Analyse modale

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Analyse modale

Analyse modale des structures : approches
expérimentales et numériques
1
Partenaires du groupe dB Vib
Siemens PLM Editeur de solution de Gestion du Cycle de vie produit, offre produits et
services en :
CAO, FAO avec des produits tels que NX et Solid-Edge
Simulation intégrée dans l’offre de conception avec des produits tels NX CAE, NX
Nastran, NX TMG, FEMAP.
PLM avec la solution TeamCenter
Digital Manufacturing avec l’offre TECNOMATIX
LMS a Siemens Business Concepteur de matériels et Editeur de solution de Simulation offre
produits et services en :
Matériels et logiciels de test et mesure en Vibration, Acoustique et Fatigue produits SCADAS
et LMS Test.Lab
Logiciels de simulation multi-physique des systèmes – produit LMS Imagine.Lab
Logiciel de simulation 3D multi corps pourvu de solutions en Vibration, Acoustique, Fatigue,
corrélation produit LMS Virtual.Lab
Logiciel de simulation 3D des phénomènes physiques non linéaires en mécanique et
composites produit LMS Samcef
ICR conçoit des logiciels vibro-acoustique pour des clients ayant des besoins spécifiques.
dB Vib GROUPE
Le groupe est composé de trois sociétés
indépendantes et complémentaires
L’expertise dynamique
Prestations de service, expertise, essais, maintenance et formation
Ingénierie au service des industriels
Ingénierie bruit et traitement d’air
Solutions de mesures
Vente et location d’instruments innovants
pour la maintenance et R&D
3
Analyse modale de structures :
approches expérimentales et
numériques
4
dBVib
Montée de Malissol
38200 VIENNE
Tél. : 04-74-16-28-80
Fax : 04-74-16-28-89
1.Les domaines d’application
de l’analyse modale:
Une compréhension détaillée de la dynamique des structures est
essentielle pour la conception, le développement de nouvelles
structures et la résolution des problèmes de bruit et de vibration sur
des structures existantes (machines tournantes, conduites ,etc.….)
Cette compréhension passe par l'étude de l'analyse modale
expérimentale ou théorique, outil efficace qui permet de décrire,
comprendre et modéliser le comportement dynamique des structures.
5
Qui est responsable des niveaux de bruit ou de vibration au-dessus des
limites spécifiées?
Dans tous les cas, trois facteurs sont prédominants:
• La source, où sont générées les forces dynamiques
• Le chemin de propagation qui transmet l'énergie
• Le récepteur et sa limite acceptable de bruit et de vibrations.
La clé du problème réside dans l'un de ces facteurs qui peuvent être
étudiés de façon à trouver la solution optimale.
6
Exemple 1.considérons un pompiste qui monte sur un châssis un groupe
moto-réducteur- pompes.
Il reçoit de la part de ses fournisseurs le moteur et le réducteur, qui sont
générateurs de sources vibratoires et acoustiques à des fréquences
excitatrices différentes de celles générées par la pompe.
Si une de ces fréquences (moteur ou réducteur) entre en résonance
avec la structure du châssis on peut se demander qui du pompiste ou du
fournisseur est responsable?
7
Sous-Titre:
Exemple 2.considérons un essai de fatigue réalisé avec un excitateur
électrodynamique.
L’objet à tester dans une bande passante donnée ,est monté sur la
table de l’excitateur avec une pièce de liaison qui doit être inerte dans
la bande passante considérée.
C’est-à-dire ne pas présenter de fréquences de résonances .
Comment faire?
8



Exemple 3.considérons une éolienne qui rentre en résonance avec
l’excitation du balourd ou de la fréquence de passage des pales que
faire?
Exemple 4.considérons une ligne d’arbre d’une turbine a gaz ou a
vapeur comment s’assurer qu’elle ne présente pas de fréquences
critiques?
Exemple 5.comment réduire le bruit d’un alternateur lors du
démarrage d’un véhicule?
On pourrait multiplier ces exemples à l’infini car toute structure
présente des caractéristiques dynamiques qui lui sont propres.
9
2. analyse du signal et analyse de systèmes
l'analyse de systèmes
l'analyse du signal
donne les propriétés inhérentes à un
système. L'analyse est réalisée en excitant
le système avec des forces mesurables et
en étudiant le rapport réponse /force.
donne la réponse d'un système à une
excitation généralement inconnue,
ainsi que la possibilité d’'interpréter
facilement cette réponse
.
Pour des systèmes linéaires, ce rapport
est propre au système et reste le même
que la structure soit excitée ou au repos.
Détermine les propriétés inhérentes au
système et permet d’obtenir un modèle
dynamique.
Détermine et décrit la réponse réelle
due aux forces opérationnelles qui ne
sont pas mesurables
Exemples
Niveau de bruit et de vibration
Mode de flexion opérationnel
Intensité acoustique
Analyse de la réponse d’une conduite
L’analyse modale opérationnelle.
Exemples
Mesures de mobilités
Analyse modale
Détermination du module d’élasticité d’un
matériau
1
0
3. Les fondamentaux du
comportement dynamique de structure
simple
Système à un degré de liberté (1ddl) ou SDOF
k
m
Considérons une masse indéformable (m) suspendue par un
ressort de rappel de raideur (k) et par un amortisseur de type
visqueux (λ), l'ensemble ne pouvant se mouvoir que dans la
direction X.l’application de la loi fondamentale de la dynamique
nous conduit a l’équation différentielle suivante:
x(t)
mx(t )  x (t )  kx (t )  F (t )
2
F (t )
0
m
x  2hx   x 
F(t)
On note :
m : masse du solide (en kg)
k : raideur du ressort (en N / m)
 : facteur d'amortissement (en kg / s)
F(t) : force appliquée au solide (en N)
x(t) : déplacement du solide (en m).
2h 

m
1
1
 2 
k
m
3 Les fondamentaux du comportement
dynamique de structure simple
Réponse dans le domaine temporel: essai de lacher
Vibrations libres : On éloigne la masse de sa position d'équilibre et on la lâche, sans
vitesse initiale. L’équation du mouvement devient une équation
sans second membre
La solution est du type
x  2hx   02 x  0
x (t )  Ae
r1t
 Be
caractéristique r² + 2hr + 0² = 0
r2t avec

et
les racines de l’ équation
r1 r2

  4 h 2 0 2   ²  4 km
1
m2

avec
1
0
2
m

• = 0 : Pas de vibration: amortissement critique, valeur de l'amortissement au-delà
de laquelle on ne peut avoir de vibration  h        2 km

  c  2 km  2 m 0

On introduit le coefficient d’amortissement
0
1
2
c



h


1
c 2m0 0
3. Les fondamentaux du comportement

 > 0 : Pas de vibration  h 

 0    2 km

 < 0 : vibrations amorties  h      2 km
0
2
2
2
r1, 2   h  j 0  h   0  j0 1     0  j 0
0

x(t )  X 0 e
 0t
sin  0 t   
(r1,2 pôles complexes conjugués)
=3
=1
 = 0.1
x (t )
0   0 1   2
x(t )  e  0t X 01e  j0t  X 02 e  j0t

Mouvement libre
pulsation propre de la structure
conservative associée
pulsation de la structure amortie
(ou pseudo-pulsation)
  1 (r1,2 sont toujours négatifs)
  1   4 j 2  02  h 2 

Pseudo-période T0 = 2 p / 0
temps
X01, X02, X0 et  sont déterminés par les conditions initiales [ x(t=0) et x’(t=0) ]
1
3
•Vibrations libres : notion d’instabilité
Si le coefficient d’amortissement  est négatif (0 < 0), l’évolution du
déplacement x(t) tend vers l’infini (figure ci-dessous) : on définit ainsi
l’instabilité.
Vibrations
Pas d'oscillation
Amorties
Instabilité du mouvement libre

0 = 0(1-²)
0
1
Résonance
Amortissement
critique
x(t)
Instabilité
temps
=0
 = c = 2 m 0
0 = (k/m)
0 = 0
14
Réponse dans le domaine fréquentiel
En reprenant l’équation et en écrivant F(t)
mx  x  kx  F0 e jt
sous la forme F0 ejwt
j (t  )
x
(
t
)

A
e
Solution permanente : on recherche x(t) sous la forme :
x (t ) 
F0
1
2
m 
0 
2
e
jt
 Re( x )  jIm( x )
 2 j  0
À la résonnance l’amplitude du
déplacement est régit par
l’amortissement
2.36
Comportement
élastique
A
F0
m 0
2
0
0,2
0,5
0.79
2
0.00
F/X En phase
En opposition de phase
15
1
2

 2 
2
1 
  4 ² 2
0
 0 ² 
Comportement massique
0,1
1.57


0
F0
a
k
Partie réelle et imaginaire
Nyquist
Re(x)
bode
0,01
0,1
0,3
/ 0
Re( x) 
Im( x) 
Différents modes de représentation
16
1    
 0 
2
2
   2     2
1        2  
0
0
 
 
 2 
2
0
   2     2
1        2  
0
0
 
 

F0
k

F0
k
Amortissement et facteur de surtension


Coefficient d'amortissement critique  

Coefficient de surtension (définition)
Ces formules permettent d’évaluer le
coefficient de surtension Qr et
l’amortissement  par la mesure de la bande
passante à -3 dB. Cela suppose que les modes
soient d’une part découplés et d’autre part
peu amortis.( de l’ordre de 2 à 3%)
Cette formulation peut s’appliquer quelle que
soit la fréquence de résonance. Elle est très
utile pour un système à n degrés de liberté car
applicable pour chacun d'eux.
Qr 

2m 0
X (   0 )  0 m 1


X (  0)

