la convergence des réponses dans le cas du choc
longitudinal. Pour le choc transversal, la taille minimale est de 0.5 mm ; cependant il nous a été
impossible de comparer les réponses pour une taille d’éléments plus faible en raison des limitations du
calculateur. Nous avons donc considérer, à la vue des comparaisons entre la taille 1 mm et 0.5 mm,
que la convergence des réponses etait atteinte pour 0.5 mm puisque les écarts observés étaient très
faibles.
Pour ce faire une idée du coût numérique des différentes simulations, nous avons réuni pour chaque
taille d’élément la valeur du critère de maille, le nombre total de ddl constituant le modèle numérique
ainsi que le nombre total d’itérations utilisées (tableau 4.3). On notera que pour calculer les différents
critères de maille, nous nous sommes basés sur les longueurs d’ondes calculées à partir de la WFE1D,
c'est-à-dire 18 mm pour l’onde L0 et 15 mm pour l’onde TZ0. A partir de ces résultats, on remarque à
nouveau qu’il faut utiliser au minimum huit éléments par longueur d’ondes si l’on veut pouvoir
assurer la convergence des solutions en temps moyens. Si un choc est appliqué à la fois
longitudinalement et transversalement, le dimensionnement du maillage doit être effectué à partir de
l’onde de flexion TZ0.
Figure 4.16 : Influence de la taille des éléments sur les vitesses longitudinale (gauche) et transversale (droite)
mesurées à 15 cm du choc.
Par ailleurs, il est important de noter que, pour cette analyse de convergence, nous n’avons pas pu
évaluer la performance des éléments d’ordre élévé puisque Abaqus/Explicit propose seulement des
éléments coques solides linéaires. Des investigations futures doivent donc être menées sur ce point car,
comme nous l’avons conclu pour la poutre composite stratifiée quasi isotrope, ces éléments présentent
un meilleur rapport qualité/coût numérique.
Type élément
élément coque solide
multicouche linéaire
(SC8R)
élément coque solide
multicouche linéaire
(SC8R)
Type d’ondes
Taille élément
(suivant x)
Critère de
maille à
100kHz
Nombre total
de ddl
Nombre total
d’itérations
temporels
L0
2 mm
λ8
223 047
12 356
TZ0
0.5 mm
λ 32
891 297
170 617
Tableau 4.3 : Paramètres numériques correspondant aux différentes tailles d’élément.
4.4.2.2 Vérification des prévisions à partir de la WFE1D temporel
Dans la section précédente, nous avons calibré les paramètres numériques du modèle afin d’assurer
la convergence des prévisions. A présent, nous allons confronter ces prévisions à celles calculées par
la WFE1D temporel et ainsi vérifier leurs qualités. Pour effectuer les simulations à partir de la
WFE1D temporel, nous avons employé les paramètres donnés dans le tableau 4.2. Les comparaisons
122
des vitesses, longitudinale et transversale, simulées à partir des deux méthodes sont représentées sur la
figure 4.17.
Figure 4.17 : Vérification à partir de la WFE1D temporel des vitesses longitudinale (gauche) et transversale
(droite) mesurées à 15 cm du choc.
A partir de ces comparaisons, on constate tout d’abord que les prévisions calculées pour le choc
longitudinal sont correctes même en temps moyens, alors que pour le choc transversal, les prévisions
semblent convenir uniquement en temps courts. Pour mieux s’en convaincre, nous avons à nouveau
décidé d’identifier par intercorrélation la vitesse de phase des ondes en temps courts. Les vitesses de
phase identifiées sont comparées sur la figure 4.18 aux vitesses de référence prédites par la WFE1D.
On remarque sur ces comparaisons que les vitesses identifiées sont différentes de celles prédites par la
WFE1D. Pour l’onde L0, ceci vient du fait qu’il est difficile d’identifier par intercorrélation la vitesse
d’une onde lorsque cette dernière se superpose à une autre onde. Or, comme on peut le voir à la figure
4.17, l’onde directe L0 se superpose à la première onde réflechie L0 en raison du caractère dispersif de
l’onde. Pour l’onde TZ0, l’écart vient non plus de l’identification par intercorrélation mais de
l’homogénéisation realisée par le code pour décrire la déformation de l’élément coques solides dans
son épaisseur [Abaqus/Explicit, 2007]. Pour s’en convaincre, nous avons réalisé un calcul WFE1D en
modélisant la section de la poutre à partir des éléments coques solides et non des éléments solides
comme c’etait le cas dans la section 2.4.3. En comparant les vitesses ainsi calculées à celles identifiées
par intercorrélation (figure 4.18), on constate cette fois que les vitesses se corrèlent parfaitement. Les
erreurs observées à partir de 20kHz sont donc bien liées à la technique d’homogénéisation utilisée
pour prendre en compte la contrainte dans l’épaisseur de la poutre. On conclut donc que le code
explicite est incapable de prédire la réponse transitoire lorsque la poutre est sollicitée transversalement
à hautes fréquences.
Figure 4.18 : Vérification à partir de la WFE1D temporel des vitesses de phase de l’onde L0 (gauche) et de
l’onde TZ0 (droite).
En conclusion, dans ce cas test, nous avons voulu mettre en avant les corrections à apporter à un
modèle numérique lorsque l’on modifie la stratification d’une poutre composite stratifiée. À la section
123
2.4.2, nous avons étudié qu’une modification de la stratification pouvait nécessiter un changement du
type d’élément. La poutre devait alors être modélisée à partir d’éléments solides. Dans ce second test,
nous nous sommes rendu compte, lors de la création du modèle, que le code explicite proposait
uniquement des éléments coques solides. Nous avons donc tenté de les utiliser ; cependant plusieurs
difficultés ont été rencontrées. Premièrement, pour faire converger les réponses transitoires, nous
avons constaté que le nombre d’éléments devait être élevé ce qui entrainait même parfois un coût
numérique prohibitif. Nous avons donc essayé d’utiliser des éléments d’ordre plus élevé pour
améliorer la convergence mais nous nous sommes heurtés au fait que ce type d’élément n’est pas
implémenté dans le code Abaqus/Explicit. Enfin, nous avons aussi vu lors des vérifications qu’il était
impossible de simuler la réponse transitoire de la poutre pour un choc transversal car
l’homogénéisation dans l’épaisseur de l’élément est incorrecte dans le domaine des hautes fréquences.
4.4.3 Plaque composite stratifiée « quasi-isotrope »
La dernière structure testée dans cette section est la plaque composite stratifiée quasi isotrope
étudiée à la section 3.4.2. L’objectif de ce test est semblable aux précédents, c'est-à-dire, que nous
allons analyser la capacité du code explicite à prédire la réponse transitoire de la structure lorsqu’elle
est soumise à un choc haute fréquence. Pour ce faire, nous allons bâtir un modèle numérique à partir
de la théorie FSDT validée au chapitre 3, et simuler en temps moyens la réponse transitoire de la
plaque à proximité de la source du choc (figure 4.19). Le choc défini pour ce test est celui représenté à
la figure 4.20. Il est caractérisé par un contenu fréquentiel élevé s’étendant jusqu’à 15kHz et est
appliqué transversalement à la plaque. Des tests similaires ont aussi été realisés à partir d’un choc
longitudinal ; cependant des problèmes avec la modélisation EF de l’effort ont été rencontrés. Des
investigations futures sont donc à prévoir concernant ce point bloquant.
Figure 4.19 : Description des points d’application du choc et de mesure.
La première étape du test consiste à évaluer l’influence des paramètres numériques du modèle sur
la convergence des solutions. Une fois les paramètres calibrés, la vitesse de phase est identifiée par
intercorrélation et comparée à celle calculée par WFE2D. Cette comparaison a pour but d’analyser la
dispersion numérique de l’onde en temps courts car, comme nous avons pu le voir précédemment, elle
est difficile à quantifier depuis une comparaison de réponses transitoires.
124
Figure 4.20 : Représentation du signal temporel (gauche) et de la DFT de l’effort utilisé pour le test 3.
4.4.3.1 Influence des paramètres numériques du modèle
Par défaut, le code Abaqus/Explicit propose d’utiliser des éléments coques à intégration réduite.
Des simulations ont donc été réalisées à partir de ces éléments afin d’évaluer s’il etait possible de les
employer. La figure 4.21 représente le bilan énergétique effectué lors d’une de ces simulations.
Contrairement aux poutres, on constate que l’énergie des forces de contrôle n’est pas nulle.
Cependant, elle reste inférieure à dix pour cent de l’énergie totale. Les éléments coques à intégration
réduite peuvent donc être employés pour ce test puisque l’on ne risque pas de dégrader les prévisions.
La seconde étape de ce travail consiste à évaluer la convergence des solutions en faisant varier la
taille des éléments coques. Pour simplifier l’étude, nous avons utilisé des éléments pour lesquels les
tailles sont identiques dans les directions x et y. Pour la stratification étudiée, cette hypothèse semble
raisonnable car les ondes se propagent à la même vitesse quelque soit la direction de propagation (voir
le plan d’ondes associé à l’onde A0 calculé par la WFE2D à la section 3.4.2). Les vitesses
transversales simulées à proximité du choc dans les directions 0°, 45° et 90° sont comparées sur la
figure 4.22 pour les différentes tailles d’éléments.
Figure 4.21 : Influence de l’intégration réduite.
A travers ces comparaisons, on constate dans un premier temps que les simulations réalisées à
partir du code explicite sont correctes en temps courts, hormis dans la direction 45° lorsque l’élément
fait 10 mm. En effet, un léger decalage des réponses apparaît, ce qui veut dire qu’il y a certainement
de la dispersion numérique. En temps moyens, on observe là aussi des erreurs de dispersion mais cette
fois plus significatives. Cela nous laisse donc penser que la convergence n’est pas assurée. D’autres
simulations ont été realisées à partir d’éléments plus petits, seulement leur coût numérique devenait
prohibitif. Nous avons donc conclu qu’il est impossible, pour ce test, d’évaluer la taille minimale des
éléments garantissant la convergence des réponses en temps moyens.
Ensuite, pour estimer les coûts numériques, nous avons listé les paramètres numériques utilisés
pour effectuer les différentes simulations. La longueur d’ondes utilisée pour le calcul des critères de
maille, a été estimée par la WFE2D_CYL et est égale à 4 cm. A la vue des résultats présentés dans le
tableau 4.4, nous pouvons dire qu’il est necessaire, en temps courts, de prendre au minimum huit
125
éléments par longueur. A contrario, pour les simulations en temps moyens, nous pouvons uniquement
affirmer qu’en dessous de seize éléments par longueur d’ondes la convergence n’est pas assurée. Par
ailleurs, il est important de noter que, pour cette analyse de convergence, nous n’avons pas pu une
nouvelle fois employer d’éléments d’ordre élévé parce que le code explicite n’en propose pas. Des
analyses complémentaires doivent donc être menées pour savoir s’il est possible d’accélérer la
convergence des solutions à partir de ce type d’éléments.
Figure 4.22 : Influence de la taille des éléments sur les vitesses transversales mesurées à proximité du choc dans
les directions 0° (gauche), 45° (milieu) et 90° (droite).
4.4.3.2 Vérification des vitesses de phase à partir de la WFE2D_CYL
La dernière étape de ce test consiste à vérifier que les réponses transitoires sont valables en temps
courts. Contrairement aux cas tests précédents, nous nous baserons uniquement sur la comparaison des
vitesses de phase identifiée par intercorrélation car la méthode WFE temporel ne peut être appliquées
pour l’instant aux plaques. Les comparaisons des vitesses de phase de l’onde A0 dans les directions 0°,
45° et 90° sont représentées sur la figure 4.23. On remarque, dans les directions 0° et 90°, que les
vitesses identifiées se corrèlent bien à celles calculées par WFE2D_CYL puisque l’erreur maximale
est de 5%. En revanche, dans la direction 45°, on observe des écarts plus importants de l’ordre de 7%
pour les tailles 2.5 et 5 mm, et de 16% pour la taille 10 mm. Ceci s’explique simplement puisque la
distance entre deux nœuds dans la direction 45° est plus grande d’un rapport 2 que dans les
directions 0° et 90°. On s’attend donc à ce que l’erreur de dispersion liée à la discrétisation spatiale
