fonctions affines

FONCTIONS AFFINES
313
Leçon 1
Prérequis : ex 1 à 6 p. 144 – Activité 1,2 et 3 p. 123
I. DEFINITION
Un vidéo-club propose à ses clients les 3 formules suivantes :
Formule 1 : 20 . d’abonnement annuel plus 1,5 par DVD loué.
Formule 2 : 2,5 par DVD loué et aucun frais d’abonnement.
Formule 3 : 80 à l’année quelque soit le nombre de DVD loué.
a. Compléter le tableau suivant :
Nombre de DVD loués
10
30
50
Entourer en couleur la formule la
plus intéressante si on doit louer
10, 30 ou 50 DVD.
Prix à payer avec la formule 1
Prix à payer avec la formule 2
Prix à payer avec la formule 3
b. Soit x le nombre de DVD loués. On appelle P1, P2 et P3 les prix à payer pour x DVD.
Exprimer P1 en fonction de x
On multiplie x par
P1 (x) =
puis on ajoute
Ce procédé qui à x fait correspondre P1 (x) =
s’appelle une fonction affine.
Définition :
Une fonction affine est un procédé qui à un nombre x associe le nombre a x + b où a et b sont 2
nombres donnés. (on multiplie par a puis on ajoute b).
Si on note f la fonction, alors f
: x —> a x + b
Exercice : compléter
x
0
12
25
38
47
P1 (47) =
P1 (x)
Calculer le prix à payer pour 17 DVD cela revient à calculer l’image de …
Combien pouvons nous louer de DVD avec 53 ? cela revient à calculer l’antécédent de …
© www.maths974.fr
FONCTIONS AFFINES
313
Exprimer P2 en fonction de x
Leçon 2
P2 (x) =
Le procédé qui à x fait correspondre P2 (x) =
s’appelle une fonction linéaire.
C’est un cas particulier de fonction affine. Toute fonction linéaire s’écrit :
x —> a x
Exercice : compléter
x
0
12
25
38
P2 (47) =
47
P2 (x)
Calculer le prix à payer pour 13 DVD. cela revient à calculer l’image de …
Combien pouvons nous louer de DVD avec 60 ? cela revient à calculer l’antécédent de …
Exprimer P3 en fonction de
x
P3 (x) =
Le procédé qui à x fait correspondre P3 (x) =
s’appelle une fonction constante.
C’est un cas particulier de fonction affine. Toute fonction constante s’écrit :
Exercice : compléter
x
0
12
25
38
47
P3 (47) =
P3 (x)
Calculer le prix à payer pour 87 DVD.
En résumé :
f : x ax + b
f : x ax
f :x b
est une fonction affine.
est une fonction affine particulière : une fonction linéaire.
est une fonction affine particulière : une fonction constante.
Exercices 5 p. 153, 13 p. 154, 20 p. 154
© www.maths974.fr
x —> b
FONCTIONS AFFINES
313
Leçon 3
II. REPRESENTATIONS GRAPHIQUES
Définition : Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine x ax + b est l’ensemble
des points de coordonnées (x ; ax + b).
Propriété : La représentation graphique de la fonction affine x ax + b est la droite de coefficient
directeur a et qui passe par le point de coordonnées (0 ; b). On dit que b est l‘ordonnée à l’origine.
Seuls les points (x ; y) de la droite vérifient la relation y = ax + b : c’est une équation de la droite.
Méthode : Pour tracer une droite, il suffit de déterminer les coordonnées de deux points de cette droite.
On appelle d1, d2 et d3 les représentations graphiques des fonctions affines P1, P2 et P3.
Compléter :
d1
A
B
d2
C
D
d3
x
x
x
y
y
y
Compléter ce repère orthonormé et tracer les 3 droites.
On prendra 1 pour 5 DVD loués sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 sur l’axe des ordonnées.
Donner par simple lecture graphique, le nombre de DVD loué pour lequel les tarifs sont les mêmes.
Lire sur le graphique la formule la plus intéressante en fonction du nombre de DVD loué.
Exercices 34, 35 p. 155, 39 et 40 p. 155, 46, 49 p. 156
© www.maths974.fr
E
F
FONCTIONS AFFINES
313
Leçon 4
III. COEFFICIENT DIRECTEUR ET ORDONNEE A L’ORIGINE
a. Proportionnalité des accroissements
f ( x ) = ax + b .
f ( x2 ) f ( x1 )
Quels que soient les nombres distincts x1 et x 2 , on a :
=a
x2 x1
Propriété : Soit f la fonction affine définie par
Exemple : soit f : x 3x 1
f ( 5) f (2 )
=…
52
ou
f (7) f (1)
= ...
7 1
Cette propriété permet de déterminer une fonction affine connaissant les images de 2 points.
Application : Déterminer la fonction affine f telle que f (2) = 6 et f(-1) = -9
On sait que f s’écrit
f : x ax + b , il faut donc déterminer a et b.
f ( 2 ) f ( 1)
=
2 ( 1)
•
a=
•
Pour déterminer b, on utilise l’hypothèse f (2) = 6
•
Conclusion : La fonction affine est donc
donc f s’écrit f : x f :x
b. Lecture graphique du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine.
Exercices 29 et 30 p. 155, QCM p 157 et problème 67 p 158
© www.maths974.fr
il reste à calculer b.
FONCTIONS AFFINES
313
Leçon 5
c. Autre méthode pour tracer une droite
Tracer (d1) d’équation y = 3x 1
On utilise l’ordonnée à l’origine, donc notre droite passe par le point (0 ; -1)
On utilise le coefficient directeur qui donne l’accroissement de f lorsque x augmente de 1, donc dans
notre cas, lorsque x augmente de 1, f(x) augmente de 3.
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Tracer (d2) d’équation y = 2x + 5
Tracer (d3) d’équation y =
2
x6
5
© www.maths974.fr
5
6