2
f
1
on montre Qr 

f 2
X (dB)
-3 dB
f
f
1
17
f
0
f (Hz)
f
2
3.1 Les fondamentaux du comportement
dynamique de structure à n degrés de
Liberté (schéma modale)
Le système à un seul degré de liberté constitue le modèle de base, de nombreux
phénomènes vibratoires.
Il permet de saisir la notion de résonance
Pour un système non amorti ,la réponse à une excitation à la fréquence de résonance
w0, se traduit par une amplitude “infinie” du déplacement.
Pour un amortissement visqueux, le maximum d’amplitude est obtenu à la pseudopulsation Ώ, toujours inférieure à ω
Pour visualiser la réponse de la structure, plusieurs modes de représentation sont à
notre disposition : Diagrammes de bode, Nyquist, parties réelles et imaginaires
Le système à 1 ddl sert également à la compréhension de l'isolation vibratoire.
18
Déformées modales
q1*K1
Réponse réelle du bâtiment
q2*K2
Modèle analytique
q3*K3
=
Φ
Mouvement du sol
K1,k2,k3 étant des coefficients qui proviennent de la base modale
Espace de configuration
mg1
mg2
Φ
mg3
Matrice modale
Espace modale
3.1 Les fondamentaux du comportemen
q(t)
30
20
10
=
Série1
-10
1
21
41
61
81
101
121
141
161
181
201
221
241
0
-20
Mouvement du sol
-30
10
5
-10
1
24
47
70
93
116
139
162
185
208
231
-5
Série1
15
10
5
0
-5
-10
-15
10
5
-15
0
1
29
57
85
113
141
169
197
225
15
0
q3(t)
q2(t)
1
22
43
64
85
106
127
148
169
190
211
232
q1(t)
-5
-10
20
Espace modale
Fonction de transfert
H(ω)
=
ω
Mouvement du sol
ω
Espace modale
21
Considérons une structure continue, discrétisée en n degrés de liberté
dont les variables de position naturelles sont {x(t)}T = {x1, x2, …, xn, t)
L'équation du mouvement s’écrit
M x  C x  K x  F (t )
Pulsations et modes propres
Considérons la Structure Conservative Associée ( système non amorti), afin
de calculer les fréquences et modes propres du système. M x  K x  0
       
En posant {x(t)} = {φ} ejωt, on arrive à :  N   2 I      0 ( avec [N] = [M]-1[K] )


On élimine la solution obsolète {ϕ} = 0. Le problème revient donc
à chercher les valeurs propres de la matrice dynamique [M]-1[K].
22
Soit
det M  K    I   0
1
avec    
2
En développant , on aboutit à l'équation caractéristique du système :
n  a1n1  a 2 n2  .....  an  0
(avec n = nombre de ddl) Les racines de l'équation sont appelées
valeurs propres et les pulsations propres du système conservatif sont
déduites de la relation :
i  
23
2
i
Pour chaque valeur propre, lui correspond un vecteur propre (ou forme propre)


2
La solution de :     i    i   0


i est la déformée propre de la structure à la pulsation i
 
On regroupe ensuite les vecteurs propres dans une seule matrice appelée matrice moda
Φ   1 ;2 ;;n 
Les vecteurs propres de la base modale sont linéairement indépendants.
Cette indépendance permet une normalisation des vecteurs (dans le but de faire ressortir
l’influence ou la prépondérance d’un paramètre).
24
Orthogonalité des vecteurs propres
On montre que
 r  M  s   0
T
 r  K  s   0
T
Les modes sont orthogonaux
m gr   r  M  r  La masse généralisée
T
on définit :
k gr   r  K  r  La raideur généralisée
T
Il suit
r
2

 r T K  r  k gr


T
 r  M  r  m gr
25
(On retrouve la solution trouvée
pour un système à 1 ddl)
- Norme
Les vecteurs propres i sont définis à un coefficient près. Pour que
l'amplitude des éléments des différents modes soit unique, on norme
généralement les vecteurs propres .
Normalisation par rapport à [M] :
On rend unitaire les masses généralisées :
mi   i  M  i   1
T
Norme Euclidienne :
 x1i 
 i     
x 
 ni 
La norme euclidienne consiste à rendre unitaire le module
du vecteur propre {i}
x12i  x22i    xni2  1
26
Expression du mouvement libre dans la base modale
Les équations du système sont couplées dans l’espace de
configuration, c'est à dire que toutes les coordonnées xi sont
présentes dans toutes les équations.
Le couplage est dû à la matrice [K]. Cette dernière est, dans
notre cas, symétrique (et non diagonale).
Ce type de couplage est appelé couplage statique (ou élastique
ou encore de position).
La résolution du système n'est donc, pas aisée. On surmonte ce
problème en projetant le système dans la base modale; en posant
x  q
27
Expression du mouvement libre dans la base modale
T
Nous avons vu que les produits  r T M  s   0
 r  K  s   0
diagonalisent les deux matrices [M] et [K]
m g1  0
  

 0
m gi

 
 0  0

0   q1  k g1  0
       
 
0   qi    0
k gi


      
 
 m gn  qn   0  0

Soit, sous forme simplifiée
Soit pour le mode i :
0   q1  0
       
   
0   qi   0

      
   
 k gn  q n  0

mg masse généralisée
kg raideur généralisée
0
0
\
\
 M  q   K  q  0
g 

 g 
0
0
\ 
\ 
m gi qi  k gi qi  0
28
avec
m gi   i T M  i 

T
 k gi   i  K  i 
•Conclusion
Les équations sont alors découplées en qi. Elles se résolvent facilement,
puis on somme la réponse de chaque système à 1ddl
La solution en {x} est ensuite obtenue par la matrice de passage
x  q
Le passage dans la base modale se traduit donc par
l'obtention de n équations découplées analogues à celle
obtenue pour un système à 1 seul degré de liberté.
29
•Vibrations forcées M x  K x  F (t ) avec {F(t)} = {P}{f(t)}
Si nous effectuons le passage dans la base modale:
x  q
M q  K q  F (t )
Soit en pré multipliant par  T
 M q  K q   F (t )
T
T
T
0
\
 \ 0
T

  f t 
2
 m  q   k  q   T F (t )
i   i q 
Soit, pour le mode i q
 gi 
 gi 
mi
0
0 \ 
\ 
 i T  est le facteur de participation du mode i
 i T  f (t )
30
est la force généralisée
•Notions d'appropriation spatio-fréquencielle
Appropriation fréquentielle
Puisque nous sommes ramenés à un système à 1
degré de liberté, l'expression de la réponse à une
excitation sinus s'écrit pour le mode i :
La résonance du mode i nécessite donc i  0
Appropriation spatiale
rappelons l'expression de la force généralisée :
L'appropriation spatiale est réalisée lorsque :


fi
x

2
2
 mi (i  0  2i i ) 
f i   i  P f t 
T
 i T P  0
(donc quand le facteur de participation n'est pas nul)
31
Exemple de compréhension d’appropriation spatiale
1
Considérons les 2 premiers modes propres
d'une poutre appuyée - appuyée
Premier mode
1
2
4
3
a
5
Pulsation propre
a
b
1
deuxième mode
a
-a
Pulsation propre 2
32
0 
a 

 
1   1 b 

a 
 

0 

0
 a 
 
   0 
2
2
a 
 
 0 
 
2
3
4
5
Considérons deux excitateurs (rappel {F(t)}=[P]{f(t)}) avec une fréquence
excitatrice en coïncidence fréquentielle avec le mode 1 et le mode 2,
mais de répartition spatiale différente.
p
1
2
p
4
3
5
p
1
2
3
4
-p
33
5
0
 p

 

P  0
1
 p
 

0

 
 0 
 p 




P  0 
2
 p 



 0 

 
Pour le mode n 1, l'appropriation spatiale sera réalisée lorsque les 2 excitateurs
sont en phase et il y aura résonance si leur fréquence de pulsation vaut f
T
1
2
4
3
a
5
a
b
0 
a 
 
T
  P1  1 b 
a 
 
0 
1
0 
 p
 
 0   2 a p1  0
 p
 
 0 
Pour le mode n 2, l'appropriation spatiale sera réalisée lorsque les 2 excitateurs sont
en opposition de phase et il y aura résonance si leur fréquence de pulsation vaut f
T
a
-a
0
 a 
 
T
  P2   2  b 
a 
 
 0 
34
 0 
 p 
 
 0   2 ax  ax   0
 p 
 
 0 
2
Pour le mode n 1, l'appropriation spatiale ne sera pas réalisée lorsque les 2
excitateurs sont en opposition de phase et il n’ y aura pas résonance même si leur
fréquence de pulsation vaut f
T
1
1
2
4
3
5
+p
a
a
b
-p
0 
a 
 
T
  P1  1 b 
a 
 
0 
 0 
 p 
 
 0 0
 p 
 
 0 
Pour le mode n 2, l'appropriation spatiale ne sera pas réalisée lorsque les 2
excitateurs sont en phase et iln’ y aura pas résonance meme si leur fréquence de
pulsation vaut f
T
2
+p
-a
a
+p
0 
 a 
 
T
  P2   2  b 
a 
 
 0 
35
0 
 p
 
0   0
 p
 
 0 
Il n'existe pas, par définition, de système physique non
amorti. En effet, toutes les structures ont un amortissement
interne. Il existe une multitude d'amortissement : visqueux,
structural, de Coulomb, aérodynamique,acoustique… Il est en
général difficile de connaître précisément le type
d'amortissement (qui peut être unique ou résultant d'une
combinaison) présent dans une structure. En général, les
calculs faits sur l'amortissement sont basés sur des
hypothèses simplificatrices, le plus souvent dans le but de
diagonaliser facilement les matrices [K], [M] et [C].EN EFFET ON
SAIT PAS FACILEMENT DIAGONALISER TROIS MATRICES
36
Liberté amorti (schéma modale)
Trois types d'amortissements sont généralement envisagés
1 - L'amortissement proportionnel :soit a la masse soit a la raideur
2 - L'amortissement structural :
C   j K 
3 - L'amortissement visqueux quelconque :

C  
quelconque
Nous allons nous préoccupé de la solution pour un amortissement
visqueux quelconque c’est dire pour une matrice d’amortissement non
diagonale
37
Lorsque la matrice d'amortissement n'est pas proportionnelle ni à la
matrice de masse, ni à celle de raideur et que les termes extradiagonaux ne sont pas négligeables, on ne peut pas découpler
directement les équations par la projection dans la base modale
M x  C x  K x  F (t )
Ajoutons l'identité :
M x  M x
Ceci nous permet d'obtenir le système d'équations d'ordre 2n suivant :
 [C ] [ M ] x [ K ] [0]  x F (t )
[ M ] [0]  x   [0] [ M ] x   [0] 

  
  

38
Ce système est de la forme
U y  V y  R(t )

 x 
 avec y    



x




(Il est à noter que [U] et [V] sont symétriques)
La solution est de la forme
y  e
t
y   e   y
t