soit plus elevée. Autrement, on peut aussi remarquer que, quelque soit la direction, les vitesses
identifiées pour les tailles 2.5 et 5 mm sont identiques alors que pour 10 mm elles se décorrèlent à
mesure où l’on monte en fréquence. De part cette observation, nous pouvons dire que la simulation
realisée à partir des éléments de 10 mm n’a pas convergée.
Type élément
Elément coque
multicouche linéaire
(S4)
Elément coque
multicouche linéaire
(S4)
Elément coque
multicouche linéaire
(S4)
Taille élément
(suivant x et y)
Critère de maille
(à 15kHz)
Nombre total de ddl
Nombre total
d’itérations
10 mm
λ 4
56 070
4 827
5 mm
λ8
221 958
9 546
2.5 mm
λ 16
883 206
19 190
Tableau 4.4 : Paramètres numériques correspondant aux différentes tailles d’élément.
Pour résumer, nous avons vu que le code explicite était capable de simuler avec précision la
réponse transitoire en temps courts à condition de prendre au moins huit éléments par longueur
d’ondes. En ce qui concerne les simulations en temps moyens, nous avons montré que les réponses ne
convergent pas lorsque l’on prennait moins de 16 éléments par longueur d’ondes. Pour parfaire ce
travail, nous avons réduit le coût numérique à partir de l’intégration réduite ; toutefois, le mieux serait
d’utiliser des éléments d’ordre élevé. Malheureusement, aucun élément de ce type n’est implémenté
dans le code Abaqus/Explicit. Enfin, lors des vérifications, nous avons montré que l’erreur de
126
dispersion était plus importante dans la direction 45° que dans les directions 0° et 90° en raison de la
discrétisation spatiale.
Figure 4.23 : Vérification à partir de la WFE2D_CYL des vitesses de phase identifiées par intercorrélation dans
les directions 0° (gauche), 45° (milieu) et 90° (droite).
4.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons décrit, dans un premier temps, la méthode FEM temporel
implémentée dans le code Abaqus/Explicit. Lors de cette description, nous avons mis en avant le
paramétrage numérique (discrétisation spatio-temporelle, intégration des matrices, condensation de
masse) utilisé par le code pour simuler la réponse transitoire d’une structure. Par la suite, une analyse
de convergence a été proposée et nous avons constaté que les solutions pouvaient être polluées en
raison d’erreurs de dispersion. Pour vérifier la qualité des solutions lors des applications, nous
proposons donc de les comparer à celles calculées à partir d’une méthode semi-analytique. Pour cela,
la méthode WFE a été étendue à la dynamique transitoire. Cette méthode, basée sur une synthèse
ondulatoire d’ondes guidées, entraîne elle aussi des erreurs de dispersion ; toutefois, ces dernières
peuvent se contrôler avant une simulation à partir des courbes de dispersion (voir section 2.4.4).
Différents tests ont ensuite été menés à partir des deux méthodes pour évaluer la capacité d’un code
explicite à simuler la réponse transitoire d’une structure composite stratifiée soumise à un choc haute
fréquence. Lors de ces tests, nous avons montré que les maillages devaient être très raffinés et qu’il ne
suffisait pas de prendre huit éléments par longueur d’ondes pour garantir la convergence des solutions
sur toute la durée d’une simulation. La règle de conception utilisée industriellement pour dimensionner
les maillages est donc à revoir. Des analyses ont été menées à partir des éléments d’ordre élevé ; ce qui
nous a permis de constater qu’ils étaient une bonne solution pour réduire le coût numérique d’une
simulation. Il faut noter toutefois que le code Abaqus/Explicit propose uniquement des éléments
quadratiques poutres. Nous n’avons donc pas pu les tester pour des simulations réalisées à partir
d’autres types d’éléments (coques solides, coques, etc.).
Autrement, comme au chapitre 2, nous avons analysé les modifications à apporter au paramétrage
numérique d’un modèle lorsque l’on fait varier la stratification de la structure. Hormis la modification
du type d’élément, les résultats ont montré qu’il est impossible de simuler la réponse transitoire en
temps courts d’une poutre composite stratifiée unidirectionnnelle, alors que pour une poutre composite
stratifiée quasi isotrope cela l’est. Pour comprendre cet échec, des investigations ont été menées et
nous avons compris que l’erreur etait liée unquiement à la technique d’homogénéisation utilisée par le
code pour prendre en compte la stratification dans l’epaisseur d’un élément coque solide.
Enfin, lors de ce travail, nous avons aussi montré que les erreurs de dispersion étaient difficiles à
quantifier en temps courts à partir de la seule comparaison de réponses transitoires. Pour pallier cette
limitation et ainsi parfaire les vérifications, nous avons vu que la comparaison des vitesses de phase
était une bonne solution ; toutefois, à condition d’améliorer les techniques d’identification. En effet,
l’identification des vitesses ne peut se faire correctement lorsque les ondes se superposent dans la
réponse.
Chapitre 5
Validation des modèles
5.1 Introduction
Pour vérifier la qualité de leurs simulations, les industriels comparent à des essais les réponses
transitoires mésurées à différents endroits de la structure, ou bien des spectres de réponse au choc
(SRS, Shock Response Spectrum). Lorsque ces corrélations essai/calcul concordent, ils sont en mesure
d’affirmer que les prévisions simulées sont valides. En pratique, il arrive cependant qu’on observe des
écarts sur les corrélations essai/calcul qui mettent alors en doute la validité du modèle utilisé pour les
simulations. Dans ce cas, on cherche à analyser ses limitations en vue de le recaler. Cependant, cela
est très difficile car, premièrement, les réponses transitoires peuvent être très sensibles aux données de
l’essai [Dommanget et al., 2005] et deuxièmement, l’interprétation physique à partir d’un SRS est
rendue difficile en raison de la perte d’information occasionnée lors de son calcul [Lalanne, 1999]. Par
ailleurs, il faut aussi remarquer qu’aucun capteur ne permet actuellement de mesurer l’effort généré
par un choc pyrotechnique. Lors du recalage d’un modèle, il est donc compliqué de savoir si les
limitions proviennent plutôt du modèle de la structure ou du choc. Dans ce chapitre, nous cherchons
donc à mettre au point un essai dédié à la validation du modèle de la structure à hautes fréquences.
Pour cela, nous nous sommes basés sur des grandeurs globales, les courbes de dispersion, afin de
pallier les limitations décrites précédemment. Comme pour l’analyse modale en dynamique
stationnaire, cet essai devra être vu comme étant complémentaire d’un essai choc. En effet, dans le
premier cas, on cherchera uniquement à valider le modèle de la structure, tandis que dans le second, on
validera un modèle cormprenant à la fois la structure et le choc.
5.2 Revue des techniques d’identification de la vitesse de phase
d’une onde
A travers cette première section, nous allons présenter les différentes techniques proposées dans la
littérature pour identifier les vitesses de phase. Pour les décrire, nous les avons dissociées en fonction
du type de phénomène mis en jeu : 1) propagation d’ondes (regime transitoire), 2) vibration forcée
(regime stationnaire). Suite à cette description, une synthèse sera proposée en vue de sélectionner celle
qui paraît la plus adaptée à nos besoins. Pour ne pas alourdir cette revue, il est important de noter que
nous nous sommes volontairement limités aux techniques utilisées pour mesurer les vitesses de phase.
Les techniques telles que l’analyse temps-fréquence, utilisées pour identifier les vitesses de groupe ne
seront donc pas présentées ici. Pour s’en faire une idée, on pourra se référer à la revue menée dans
[Grondel, 2000].
127
128
5.2.1 Les techniques basées sur la propagation d’ondes
Premièrement, intéressons-nous aux techniques que l’on recontre couramment en contrôle non
destructif (CND), c'est-à-dire les techniques mettant en jeu des phénomènes de propagation d’ondes.
5.2.1.1 L’identification directe
L’identification directe est sans nul doute l’une des techniques les plus simples à mettre en oeuvre
pour mesurer une vitesse de phase. En effet, il suffit simplement de mesurer deux signaux distants
d’une longueur L dans la direction de propagation de l’onde (figure 5.1), et de mesurer leur déphasage
∆φ. La vitessse de phase se calcule alors à partir de l’expression suivante :
c=
ωL
∆φ
(5.1)
Cette technique d’identification est fortement limitée car elle s’applique uniquement aux ondes non
dispersives. Cependant, on la rencontre parfois en émission acoustique (AE, Acoustic Emission) pour
identifier la vitesse des ondes S0 [Prosser et al., 1994].
Figure 5.1 : Montage expérimental utilisé pour l’identification directe et l’identification par intercorrélation.
5.2.1.2 L’identification par intercorrélation
L’identification directe étant limitée aux ondes non dispersives, les chercheurs ont dû mettre au
point des techniques d’identification plus sofistiquées pour pouvoir traiter les ondes dispersives.
L’identification par intercorrélation, qui fait partie de ces techniques, se différencie principalement de
l’identification directe au niveau du traitement des signaux. En effet, pour évaluer la phase, on doit
désormais estimer une fonction d’intercorrélation entre les deux signaux (voir Annexe C).
Figure 5.2 : Montage expérimental utilisé pour l’identification par densité spectrale d’energie (extrait de
[Grondel, 2000]).
Historiquement, cette technique a été appliquée en AE [Prosser et al., 1994] ; cependant on l’utilise
désormais pour d’autres applications comme par exemple : le CND à partir d’ondes de Lamb
[Barnoncel, 2006], la vibroacoustique [Guillaumie et al., 2005] ou bien encore en choc [Grédé et al.,
2006]. La différence vient alors principalement du type de capteur utilisé pour effectuer la mesure des
signaux : capteur AE, transducteur piézocomposite, vibromètre laser (Figure 5.3). De même pour
129
émettre les ondes, les dispositifs sont différents. On utilise par exemple des cassés de mine en
émission acoustique, des transducteurs piézocéramiques en CND ou bien encore des pots vibrants en
vibroacoustique (Figure 5.4).
(a) Capteur EA
(b) Capteur piézocéramique
(c) Vibromètre laser
Figure 5.3 : Les différents types de capteur utilisés pour l’identification par intercorrelation.
Malheurement, il arrive parfois que cette technique soit limitée en raison des phénomènes de
superposition d’ondes. En pratique, ces superpositions se rencontrent lorsque la propagation est
multimodale ou bien lorsqu’il y a des réflexions d’ondes sur les bords de la structure.
5.2.1.3 L’identification par densité spectrale d’énergie
Comme nous l’avons dit précédemment, il est difficile de mesurer la vitesse d’une onde lorsque
plusieurs modes se propagent en même temps dans la structure (propagation multimodale). En CND,
ce problème se rencontre souvent lorsqu’on cherche à mettre au point un contrôle à partir d’ondes de
Lamb. Des techniques ont donc été développées afin de pouvoir identifier la vitesse des ondes lorsque
la réponse structurale est multimodale. Dans ces techniques, on note tout d’abord la technique
d’identification proposée par [Grondel, 2000] qui s’appuie sur le montage expérimental présenté sur la
figure 5.2. Dans cet essai, l’auteur utilise un transducteur sabot pour émettre les ondes. Ce
transducteur, piloté par un générateur de fonction sinusoïdale à fréquence variable, permet de
selectionner le type d’ondes émises. Pour les mesures, l’auteur utilise une barrette piézocéramique
dont le positionnement est assuré par une vis micrométrique. La précision de ce type de montage est
alors de l’ordre de 0.01 mm, ce qui permet d’identifier les vitesses à des fréquences de l’ordre du
MHz. En ce qui concerne le traitement des signaux appliqué, l’auteur propose de calculer la densité
spectrale d’énergie (ESD, Energy Spectral Density) du signal mesuré à partir de l’expression
suivante :
1
P (kp ) =
Nx
(
où : s x p , t
)
N x −1
∑ s ( x ,t ) w( x ) e
p=0
p
2
− jk p x p
(5.2)
p
( )
représente le signal mesuré sur N x points de mesure et w x p
une fenêtre de
pondération permettant d’optimiser l’identification. Sachant que le signal mesuré est de la forme :
s ( x, t ) =
nb_modes
∑
i =1
Si cos ( ki x − ωt )
L’auteur montre que la ESD du signal (5.3) s’exprime comme suit :
(5.3)
130
P (kp ) =
N x −1
∑
p=0
(

