Chapitre n°10 : « Les triangles »
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Chapitre n°10 : « Les triangles »
5ème1 2009-2010 Chapitre n°10 : « Les triangles » I. Rappels Vocabulaire • A , B et C sont les sommets. • [ AB ] , [ BC ] et [ AC ] sont les trois côtés du triangle. BAC , BCA et ABC sont les trois • angles du triangle. • Le point C est opposé au côté [ BA ] . De même, [ BC ] est opposé à A . Triangles particuliers • Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Dans ce triangle, [ AB ] est la base et C est le sommet principal. • Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Le côté situé en face de l'angle droit est appelé l'hypoténuse. C'est le côté le plus long. • Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés de même longueur. • Un triangle quelconque est un triangle qui n'est pas isocèle, rectangle ou équilatéral. 5ème1 2009-2010 II. Inégalité triangulaire ; constructions de triangle 1/ Inégalité triangulaire D'après le schéma ci-contre, on peut dire que : • la distance Sarcelles/Saint-Denis est inférieure à la distance Saint-Denis/Gonesse plus Gonesse/Sarcelles. On considère maintenant un triangle IJK . En raisonnant de la même façon, on trouve que : • IJ IK KJ • IK IJ JK • KJ KI IJ Ces trois inégalités sont appelés les inégalités triangulaire. 2/ Construction connaissant les trois côtés Construis le triangle ABC tel que AB=5 cm , BC =3,8 cm et CA=6,5 cm . • Il y a quatre triangles possibles. On remarque qu'il y a des symétries. • Par rapport à AC : ABC et AB ' C ; A1 B 1 C 1 et A1 B ' 1 C 1 . • Par rapport à la médiatrice de [ AC ] : ABC et A1 B 1 C 1 ; AB ' C et A1 B ' 1 C 1 . • Par rapport au point O : ABC et A1 B ' 1 C 1 ; A1 B 1 C 1 et AB ' C . 5ème1 2009-2010 Méthode • On commence par tracer le côté le plus long. • A l'aide du compas, on trace deux arcs de cercle qui se croisent, avec les deux autres longueurs. • On relie pour former le triangle complet. 3/ Construction connaissant deux côtés et un angle BAC =55° . Construire un triangle ABC tel que AB=7,9 cm , AC=3,8 cm et Méthode • On commence par le côté le plus long. • A l'aide du rapporteur, on construit l'angle dont la mesure est donnée. • A l'aide du compas, on prend la 2ème longueur, on fait un arc de cercle sur le 2ème côté de l'angle. • On relie pour former le triangle complet. III. Somme des angles d'un triangle Activité Trace un « grand » triangle puis mesure le plus précisément possible ses trois angles. Après avoir mesurer, faisons la somme des mesures des angles : BAC BCA ABC =1162044=180 A 1 ° près, on trouve un résultat proche de 180 ° . On admet la propriété suivante... 5ème1 2009-2010 Propriété Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180° . Application Cette propriété permet de calculer des mesures d'angles dans un triangle. Dans le cas général, il faut connaître au moins deux mesures. • Dans le triangle ci-contre, calcule la mesure manquante : SOL=180 – 4823 SOL=180 – 71 SOL=109° (oublié... à intégrer dans le II) 4/ Connaissant un côté et ses deux angles adjacents CAB=42° et CBA=55° . Construire un triangle ABC tel que AB=7,5 cm , Méthode • On commence par tracer le côté dont on connaît la longueur. • A ses extrémités, on construit les angles de mesure donnée. 5ème1 2009-2010 IV. Triangles particuliers 1/ Isocèle Vocabulaire Les angles à la base sont les deux angles construits à l'aide de la base. Exemple FAI et Dans le triangle ci-contre, les angles à la base sont FIA Propriété Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure. Application On considère un triangle IJK isocèle en K tel que IJK =47° . Calcule la mesure des deux autres angles. K 47° I J • KIJ =47° car KIJ et KJI sont les deux angles à la base. IKJ =180 –4747=180 – 94=86° Car la somme des angles est égale à 180° . • Application bis SFT =50° . On considère un triangle TSF isocèle en T tel que F FTS et FST sont de • Les deux angles à la base même mesure, donc... 50° FST = FTS=180 – 50÷2=130÷2=65° • T S 5ème1 2009-2010 2/ Triangle rectangle Rappel Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90 ° . Propriété Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires. Exemple RAS =32° . Donne les mesures manquantes. RSA est un triangle rectangle en R tel que S 32° R A SRA=90° • RSA=90 – 32=58 ° car les deux angles sont complémentaires ! • 3/ Triangle équilatéral Propriété Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent 60 ° . 5ème1 V. Droites remarquables dans un triangle 1/ Médiatrices et cercle circonscrit Rappels La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire. Application au triangle Pour mardi 8/06 • Apprendre le cours • Apporter le matériel • n°52 p 180 Pour mercredi 9/06 Contrôle !! 2/ Médianes 3/ Hauteurs 2009-2010