On arrive ainsi au système :   U    V    et  R


1
Qui s'écrit encore, en multipliant par  U 


1
 U   V    I      R


39


1






U

V


I

    0


En éliminant la solution obsolète {} = 0, est donnée par det U 1  V    I   0
En vibration libres ( [R] = [0])
On obtient ainsi 2n valeurs propres Par analogie à la solution d’un système à 1 ddl [
v  av v  j v 1  a
2
v
En posant
   a v v
v    j d
 d   v 1  av2
v    j d
Les solutions v et v sont ensuite réinjectées dans l’équation On
obtient alors 2n vecteurs propres
complexes conjugués 2 à 2 :
  v  
 v   





 v v 
Les vecteurs propres (complexes conjugués deux à deux)
respectivement représentent la déformée propre de la
structure
40
3.2 Analyse Modale Expérimentale
Principe
L'analyse modale a pour principe de déduire les matrices vibratoires des
paramètres "fréquences de résonance" et "déformées de la structure "
réelle ou du prototype en maquette.
Ce principe repose sur une technique qui est celle de l'acquisition des
fonctions de transfert (interspectres) entre les efforts générés par une
excitation extérieure pilotée et la réponse de la structure sur des points
de discrétisation
L'extraction modale, qui consiste à établir une base modale incomplète
(fréquences propres, déformées propres) s'effectue en utilisant des
méthodes de lissage exploitant les fonctions de transfert acquises sur la
base d'un modèle mathématique approprié
41
•Matrice des fonctions de transfert
M X K X    f t 
Transformée de Laplace (en supposant X0 = X0’ = 0) :
 p 2 M X ( p)  K X ( p)  F ( p)
X ( p)  B( p)1 F ( p)  H ( p)F ( p)
On peut alors écrire [H] sous la forme :
B( p)X ( p)  F ( p)
[H(p Matrice de transfert
*T

B
H  p   B  
det B 
1
[ avec [B] *T = matrice adjointe de [B] (transposée de cofacteurs) ]
42
•Relation entre fonctions de transfert et paramètres modaux
•Les éléments de H(p) sont des fractions rationnelles.
•det [B] représente l'équation caractéristique du système, ses
racines sont les valeurs propres.
•Les éléments de [H] peuvent être décomposées en éléments simples.
 Aj
Aj 


H mn    

( p  p j ) 
j 1  ( p  p j )
n
A  
j
B( p  p ) *
T
j
 p j  j d j 


 A A résidus 
 j j

matrice transposée des cofacteurs de [B] :
 ( p j  p1 ) ( p j  p1 )  ( p j  p n ) ( p j  p n )
Sauf (pj - pj)
43
):
•Relation entre fonctions de transfert et paramètres modaux
On montre que
avec : a k 
Pour
 m  1, ... n

 mk
  
 a   T a  
H  p     k k k  k k k
( p  pk )
( p  pk )
k 1

n




C1 1  p k 
 ( p  pk ) ( pk  pm ) ( pk  pm )
Chaque colonne ou ligne de
H  p
est constituée de tous les paramètres modaux du système.
44
T
F2
F1
k2
k
schéma modale
k3
fonctions de transfert
1
m2
m1
c2
c1
c3
x2
x1
m1 = 1 kg
m2 = 2 kg k1 = 1 N/m k2 = 2 N/m k3 = 6 N/m
m1 0   x1  c1  c2
 0 m  x     c
2
2  2 


1 0  x1   3  2  x1  0
0 2 x    2 8   x   0

 2  
 2   
1 0 1  3  2
1 0   x1  0





     
0 2  2 8 
0 1   x2  0
3    2   x1  0
  1 4     x   0

 2  
.
 c2   x1  k1  k2
  

c2  c3   x2    k2
 k2   x1   F1 
  

k2  k3   x2   F2 
B( p)X ( p)  F ( p)
X ( p)  B( p)1 F ( p)  H ( p)F ( p)
{F} = {0} ) C=0
(E1),
45
 p 2 m1  k1  k 2 

 k2
B( p)  

2



k
p
m

k

k
2
2
2
3 

F2
F1
k2
k
schéma modale
k3
fonctions de transfert
1
m2
m1
c2
c1
c3
x2
x1
m1 = 1 kg
m2 = 2 kg k1 = 1 N/m k2 = 2 N/m k3 = 6 N/m
Fréquences propres
{F} = {0} ) C=0
 p2  3
2 
B( p)  

2 p 2  8
 2
Pour une solution non triviale, le déterminant de
cette équation doit être nul, ce qui revient à :
3   4      1 2  0
soit :   7  10  0
2
1, 2 
Fréquences propres
Equation caractéristique du système :
(équation caractéristique)
7 9 7 3
  D' où : 1  2
2
2 2
1  1  2 rad.s 1
et
.
et
2  5






det B  p 2  3 2 p 2  8  4  2 p 4  14 p 2  20  2 p 2  2 p 2  5
 2  2  5 rad.s 1
46




det B  2 p  i 2 p  i 2 p  i 5 p  i 5

En substituant 1 dans (E1), la déformée
modale pour 1 est donnée par :
On obtient les pôles
complexes conjugués
deux à deux
3  2  2   x1  0
  1 4  2  x   0

 2  
x1  2 x2  0
Soit : x1  2 x2
 x1 
On note : 1  

 x1 2
En substituant 2 dans (E1), la déformée
modale pour 2 est donnée par :
3  5  2   x1  0
  1 4  5  x   0

 2  
 2 x1  2 x2  0
Soit : x1   x2
 x 
On note :  2    1 
 x1 







p1  i 2
p1  i 2
p2  i 5
p 2  i 5
Calcul de la matrice transposée des cofacteurs
de [B] :
2 p 2  8
2 
*T
B( p)  

2
2
p

3


A1  
B( p  p1 )*T
 ( p1  p1 ) ( p1  p2 ) ( p1  p2 )

 4 2
 4 2
2 1 
2 1 





2 (i 2  (i 2 )) (i 2  i 5 ) (i 2  i 5 ) 2 (2 i 2 ) (2  5)
47
On peut alors écrire l
a matrice modale :
x1 
 x1
  

 x1 / 2  x1 
modes propres
1
1  Pour 1  2 rad .s 1 et x1  1, on obtient 1    
1 / 2
x2(t)
x1(t)
-1/2
1
m1
+1
-1/2
1/2 +1/2
4
2
A1   
(12 i
A2  
2
1
 4 2
2 1
A1 
(12 i 2 )
et
 
B( p  p2 )*T

2)
 ( p2  p1 ) ( p2  p1 ) ( p2  p2 )
 2 2 
 2 2 
 2  2
 2  2



 
Les masses se 2 (i 5  i 2 ) (i 5  i 2 ) (i 5  (i 5 )) 2 (5  2) (2 i 5 )
déplacent en
phase.
m2
48
 2 2 
 2  2
A2  
(12 i 5 )
et
 2 2 
 2  2
A2 
(12 i 5 )
 
1
2  Pour 2  5 rad .s 1 et x1  1, on obtient  2    
 1
H ( p)  A1 
( p  p1 )

A 
1
( p  p1 )

A2 
( p  p2 )

A 
2
( p  p2 )
x2(t)
x1(t)
H ( p) 
+1
-1
1
m1
-1
-1
+1
Les masses
sont
déphasés.
m2
Nous pouvons remarquer que le déphasage
des déplacements des masses est toujours
en kpi, c'est à dire soit 0°, ou 180°. Les
maxima (et/ou minima) seront donc, pour
un temps donné, toujours en coïncidence.
49
4
2
(12 i
2
1
2)
( p  i 2)

 4 2
2 1
(12 i 2 )
( p  i 2)

 2 2 
 2  2
(12 i 5 )
( p  i 5)

 2 2 
 2  2
(12 i 5 )
( p  i 5)
1 1
1 1


1
1
/
2
 
 1 1 / 2
1/ 2
3 i 2 1 / 2
H ( p)  3 i 2  

( p  i 2)
( p  i 2)
1 1
1 1


1

1
 
 1  1
6 i 5  1
6 i 5  1


( p  i 5)
( p  i 5)
- Vibrations forcées (application de {F}) et
système non amorti
M x  K x  F (t )
1  4 2 1   2 2 
2 1
2  2
H ( p)  6 2   6  2
( p  2)
( p  5)
Projection dans la base modale
1 0  x1   3  2  x1   F1 
0 2 x    2 8   x   F 

 2  
 2   2 
  
1 1

1 / 2  1
x  q
1
1

Soit sous forme réelle :
Qui s'écrit encore, en fonction des
vecteurs propres :
1 2 1  1  1  1
3 1 1 / 2 3  1 1 


1 / 2 1 0  1 1   q1  1 1 / 2  3  2  1 1   q1  1 1 / 2  F1  H ( p ) 
2
2
( p  2)
( p  5)
 
 
 
 1  0 2 1 / 2  1 q2  1  1   2 8  1 / 2  1 q2  1  1  F2 
2 1 
1 1 


1
1
/
2
 
  1  1
3  1
3 / 2 0  q1  3 0   q1  1 1 / 2  F1   F1  F2 / 2 3 1 / 2

 0 3 q   0 15 q   1  1   F    F  F 
( p 2  2)
( p 2  5)

 2  
 2  
 2   1
2 
50
5. Analyse Modale Expérimentale
On obtient alors les équations découplées
(que l'on résout séparément)
On retrouve :
mg1
Kg1
Fg1
3 q1  6 q1  2 F1  F2

3 q2  15 q 2  F1  F2
mg2
Kg2
1) Les modes propres (pôles) 2 et 5
2) Les formes propres (matrices résidues) :
 1  et  1 
1 / 2
  1
 