S  sin N x ( k p − ki ) 2

4 N x  sin ( k p − ki ) 2

2
i
(
)
) 
2


(5.4)
A partir de l’expression (5.4), on constate qu’il suffit de chercher les différents maxima de la ESD
pour identifier les nombres d’ondes ki et de surcroît les vitesses de phase.
Dans [Grondel, 2000], l’identification par densité spectrale d’énergie a été utilisée avec succès pour
identifier la vitesse des ondes de Lamb dans des plaques composites stratifiées. Le caractère
contraignant de cette méthode reste toutefois le nombre important de mesures à effectuer. En effet,
pour bâtir les courbes de dispersion, il faut réitérer la mesure de la réponse structurale sur l’ensemble
des fréquences étudiées, ce qui peut être fastidieux pour certains cas d’applications.
(a) Cassé de mine
(b) Émetteur piézocéramique
(c) Pot vibrant
Figure 5.4 : Les différents types d’émetteur utilisés pour l’identification par intercorrelation.
5.2.1.4 L’identification par transformée de Fourier 2D
L’identification par transformée de Fourier 2D, proposée dans [Alleyne et al., 1991], est l’une des
techniques les plus répandues en CND par ondes de Lamb, car elle permet une mesure rapide des
courbes de dispersion, contrairement à l’identification par densité spectrale d’énergie présentée
précédemment. Cette technique utilise le même type de montage expérimental que l’identification par
densité spectrale d’énergie ; cependant l’emission des ondes se fait maintenant sur une large bande
fréquentielle. De ce fait, le traitement du signal a dû être modifié pour ainsi tenir compte du contenu
fréquentiel du signal. L’auteur propose pour cela d’appliquer une DFT en espace et en temps (spatialtemporal DFT) dont l’expression est donnée par :
uˆ ( kn , ωm ) =
1
N x Nt
N x −1 Nt −1
∑ ∑ u(x
p =0 q =0
p
, tq ) e
(
− i k n x p + ωm t q
)
(5.5)
Grâce à ce type de traitement, il est désormais possible d’identifier sur toute une bande de fréquence
les vitesses de phase ainsi que les amplitudes associées à chacune des ondes.
Les résultats présentés dans [Alleyne et al., 1991] montrent que l’identification des vitesses des
ondes S0, A0 et A1 est très précise pour des fréquences de l’ordre du Mhz. Les erreurs observées sur les
corrélations essai/calcul restent toujours inférieures à 2%. De plus, l’auteur montre que la technique
s’applique lorsqu’il y a présence d’ondes réflechies sur le signal ; toutefois, ces dernières ne se
superposent pas à l’onde directe. Enfin, cette technique s’adapte très bien au besoin industriel car les
essais peuvent être menés à partir d’une large gamme de transducteurs. On note par exemple les
travaux de [Alleyne et al., 1991] avec des transducteurs à couplage fluide, les travaux de [Castaings et
al., 1996] avec des transducteurs à couplage air ou bien encore les transducteurs piézocéramiques
collés utilisés dans [Grondel, 2000]. Une illustration des différents types de capteurs et d’émetteurs est
donnée à la figure 5.5.
131
Figure 5.5 : Les différents capteurs et émetteurs utilisés pour l’identification par transformée de Fourier 2D.
5.2.2 Les techniques basées sur les vibrations forcées
Toutes les techniques présentées précédemment ont été mises au point pour le CND. Or, en
vibroacoustique, des travaux analogues ont aussi été menés afin d’identifier les paramètres
ondulatoires nécessaires aux méthodes énergétiques présentées à la section 1.4.1. Dans la littérature,
on constate qu’il existe un grand nombre de ces techniques ; toutefois, elles sont dédiées
majoritairement aux poutres. Pour ne pas surcharger cette partie, nous nous sommes donc restreints
uniquement à celles proposées pour traiter les plaques.
Figure 5.6 : Montage expérimental utilisé pour l’identification par phonoscopie (extrait de [Maliczak et al.,
2004]).
5.2.2.1 L’identification par phonoscopie
La phonoscopie, développée à l’origine par [Villot et al., 1992], est une technique permettant
d’estimer l’intensité vibratoire de parois en génie civil ; toutefois, elle peut aussi être employée pour
déterminer les nombres d’ondes d’une plaque composite sandwich comme on peut le voir dans
[Maliczak et al., 2004]. Dans cette technique, un haut parleur est utilisé afin d’émettre une onde
acoustique dans une salle réverbérante (figure 5.6). Les réflexions de cette onde sur les parois de la
salle permettent ensuite de solliciter la plaque sur toute sa surface. Pour les mesures, on balaie un
microphone à proximité de la plaque et on déduit ensuite son champ vibratoire à partir de la technique
nearfield acoustical holography (NAH) introduite dans [Williams, 1999]. Les nombres d’ondes sont
finalement identifiés en appliquant une double DFT en espace (2D spatial DFT) sur le champ mesuré.
Pour ne pas confondre cette transformée à la spatial-temporal DFT (équation (5.5)), considèrons u le
champ vibratoire mesuré à la pulsation ω . La 2D spatial DFT de ce champ s’exprime alors :
1
uˆ ( kn , km ) =
Nx Ny
N x −1 N y −1
∑ ∑ u(x
p =0 q =0
p
, yq ) e
(
− i kn x p + km yq
)
(5.6)
Cette technique a été appliquée avec succès dans [Villot et al., 1992] pour une paroi équipée d’une
fenêtre sur [0-2kHz], mais aussi dans [Maliczak et al., 2004] pour une plaque sandwich sur [0-
132
1.5kHz]. Son inconvénient majeur reste cependant sa précision. En effet, lorsque l’on utilise une 2D
spatial DFT, on peut rencontrer des problèmes de fenêtrage imposé par les bords de la structure qui
entraîne des dégradations sur les nombres d’ondes prédits.
5.2.2.2 L’identification par corrélation
Une seconde technique utilisée en vibroacoustique est celle proposée dans [Fergusson et al., 2002].
Le montage utilisé pour mesurer le champ vibratoire est semblable à celui représenté sur la figure 5.8.
La plaque est donc sollicitée ponctuellement à partir d’un pot vibrant et le champ est mesuré à partir
d’un laser sur une grille de points régulièrement espacés. Pour identifier les plans d’ondes, l’auteur
applique ensuite au champ mesuré une 2D spatial DFT. Cependant, comme pour l’identification par
phonoscopie, les prévisions obtenues sont dégradées en raison du fenêtrage imposé par les bords de la
structure. Pour pallier cette limitation, l’auteur modifie alors le traitement du signal en ne calculant
plus la fonction (5.6) sur un maillage régulier k x , k y , mais en cherchant à partir des moindres carrés
(
)
les valeurs des nombres d’ondes maximisant la fonction (5.6). On n’a donc plus affaire à une
identification par 2D spatial DFT mais à une identification par corrélation puisqu’on cherche à corréler
au mieux le champ uˆ ( x, y ) à partir d’une onde homogène s’exprimant :
−i k x
ϕ =e (
x p + k y yq
)
(5.7)
A partir de ce nouveau traitement, l’auteur améliore la précision des résultats, que ce soit pour des
plaques isotrope ou composite stratifiée ; toutefois, cela reste toujours insuffisant. On note aussi
qu’une seule direction du plan d’ondes peut être identifiée à partir de cette technique. D’autres travaux
ont donc été entrepris pour pallier les insuffisances de l’identification par corrélation. Un premier
travail [Halkyard, 2007] propose d’étendre au cas des plaques l’approche « maximum likelihood »,
introduite dans [Halliday, 2002], et de la coupler à l’identification par corrélation. Pour ce faire,
l’auteur transforme la recherche par moindres carrés en une recherche par moindres carrés non
linéaires et utilise l’approche « maximum likelihood » pour effectuer la résolution. Pour initier la
recherche, l’auteur utilise les nombres identifiés par l’identification par corrélation de [Fergusson et
al., 2002]. Grâce à ces modifications, il montre qu’il est désormais possible d’identifier avec précision
les plans d’ondes pour des plaques isotrope et composite stratifiée. Néanmoins, on doit préciser que
cette technique utilise un nombre fixe d’ondes homogènes pour effectuer les corrélations. Ceci peut
donc entacher son caractère prédictif. Un second travail [Berthaut, 2004] propose lui aussi une
nouvelle identification par corrélation ; toutefois, en ne corrélant plus le champ u à partir d’ondes
homogènes (5.7) mais à partir d’ondes inhomogènes exprimées en coordonnées cylindriques, soit :
ϕ =e
(
− ik (1+ iη ) cos (θ ) x p + sin (θ ) yq
)
(5.8)
En choisisant des ondes inhomogènes, l’auteur montre que cette nouvelle technique, baptisée
inhomogeneous wave correlation (IWC), est capable d’identifier avec précision les nombres d’ondes
et ceci dans toutes les directions. Les structures testées étaient des plaques sandwich nid d’abeille, des
parois poroélastiques ou bien encore des plaques raidies. Par ailleurs, les identifications ont été
réalisées à des fréquences comprises entre 0 et 5 kHz.
Enfin, pour conclure, il est important de noter que les techniques d’identification par corrélation
présentent toutes une limite fréquentielle. En effet, il s’avère qu’à basses fréquences la réponse de la
plaque est dominée par ses modes propres. Or, en observant à la figure 5.7 la 2D spatial DFT d’un de
ces modes, on constate que l’énergie n’est pas équirépartie sur toutes les directions de propagation et
donc qu’il sera impossible d’identifier les nombres d’ondes dans ces directions. Pour faire face à ce
problème, les auteurs proposent de confronter les plans d’ondes identifiés expérimentalement à ceux
calculés théoriquement pour ainsi extrapoler les nombres d’ondes dans les directions peu porteuses
d’energie [Berthaut, 2004].
133
Figure 5.7 : Champ de déplacement d’un mode propre (gauche) 2D spatial DFT du mode propre (droite).
5.2.3 Synthèse
En vue de sélectionner une des techniques d’identification présentées précédemment, nous les
avons synthétisées suivant six critères dans le tableau 5.1. A partir de cette synthèse, nous pouvons
tout d’abord dire qu’aucune des techniques d’identification n’est pour l’instant apte à répondre
entièrement à nos besoins.
Tout d’abord, si l’on s’intéresse aux techniques basées sur les phénomènes de propagation d’ondes,
on remarque qu’elles permettent une identification des vitesses sur une très large bande fréquentielle
même lorsque la propagation est multimodale. On note aussi qu’il existe une très grande variété de
moyens d’essai disponibles ce qui permet une meilleure adaptation du banc d’essai à nos besoins. En
revanche, il semble très difficile à partir de ces techniques de traiter les fréquences inférieures à
100kHz puique les signaux présentent des superpositions d’ondes liées aux réflexions sur les bords de
la structure. Il faudrait donc conduire des travaux de recherche sur le traitement des signaux afin de
pallier cette limitation.
Technique
d’identification
Physique
utilisée
Type
Emission des
ondes
Mesure de la
réponse
Traitement
signaux
Applications
Directe
Propagation
d’ondes
monomode
Cassé de mine
Capteur AE
-
CND
Intercorrélation
Propagation
d’ondes
monomode
Cassé de mine
Piézocéramique
Pots vibrants
Capteur AE
Piézocéramique
Vibromètre
Temporal
DFT
CND
Vibroacoustique
Choc
Densité
spectrale
d’énergie
Propagation
d’ondes
multimode
Transducteur
type sabot
piézocéramique
Spatial DFT
CND
Transformée
de Fourier 2D
Propagation
d’ondes
mutlimode
Transducteur
collé, couplage
air ou couplage
fluide
Transducteur
collé, couplage
air ou couplage
fluide
TemporalSpatial DFT
CND
Phonoscopie
Vibrations
forcées
monomode
Haut parleur
Microphone
2D Spatial
DFT
Vibroacoustique
Corrélation
Vibrations
forcées
monomode
Pot vibrant
Vibromètre
laser
Corrélation
à partir
d’ondes
Vibroacoustique
Tableau 5.1 : Synthèse des techniques d’identification.
134
Autrement, en ce qui concerne les techniques basées sur les vibrations forcées, on constate là
