Fracture mechanics course - mms2-ensmp

Transcription

Mécanique de la rupture
H. Proudhon, G. Cailletaud
MINES ParisTech, Centre des matériaux, CNRS UMR 7633
23 mai 2011
H. Proudhon (MINES ParisTech)
Fracture mechanics
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Plan
1
Pourquoi étudier la rupture ?
2
Brève perspective historique
3
Taux de restitution de l’énergie et essai Charpy
4
État de contrainte en pointe de fissure
5
Propagation de fissures de fatigue
Fracture mechanics
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Plan
1
2
3
4
5
Fracture mechanics
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Le titanic
15 Avril 1912
température de service au moment
de la collision avec l’iceberg : -2°C
Fracture mechanics
23 mai 2011
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Le titanic
15 Avril 1912
température de service au moment
de la collision avec l’iceberg : -2°C
Le croyant réellement insubmersible,
beaucoup de passagers ne sont montés
que tardivement à bord des canaux de
sauvetage.
Le titanic à coulé en 2h et 40 minutes,
le naufrage à fait plus de 1500 morts.
Fracture mechanics
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Les liberty ships
Plus de 2700 navires sont construits entre fin
1941 et la fin de la guerre au rythme de 70
unités par jour.
Fracture mechanics
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Les liberty ships
unités par jour.
Au cours de l’année 1941, 30% des navires
construits ont connus une rupture
catastrophique ; 362 navires perdus +
graves rumeurs au sein de la Navy américaine.
Fracture mechanics
http://www.liberty-ship.com
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Les liberty ships
unités par jour.
Au cours de l’année 1941, 30% des navires
construits ont connus une rupture
catastrophique ; 362 navires perdus +
graves rumeurs au sein de la Navy américaine. http://www.liberty-ship.com
Causes reconnues aujourd’hui :
Structure soudée (propagation
de fissure facilitée)
Mauvaise qualité des soudures
(criques et contraintes internes)
Faible ténacité de l’acier et
transition ductile/fragile proche
de l’ambiante
Fracture mechanics
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Fatigue des structures aéronautiques
28 April 1988
Flight 243 : Explosive decompression and
structure failure at 24 000 feet from Hilo
to Honolulu, Hawaı̈
90 passengers and 5 crewmembers
One flight attendant swept overload, 65
injured (8 seriously)
Emergency descent and landing at
Kahulai Airport (Island of Maui)
Fracture mechanics
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Fatigue des structures aéronautiques
28 April 1988
Flight 243 : Explosive decompression and
structure failure at 24 000 feet from Hilo
to Honolulu, Hawaı̈
90 passengers and 5 crewmembers
One flight attendant swept overload, 65
injured (8 seriously)
Emergency descent and landing at
Kahulai Airport (Island of Maui)
Significant disbonding and fatigue
damage failure of lap joint and separation
of the fuselage upper lobe
Subsequent Safety issues and Engineering
design (multiple site fatigue cracking)
Fracture mechanics
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Étude statistique des accidents aériens
Étude statistique sur l’évolution du trafic aérien et du nombre d’accidents
(source MANHIRP, 2001)
Fracture mechanics
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Plan
1
2
3
4
5
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Quelques dates
1920 : Griffith rupture d’un milieu élastique-fragile, bilan énergétique
1956 : Irwin, singularité du champ de contraintes en pointe de fissure
1968 : intégrale de Rice-Cherepanov
années 70 : développement des méthodes numériques, éléments finis
années 70 : fissuration en fatigue, chargements complexes
années 80 : aspects 3D, fissures courtes (K. Miller)
année 90 : approche locale de la fissuration
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Plan
1
2
3
4
5
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Le taux de restitution de l’énergie
Hypothèse de base
Toute structure contient un défaut (ex: une fissure)
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Hypothèse de base
Taux de restitution de l’énergie
“La puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de surface a
est égale à la variation de l’énergie potentielle totale U, appelée taux de
restitution d’énergie” (unité : joule/m2 ) :
G =−
∂U
∂a
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Hypothèse de base
Taux de restitution de l’énergie
“La puissance mécanique disponible pour ouvrir une fissure de surface a
est égale à la variation de l’énergie potentielle totale U, appelée taux de
restitution d’énergie” (unité : joule/m2 ) :
G =−
∂U
∂a
Critère de rupture (fragile) de Griffith
propagation si : G − 2γs ≥ 0 avec γs énergie spécifique de rupture par
unité de surface
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Évaluation du taux de restitution de l’énergie
Forces de volume négligées, quasi-statique, solide élastique de volume V ,
force F d imposée sur S F , déplacement u d imposé sur S u :
Z
Z
1
U=
σ : ε dV −
F d .u dS
2 V∼ ∼
SF
Fracture mechanics
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Z
Z
1
U=
σ : ε dV −
F d .u dS
2 V∼ ∼
SF
Or d’après le théorème de la divergence :
Z
Z
Z
Z
d
.u
dS
=
F
dS
+
.u
σ
:
ε
dV
=
F
∼
∼
V
S
SF
Fracture mechanics
F .u d dS
Su
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Z
Z
1
U=
σ : ε dV −
F d .u dS
2 V∼ ∼
SF
Or d’après le théorème de la divergence :
Z
Z
Z
Z
d
.u
dS
=
F
dS
+
.u
σ
:
ε
dV
=
F
∼
∼
V
d’où
SF
S
Z
1
U=
2
1
F .u dS −
2
Su
Z
1
∂u
F .