 
Fg2
La solution en xi est ensuite donnée par
x  q
q  q2 
1   q1  
 x1   1
 1


q
 




1
 q

q
x
1
/
2

1
2
 2 
 2 
2

51
3) L'expression
   
 a   T a  
H  p     k k k  k k k
( p  pk )
( p  pk )
k 1

n
T


3 Les fondamentaux du comportement
synthèse
Structure sans amortissement (structure conservative associée ) :
Les pôles sont imaginaires pour
p  j k et les vecteurs propres sont réels.
Structure à amortissement proportionnel :
Les pôles sont de la forme
p   k  j k
et les vecteurs propres sont réels.
Structure à amortissement visqueux quelconque :
Les pôles sont de la forme p   k  j k et les vecteurs propres sont complexes.
52
4. aspect pratique de l’analyse modale
expérimentale
Notion de transfert et de signature vibratoire Application : Machine tournante :
La réponse vibratoire d'un mécanisme en un point d'écoute Aj est due aux forces
excitatrices qu'il reçoit et aux fonctions de transfert hij entre les points d'excitation et le
point d'écoute.
3
X j   h jk Fk  h j1 F1  h j 2 F2  h j 3 F3
k 1
Les fonctions de transfert contiennent toutes les
caractéristiques dynamiques du mécanisme
(masse, raideur, amortissement, fréquences
propres). Ces fonctions sont invariantes dans le
temps (mais sont différentes d'une machine à
l'autre).En fonctionnement, des forces internes
sont appliquées ; il en résulte une réponse
vibratoire dont le spectre fréquentiel est appelé
signature vibratoire.
53
F1
F2
Aj
hj2
hj3
F3
hj1
expérimentale
Le modèle boite noire ou fonction de transfert (FRF)
β(t)
α(t)
H(ω)
bruit
∑
∑
a(t):A(f)
B( f )
H( f ) 
A( f )
bruit
F(ω)
b(t):B(f)
 B(f)  H(f).A(f)
on exprime ainsi la sortie du système comme le produit de
l’entrée par la fonction de transfert.
54
expérimentale
Si on multiplie la sortie par le spectre
conjugué de l’entrée, il vient :
A( f ).B( f )  H ( f ). A( f ). A( f )
Si on multiplie la sortie par son spectre
conjugué :
B( f ).B( f )  H ( f ). A( f ).B( f )
G AB ( f )  H ( f ).G AA ( f )
GBB ( f )  H ( f ).GBA ( f )
G AB ( f )
H(f) 
 H1 ( f )
G AA ( f )
G BB ( f )
H(f) 
 H2 ( f )
GBA ( f )
Avec
G AB ( f ) L »interspectre entre les voies A et A etGBB ( f ) L’autospectre de la voie A
Si les mesures à l’amont et à l’aval du système pouvaient ne considérer
qu’exclusivement l’énergie qui traverse le système, les deux égalités obtenues seraient
équivalentes. Cependant, en pratique, la connaissance que l’on obtient du signal
d’entrée est entachée de bruit (dû à la chaîne de mesure,…) qui n’entre pas dans un
système ; de même, la sortie reçoit l’énergie qui a traversée le système, mais
probablement aussi de l’énergie parasite venant d’ailleurs :
55
expérimentale
Ceci justifie que l’équivalence entre h1 et h2 ne soit en fait pas respectée,
on est alors conduit à définir la fonction de cohérence par le rapport :
 2(f)
H1(f) GAB.GBA

H 2(f) GAA.GBB
La barre supérieure pointillée indique le moyennage. Cette fonction n’a
aucun sens sur une mesure unitaire ; elle doit accompagner la mesure
d’une fonction de transfert suffisamment moyennée, à laquelle elle apporte
un crédit dans les bandes de fréquences où elle est proche de l’unité.
Dans cette fonction on trouve des fonctions caractérisant l’entrée (GAA)
et la sortie (GBB) et les relations entrée-sortie (GAB et GBA) ;
elle caractérise le système dans sa totalité.
56
expérimentale
Si on remplace A(f) par le spectre de la force d’entrée il vient
n
H  j  
 X  jf F  jf 
k
k 1
n
 F  jf Fk  jf 

k 1
 jf 
Gxk  jf 
avec : G yk


 h1 
 G  jf 
k 1

yk
 G  jf 
k 1
xk
interspectre (amplitude et phase) des deux signaux
autospectre du signal d'entrée.
H(f) est le rapport complexe des spectres sortie sur entrée. elle varie en
fonction de la fréquence. Ce modèle effectue la liaison entre le
analytique SDOF et les mesures pratiques
57
expérimentale
La fonction de cohérence exprime à chaque fréquence la quantité de
relation linéaire entre l’entrée et la sortie;
²=1 => B(f) vient exclusivement de A(f) qui traverse le système
- ²=0 => A(f) ne traverse pas le système ; B(f) vient d’ailleurs
-0<²<1 => il y a cohérence partielle
Avoir une cohérence faible peut être due à :
•Une faible linéarité du système
•La présence de bruit
•La présence de retard
•La présence de rebonds lors d’une excitation impulsionelle
•Une mauvaise fenêtre de pondération fréquentielle
•Une résolution fréquentielle (ou longueur de bloc temporelle)
insuffisante.
58
expérimentale
Présentation de la méthode
Un essai d'analyse modale d'une structure peut être décomposé en trois phases
.
a) La définition de l'environnement expérimental qui nécessitera de choisir :
- Le maillage de la structure, c'est-à-dire les points d'excitation et de réponse,
- Le type d'excitation,
- Le découplage de la structure (conditions limites).
b) L'identification des fréquences propres qui consiste à
acquérir les fonctions de transfert (réponse/excitation)en tous les points du maillage puis
à les stocker et à les archiver.
c) L'extraction des paramètres modaux qui permet d'obtenir fréquence propre,
amortissement propre et déformée propre de chaque mode appartenant à la fenêtre
fréquentielle étudiée, en vue d'une validation par synthèse modale (superposition des
fonctions de transfert mesurée et calculée).
59
expérimentale
Environnement expérimental
Maillage de la structure
Il est constitué de l'ensemble des points d'excitation et réponse
.
•Choix des points d'excitation
La précision des paramètres modaux dépend de la qualité des fonctions de
transfert sur lesquelles se fera l'excitation modale. Il est donc nécessaire de
choisir une excitation adéquate de la structure.
Dans le cas de structure de faibles dimensions une excitation ponctuelle sera
suffisante, dans le cas de structure de grandes dimensions, l'énergie
vibratoire est dissipée rapidement et plusieurs excitations convenablement
réparties seront alors nécessaires.
60
expérimentale
Le choix des points d'excitation sera gouverné par deux critères.
•Exciter le plus de modes possibles dans la bande de fréquence d'intérêt en
évitant les nœuds de vibration.
Une première approche intuitive se basant sur la nature des modes recherchés (flexion,
torsion), ainsi que des essais préliminaires réalisés en déplaçant l'excitateur, permettront
de retenir l'emplacement adéquat et de recenser les fréquences de résonance.
•Choix des zones rigides et massives
Elles permettent :
•une meilleure répartition de l'énergie d'excitation dans la structure,
•de ne pas rendre prépondérant des modes locaux,
•de réduire l'incidence des effets secondaires dus à l'excitation (apport de masse,
raideur, amortissement),
•une meilleure excitation des hautes fréquences en supportant mieux un effort ponctuel
important (sans déformation plastique pouvant entraîner des non-linéarité).
61
expérimentale
Choix des points de réponse
Il dépend du contexte de l'essai d'analyse modale ce choix devra permettre de :
•définir clairement la géométrie de la structure,
•représenter les formes propres des modes étudiés (position des nœuds et ventres)
•coïncider avec des nœuds du maillage E.F.,
•comprendre des points utiles aux simulations ultérieures
• réponse de la structure à un cas de charge,
•modification des structures,
•assemblage des structures.
62
expérimentale
-Techniques d’excitation
Elles sont de 4 types
:
•impulsionnelle
•aléatoire
•sinus balayant
•pseudo aléatoire
63
expérimentale
•L'excitation impulsionnelle
Elle est fréquemment mise en œuvre au moyen d'un marteau
instrumenté d'un capteur de force. L'étendue fréquentielle de l'excitation
dépend :
- de la raideur de l'embout du marteau,
- de la masse du marteau.
On peut également utiliser un balancier ou un pot vibrant asservi
EXCITATION IMPULSIONNELLE :
MASSE
CAPTEUR DE FORCE
EMBOUT
64
STRUCTURE
expérimentale
•Avantage de cette
technique
•Inconvénients
•Domaine d'utilisation
•Reproductibilité de l'excitation.
•Toute structure en première
approche.
•Bonne répartition de
l'énergie dans la bande de
fréquence de l'excitation
(bruit blanc).
•Niveau
de
contrôlable.
•Rapidité de mise en œuvre
particulièrement adaptée à la
recherche des points
d'application.
niveaux importants.
•Apport de raideur et
d'amortissement
négligeables.
•Apport de masse
négligeable lorsque la
structure est peu amortie.
•Peu coûteuse.
force
non
•Structure faiblement amortie
pour avoir suffisamment
•Risque de plasticité de la zone d'informations sur la fenêtre
excitée lors de la recherche de
d'acquisition   0,01
•Bande
de
fréquence
dépendante de la raideur de la
zone excitée.
•Niveau faible pour chaque raie
spectrale.
•Imprécision de position et de
direction.
65
•Structure linéaire,
Plusieurs points d'excitation.
f max i  2000 Hz
expérimentale
EXCITATION IMPULSIONNELLE
Transformée de Laplace
Signal
force
fréquence
temps
fmax
Réponse
de la
structure
temps
66
fréquence
expérimentale
•Excitation aléatoire
Elle est mise en œuvre au moyen d'excitateur soit de type électromax
hydraulique f n  500 Ηz soit électrodynamique  f nmax  5 Ηz 
relié à la structure par l'intermédiaire d'un capteur de force.


PROCEDES DE L'EXCITATION
ALEATOIRE
POT VIBRANT
CAPTEUR DE FORCE
STRUCTURE
DECOUPLEUR
67
Le niveau d'énergie peutêtre modulé par bandes
de fréquence, ce qui
permet d'améliorer le
rapport signal/bruit
particulièrement aux antirésonances.
expérimentale
•Avantages
technique
de
cette
•Niveau d'énergie facilement
ajustable si l'on dispose du
fenêtrage.
•Reproductibilité
conditions d'essais.
des
•Rapidité de traitement par
recouvrement.
•Elimination
moyennage
de
bruit
par
•Inconvénients
•Domaines d'utilisation
•Mise en œuvre longue.
Peu adapté aux structures non
linéaires.
•Technique
fréquemment
utilisée en projet industriel.
•Toutes tailles de structure.
Rapport signal/bruit médiocre
si l'on ne possède pas le
fenêtrage.
•Apport relatif de masse de
raideur et d'amortissement.
•Risque de signal aléatoire
imparfait (régime entretenu).
•Technique coûteuse.
68
•Tout niveau d'amortissement.
•Structures linéaires.
expérimentale
EXCITATION ALEATOIRE
Signal
force
temps
fréquence
Réponse de
la structure
temps
69
fréquence
expérimentale
•L'excitation en balayage sinus
•Cette technique est également mise en œuvre au moyen
d'excitateurs électro-dynamiques ou électro-hydrauliques.
On rencontre également l'utilisation de masse excentrée en
rotation.
Le temps de moyennage doit être un multiple du temps
d'acquisition.
70
expérimentale
•Avantage
technique
de
cette
•Niveau d'excitation
parfaitement contrôlé.
•Energie concentrée sur
chaque ligne spectrale.
•Adaptée aux structures
non linéaires et aux
modes couplés.
•Inconvénients
•Domaines d'utilisation
•Durée
Structures non linéaires,
toutes dimensions, tous
amortissements.
des tests plus
importante
•Niveaux de réponse
dépendant de la vitesse de
balayage.
•Mise en œuvre longue.
•Coûteuse, nécessite un
générateur sinus à balayage.
71
expérimentale
EXCITATION EN BALAYAGE SINUS
Signal
force
temps
fréquence
temps
fréquence
Réponse
de la
structure
72
expérimentale
- Identification
modale - Acquisition des fonctions de
transfert
Les structures présentent une infinité de modes propres.
On retiendra en pratique un nombre fini de points en direction et localisation.
Ainsi, n points pourront définir n modes.
En chaque point une force peut être appliquée et un déplacement mesuré,
2
ceci permet de définir la matrice de transfert. Cette matrice contient n
éléments, mais nous avons vu que la connaissance d'une colonne ou rangée
contient toutes les informations modales.
 X 1  j   H 11  j  H 1n ( j )   F1  j 
   