encore que les moyens d’excitation et de mesure proposés sont très diversifiés pour faciliter la mise en
œuvre expérimentale. Par ailleurs, les résultats présentés dans la littérature sont prometteurs puisqu’ils
indiquent que ces techniques permettent une identification correcte des vitesses dans le domaine des
basses fréquences. Malheureusement, on note aussi certains inconvénients à ces techniques. Tout
d’abord, il est difficile de les utiliser au delà de quelques kilohertz en raison des limitations inhérentes
aux moyens d’excitation. Par ailleurs, les moyens ne permettent pas de sélectionner le type d’ondes ce
qui empêche donc l’identification de certaines courbes de dispersion. Enfin, il se pose un problème de
dualité onde/mode qui limite les identifications à basse fréqeunce.
Au final, nous décidons d’utiliser la technique IWC car elle nous semble plus à même d’identifier
les vitesses sur la bande [0-100kHz]. Bien entendu, nous ne pourrons pas traiter l’ensemble des
fréquences, cependant, des travaux futurs pourront être menés pour étendre l’applicabilité de cette
technique.
5.3 Identification à partir de la technique IWC
A travers cette section, nous allons décrire la technique IWC qui a été developpée dans [Berthaut,
2004]. Dans un premier temps, nous présenterons l’essai permettant d’aquérir le champ vibratoire de
la plaque lorsqu’on la sollicite par un bruit blanc. Nous verrons ensuite de quelle manière identifier les
vitesses de phase lorsque l’on corrèle ce champ à des ondes inhomogènes. Enfin, une discussion sur la
limite fréquentielle de la technique IWC viendra conclure cette section pour ainsi appréhender les
éventuelles erreurs commises lors des tests qui seront présentés à la section suivante.
5.3.1 Mesure du champ vibratoire
Lorsque l’on veut mener une identification à partir de la technique IWC, il faut premièrement
mener des expériences afin d’acquérir le champ vibratoire de la plaque. En dynamique stationnaire, il
existe différentes façons d’acquérir ce champ, que ce soit en ce qui concerne l’exitation, ou bien en ce
qui concerne la mesure. Si l’on se réfère à la revue menée à la section 5.2.2, on constate que
l’excitation peut être realisée à partir d’un haut parleur ou un pot vibrant, alors que pour la mesure, ce
sont un microphone ou un vibromètre laser qui peuvent être utilisés.
Figure 5.8 : Montage expérimental utilisé pour l’identification par corrélation (extrait de [Berthaut, 2004]).
Dans le cadre de cette thèse, nous avons employé le même appareillage que celui utilisé dans
[Berthaut, 2004], c'est-à-dire, un pot vibrant pour l’excitation et un vibromètre pour la mesure (voir
figure 5.8). L’utilisation de ces appareils présente plusieurs avantages comme le mentionne l’auteur.
Tout d’abord, l’utilisation d’un pot vibrant permet d’exciter la structure à des fréquences pouvant aller
jusqu’à 5kHz mais aussi de contrôler la qualité de la force générée par le pot vibrant grâce au capteur
de force placé entre le pot et la structure. De même, pour la mesure, le fait d’utiliser un vibromètre
135
laser permet une mesure sans contact de la vitesse de la plaque. Par ailleurs, si ce vibromètre est à
balayage, il sera possible d’effectuer un balayage automatique de l’ensemble des points de mesure, ce
qui peut s’avérer très pratique lorsque l’on doit répéter plusieurs fois l’essai ou bien lorsque le nombre
de points est important.
Nom
Pot vibrant
Vibromètre laser
Capteur de force
Echantillonneur
Référence
Brüel & Kjaer
4801
Brüel & Kjaer
8330
Brüel & Kjaer
8001
Brüel & Kjaer
PULSE™
3560-C
Tableau 5.2 : Nomenclature des appareils utilisés pour réaliser le banc d’essai.
Bien entendu, ce banc d’essai présente aussi certains inconvénients. Tout d’abord, il est impossible
d’identifier les vitesses au-delà de 5kHz en raison de la fréquence de coupure du pot. D’autres moyens
d’excitation devront donc être testés à l’avenir afin de pouvoir augmenter la limite fréquentielle du
banc. Deuxièment, la précision de positionnememnt du vibromètre laser à balayage est très faible pour
permettre de realiser des identifications à hautes fréquences. Pour y remédier, il serait préférable
d’utiliser un vibromètre laser fixe et de le piloter à un système de déplacement micrométrique
toutefois, cela peut être coûteux à mettre au point.
A présent, en ce qui concerne le pilotage du banc, un échantillonneur est utilisé pour recueillir les
signaux issus du vibromètre et du capteur de force, mais aussi pour émettre un bruit blanc vers le pot
vibrant. On notera que ce signal est amplifié avant d’être émis au pot à partir d’un amplificateur de
courant.
Figure 5.9 : Banc d’essai realisé pour mesurer le champ vibratoire d’une plaque soumise à un bruit blanc.
Au final, le banc d’essai realisé est celui représenté sur la figure 5.9. La nomenclature des appareils
utilisés pour réaliser ce banc est, quant à elle, donnée dans le tableau 5.2. On précise enfin que les
essais realisés à partir de ce banc peuvent être simulés à partir d’un code de calcul standard. Par
conséquent, des essais virtuels ont été menés pour ainsi calibrer les différents paramètres de l’essai
réel.
5.3.2 Corrélation du champ à partir d’ondes inhomogènes
Fort du champ vibratoire, nous pouvons désormais identifier la vitesse de l’onde émise par le pot
en utilisant la technique IWC. Pour cela, considérons u le champ vibratoire mesuré à la pulsation ω .
D’après [Langley, 1997], ce champ peut être décomposé en ondes inhomogènes de la façon suivante :
136
N
u ( x, y ) = ∑ A j e
(
( ))
( )
− ik j (1+ iγ ) x cos θ j + y sin θ j
j =1
N
+ uc = ∑ Ajϕ j + uc
(5.9)
j =1
avec : ϕ j la ième onde inhomogène et uc le terme correspond au champ proche qui peut être négligé
lorsqu’on se situe loin des sources d’excitation et des bords. Le principe de la technique IWC est
simple puisqu’il consiste à extraire du champ vibratoire u les nombres d’ondes k j . Pour cela, on va
corréler au champ vibratoire u une onde inhomogène ϕi à partir du critère de corrélation suivant :
∫∫ u ⋅ ϕ dxdy
i
IWC (ki , γ i ,θi ) =
S
∫∫ u ⋅ u ⋅ dxdy ×
S
(5.10)
∫∫ ϕi ⋅ϕi ⋅ dxdy
S
Ce critère permet de quantifier l’énergie de l’onde ϕi contenu dans le champ vibratoire u .
L’identification des paramètres ondulatoires peut alors être opérée à partir de (5.10) en cherchant les
valeurs de ( ki , γ i ) pour lesquelles le critère est maximum. Toute la difficulté de la technique IWC
réside donc dans la recherche de ce maximum. Pour éviter les minima locaux, [Berthaut, 2004]
propose d’effectuer la recherche suivant trois étapes :
1) On recherche la valeur du nombre d’ondes k0 maximisant le critère IWC lorsque
l’amortissement spatial est nul.
2) En utilisant le nombre d’ondes trouvé à la première étape, on recherche ensuite la valeur de
l’amortissement spatial γ 0 maximisant le critère IWC.
3) A partir des valeurs ( k0 , γ 0 ) déterminées aux étapes 1) et 2), on opère une dernière recherche
autour de ces valeurs à partir d’une méthode de gradient.
Au final, on identifie à la pulsation ω et dans la direction θ les paramètres ondulatoires de la plaque,
c'est-à-dire, le nombre d’ondes k (ω , θ ) et l’amortissement spatial γ (ω , θ ) .
En itérant l’algorithme de recherche décrit précédemment sur un ensemble fini de directions, on est
alors en mesure d’identifier les plans d’ondes k (θ , ω0 ) ainsi que l’amortissement structural γ (θ , ω0 )
en fonction de la direction de propagation de l’onde. Pour éviter d’éventuelles erreurs lors de cette
identification, un tri est effectué sur les paramètres identifiés afin de ne pas tenir compte des ondes
transportant peu d’énergie dans une direction θi . Pour cela, on doit vérifier que les paramètres
k (θi , ω0 ) et γ (θi , ω0 ) répondent aux conditions suivantes :
−
La quantité d’énergie de l’onde ne doit pas être trop faible : IWC (k , γ , θi ) > 0.35
−
L’amortissement de l’onde ne doit pas être trop important (onde évanescente) : γ < 1%
−
L’amortissement de l’onde doit être positif : γ > 0%
−
Le nombre d’ondes doit être compris dans l’intervalle π (100∆x ) , π
( ∆x ) 
137
avec : ∆x la distance entre deux nœuds du maillage expérimental. Enfin, la dernière étape consiste à
itérer toute la procédure sur la bande fréquentielle d’étude pour ainsi être en mesure d’identifier les
courbes de dispersion k (θ 0 , ω ) ainsi que l’amortissement structural γ (θ 0 , ω ) en fonction de la
fréquence. Bien entendu, si l’on s’intéresse aux vitesses de phase et non aux nombres d’ondes, il suffit
d’utiliser la relation c = ω k lors du post-traitement.
Pour bien distinguer toutes les étapes qui viennent d’être décrites, nous avons réprésenté à la figure
5.10 l’algorithme implémenté sous Matlab permettant d’identifier les plans et les courbes de
dispersion à partir de la technique IWC.
Figure 5.10 : Algorithme décrivant les étapes d’une identification à partir de la technique IWC.
5.3.3 Limitations de la technique
Lors de la description de la technique IWC menée à la section précédent, nous avons vu de quelle
façon identifier les vitesses de phase à partir d’un champ vibratoire. Cependant, nous n’avons pas émis
d’hypothèse concernant la décomposition du champ donnée à l’équation (5.9). En effet, il a été dit
brièvement que certains paramètres seront rejetés car ils correspondent à des ondes contribuant
faiblement dans la décomposition ; néanmoins on ne sait pas comment cela va affecter l’identification,
en particulier la dépendance angulaire et fréquentielle des vitesses. De plus, la décomposition du
champ utilisé se base sur une approche ondulatoire alors que l’on a plutôt tendance, en vibration
forcée, à utiliser une approche modale. On peut donc se questionner sur les limites de cette technique.
En particulier, peut-on identifier les vitesses lorsque peu d’ondes contribuent dans la décomposition et
lorsque les longueurs d’ondes sont grandes par rapport aux dimensions de la structure (domaine basse
fréquence) ?
138
Exemple 1
Amplitude
constante
Exemple 2
Amplitude
continue
Exemple 3
Amplitude
discrète
Nombres
d’ondes
kj
Amplitudes
Aj
Champ
vibratoire
u
Nombre
d’ondes
identifiés
k (θi , ω0 )
Tableau 5.3 : Analyse des limites de la technique IWC liées à l’amplitude des ondes inhomogènes.
Des hypothèses ont déjà été émisses dans [Berthaut, 2004]. D’après l’auteur, la technique IWC
identifie correctement les paramètres lorsque que le recouvrement modal3 est fort, car dans ce cas,
l’énergie se répartit dans toutes les directions de propagation. A travers l’hypothèse donnée, on associe
une vision modale et une vision ondulatoire des phénomènes. Or, d’après [Langley, 1997], ces deux
approches peuvent être utilisées pour analyser le comportement dynamique d’une structure ; toutefois
il est impossible d’expliquer à partir d’une approche ondulatoire l’existence d’un mode et vis et versa.
Cela veut donc dire qu’on ne peut assurer le fait qu’un fort recouvrement modal entraîne une
équirépartition des ondes puisqu’il existe une dualité entre les deux approches. Pour tenter
d’appréhender les limites de la technique IWC, nous allons donc plutôt vérifier, à partir d’exemples
simples, sa capacité à identifier correctement les paramètres lorsque ces derniers ont été fixés
arbitrairement.
3
Le recouvrement modal est une grandeur physique couramment employée en dynamique stationnaire. Il est le
produit de la densité modale, du facteur d’amortissement et de la fréquence. A partir de sa valeur, on est en
mesure d’identifier les régimes vibratoires basses, moyennes et hautes fréquences. Par exemple, lorsque ce