dS −
∂a
2
Z
d
F .u d dS
Su
F d .u dS
SF
et
1
G=
2
Z
SF
d
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Su
∂F d
.u dS
∂a
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Cas d’une charge ponctuelle
Avec R la raideur de la structure, C sa souplesse, F la force et u le
déplacement : F = R u ou u = C F selon que la fissure avance à
déplacement imposé ou à force imposée :
La zone grisée indique l’énergie mise en jeu lors de l’avancée de fissure.
Fracture mechanics
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Cas d’une charge ponctuelle, expression de G
à déplacement imposé, comme F = R u :
Z
1
∂F d
G =−
.u dS
2 S u ∂a
1 F 2 dR
1 dR d
d
G =−
u .u = −
2 da
2 R 2 da
Fracture mechanics
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Cas d’une charge ponctuelle, expression de G
à déplacement imposé, comme F = R u :
Z
1
∂F d
G =−
.u dS
2 S u ∂a
1 F 2 dR
1 dR d
d
G =−
u .u = −
2 da
2 R 2 da
à force imposée, comme u = C F d :
Z
1
∂u
G=
Fd.
dS
2 SF
∂a
1 dC
1 d dC d
G= F .
F
= F2
2
da
2 da
Fracture mechanics
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Quelques valeurs critiques de G
matériau
verre, céramiques
résines fragiles
composites verre-résine
alliages d’aluminium
aciers T > Ttrans
métaux purs
valeur (J/m2 )
10
100-500
7000
20000
100000
105 à 106
Fracture mechanics
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Essai Charpy
Georges Charpy (Professeur X/ENSMP)
Une éprouvette entaillée est placée sur deux appuis. Le pendule est lâché
d’une hauteur déterminée de façon à frapper l’éprouvette avec une vitesse
entre 1 et 4 m/s. La hauteur de remontée du pendule après le choc
permet de déterminer l’énergie nécessaire pour rompre l’éprouvette.
Norme ASTM E23 : Standard test methods for notched bar impact testing of metallic materials
Fracture mechanics
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Essais Charpy sur l’acier du Titanic
Acier du titanic
Acier A36 actuel
Energie absorbée en fonction de la temp.
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Plan
1
2
3
4
5
Fracture mechanics
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Expression analytique de l’état de contrainte
Matériau élastique isotrope contenant une fissure. Soient r la distance à la
pointe de la fissure et θ l’angle par rapport au plan de la fissure
σapp
y
x
2a
pointe
de la fissure
σy
τxy
σx
r
θ
La solution est obtenue par la méthode des fonctions d’Airy pour des
hypothèses de contraintes ou déformations planes dans le cas d’une fissure
en mode d’ouverture simple (ou mode I).
KI
fij (θ)
σij = √
2πr
Fracture mechanics
i, j = x, y
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Remarques
√
L’unité de K est le N.m−3/2 , on utilise couramment le MPa. m
L’énergie de déformation élastique reste finie en pointe de fissure :
Z
Z
1 1
1
√ √ rdrdθ
σ
: ∼ε dV ∝
We =
∼
2 V
r r
V
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Remarques
√
L’unité de K est le N.m−3/2 , on utilise couramment le MPa. m
L’énergie de déformation élastique reste finie en pointe de fissure :
Z
Z
1 1
1
√ √ rdrdθ
σ
: ∼ε dV ∝
We =
∼
2 V
r r
V
Dans le cas le plus courant où le chargement peut être décrit comme
une contrainte appliquée à l’infini σ∞ , KI s’exprime comme :
√
KI = Y σ∞ πa
où a est la longueur de la fissure et Y un facteur (souvent tabulé)
dépendant de la géométrie de la pièce étudiée.