  


 

 














 X n  j   H n1  j  H nn  j   Fn  j 
73
expérimentale
-Validation et exploitation préliminaires
Un essai d'analyse modale nécessite avant de débuter, de vérifier réciprocité
et linéarité du système étudié.
Le test de réciprocité s'effectue en inversant excitation et réponse.
Le test de linéarité s'effectue en faisant varier l'intensité de l'excitation pour
un couple (excitation/réponse) donné.
Une exploitation immédiate de l'ensemble des acquisitions peut également
être effectuée. Il s'agit de visualiser la déformée réelle prise par la structure
en des fréquences significatives (maxima d'amplitude) des fonctions de
transfert.
De plus pour des modes découplés la visualisation d'une déformée réelle
peut donner une bonne approximation de la déformée modale.
74
expérimentale
-Extraction des paramètres modaux
Le choix d'une technique d'extraction modale dépend des orientations
prises dans les phases précédentes, de l'essai.
Cependant, nous pouvons considérer qu'il est gouverné par trois critères
principaux :
•Le nombre de fréquences propres dans la fenêtre d'analyse, et leur
couplage,
•La valeur des amortissements,
•Le type d'excitation et la résolution en fréquence.
75
expérimentale
-Extraction des paramètres modaux
Diverses méthodes peuvent être envisagées pour calculer les paramètres
modaux, que ce soit dans les domaines des temps (réponse impulsionnelle)
ou dans celui des fréquences (réponse en fréquence).
Chacune d'elles utilise une formulation analytique appropriée.
Nous allons ci-après, présenter succinctement deux techniques de calcul
couramment employées.
L'une fait appel à un certain nombre d'hypothèses simplificatrices, et repose
sur la représentation de la fonction de transfert dans le plan de Nyquist.
Elle effectue le calcul mode par mode.
L'autre utilise les expressions complètes de la fonction de transfert et la
réponse impulsionnelle, et effectue les calculs sur tous les modes à la fois.
76
expérimentale
=
-Expression finale de la fonction de transfert
Reprenons l'expression d'un des termes de la matrice des fonctions de
transfert mesuré en régime harmonique, obtenue par une excitation au
point j et une réponse au point i.
  
ak  ik   jk  ak  ik  jk
Xi
H ij  j  


F j k 1 ( j  pk )
( j  p k )
T
Posons : a k  ik jk  U ijk  jVijk
n
H ij  j   
k 1
U ijk  jVijk
pk    j d
   j    d 

Il vient :
U ijk  jVijk
   j    d 
77
T
Rem : 4 paramètres définissent
chaque mode : Uijk, Vijk, , d et
4n paramètres définissent
complètement la fonction de
transfert.
expérimentale
-Expression finale de la fonction de transfert
Dans la plupart des cas, seule une gamme de fréquence nous intéresse.
Aussi, afin de prendre en considération les modes figurant hors de la gamme
d'analyse, il est nécessaire de prendre en compte, dans la formulation de la
fonction de transfert, deux termes complémentaires :
•un terme d'inertie (masse pour corriger les modes basses fréquences omis) ;
.
•un terme de flexibilité pour corriger les modes hautes fréquences omis Le
modèle final utilisé est donc :
H ij  j   
n
1
M ij 
2

k 1
U ijk  jVijk
   j    d 
78

U ijk  jVijk
   j    d 
 S ij
expérimentale
Amplitude
Le comportement massique du mode
inférieur 1/Mij² n'est pas pris en
compte
Le comportement raideur du
mode supérieur Sij n'est pas pris en
compte
H(j)
fa
79
fb
expérimentale
-Expression de la réponse impulsionnelle
La fonction de transfert est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle, on
peut donc, par transformation inverse, obtenir celle-ci :


hij t     U ijk  jVijk exp  k  j k  t  U ijk  jVijk exp  k  j k  t 

k 1 
n
Comme dans le cas de la fonction de transfert, on peut décomposer la réponse
impulsionnelle en une somme de 3 termes représentant la contribution des modes
compris entre : 0 et wA puis wA et wB, puis wB et w.
n

Sk t
S At
S Bt 
hij t   2 Re BijA e   Bijk e  BijB e 
K 1


80
expérimentale
–
Méthode du cercle d’admittance
- Principe
Cette méthode est basée sur la représentation de la fonction de
transfert dans le plan complexe et sur deux hypothèses :
•modes peu couplés
•amortissement modal faible.
Si l'on considère la formulation (9), en ne s'intéressant qu'à la partie
de la fonction de transfert où un mode est prépondérant, on montre
que le respect des hypothèses précédentes permet de simplifier cette
expression qui se réduit à l'équation d'un cercle dans le plan
complexe.
Le rayon du cercle, les coordonnées de son centre ainsi que son
orientation sont fonction des paramètres modaux et des termes
complémentaires de la fonction de transfert
81
expérimentale
H ijk  j  
U ijk  jVijk
  k  j    k 
 Re  jIm
Fonctions
de transfert
expérimental
e
Valeurs
inférieure
s
de 
-Calculs des paramètres modaux
La représentation de la fonction de
transfert totale dans le plan complexe
est une succession de n arcs de
cercle correspondant aux n modes de
la gamme de fréquences étudiée.
Imaginaire
s
R

Im 
Vijk
2 k
2 k

Après avoir isolé un mode en
sélectionnant
un
intervalle
de
fréquence adéquat (fmin ; fmax), on
superpose aux points retenus le
cercle analytique approchant le mieux
ces points, dont on aura calculé
l'équation par les moindres carrés.
L'espacement entre les points de la
courbe expérimentale et l'équation
théorique fourniront la valeur des
inconnues
modales
au
mode
considéré, pour la mesure choisie.
Vijk


Vijk
2 k
O
Im
0
Re
82
Valeurs
supérieur
es
de 
U ijk
Re 
2 k
Réel
s
2
U ijk
 Vijk2
2 k
expérimentale
-Avantages :
. Méthode interactive
à caractère
pédagogique
. Introduction de
l'opérateur sur la
sélection de la
fonction de transfert
-- Inconvénients:
. Identification
mode par mode (et point par point)
.Problèmes de sous-définition de la fonction de
transfert discréditée
Influence de l'amortissement
83
expérimentale
-Méthode des moindres carrés exponentielle complexe
Cette méthode utilise la transformée de Fourier inverse de la fonction de
transfert, ou réponse impulsionnelle échantillonnée.
L'extraction des fréquences propres et amortissement modaux se fait par
une technique de lissage de la réponse impulsionnelle (Méthode de
PRONY).
Le calcul des coefficients modaux s'effectue en utilisant une méthode des
moindres carrés basée sur l'expression
n


S At
hij t   2 Re BijA e   Bijk e S k t  BijB e S Bt 
K 1


84
expérimentale
Principe
Les étapes sont les suivantes :
- Calcul de la réponse impulsionnelle par transformation inverse de la fonction de
transfert.
- Calcul de l'autocorrélation de la réponse impulsionnelle.
- Constitution et résolution d'un système linéaire donnant les coefficients d'un polynôme
 j k  k  t
e
dont les racines sont
, l'opérateur fixant le degré du polynôme.
- Calcul des racines du polynôme puis des fréquences propres et des amortissements
modaux.
- Suivant le degré choisi (n généralement > n modes suspectés + 2) certains résultats,
non physiques, sont à éliminer par l'opérateur
.
- Constitution d'un système linéaire (2n + 2) à partir de l'expression