dernier est inférieur à 1, on dit que le régime vibratoire est basse fréquence et donc que la réponse structurale
présente un comportement modal marqué pour ces fréquences.
139
Exemple 1
Nombre d’ondes faible
Exemple 2
Nombre d’ondes élevé
Nombres d’ondes
kj
Amplitudes
Aj
Champ vibratoire
u
Nombre d’ondes
identifiés
k (θi , ω0 )
Tableau 5.4 : Analyse des limites de la technique IWC par rapport à la longueur d’ondes.
Premièrement, analysons les limites lorsque l’on fait varier l’amplitude des ondes inhomogènes
dans la décomposition du champ vibration vibratoire. Pour effectuer cette analyse, nous avons défini
trois exemples pour lesquels les nombres d’ondes k j ont été fixés à 10 rad/m. La distribution des
amplitudes A j suivant la direction θ peut quant à elle varier de façon constante, continue ou bien
discrète. A la vue des résultats présentés dans le tableau 5.3, on vérifie bien que la technique IWC
identifie correctement les plans d’ondes k (θi , ω0 ) uniquement lorsque les amplitudes sont constantes
ou bien continues par rapport à la direction θ . En s’intéressant à la forme du champ vibratoire, on
constate aussi que l’identification peut se faire uniquement suivant certaines directions lorsque le
champ est dominé par la réponse d’un mode (exemple 3). La technique IWC est donc limitée lorsque
la réponse de la structure est fortement modale ou bien encore lorsque le recouvrement modal est
inférieur à 1.
Maintenant, nous allons étudier les limites lorsque l’on fait varier les nombres d’ondes et que l’on
fixe la distribution des amplitudes A j . Les résultats obtenus pour cette étude sont représentés dans le
tableau 5.4. On constate à la vue du champ vibratoire que l’identification des nombres d’ondes
s’effectue correctement à condition que la longueur d’ondes soit suffisamment grande par rapport aux
dimensions de la structure (exemple 2). Ces exemples nous montrent donc une nouvelle fois que la
technique IWC est limitée dans le domaine des basses fréquences.
140
Pour pallier les limitations décrites précédemment, on peut extrapoler la valeur des nombres
d’ondes pour lesquels l’identification a échoué. Pour cela, [Berthaut, 2004] propose de corréler les
plans d’ondes identifiés à un plan d’ondes de référence et de rechercher par moindres carrées la valeur
du nombre d’ondes donnant la meilleure corrélation. Dans la plupart des travaux, les plans d’ondes de
référence sont définis à partir des théories de plaques et se limitent à des plans d’ondes de forme
circulaire ou elliptique. Cette solution semble donc difficilement applicable dans le cadre des
structures composites car ils sont généralement plus complexes et fortement dépendants de
l’empilement (voir section 3.4). De plus, l’extrapolation est rendue difficile en basses fréquences en
raison du peu de valeurs identifiées. Nous n’avons donc pas mis en œuvre cette extrapolation lors des
tests qui seront présentés à la section suivante.
5.4 Applications
Dans cette section, nous allons mettre en oeuvre la technique IWC et voir si elle est capable
d’identifier avec précision la vitesse de l’onde A0 se propageant dans la plaque composite stratifiée
décrite à la section 3.4.2. Dans un premier temps, nous identifierons les vitesses à partir d’un essai
virtuel en vue de calibrer les différents paramètres du banc (grille de points de mesure, conditions
limites à appliquer à la plaque) et ensuite nous menerons l’identification à partir d’un essai réel.
Sachant que l’objectif de ce chapitre est d’évaluer la validité du modèle de la structure, nous
comparerons les vitesses identifiées à celles prédites à partir de la FSDT.
Figure 5.11 : Définition des maillages expérimentaux testés par essais virtuels.
5.4.1 Plaque composite stratifiée « quasi isotrope » (essai virtuel)
Comme nous l’avons mentionné à la section 5.3.1, l’un des principaux avantages de la technique
IWC est la simplicité avec laquelle on peut mettre en place un essai virtuel. De ce fait, nous avons
conduit des simulations afin de définir le maillage expérimental et les conditions limites qui seront
utilisées lors de l’essai réel qui sera présenté à la section suivante. De plus, il est intéressant à partir de
cet essai virtuel de pouvoir vérifier que les identifications sont correctes sur la bande fréquentielle
d’excitation du pot, ici [0-5kHz], car on peut imaginer qu’à ce niveau de fréquence la réponse
structurale présente un recouvrement modal faible.
Dans un premier temps, nous avons cherché à calibrer la grille de points de mesure. Pour cela, deux
maillages expérimentaux ont été définis. Leur dimensionnement s’est effectué à partir des nombres
d’ondes estimés à la section 3.4.2, c'est-à-dire que nous avons utilisé le nombre d’ondes prédit à la
fréquence maximale, puis nous l’avons ensuite utilisé pour determiner les ecarts entre les points
correspondant aux critères λ 5 et λ 2.5 . Ces critères ont été choisis pour assurer un bon compromis
entre le nombre total de points de mesure et pour éviter les problèmes de recouvrement (théorème de
Shannon). On notera aussi que le nombre de points est le même suivant les directions x et y car,
pour l’onde A0, les nombres d’ondes sont égaux suivant ces deux directions (voir section 3.4.2). Au
final, les points sont espacés de 2 cm pour le premier maillage et de 4 cm pour le second maillage.
141
Pour une plaque de dimensions 1.04m x 0.88m, le nombre total de points est donc de 2385, pour le
premier maillage, et de 621 pour le second (figure 5.11).
Une fois les deux maillages définis, nous avons determiné le champ vibratoire en chaque point de
mesure à partir du code Abaqus/Standard. Les plans d’ondes et les courbes de dispersion de la plaque
ont ensuite pu être identifiés en appliquant la technique IWC. Un exemple de plan d’ondes identifié
avant et après tri des paramètres est représenté sur la figure 5.12. On constate à partir de ce résultat
que l’algorithme de tri proposé dans [Berthaut, 2004] a une influence non négligeable sur les
identifications. En effet, un nombre important de nombres d’ondes a été éliminé, ce qui fait que l’on
ne peut pas déduire la forme du plan d’onde.
Plan d’ondes identifié
avant tri
Plan d’ondes identifié
après tri
Figure 5.12 : Influence de l’algorihme de tri sur les plans d’ondes.
Les causes de cet échec ne sont pas encore maitrisées ; toutefois, il nous semble que cela est dû
principalement au fait que l’onde porte peu d’énergie dans les directions pour lesquelles les nombres
d’ondes ont été éliminés. En effet, en analysant plus précisément le tri des paramètres à partir de
l’exemple présenté à la figure 5.12, on constate que 60% des paramètres ont été eliminés en raison
d’un critère IWC trop faible. Pour faire face à ce problème, nous pouvons bien entendu suivre
l’approche proposée par [Berthaut, 2004], c'est-à-dire, extrapoler les paramètres dans les directions
peu porteuses d’energie ; toutefois, nous avons préféré simplifier l’approche en moyennant
uniquement les nombres d’ondes suivant θ . Dans le travail présenté ici, cette moyenne des valeurs
peut être effectuée pour l’onde A0 car elle présente un plan d’ondes circulaire. Par contre, pour les
autres ondes, il faudra définir une nouvelle approche car les plans d’ondes sont plus complexes (voir
les résultats présentés à la section 3.4.2). Les plans d’ondes identifiés après moyenne des valeurs sont
comparés aux plans d’ondes déterminés à partir de la FSDT dans le tableau 5.5 pour les deux
maillages expérimentaux. De même, sur la figure 5.13, une comparaison des courbes de dispersion est
donnée. A travers ces différentes comparaisons, on constate que les identifications sont correctes pour
les maillages fin et grossier lorsque les bords sont libres. L’erreur maximale commise est d’environ
2%, pour le maillage fin et de 5 % pour le maillage grossier. On en conclut que les deux maillages
conviennent ; toutefois, que la qualité des identifications n’est pas la même. Lors de l’essai réel, il
faudra donc faire un choix entre une identification rapide ou précise des vitesses.
Pour analyser l’influence des conditions limites, nous avons aussi identifié les plans d’ondes et les
courbes de dispersion lorsque l’on encastre les bords de la plaque pour le maillage grossier. En
comparant à nouveau les vitesses identifiées à celles théoriques dans le tableau 5.5 et la figure 5.13, on
remarque que les conditions limites influencent très faiblement les résultats. Nous pouvons donc fixer
les bords de la plaque à notre convenance lors de l’essai réel sans risque de dégradation
142
1kHz
2.5kHz
5kHz
Maillage
fin
bords
libres
Maillage
grossier
bords
libres
Maillage
grossier
bords
encastrés
Tableau 5.5 : Corrélation essai virtuel / calcul des plans d’ondes à 1, 2.5 et 5 kHz.
5.4.2 Plaque composite stratifiée « quasi isotrope » (essai reel)
A la section précédente, nous avons conduit un essai virtuel qui nous a permis de calibrer les
paramètres de notre banc d’essai. A présent, nous pouvons réaliser un essai réel en employant ces
paramètres et nous intéresser à la validité du modèle de la plaque composite stratifiée sur la bande [05kHz].
Maillage fin
bords libres
Maillage grossier
bords libres
Maillage grossier
bords encastrés
Figure 5.13 : Corrélation essai virtuel / calcul de la vitesse de phase moyenne pour le maillage fin (gauche), le
maillage grossier conditions limites libres (milieu) et le maillage grossier conditions limites encastrées (droite).
143
Dans cet essai, nous avons employé le banc d’essai décrit à la section 5.3.1 pour effectuer la
mesure du champ vibratoire. Le maillage expérimental défini est le maillage de 621 points représenté à
la figure 5.11. D’apres l’essai virtuel mené précédemment, ce maillage correspond à un critère de
maille de λ 2.5 ce qui veut donc dire que nous avons plutôt privilégié la rapidité de l’essai que sa
qualité. Lors de l’essai, le choix de ce maillage était indispensable pour réduire la durée totale de
l’essai car nous avons constaté que le temps de mise au point pouvait être long en raison d’un mauvais
rapport signal/bruit de la mesure de vitesse.
1kHz
2kHz
3kHz
Tableau 5.6 : Corrélation essai / calcul des plans d’ondes à 1, 2 et 3 kHz.
Ensuite, une fois les mesures effectuées, nous avons pu identifier les plans d’ondes ainsi que les
courbes de dispersion en appliquant la technique IWC. Neanmoins, comme pour l’essai virtuel, nous
avons été obligés d’effectuer une moyenne suivant θ des vitesses de phase car trop de valeurs étaient
éliminées par l’algorithme de tri. Par ailleurs, il faut aussi noter que la cohérence des mesures est très
inférieure à un au delà de 3kHz. Les identifications ont donc été réalisées uniquement sur la bande [03kHz].
Figure 5.14 : Corrélation essai / calcul de la vitesse de phase moyenne.
Maintenant, si l’on corrèle les essais aux prévisions théoriques calculées à la section 3.4.2.2, on
remarque sur les vitesses de phase identifiées par la technique IWC un bruit important lié au mauvais
rapport signal/bruit de la chaîne d’acquisition. Ce bruit est très génant car il nous empêche de
quantifier précisement les écarts sur l’ensemble des fréquences (figure 5.14). Bien entendu, en ce qui
concerne les plans d’ondes (tableau 5.6), on n’observe aucun bruit par rapport à la direction de
propagation car nous avons moyenné les valeurs. La validité de la théorie FSDT semble donc difficile
à évaluer pour cet essai en raison du bruit existant ; toutefois, on peut tout de même dire, à la vue de
144
ces résultats que la théorie FSDT peut être employée pour modéliser la plaque composite stratifiée