Le déplacement à proximité de la pointe de la fissure est donné par
r
KI
r
ui =
gi (θ)
i = x, y
2µ 2π
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Les trois modes de rupture
Mode d’ouverture
Mode de cisaillement
Mode de cisaillement antiplan
Fracture mechanics
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Solution analytique en mode I
σxx
σyy
θ
3θ
1 − sin sin
2
2
θ
θ
3θ
KI
cos
1 + sin sin
=√
2
2
2
2πr
KI
θ
=√
cos
2
2πr
θ
3θ
KI
θ
σxy = √
cos sin sin
2
2
2
2πr
Fracture mechanics
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Solution analytique en mode I
σxx
σyy
θ
3θ
1 − sin sin
2
2
θ
θ
3θ
KI
cos
1 + sin sin
=√
2
2
2
2πr
KI
θ
=√
cos
2
2πr
θ
3θ
KI
θ
σxy = √
cos sin sin
2
2
2
2πr
r
θ
KI
r
2 θ
ux =
cos
κ − 1 + 2 sin
2µ 2π
2
2
r
KI
r
θ
2 θ
uy =
cos
κ + 1 + 2 cos
2µ 2π
2
2
avec : κ = 3 − 4ν en déformations planes et
3−ν
en contraintes planes.
κ = 1−ν
Fracture mechanics
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Solution analytique en mode II
KII
θ
σxx = − √
sin
2
2πr
2 + cos
θ
3θ
cos
2
2
KII
θ
θ
3θ
σyy = √
sin cos cos
2
2
2
2πr
KII
θ
3θ
θ
1 − sin sin
σxy = √
cos
2
2
2
2πr
r
KII
r
θ
2 θ
ux =
sin
κ + 1 + 2 cos
2µ 2π
2
2
r
KII
r
θ
θ
uy =
cos
κ − 1 − 2 sin2
2µ 2π
2
2
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Solution analytique en mode III
θ
KIII
sin
σxz = − √
2
2πr
θ
KII
σyz = √
cos
2
2πr
r
r
θ
2KIII
uz =
sin
µ
2π
2
Fracture mechanics
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Relation entre K et G
On calcule l’énergie nécessaire pour ouvrir (ou fermer) une fissure de
longueur a d’un incrément infinitésimal da. La densité d’effort sur le
segment considéré passe de σyy (fissure fermée) à 0 (fissure ouverte)
pendant que l’ouverture passe de 0 à uy .
On trouve avec les expressions précedentes en mode I :
G = KI2 /E
en contraintes planes
G = (1 − ν 2 )KI2 /E
en déformations planes
En mode I, lorsque G = Gc , le facteur K est alors égal à KIc la ténacité du
matériau (fracture toughness en anglais).
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Plan
1
2
3
4
5
Fracture mechanics
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La fatigue : un fléau pour les structure en service
90% des défaillances d’origine mécanique sont dues à de la fatigue
Amorçage et propagation insidieuse d’une fissure sous l’effet d’un
chargement mécanique cyclique
cycles de fatigue
courbe de Wöhler
Fracture mechanics
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La loi de Paris-Erdogan (1960)
Les prédictions de durée de vie en fatigue ont pu réellement commencer
lorsque Paul Paris s’apperçu que les relevés de vitesse de propagation de
fissures (da/dN) étaient reliés à l’amplitude du facteur d’intensité des
contraintes (∆K = Kmax − Kmin ). En traçant da/dN = f (∆K ) en échelle
log-log, il obtint des droites pour de nombreux matériaux :
da
log
= m log(∆K ) + log (C )
dN
ou encore sous la forme la plus connue :
da/dN = C ∆K m
√
En utilisant K = Y σ πa et en séparant les variables a et N on peut alors
calculer la durée de vie restante Nf pour la structure :
Z Nf
Z af
da
dN =
m ∆σ m (πa)m/2
CY
0
ai
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Limites de la loi de Paris-Erdogan
da
dN
Rupture finale :
Kmax = Kc
Mecanismes
Discontinus
Mecanismes
Continus
Forte influence :
a) microstructure
b) contrainte moyenne
c) environnement
Faible influence :
a) microstructure
c) environnement
d) épaisseur
mm/cycles
10−6
Mecanismes
Statiques
clivage, rupture
intergranulaire
10−9
droite de Paris
da
dN
= C × ∆K m
Forte influence :
a) microstructure
a) épaisseur
Faible influence :
a) environnement
√
log ∆K (MPa. mm)
log ∆Ks
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Valeurs limites ∆Ks et KIc
Matériau
acier haute résistance (ex : 35NCD16)
acier moyenne résistance (ex : 15MND6). . .
. . . (basse température)
. . . (T > Ttrans )
alliages d’aluminium (ex : 7075)
alliages de titane (ex : TA6V)
composite verre-résine
polyéthylène
polystyrène
résine époxyde
verre
Fracture mechanics
KIc
√
(MPa. m)
60
∆Ks
√
(MPa. m)
1 à 4
40
200
30
80
7
6,5
0,4
0,1
0,01
3
8
1,5 à 4
2 à 8
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