hij t     U ijk  jVijk exp  k  j k  t  U ijk  jVijk exp  k  j k  t 

k 1 
n
permettant de calculer :
1
; S ij ; U ijk et Vijk
M ij
85
expérimentale
•Avantages
•Traite plusieurs modes à la fois,
•Rapidité de calcul,
•Bonne précision sur un nombre réduit de modes,
•Validation du modèle modal obtenu par comparaison de la fonction analytique et de
H().
•Inconvénients
•Traite une seule fonction,
•L'imprécision des résultats augmente avec le nombre de modes,
•Nécessite de procéder de manière interactive sur des portions de fonction de transfert.
Rem : une amélioration de la méthode consiste à consulter toutes les fonctions de
transfert et à faire varier le degré du polynôme d'interpolation.
On peut ainsi obtenir :
•l'évolution des pôles en fonction du degré d'interpolation.
•la stabilité du pôle en fonction des points de mesure.
86
expérimentale
Méthode multifonctions:
Cette méthode consiste à appliquer la méthode précédente à toutes les
fonctions de transfert et d'en extraire les tendances.
Pour cela, on crée une matrice de corrélation qui cumule les informations de
chaque fonction par produit de corrélation.
La synthèse des résultats est ensuite visualisée et montre l'évolution des
pôles en fonction du nombre de modes
Visualisation des déformées modales :
Le calcul des déplacements modaux permet de visualiser le déplacement de
chaque point de la structure et successivement pour chaque fréquence
propre extraite.
L'animation sur écran permet d'identifier le mode de déformée.
87
expérimentale
- Conclusion
L'essai d'analyse modale est un outil indispensable pour caractériser le comportement
dynamique d'une structure car il présente l'avantage de se baser sur des acquisitions
réelles qui intègrent entièrement le contexte de l'installation et en particulier certaines
particularités que l'on peut difficilement appréhender dans d'autres méthodes
analytiques, telles que conditions limites ou amortissements internes.
Cependant, cette technique reste "une affaire de spécialiste" car l'opérateur à tous les
stades de l'investigation est confronté à un certain nombre de choix qui sont
déterminants dans la qualité des résultats obtenus.
A titre indicatif, dans le cas d'une machine tournante la caractérisation des premiers
modes propres d'un stator et de ses pattes de fixation, ou d'un rotor sur ses paliers
nécessitera le maillage d'une cinquantaine de points, soit l'acquisition et le traitement
de 150 fonctions de transfert.
88
89
Différentes étapes pour obtenir les paramètres
modaux d’une structure
Acquisition des FRF
Diagramme de stabilibisation
Validation
90
Acquisition des FRF
Validation
91
Ensemble de FRF mesurées
92
Acquisition des FRF
Validation
93
Diagramme de stabilisation
94
Estimation paramètres modaux
Supposition : 1 mode
f1 = 50 Hz
Amplitude
d1 = 20 %
25
50
95
75
Frequency
Supposition : 2 modes
f2 = 75 Hz
d1 = 10 %
d2 = 10 %
Amplitude
f1 = 25 Hz
25
50
96
75
Frequency
Supposition : 3 modes
f2 = 50 Hz
f3 = 75 Hz
d1 = 5 %
d2 = 5 %
d3 = 5 %
Amplitude
f1 = 25 Hz
25
50
97
75
Frequency
 Comparaison des paramètres modaux avec ceux de l’ordre précédent
 Incrémentation du rang du modèle jusqu’à stabilisation des modes
Stability
n
Model Order
: new pole
: frequency
: damping
: all
Amplitude
o
f
d
s
0
Frequency
98
Diagramme de stabilisation, sélection des modes
99
Diagramme de stabilisation => Quel modes
sélectionner ?
Réponse dans quelques minutes …
10
0
Acquisition des FRF
Validation
10
1
Un exemple de validation : synthèse des FRF
Permet de :
102
-
comparer les FRF
mesurées et celles
provenant du modèle
modal
-
et de quantifier le
erreurs
Exemples d’application
103
Premier exemple : Porsche 911 Targa Carrera 4
4 points de références
154 réponses
104
Porsche 911 Targa Carrera 4
… Diagramme de stabilisation
LSCE
154 réponses
105
PolyMAX
154 réponses
106
-180.00
g/N
FRF moto:9:+Z/karo:25:+Z
30.00 10.0e-6 3.50
Hz
Linear
30.00
Linear
30.00 180.00 3.50
Linear
30.00
Hz
3.50
-180.00
Hz
30.00
3.50
Hz
30.00
g/N
Hz
Linear
FRF moto:9:+Z/moto:15:+Z
30.00 10.0e-6 3.50
Hz
Linear
30.00
Linear
30.00 180.00 3.50
Linear
30.00
°
Phase
g/N
10.0e-6 3.50
180.00 3.50
°
Phase
Hz
10.0e-3
(
)
Log
10.0e-3
-180.00
(
)
Log
Hz
Linear
°
Phase
°
Phase
100e-6 3.50
180.00 3.50
Hz
3.50
(
)
Log
g/N
10.0e-3
(
)
Log
10.0e-3
-180.00
Hz
30.00
Hz
3.50
107
Hz
30.00
Essai en vol sur un avion bi-moteur
Comparaison LSCE - PolyMAX
108
Comparaison LSCE - PolyMAX
109
… Synthèse des RFF
Arrière de l’avion
Volet en bout d’aile
Hz
Linear
20.00
Linear
20.00
Hz
0.00 4.00
180.00 4.00
°
Phase
°
Phase
g/N
(
)
Log
g/N
0.00 4.00
180.00 4.00
(
)
Log
0.10
0.10
Hz
Linear
20.00
Linear
20.00
Hz
-180.00
-180.00
Hz
110
Hz
Analyse de la déformation d’une jante
( )
Log
g/N
200e-3
1.00e-3 20.00
180.00 20.00
Decade
FRF acc 1/f orce 1
FRF acc 2/f orce 2
1024.00
1024.00
Hz
°
Phase
LSCE
Hz
Decade
-180.00
20.00
LMS PolyMAX
111
Hz
1024.00
Modal Acoustique, Mercedes SLK
2 Sources Acoustiques, 195 Micros
112
Modal Acoustique, Mercedes SLK
2 Sources Acoustiques, 195 Micros
LSCE
LMS PolyMAX
113
Imprimante à jet d’encre
1 référence, 92 réponses
°
Phase
-180.00
Hz
Synthesized FRF comp:96:+Y/comp:55:+Z
Linear
0.00 20.00
180.00
180.00 180.00 20.00
Hz
Synthesized FRF comp:86:+Z/comp:55:+Z
20.00
-180.00
Hz
180.00
g/N
Linear
180.00
180.00
Synthesized FRF comp:96:+Y/comp:55:+Z
Hz
Hz
Synthesized FRF comp:65:+X/comp:55:+Z
20.00
LMS PolyMAX
114
Hz
Linear
0.00 20.00
180.00 180.00 20.00
°
Phase
g/N
(
)
Log
Hz
Synthesized FRF comp:65:+X/comp:55:+Z
Linear
0.00 20.00
°
Phase
180.00
180.00
437.58
180.00 20.00
-180.00
Linear
Hz
20.00
116.84
LSCE
(
)
Log
g/N
Linear
°
Phase
Hz
Linear
0.00 20.00
180.00 20.00
(
)
Log
g/N
11.16
(
)
Log
32.96
-180.00
Hz
180.00
Linear
180.00
180.00
Hz
20.00
Hz
180.00
Aircraft GVT Testing
2 références,
278 réponses
115
Aircraft GVT Testing
2 références, 278 réponses
LSCE
LMS PolyMAX
116
Radarsat (Agence Spatiale Canadienne)
Qualification Modale
•
•
5 Excitations,240 réponses
Analyse large bande / forte densité modale
(
Log
(m/s2)/N
)
1.00
10.0e-6 10.00
Hz
Linear
64.00
180.00 10.00
Linear
64.00
°
Phase
Hz
-180.00
10.00
Hz
Synthèse des FRF
Identification simplifiée lors d’une forte densité modale
117
64.00
Pont Z24 Excitation Aléatoire
(MIMO)
•
LSCE
LMS PolyMAX
118
2 references / 75 reponses
Conclusion
Une méthode qui s’applique
à tout type de structure
• Une Analyse large bande unique
• Amortissement faible et élevé
• Mesures bruitées.
119
PolyMAX
Diagramme de Stabilisation
extrêmement claire
• Choix facile des pôles
• Une analyse plus rapide
• Résultats indépendant de
l‘opérateur
• Plus de Modes
LSCE
LMS PolyMAX est une réponse aux défis courants
de l’analyse Modale
120
5. Etudes de cas: Analyses modales
expérimentales & Modèles numériques
Etude des ailettes d’une turbine à vapeur:
Contexte de l’étude:
Une société de maintenance Turbines a proposé à un de ses clients une étude visant à
valider une modification de conception d’ailettes du 1er étage d’une turbine à vapeur. En
effet, ces ailettes de la roue 1 ont cassé à plusieurs reprises.
Pour cela:
Une étude statique a été menée afin d’évaluer les contraintes générées par la force
centrifuge (rotation du rotor) suivant différentes conditions d’appuis du pied des ailettes
dans la rainure.
Une étude dynamique a permis de recaler le modèle éléments finis (FEM) sur des
mesures expérimentales (analyse modale expérimentale).
121
5. études de cas analyse
Etude des ailettes d’une turbine à vapeur:
 1 ailette
(analyse modale expérimentale + modèle FEM)
 2 ailettes soudées au chapeau
(analyse modale expérimentale + modèle FEM)
122
Cas d’une ailette seule (C.L libre)
Analyse modale expérimentale sur 1 ailette :
Nous avons suspendu l’ailette à l’aide de deux élastiques
afin de simuler une condition limite libre-libre.
Frappe
suivant Z
Les fonctions de transferts ont été mesurées dans ces
conditions, en excitant l’ailette sur deux points (A et B) et
en mesurant la réponse sur le pied, au point C.
Frappe
suivant X
A
B
Point de
mesure
123
Analyse modale expérimentale sur 1 ailette :
Frappe au point B dans la direction X et réponse mesurée
sur le pied de l’ailette au point C dans la direction X :
Frappe au point A dans la direction Z et réponse mesurée
sur le pied de l’ailette au point C dans la direction Z :
Nous n’observons aucune fréquence propre de l’ailette en condition limite libre-libre
sur la gamme fréquentielle d’étude 0-3000 Hz.
124
Modèle FEM : 1 ailette (conditions libre-libre)
Récapitulatif sur le modèle:
Types d'Elément
Propriétés
Physiques
Matériaux
- triangle parabolique à coque mince : 7372
- tétraèdre parabolique solide : 22773
- SOLIDE1 : 22773
- COQUE MINCE2 : 7372
- X12CR13 : 30145
Propriétés physiques du matériau X12CR13:
Module d'élasticité
Coefficient de poisson
Masse volumique
125
200 GPa
0.3
7700 kg/m3
expérimentales & modèles numériques
Modèle FEM : 1 ailette (conditions libre-libre)
Mode n°1: 10259 Hz
Mode n°2: 11783 Hz
Mode n°3: 12129 Hz
126
Mode n°4: 19961 H
z
Cas d’une ailette seule (Blocage pied)
FRF sur 1 ailette :
Nous avons serré le pied de l’ailette dans un étau
afin de simuler une condition limite « encastrée ».
Les fonctions de transferts ont été mesurées dans
ces conditions en excitant l’ailette au point A et en
mesurant la réponse sur le pied au point B.
A
B
C
127
Fonction de réponse en fréquence (FRF):
La présence du support de fixation
(étau+table) influence la réponse mesurée.
Les premières fréquences de résonance
visibles (<1kHz) correspondent aux modes
propres du support et non pas à l’ailette
Nous n’observons aucune fréquence propre de l’ailette en conditions limite « encastrée » sur la
gamme fréquentielle d’étude 0-3000 Hz (limite d’étude expérimentale avec le marteau de choc)
128
Modèle FEM (Finite Element Method)
Modélisation de la condition limite de fixation de l'ailette lorsque
cette dernière est "plaquée" dans la rainure de la roue par la
force centrifuge.
Fig: Surface d’appuis
Fig: Géométrie de l’ailette
Fig: Coupe de la roue 1
Du fait des jeux entre l'ailette et la rainure, nous pouvons
considérer que l'ailette est en contact avec la rainure sur la partie
inférieure du pied (surfaces en jaune sur la figure ci dessous).
La condition de bridage (encastrement), imposée sur les ddl des
nœuds au contact sont:
•blocage des 3 rotations (autour de l'axe x, y et z) ;
•blocage des 3 translations (suivant l'axe x, y et z).
129
Modèle FEM : Déformées modales calculées
Mode n°1: 2590 Hz
Mode n°2: 3100 Hz
130
Mode n°3: 7380 H
z
Mode n°4: 11600 H
z
Cas de 2 ailettes soudées au chapeau (C.L libre)
Maillage du modèle d’analyse modale :
Maillage
Ailette 2
5
Maillage
Ailette 1
1
3
2
4
X
131
Z
Mode 1
Mode 2
No. #
Mode 1
Mode 2
Mode 3
Fréquence (Hz)
328.17
843.43
3662.92
132
Mode 3
Amortissement (%)
0.19
0.3
0.04
Mode n°1 : 328 Hz
Fig : Vue de dessus
Fig : Vue de face
133
Modèle FEM : 2 Ailettes soudées au chapeau
Cordon de soudure pour lier
les deux ailettes (ddl couplés)
Propriétés générales du modèle:
Types d'Elément
Propriétés Physiques
Matériaux
Soudure
- triangle parabolique à coque mince : 14782
- tétraèdre parabolique solide : 45719
- SOLIDE1 : 45719
- COQUE MINCE2 : 14782
- X12CR13 : 60501
-17 ddl couplés (3 rotations, 3 translations actives)
Propriétés physiques du matériau X12CR13:
Module d'élasticité
Coefficient de poisson
Masse volumique
134
200 GPa
0.3
7700 kg/m3
Mode n°1: 291 Hz
Modes de corps rigide (pas de déformation des
ailettes), autour du cordon de soudure.
Le cordon de soudure est le paramètre influent sur ce
mode, plus précisément le nombre de couplage que l'on lui
associe sur le modèle FEM. Plus la soudure est étendue,
plus le mode est décalé en haute fréquence (rigidification
su système à 2 ailettes).
Ce mode peut être comparé au mode expérimentale à
328 Hz, correspondant à un mouvement d’écartement des
ailettes.
135
Cas de 2 ailettes soudées au chapeau (Blocage pied)
≈ Configuration d’origine des ailettes dans la rainure, occasionnant des casses
Les fréquences propres relevées sur le
couple d’ailettes sont fortement influencées
par le serrage et la position des ailettes
dans l’étau.
136
Modèle FEM : 2 Ailettes soudées au chapeau
Cordon de soudure pour lier
les deux ailettes (ddl couplés)
137
Modèle FEM : Déformées modales calculées
Mode n°2: 3480 Hz
Mode n°1: 2640 Hz
138
Mode n°3: 5400 H
z
Analyse cinématique de la Turbine
Pas de coïncidence fréquentielle entre les fréquences
cinématiques de la turbine et les fréquences propres des
ailettes.
 Etude statique des ailettes.
Calcul des contraintes pour différentes scénarios de
placement des ailettes dans la rainure.
139
 Etude statique des ailettes
140
 2 ailettes parfaitement positionnées dans la rainure
141
 1 seule ailette parfaitement positionnées dans la rainure
=> Casse du cordon de soudure au chapeau
142
 1 seule ailette parfaitement positionnées dans la rainure, l’autre partiellement
=> Casse sur le pied de l’ailette
143
Etude d’un démarreur:
Contexte de l’étude:
Une gêne sonore a été mise en évidence sur des démarreurs, sur une fréquence bien
définie. L’objectif de cette étude est de proposer un modèle Vibro-Acoustique du
démarreur à l’aide de la méthode FEM afin de définir et simuler des actions de réduction
du bruit.
Cette étude passe nécessairement par l’établissement d’un modèle structurel du
cylindre. Cela nécessite de définir les propriétés physiques du modèle (module d’Young,
coefficient de poisson, masse volumique, conditions aux limites,…) qui doivent être
idéalement recalées sur des mesures expérimentales.
Par la suite, la base modale calculée sur ce cylindre sera importée dans un modèle
vibro-acoustique afin d’évaluer le rayonnement acoustique du démarreur sous
différentes excitations (source acoustique interne au démarreur, forces mécaniques sur
les pôles,…).
144
5. Etudes de cas: Analyses modales
Etudes proposées:
Analyse modale expérimentale + modèle FEM
Cylindre
Virole
(plaquée sur le cylindre)
Couture
Jonction du cylindre
145
Analyse modale expérimentale
Maillage du modèle d’analyse modale :
 2 points de mesures
(n°1 et n°8)
 Déplacement de la frappe sur
l’ensemble des points du maillage
146
Cylindre suspendu (libre-libre) : Fonction d’indication modale
Mode 1158 Hz
Mode 942 Hz
147
Mode 2410 Hz
Mode 2 lobes
(942 Hz)
Mode 2 lobes
en opposition de phase
(1159 Hz)
148
Mode 3 lobes
face encoche
(2410 Hz)
RECALAGE DU MODELE FEM
Propriétés physiques du CYLINDRE & VIROLE
Module d'Young
210 GPa
Coeff. Poisson
0.3
Masse volumique
7650 Kg/m3
Liaison COUTURE (ressorts)
Nombre d’éléments
232
Kx (N/m)
1e6
Ky (N/m)
1e6
Kz (N/m)
1e6
Liaison cylindre/virole (ressorts)
Nombre d’éléments
4782
149
Kx (N/m)
1e5
Ky (N/m)
1e5
Kz (N/m)
1e5
Modes propres du modèle Cylindre + Virole
Expérimental dBVib (Hz)
Modèle (Hz)
Delta (Hz)
Erreur (%)
Mode 2 lobes
(962 Hz)
2 lobes en phase
2 lobes en opp. phase
3 Lobes face encoche
Mode 1
942
962
-20
-2
Mode 3
1159
1185
-26
-2
Mode 5
2410
2502
-92
-4
Mode 2 lobes
en opposition de phase
(1185 Hz)
150
Mode 3 lobes
face encoche
(2502 Hz)
151
6. L’analyse modale opérationnelle
-Introduction à l’analyse modale opérationnelle (AMO)
-Principes mathématiques:
-Décomposition modale de la matrice de puissance spectrale Gxx
-Forme modale du spectre de demi-puissance
- Méthodes d’identification en AMO
-Application pratique de l’AMO
-Compléments:
-AMO automatique
-Présence de composantes harmoniques
152
L’AMO est une méthode pour obtenir le model modale expérimentalement à partir de mesures sur
la structure dans ses conditions d’opération:
•Structure avec ses « VRAIES » conditions aux limites (CL): CL réelles ≠ CL laboratoire (Ex:
mesure de la nacelle d’une éolienne en usine)
•Structure est soumise aux niveaux de forces et niveaux vibratoires habituels
•Tient compte de la configuration en opération impossible à simuler avec AME. AMO d’une
éolienne: rotation des pâles modifie le système et ajoute amortissement d’origine aéroélastique dépendant de la vitesse du vent.
•Souvent il est difficile où couteux d’appliquer des forces contrôlées:
•la taille importante du système (ingénierie civile)
•non accès aux points d’application des forces (forces électromagnétiques d’un moteur)
•Dans certaines structures il existe une excitation ambiante inévitable (Ex: vent sur un pont
d’autoroute). En AME, pour avoir des résultats fiables, l’excitation artificielle doit être
beaucoup plus grande que l’excitation ambiante. Dans certains cas ceci est impossible.
•Surveillance des structures: contrôle automatique des paramètres modaux
•Extraire des informations additionnelles des mesures de déformée en opération (ODS)
153
mesures en
opération
(déplacement,
vitesse,
accélération,
déformation,...)
AMO
N modes
propres
•N fréquences modales
•N amortissements modales
•N deformées modales
- Données d’entrée: mesure d’accélération a m positions d’une structure mécanique,
- Données de sortie: paramètres modaux de N modes
•Attention: N est aussi une inconnue
-La boite appelée ici AMO représente, comme l’AME, un processus d’analyse qui nécessite les
algorithmes d’identification mais aussi le critère et l’expertise de l’ingénieur spécialisé pour:
•choisir et préparer les données d’entrée,
•paramétrer les algorithmes d’identification
•interpréter les résultats des algorithmes d’identification
154
F
H
10
25
Exemple: système 6 DDL
bruit blanc
20
-10
abs(X) [dB]
abs(F) [dB]
0
H inconnue recherchée
15
Excitation
idéale
X
10
admitancia fila 6 columna 4
10
-20
-30
5
0
-40
0
-10
0
200
400
600
800
Freq [Hz]
1000
1200
1400
abs(H) [dB]
-50
-5
-20
-60
0
200
400
-30
600
800
Freq [Hz]
1000
1200
1400
25
-40
10
bruit blanc + sinus
20
-50
0
15
-60
0
200
400
600
800
Freq [Hz]
1000
1200
1400
-10
10
abs(X) [dB]
abs(F) [dB]
Excitation
non idéale
5
-20
-30
0
-5
0
200
400
600
800
Freq [Hz]
1000
1200
1400
Excitation apparait
dans la réponse
155
-40
-50
-60
0
200
400
600
800
Freq [Hz]
1000
1200
1400
6.1 Relation avec l’analyse modale
expérimentale (AME)
Anàlyse modale expérimentale (AME)
•mesure de l’entrée: excitation
artificielle du système mécanique.
•(Temps) réponse impulsionnelle
•(Fréq.) fonction de transfert H = X/F
(unités linéaires)
Anàlyse modale opérationel (AMO)
•l’entrée n’est pas mesurée mais elle
est supposée aléatoire en temps et
en espace, de moyenne nulle est
blanche en fréquence
•fonctions de corrélation entre les
signaux
•spectres de puissance (autospectres et spectres croisés)
(unités énergétiques)
Hypothèse commune principale: le système est linéaire et stationnaire
156
6.2 Principes mathématiques de l’AMO
 X ( j )   H ( j )F ( j )
X k ( j )  FFT  xk (t )
 X 1  j    H11  j 