« quasi-isotrope » à condition que l’on ne cherche pas à évaluer précisément les vitesses
expérimentales. La technique IWC semble donc prometteuse pour valider la modélisation d’une
structure ; toutefois, des travaux de recherche devront être menés sur le bruit observé afin de parfaire
cette validation.
5.5 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons voulu mettre en place un essai permettant de juger la validité des
théories utilisées pour modéliser les structures composites stratifiées. Pour ce faire, nous avons decidé,
comme dans les chapitres précédents, de nous baser sur la comparaison de vitesses de phase car cette
grandeur semble bien adaptée pour évaluer, avec précision, la validité d’une théorie lorsque l’on
simule des phénomènes de propagation d’ondes.
Dans un premier temps, une revue des différentes techniques d’identification a été menée afin
d’appréhender celle qui est la plus adaptée à nos applications. A partir de cette revue, nous avons
décidé d’employer la technique IWC qui cherche à identifier les vitesses de phase en corrèlant à des
ondes inhomogènes le champ vibratoire de la plaque mesuré en plusieurs points. Dans cette technique,
il est envisageable d’optimiser virtuellement un essai sans avoir à conduire des réglages sur le banc
d’essai réel car la mesure du champ peut être effectuée à partir d’un banc d’essai réel ou bien à partir
d’un code de calcul.
Des tests ont ensuite été conduits sur la plaque composite stratifiée « quasi-isotrope » afin de
valider la théorie FSDT utilisée lors des simulations à la section 4.4.3. Le maillage expérimental ainsi
que les conditions limites ont tout d’abord été optimisés à partir d’essais virtuels. Nous avons pu
constater, lors de ces essais, qu’il était difficile d’identifier les vitesses de phase dans les directions du
plan d’ondes peu porteuses d’energie. Pour pallier cette limitation, une moyenne des vitesses a été
effectuée suivant la direction de propagation. Suite à cela, l’essai réel a été mis en œuvre en utilisant le
paramétrage défini lors des essais virtuels. Les résultats de cet essai ont montré que la théorie FSDT
était valide pour modéliser la vitesse de phase d’une onde A0 sur la bande [0-3kHz]. Des
développements sont tout de même à prévoir car un bruit important a été observé sur les vitesses
identifiées, ce qui empêche donc une quantification précise des écarts. D’autres moyens d’excitation
devront être aussi testés à l’avenir car nous sommes pour l’instant dans l’incapacité d’étudier la
validité des théories au delà de la bande d’excitation d’un pot vibrant, ici [0-5kHz].
Conclusion et perspectives
Sur les lanceurs spatiaux, la séparation de la coiffe et des étages est assurée par des dispositifs
pyrotechniques. Les chocs générés lors de leurs activations sont très sévères, ce qui peut engendrer des
dégradations sur les équipements de la charge utile. Afin d’éviter ce type d’incident, les industriels
estiment, via des essais ou bien des simulations numériques, les niveaux vibratoires que vont subir les
équipements « sensibles » en vue de les qualifier avant vol. Dans certains cas, il arrive que les
prévisions obtenues à partir des simulations numériques soient médiocres voire fausses. C’est
pourquoi, des études R&T ont été entreprises depuis quelques années afin d’améliorer les outils de
simulation pour ainsi être en mesure de prédire avec fiabilité les niveaux vibratoires. Les travaux
présentés dans ce mémoire contribuent à ces travaux de recherche en tentant, à partir d’un code
explicite, de simuler avec précision les phénomènes de propagation d’ondes dans des structures
composites stratifiées de géométries simples (poutres et plaques).
Dans le premier chapitre, nous avons établi un état de l’art sur les outils de simulation pouvant être
mis en œuvre afin d’étudier les phénomènes de propagation d’ondes. Deux revues ont été menées afin
d’identifier, tout d’abord, les théories dédiées à la modélisation des structures, et ensuite, les méthodes
de calcul dédiées à la simulation de réponses transitoires. Nous avons alors conclu que les codes
explicites étaient pour l’instant les plus à même de prédire la réponse transitoire de structures spatiales
soumises à des chocs pyrotechniques ; toutefois, certaines difficultés ont été identifiées. Premièrement,
les éléments proposés dans les codes explicites sont formulés à partir de théories élémentaires et
approchées qui peuvent être mises à défaut à hautes fréquences. Des théories d’ordre plus élevé
existent, cependant elles n’ont pas encore été implémentées dans les codes pour des raisons
numériques ou bien tout simplement parce que ces théories n’ont pas été appliquées lors d’études sur
la propagation d’ondes. Deuxièmement, la méthode FEM temporel implémentée dans les codes
explicites présente des erreurs de dispersion pouvant dégrader les prévisions. Il était donc impératif
d’investiguer ces deux différents points afin de garantir la précision des simulations numériques.
Dans un premier temps, nous nous sommes donc intéressés à la modélisation des poutres et plaques
composites stratifiées à partir des éléments finis proposés dans les codes. Pour évaluer la limitation de
ces éléments, nous avons estimé leur capacité à reproduire la dispersion des ondes en particulier la
vitesse de phase ainsi que le champ de déplacement dans la ou les directions perpendiculaires à la
direction de propagation de l’onde. Pour cela, nous avons prédit la dispersion des ondes à partir des
différentes théories de poutre et de plaque, mais aussi à partir de la méthode Wave Finite Element
(WFE) en vue de valider les résultats. Le choix de cette méthode a été conditionné principalement par
le fait qu’elle est simple à mettre en œuvre et prédictive sur une large bande de fréquence. Il est
important de noter que la méthode WFE utilisée dans ce travail a du être étendue pour répondre à nos
besoins (prise en compte d’un matériau composite stratifiée, adaptation aux cas des plaques). A travers
les différents cas d’applications présentés, nous avons montré que les éléments finis de poutre et de
plaque pouvaient être insuffisants et donc qu’il fallait recourir à des éléments solides si l’on voulait
reproduire correctement les phénomènes de dispersion d’ondes. Pour les poutres composites
stratifiées, les limitations sont dues premièrement au fait que les éléments poutres sont incapables de
145
reproduire la dispersion de l’onde longitudinale principale et deuxièmement, au fait que le coefficient
pondérateur varie fortement en fonction de l’empilement, ce qui remet en cause le caractère prédictif
de la théorie utilisée. En ce qui concerne les plaques composites stratifiées, là encore, on observe des
limites liées à l’introduction d’un coefficient pondérateur pour prédire la dispersion de l’onde
transversale principale. A l’avenir, il serait donc intéressant d’évaluer la capacité d’autres théories,
comme par exemple celles développée par [Touratier, 1980], afin de pouvoir contourner l’utilisation
d’éléments solides lorsque les éléments finis structuraux sont mis à défaut.
Suite aux travaux menés sur la modélisation des structures composites stratifiées, nous nous
sommes axés sur la simulation de la réponse transitoire d’une structure soumise à un choc haute
fréquence. Dans ce travail, nous souhaitions évaluer l’influence des paramètres numériques (taille des
éléments, l’ordre des fonctions d’interpolation ou bien encore l’intégration numérique) sur la qualité
des réponses. Pour ce faire, nous avons décidé de comparer les prévisions obtenues à partir du code
explicite à celles calculées à partir de la méthode WFE temporel. Cette méthode est une extension de
la synthèse ondulatoire puisqu’elle approche le champ de déplacement à partir d’une décomposition en
ondes planes harmoniques à la différence près qu’elle utilise les caractéristiques ondulatoires
déterminées à partir de la méthode WFE. Grâce à cette méthode, on est capable d’évaluer précisément
la réponse transitoire à hautes fréquences puisque les erreurs de dispersion rencontrées avec la FEM
temporel sont contrôlables avant la simulation. A partir des cas d’application traités, nous avons pu
constater qu’il fallait au minimum huit éléments par longueurs d’ondes pour garantir la convergence
des solutions EF. Ce constat est valable uniquement lorsque l’on utilise des éléments quadratiques car,
pour les éléments linéaires, il faut en général au minimum seize éléments par longueurs d’ondes. La
règle industrielle stipulant que cinq éléments par longueurs d’ondes peuvent suffire est donc à revoir.
Par ailleurs, nous avons montré qu’il était difficile de quantifier les erreurs de dispersion en temps
courts à partir de la seule comparaison des réponses transitoires. Nous proposons donc pour cela
d’identifier sur les réponses transitoires la vitesse de phase de l’onde et de la comparer à celle prédite
par la méthode WFE. Au final, nous pouvons affirmer que la méthode FEM temporel implémentée
dans le code Abaqus/Explicit peut convenir pour traiter certains cas d’application. Cependant, il serait
intéressant à l’avenir de généraliser les éléments finis d’ordre élevé afin de réduire le coût numérique
des simulations car il peut devenir prohibitif rapidement pour des structures industrielles.
Enfin, dans une dernière partie de l’étude, nous avons mis en place un essai afin de valider la
modélisation des structures composites stratifiées. Pour cela, nous nous sommes appuyés sur la
technique Inhomogeous Wave Correlation (IWC) en vue d’identifier la vitesse de phase d’une onde et
ainsi la comparer avec les prévisions théoriques. Dans cette technique, le champ stationnaire d’une
plaque est corrélé à des ondes inhomogènes en vue d’identifier la vitesse de phase. Les résultats
présentés montrent que, pour une plaque composite stratifiée quasi isotrope, la théorie du premier
ordre en flexion (FSDT) peut être employée sur la bande [0-3kHz]. Malheureusement, aucune
comparaison n’a pu être faite à plus hautes fréquences en raison des limites du pot vibrant utilisé pour
les essais.
146
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Annexe A
Résultantes et moments dans les théories de
plaques
Dans cette annexe, nous allons exprimer les résultantes N ij , Qi et les moments M ij en fonction
des déplacements de la plaque, lorsque cette dernière est constituée d’un matériau composite stratifié.
Premièrement, nous allons écrire dans le répère global la loi de comportement d’un pli composite afin
de relier le champ des contraintes au champ des déformations. Ensuite, les résultantes et les moments
des théories CLPT (section 3.2.1), et FSDT (section 3.2.2) seront exprimés en tenant compte du
comportement mécanique des différents plis composites.
A.1 Loi de comportement d’un matériau composite
Figure A.1 : Définition d’un pli composite unidirectionnel.
Un pli composite unidirectionnel est classiquement assimilé à un matériau orthotrope dont les axes
principaux d’orthotropie sont définis à partir du repère local ( 0, x1 , x2 , x3 ) . En règle générale, l’axe
( 0, x1 )
est contenu dans le plan du pli et parallèle à la fibre. L’axe ( 0, x2 ) est lui aussi contenu dans
le plan du pli mais perpendiculaire à la fibre. Enfin, l’axe ( 0, x3 ) est perpendiculaire au plan du pli
(voir figure A.1). Dans ce repère local, la relation entre champ de contrainte et le champ de
déformation (loi de comportement) d’un matériau orthotrope s’exprime :
155
156
σ 1   C11 C12
σ  C
 2   12 C22
σ 3  C13 C23
 =
0
σ 4   0
σ 5   0
0
  