 

 



 
 X m  j    H m1  j 

 
Définition: Gxx est appelée matrice spectrale des
puissances croisées de X (cross spectral matrix , CSM).
 Gx1x1 ( j ) Gx1x 2 ( j )

Gx 2 x1 ( j ) Gx 2 x 2 ( j )

G xx ( j )  

 Gxmx1 ( j ) Gxmx 2 ( j )
Gx1xm ( j ) 

Gx 2 xm ( j ) 


Gxmxm ( j ) 
X k ( j )* X k ( j )  X k ( j ) est scalaire réel
2
X k ( j )* X q ( j ) est scalaire complexe
IFFT  X k ( j )* X q ( j )   corr( xk (t ), xq (t ))
157
H1m ( j )   F1  j  











H mm  j    Fm  j  
G xx ( j)   X ( j)  X ( j)
*
T
En pratique, Gxx est calculée par
la méthode du périodogramme
modifié (pwelch) ou la méthode
du corrélogramme.
Son module est le produit des modules.
Sa phase est la différence de phase entre
les deux signaux.
6.3 Décomposition modale de Gxx
*
*
  Rk 
Rk     Rs 
Rs  


*
T
C 



G XX ( j )   H ( j ) C  H ( j )   
*
*



k 1 s 1
 j  k j  k   j  s j  s 
*
*

L

L

L

L
L

L

Lk1km 


 k1 k1



 Lk1k1
k
1
k
1
k
1
km
k 1 km
k1 k1
k 1 km
 

 
 

 