0
σ 6   0
C13
C23
0
0
0
0
C33
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
C55
0
0   ε1 
0  ε 2 
0  ε 3 
 
0  ε 4 
0  ε 5 
 
C66  ε 6 
(A.1)
avec : Cij les coefficients définis par :
C11 =
1 −ν 23ν 32
,
E2 E3∆
C22 =
C12 =
1 + ν 13ν 31
,
E1 E3∆
E1 E3∆
C23 =
C44 = G23 ,
∆=
ν 12 +ν 32ν 13
C13 =
,
ν 23 +ν 21ν 13
C33 =
,
E1E3∆
C55 = G31 ,
ν 13 +ν 12ν 23
E1 E2 ∆
1 −ν 12ν 21
E1E2 ∆
(A.2)
C66 = G12
1 −ν 12ν 21 −ν 23ν 32 −ν 31ν 13 − 2ν 21ν 32ν 13
E1 E2 E3
Maintenant, il nous faut exprimer la loi de comportement dans le repère global ( 0, x , y, z ) . Pour cela,
considérons la matrice de rotation [T ] suivante :
 cos 2 (θ )
sin 2 (θ )

2
cos 2 (θ )
 sin (θ )

0
0
[T ] = 
0
0


0
0

sin (θ ) cos (θ ) − sin (θ ) cos (θ )
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
cos (θ )
sin (θ )
0 − sin (θ ) cos (θ )
0
0
0
− sin ( 2θ )


sin ( 2θ )


0
 (A.3)
0


0

cos 2 (θ ) − sin 2 (θ ) 
A partir de la matrice [T ] , on est en mesure d’exprimer la loi de comportement (A.1) dans le repère
global comme suit :
C  =
T
[T ][C ][T ]
(A.4)
ce qui nous donne
σ xx   C11 C12
σ  
 yy  C12 C22
σ zz  C13 C23
 =
0
σ yx   0
σ xz   0
0
  
σ xy  C16 C26
C13 0
C23 0
C33 0
0 C44
0 C45
C36 0
0
0
0
C45
C55
0
C16  ε xx 
 
C26  ε yy 
C36   ε zz 
 
0  γ yz 
0  γ xz 
 
C66  γ xy 
(A.5)
157
Dans le cas où le problème peut être ramené à un problème à deux dimensions, ce qui est souvent le
cas lorsqu’on emploie les théories des plaques, les équations se simplifient via l’hypothèse de
contraintes planes σ 3 = 0 . En définissant les constantes de rigidité réduites Qij de la manière
suivante :
Qij′ = Cij −
C13C j 3
avec i, j = 1, 2, 6
C33
(A.6)
La loi de comportement (A.5) devient :
σ xx   Q11′ Q12′
σ  Q′ Q′
22
 yy   12
σ xy  = Q16′ Q26
′
  
0
σ yz   0
σ xz   0
0
Q16′
′
Q26
′
Q66
0
0
0
′
C44
′
C45
0
0
0  ε xx 
0  ε yy 
0  γ xy 
 
′  γ yz 
C45
′  γ xz 
C55
(A.7)
A.2 Théorie CLPT
Figure A.2 : Stratification d’une plaque.
Fort de la loi de comportement (A.7), nous allons désormais pouvoir exprimer les résultantes N ij et
les moments M ij . Pour cela, il faut premièrement réécrire les expressions (3.5) en tenant compte de la
stratification (figure A.2), cela nous donne :
 Nx 
σ xx 

 n hk  
 N y  = ∑ ∫hk −1 σ yy  dz ,
 N xy  k =1
σ xy 


 
k
J0 = ∫
h2
−h 2
 Mx 
σ xx 

 n hk  
 M y  = ∑ ∫hk −1 σ yy  zdz
 M xy  k =1
σ xy 


 
k
n
ρ k dz =∑ ∫
k =1
hk
− hk −1
(A.8)
ρ k dz
Désormais, chaque pli k peut être pris en compte. Il convient donc maintenant de définir le champ des
contraintes pour chacune des couches. Pour un pli k , la loi de comportement en contrainte plane est
donnée par (A.7). Toutefois, dans la théorie CLPT, on a vu que les déformations en cisaillement
γ yz , γ xz sont nulles. De ce fait, la loi de comportement (A.7) d’un pli k se simplifie de la manière
suivante :
158
σ xx   Q11′ Q12′
  
′
σ yy  = Q12′ Q22
σ xy  Q16′ Q26
′
 k
Q16′  ε xx 
 
′  ε yy 
Q26

′  γ xy 
Q66
(A.9)
En introduisant (A.9) dans (A.8), on exprime les résultantes et les moments en fonction des
déformations. Les expressions alors obtenues sont :
 N x   A11

 
 N y  =  A12
 N xy   A16


A12
A22
A26
A16  ε xx0   B11
 
A26  ε yy0  +  B12
A66  γ xy0   B16
 M x   D11

 
 M y  =  D12
 M xy   D16


D12
D22
D26
B12
B22
B26
B16   κ x 
 
B26   κ y 
B66  κ xy 
D16   κ x 
 
D26   κ y 
D66  κ xy 
(A.10)
avec : [ A] la matrice de rigidité en membrane, [ B ] la matrice de couplage membrane/flexion, [ D ] la
matrice de rigidité en flexion. Les coefficients de rigidité sont reliés à ceux de la loi de comportement
(A.9) ces matrices sont définies par :
Aij = ∑ ( hk − hk −1 ) ( Qij′ )
n
k =1
k
,
(
Bij =
1 n 2
hk − hk2−1 ( Qij′ )
∑
k
2 k =1
(
)
)
1 n
Dij = ∑ hk3 − hk3−1 ( Qij′ )
k
3 k =1
(A.11)
On notera que lorsque les plaques étudiées présentent une stratification symétrique par rapport au
feuillet moyen, la matrice [ B ] de couplage membrane/flexion est nulle. Enfin, sachant que dans les
plaques les déformations se relient aux déplacements à partir des relations (3.2), on peut finalement
exprimer les résultantes N ij et les moments M ij en fonction des déplacements ( u0 , v0 , w0 ) ce qui
permettra alors d’écrire les équations du mouvement (3.6) uniquement à partir des déplacements.
A.3 Théorie FSDT
Pour la théorie FSDT, la démarche est la même que pour la théorie CLPT présentée précédemement à
(
la différence près qu’il faille tenir compte des efforts tranchants Qx , Qy
( J1 , J 2 ) .
) et des moments d’inerties
Nous allons donc nous intéresser uniquement à l’expression de ces efforts car pour les
efforts N ij et les moments M ij les expressions sont données par (A.10). Tout d’abord, exprimons les
efforts tranchants et les moments d’inerties en tenant compte de la stratification représentée à la
figure A.2 :
Qx  n hk σ xz 
Q  = ∑ ∫hk −1 σ  dz ,
 y  k =1
 yz  k
 J Y 1  n hk  z 
 J  = ∑ ∫hk −1  z 2  ρ k dz
 
 Y 2  k =1
(A.12)
159
Pour calculer les expressions (A.12), on va exprimer pour chaque pli k le champ des contraintes à
partir de la loi de comportement. Si l’on ne considère que le cisaillement transverse, la loi de
comportement (A.7) d’un pli k s’exprime :
′
σ yz  C44
σ  = C ′
 xz  k  45
(
Sachant que les contraintes σ yz , σ xz
)
′  γ yz 
C45
′  γ xz 
C55
(A.13)
ne sont pas constantes dans l’epaisseur d’un pli, nous ne
pouvons intégrer simplement (A.12). Il faut donc effectuer une nouvelle hypothèse c’est-à-dire que les
(
déformations en cisaillement transverse γ yz , γ xz
plan moyen γ , γ
0
yz
0
xz
)
sont égales aux déformations en cisaillement du
(distribution constante dans l’épaisseur), ce qui permet alors, en introduisant
(A.13) dans (A.12) d’exprimer les efforts tranchants comme suit :
Qy   F44
Q  = 
 x   F45
avec :
[F ]
F45  γ yz 
 
F55  γ xz 
(A.14)
la matrice de rigidité en cisaillement transverse. Les coefficients de cette matrice se
définissent en fonction de ceux de la loi de comportement (A.7) de la manière suivante :
Fij = ∑ α ( hk − hk −1 ) ( Cij′ )
n
k =1
(A.15)
k
On notera dans l’expression (A.15) qu’un coefficient pondérateur α a été introduit. Ce coefficient
doit permettre d’ajuster les efforts tranchants
déformations
(γ
yz
(Q , Q )
x
y
en raison de l’hypothèse prise sur les
, γ xz ) . Enfin, à partir des relations (3.15), on peut finalement déterminer les
(
)
résultantes et les moments en fonction des déplacements u0 , v0 , w0 , φx , φ y .
Annexe B
Résultantes et moments dans les théories de
poutres
B.1 Théorie élémentaire
Dans cette annexe, nous allons présenter l’approche proposée dans [Reddy, 2003] pour déterminer la
résultante N x et le moment M x indroduits dans la théorie élémentaire (cf. section 2.2.1).
Figure 1.1 : Stratification d’une poutre à section rectangulaire.
Premièrement, on écrit les résultantes et les moments de la théorie CLPT (annexe A.2) en considérant
que la stratification est symétrique par rapport à la fibre neutre de la poutre. D’après l’annexe A, ces
expressions sont données par :
 N x   A11

 
 N y  =  A12
 N xy   A16


A12
A22
A26
A16  ε xx0 
 
A26  ε yy0  ,
A66  γ xy0 
 M x   D11

 
 M y  =  D12
 M xy   D16


ou bien en les inversant :
161
D12
D22
D26
D16   κ x 
 
D26   κ y 
D66  κ xy 
(B.1)
162
ε xx0   A11∗
 0  ∗
ε yy  =  A12
γ xy0   A16∗
  
A12∗
∗
A22
∗
A26
A16∗   N x 

∗ 
A26
  Ny  ,
∗ 

A66
  N xy 
 κ x   D11*
   *
 κ y  =  D12
κ xy   D16*
  
D12*
*
D22
*
D26
D16*   M x 

* 
D26
My 
* 

D66
  M xy 
(B.2)
avec :  Aij*  ,  Dij*  les matrices inverses de  Aij  ,  Dij  (matrices de souplesse). Les coefficients des
matrices  Aij*  s’expriment de la manière suivante :
(
)
1
1
2
A22 A66 − A26
,
A12* = a ( A16 A26 − A12 A66 )
a
∆
∆
1
1
*
A16* = a ( A12 A26 − A16 A22 ) ,
A22
= a A11 A66 − A162
∆
∆
1
1
*
*
A26
= a ( A12 A16 − A26 A11 ) ,
A66
= a A11 A22 − A122
∆
∆
a
2
∆ = A11 A22 A66 + 2 A12 A16 A26 − A11 A26 − A22 A162 − A66 A122
A11* =
(
)
(
)
(B.3)
De même pour ceux de la matrices  Dij*  :
(
)
1
1
D22 D66 − D262
,
D12* = d ( D16 D26 − D12 D66 )
d
∆
∆
1
1
*
D16* = d ( D12 D26 − D16 D22 ) ,
D22
= d D11 D66 − D162
∆
∆
1
1
*
*
D26
= d ( D12 D16 − D26 D11 ) ,
D66
= d D11 D22 − D122
∆
∆
d
2
∆ = D11 D22 D66 + 2 D12 D16 D26 − D11D26 − D22 D162 − D66 D122
D11* =
(
)
(
)
(B.4)
Ensuite, en considérant que dans une poutre, les résultantes N y , N xy et les moments M y , M xy sont
nuls, on est en mesure d’ecrire, à partir de (B.2), les expressions suivantes :
ε xx0 = A11∗ ⋅ N x ,
κ x = D11∗ ⋅ M x
(
Il est important de remarquer que les déformations ε yy , γ xy
(B.5)
) présentes dans (B.2) ne sont pas nuls
puisqu’elles dépendent de M x . A priori, cela veut dire que les déplacements ( u0 , ω0 ) dépendent de la
coordonnée y , ce qui remet en cause l’hypothèse considérant que le champ de déplacement dépend
uniquement de x . Toutefois, ces déformations peuvent être considérées comme étant négligeable dans
le cas où le rapport longueur/largeur ( L b ) est suffisamment élevé.
(
0
Enfin, sachant que dans les poutres les déformations ε xx
,κ x
( u0 , w0 ) de la façon suivante :
ε xx0 =
∂u0
,
∂x
κx = −
) s’expriment à partir des déplacements
∂ 2 w0
∂x 2
(B.6)
163
On obtient finalement les expressions recherchées :
Nx =
b ∂u0
,
A11* ∂x
Mx = −
b ∂ 2 w0
D11* ∂x 2
(B.7)
B.2 Théorie du premier ordre en flexion
Dans cette annexe, nous allons présenter l’approche proposée dans [Reddy, 2003] pour déterminer la
résultante Qx et le moment M x introduits dans la théorie du premier ordre en flexion (cf. section
2.2.2).
Tout d’abord, considérons les résultantes et les moments calculés dans l’annexe A.3 pour la théorie
FSDT :
 M x   D11

 
 M y  =  D12
 M xy   D16

 
D12
D22
D26
D16   κ x 
 
D26   κ y  ,
D66  κ xy 
Qy   F44
Q  = 
 x   F45
F45  γ yz0 
 
F55  γ xz0 
(B.8)
γ yz0   F44∗
 0 = ∗
γ xz   F45
F45∗  Qy 
 
F55∗  Qx 
(B.9)
En inversant les matrices Dij , Fij de la manière suivante :
 κ x   D11∗
   ∗
 κ y  =  D12
κ xy   D16∗
  
D12∗
∗
D22
∗
D26
D16∗   M x 

∗ 
D26
My  ,
∗ 

D66
  M xy 
avec :  Dij*  ,  Fij*  les matrices inverses de  Dij  ,  Fij  (matrices de souplesses). Les coefficients
des matrices  Dij*  s’expriment de la manière suivante :
(
)
1
1
D22 D66 − D262
,
D12* = d ( D16 D26 − D12 D66 )
d
∆
∆
1
1
*
D16* = d ( D12 D26 − D16 D22 ) ,
D22
= d D11 D66 − D162
∆
∆
1
1
*
*
D26
= d ( D12 D16 − D26 D11 ) ,
D66
= d D11 D22 − D122
∆
∆
d
2
∆ = D11 D22 D66 + 2 D12 D16 D26 − D11D26 − D22 D162 − D66 D122
D11* =
(
)
(
)
(B.10)
De même pour ceux de la matrice  Fij*  :
F44* = F55 ∆ F ,
F55* = F44 ∆ F ,
∆ F = F44 F55 − F452
F45* = − F45 ∆ F
(B.11)
164
Pour les poutres, il apparaît que les résultantes Qy et les moments M y , M xy sont nuls. On peut donc,
grâce aux expressions (B.2), exprimer la déformation κ x ainsi que le cisaillement transverse de la
façon suivante :
κ x = D11∗ ⋅ M x ,
γ xz0 = F55∗ ⋅ Qx
(B.12)
Ensuite, en reliant les déformations et les déplacements qui sont donnés par :
κx =
∂φ0
,
∂x
γ xz0 =
∂w0
− φ0
∂x
(B.13)
On obtient finalement les expressions recherchées :
Qx =
α b  ∂w0

− φ0  ,

F  ∂x

Mx = −
*
55
b ∂φ0
D11* ∂x
(B.14)
B.3 Théorie de Gopalakrishnan
Dans cette annexe, nous allons présenter de quelle manière déterminer la résultante ( N x , N z ) et le
moment M z introduit dans la théorie de Gopalakrishnan (cf. section 2.2.3.2).
Tout d’abord, il faut réécrire la loi de comportement (A.5) en appliquant l’hypothèse de contrainte
plane dans le plan (x-z) et en négligeant le cisaillement transverse. Pour cela, il faut imposer les
hypothèses suivantes :
σ yy = γ yz = γ xy = 0
(B.15)
A partir des hypothèses (B.15), on réécrit la loi de comportement (A.5) comme suit :
σ xx  Qɶ11 Qɶ13 0  ε xx 
 
σ  = Qɶ
ɶ
 zz   13 Q33 0  ε zz 
σ xz   0
0 Qɶ 55  ε xz 
(B.16)
Ensuite, en tenant compte de la stratification de la poutre (figure 1.1), les résultantes et les moments
(2.40) s’expriment :
n
hk
k =1
hk −1
N x = ∫ σ xx ds = ∑ ∫ b [σ xx ]k dz ,
S
S
n
hk
k =1
hk −1
M z = ∫ σ xz zds = ∑ ∫ b [σ zz ]k zk dz
S
n
hk
k =1
hk −1
N z = ∫ σ zz ds = ∑ ∫ b [σ zz ]k dz
En introduisant (B.16) dans (B.17), les expressions deviennent :
(B.17)
165
n
hk
k =1
hk −1
Nx = ∑ ∫
b Qɶ11ε xx + Qɶ13ε zz  dz ,
n
hk
k =1
hk −1
Mz = ∑∫
n
hk
N z = ∑ ∫ b Qɶ13ε xx + Qɶ 33ε zz  dz
hk −1
k =1
(B.18)
b Qɶ 55γ xz  dz
avec : b la largeur de la poutre. Enfin, sachant que les déformations s’expriment à partir des
déplacements de la façon suivante :
ε xx =
∂u0
,
∂x
ε zz = ψ 0 ,
γ xz = z
∂ψ 0
∂x
(B.19)
On réécrit les expressions des résultantes et des moments, en introduisant (B.19) dans (B.18) et ainsi
on obtient :
∂u
N x = Aɶ11 0 + Aɶ13ψ 0 ,
∂x
∂u
N z = Aɶ13 0 + Aɶ33ψ 0 ,
∂x
∂ψ 0
M z = Dɶ 55
∂x
(B.20)
avec :
hk i +1
2
ɶ
ɶ ɶ 
 Aij , Dij  = ∑ ∫hk i bQij 1, z , z  bdz
i
(B.21)
Annexe C
Identification par intercorrélation de la
vitesse d’une onde
Les simulations réalisées à partir d’un code explicite ne permettent pas de connaître directement la
dispersion des ondes propagées lors d’un choc. Cependant, il est possible en employant une méthode
d’identification de déterminer la dispersion d’une onde à partir des réponses transitoires calculées.
Pour identifier la dispersion d’une onde par intercorrélation, il faut tout d’abord acquérir deux signaux
suivant le sens de propagation de l’onde comme le montre le schéma de la figure 5.1. Dans ce travail,
les signaux sont issus des simulations présentées à la section 4.4. Un traitement du signal est ensuite
appliqué à ces signaux afin d’estimer leurs déphasage et ainsi la vitesse de phase. Le traitement
effectué est le suivant :
1. Soit u ( t ) et v ( t ) , les deux signaux mesurés en x1 et x 2 . On définit ∆ = x 2 − x1 la distance
algébrique entre les deux positions de mesure.
2. Ces deux signaux sont traités par une fenêtre naturelle afin d’éliminer les ondes réfléchies.
3. À partir des transformées de Fourier discrètes des deux signaux û ( ω ) et v̂ ( ω ) , on estime la
fonction interspectrale de la manière suivante :
S1,2 (ω ) =
uˆ (ω ) ⋅ vˆ (ω )
uˆ (ω ) ⋅ vˆ (ω )
(C.1)
4. Le déphasage des deux signaux est ensuite calculé à partir de la fonction interspectrale :
 Im ( S1,2 (ω ) ) 
 + kπ
 Re ( S1,2 (ω ) ) 


ϕ (ω ) = tan −1 
(C.2)
5. L’estimation du modulo-π nécessite de recourir à une procédure de dépliement de la phase.
Cette procédure peut être réalisée manuellement ou automatiquement, ceci dépend du logiciel
employé pour effectuer cette opération.
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6. Une fois la phase dépliée, il est alors possible de déduire la vitesse de phase de l’onde :
c (ω ) =
∆
ϕ (ω )
ω
(C.3)