 
 

n n 
km Lkm   Lkmk1
km Lk1
km Lkm  km Lk1
Lkmkm   Lkmk 1
Lkmkm 

 C  (

)(

)
*
*
j



j




j




j



k 1 s 1
k
k
s
s
H
n
n
Développement en fractions rationnelles simples:
H
*
T
  Ak 
Ak 
Ak 
Ak 






G XX ( j )   
*
*
j




j



j



 j  k
r 1
k
k
k

H
T
n 
Rs 
Rs  




 Ak    Rk  C  
*
où:









s 1
s
k
s 
 k
n
158




6.3 Décomposition modale de Gxx
H
*
T
  Ak 
Ak 
Ak 
Ak 






G XX ( j )   
*
*
j




j



j



 j  k
r 1
k
k
k

n




Approx. de Gxx près d’une fréq. modale ωdk :
faible amortissement -> deux premiers termes sont prédominants
1
1
1


jdk  k  jdk  k*  k
1
1
1


jdk  k* j 2dk   k
k
1
 jdk  k

1
1

 j 2dk   k
k
H
  Ak 
Ak  



G XX ( j )   
*

r 1
 j  k  j  k 
n
Si l’amortissement est faible
 k  dk
 RsH
RsT
Ak  Rk C  

*
k  s
s 1  k  s
n
LTk CL*k
dk 
2 k
avec le seul terme de s=k on représente
bien la somme s=1 à n :
 Rk CRkH k LTk CL*kkH

 d kkkH

2 k
2 k

où dk est un facteur d’échelle scalaire réel.
159
6.4 Décomposition modale de Gxx : Nref
Application pour un nombre de références inferieur aux nombre de signaux mesurées:
G xx ( j )   X ( j )  X ref ( j )
*
T
X
ref
( j ) sous-ensemble des éléments de  X ( j )
Exemple: 2 références
 Gx1x1 ( j ) Gx1x 2 ( j )   11 21
G ( j ) G ( j )  
x2x2
   12 22
G XX ( j )   x 2 x1
 

 
G
(
j

)
G
(
j

)
xmx 2
 xmx1
 1m 2 m
mx2
mxn
n1   s1 0
n 2   0 s2


nm   0
0
nxn
0  11* 12* 


0  21* 22* 




sn  n*1 n*2 
nx2
Choisir une unique référence est l’équivalent de choisir de faire l’analyse modale expérimentale à partir
d’une seule excitation (a priori il est possible d’obtenir les paramètres).
En AMO les références font fonction de l’excitation dans l’AME, mais pour obtenir les fonctions a ajuster,
au lieu de diviser par la référence (H=X/F) il y a une multiplication avec la référence (X*XT )
160
6.5 Spectre de demi-puissance
(Half-power spectrum H-PSD)
Le H-PSD est la donnée d’entrée pour l’AMO paramétrique en fréquence.
Rappelons la décomposition modale de la matrice de puissance spectrale croisée:
 r K rT
r* K rH
K r*rH
K r rT 



G XX ( j )   

*
*
j



j




j




j



r 1 
r
r
r
r 
n
r K rT  [ Ak ]
φr est la déformée modale et Kr est le vecteur référence opérationnel (operational reference vector
or factor), qui dépend des paramètres modaux et des excitations inconnues. Il est donc impossible
d’obtenir les facteurs de participation modale L à partir de K.



IFFT (Gxx )  R  k   


n
 r K rT e kT  r* K rH e kT
r
*
r
s
s
for
k 0
temps positifs de
la corrélation
for
k 0
temps négatifs de
la corrélation
r 1
n
 Kr  e
r 1
T
r
r k Ts
K  e
* H
r r
r* k Ts
Le spectre de demi-puissance HPSD(correspondant aux temps positifs de la corrélation) possède
la même structure dans sa décomposition modale que la FRF=X/F en AME.
Half-power spectrum:
G
half 
XX
 r K rT
r* K rH 
( j )    

* 
j



j



r 1 
r
r 
161
n
6.6 Algorithmes d’identification en AMO
•Méthodes temporels Vs fréquentiels
Peu de données pour les
modes très amortis
Nécessite faire analyse spectrale (choix des
paramètres, leakage, ...)
•Méthode paramétriques Vs non paramétriques
Paramétriques: ajustement des
mesures à un modèle modal qui
est continu.
N’utilise pas le model modal pour faire
directement un ajustement. Résolution
en fréquence limitée.
Temps
Fréquence
No-paramétriques
---
FDD (EFDD, CF-FDD)
Paramétriques
SSI (PC, UPC, CVA)
LSCF, pLSCF, LSFD
Principaux méthodes d’identification en AMO:
•Méthode Frequency Domain Decomposition (FDD et ses variantes)
•Méthodes d’identification de sous-espaces stochastiques (SSI)
•Méthode paramétrique en fréquentiel: p-LSCF
162
6.7 Frequency domain decomposition
(FDD)
Une méthode d’identification OMA non-paramétrique (FDD) consiste a appliquer la décomposition en
valeurs singuliers de la matrice Gxx à chaque fréquence, c.a.d. :
 d k k k H d k k k H

G XX ( j )   
*
j




j



k 1
k
k

S: matrice diagonale de valeurs singuliers à ωi
Ui: matrice de vecteurs propres à ωi
N




G XX ( ji )   Ui Si Ui 
H
 dr 
sr  2e 

 j  r 
Si  diag  si1, si 2, ..., sin 
Ui  1 2  3  ... n  
i
i
i
i 

G XX ( ji )  si1 1 1  si 2 2  2   si 3 3  3   ...  sin n  n 
H
i
i
H
i
i
Algorithme FDD
Calculer la SVD de Gxx à chaque fréquence
et représenter les valeurs singuliers obtenus
ordonnées de manière croissante.
•Maximum de s1 : fréquence propre
•Vecteur propre associé à s1 : déformée
Et l’amortissement modale?
163
H
i
i
i
i
H
6.7 Frequency domain decomposition
(FDD) - commentaires
-Cette méthode permet identifier plusieurs modes à la même fréquence
-L’application directe de la technique :
•Ne donne pas information sur l’amortissement
•La résolution de la fréquences modale dépend de la résolution en fréquence de
l’analyse spectrale.
-Des méthodes particuliers appliquées sur ces courbes MIF permettent améliorer la
méthode:
•Déterminer l’amortissement modale a partir de la IFFT de partie du spectre MIF où se
trouve la résonance et ajustement de la décroissance.
•Déterminer l’amortissement modale a partir de l’ajustement de la partie du spectre
MIF où se trouve la résonance.
-La méthode permet une analyse visuelle et rapide des caractéristiques modales de la
structure testée.
164
Amortissement modale avec FDD => deux alternatives basées sur
l’ajustement d’un model à 1-DDL:
en temps (EFDD) ou en fréquence (curve-fit FDD)
corrélation
IFFT
Ajustement à la PSD
de 1-DDL en
fréquence
EDC
Amortissement
modale ξn
165
6.8 Stochastic subspace identification
(SSI)
Méthodes temporels.
Cherchent a identifier un model d’espace d’états stochastique (modèles issues de la théorie de
control)
La réponse du système est générée par deux processus stochastiques, w et v.
xk +1   A  xk  w k

 y k  C xk  v k
xk  R n : vecteur variable d’état du système dynamique à l’instant k
wk  R n : bruit du processus à l’instant k
yk  R l
: sorties du model (mesures) à l’instant k
vk  R l
: bruit de mesure à l’instant k
[A]: matrice d’état du système (dim nxn).
[C]: matrice d’observation (dim lxn)
Ces méthodes d’identification cherchent a identifier les matrices [A] et [C] à partir de l’observation
des mesures (y) pendant une durée de temps. Ces estimations se font à l’aide de prédicteurs optimaux
qui minimisent l’erreur entre model et observations. Attention: n doit être supposé!!
166
(SSI)
Une fois identifiées les matrices du modèle [A] et [C], le model modal s’obtient à partir de la
décomposition en valeurs propres de la matrice A , dont on en obtient les pôles les et déformées
modales .
Deux grandes familles de méthodes SSI selon le format des donnés d’entrée:
•Covariance-driven methods: utilise des covariances entre les sorties et un ensemble de
sorties de référence choisies par l’utilisateur.
•Data-driven methods: évite le calcul des covariances et utilise directement les données
mesurées. Ceci est possible grâce à la projection d’un sous-espace de données futures dans
un sous-espace des données passées de référence.
Les noms utilisés dans les produits commerciaux pour ces algorithmes sont:
- Principal Component (PC),
- Unweighted Principal Component (UPC) (aussi connue comme “Balanced Realization”),
- Canonical Variate Analysis (CVA).
PC, UPC et CVA correspondent aux mêmes algorithmes mais appliquent différentes matrices de
changement de base sûr les données de départ.
167
(SSI)
Comme l’ordre du système ‘n’ est inconnu, il doit être supposé comme dans les autres méthodes
d’analyse modal expérimentale ou opérationnelle.
La pratique courante est d’appliquer les algorithmes d’identification pour différents ordres
croissants et utiliser des diagrammes de stabilisation pour choisir les pôles.
Quelques commentaires:
Absence de leakage fréquentiel car la méthode travaille directement dans le domaine
temporel
S’il y a des excitations harmoniques dans le système, ces méthodes les détectent
comme modes très faiblement amortis.
Tous les paramètres peuvent se trouver moyennant une seule opération.
Il faut choisir un ensemble de canaux de référence pour en effectuer les projections
(SSI-Data) ou pour être les références des covariances (SSI-Cov).
Il s’agit de méthodes paramétriques où il n’y a pas de limite «a priori» sur la précision
dans l’estimation des paramètres modaux.
Pour des ordres élevés la taille des matrices est grande: les calculs peuvent être très
longs.
168
6.9 Méthodes paramétriques
L’origine de ces méthodes sont des algorithmes pour l’AME. Les méthodes paramétriques les plus
popularisées en AME sont:
•Polyreference Least Squares Complex Exponential (p-LSCE)
•Polyreference Least Squares Complex Frequency Domain (p-LSCF)
Ces deux méthodes dérivent d’une première version mono référence (LSCE et LSCF),
LSCE: ajustement moindres carrés des réponses impulsionelles (domaine du temps)
LSCF: ajustement moindres carrés des fonctions de transfert (domaine des fréquences)
Les résultats utiles de ces ajustements sont les pôles du système et les facteurs de participation
modale. Il est habituel de présenter ces résultats sur un diagramme de stabilisation dans lequel
l’ingénieur choisi les pôles physiques (et laisse de côté les pôles numériques): cette étape nécessite
d’une certaine expérience en AME.
Une fois les pôles ont été choisis, une deuxième étape de calcul se réalise avec l’algorithme LSFD
pour trouver les déformées modales optimales qui avec les pôles choisis reconstruisent les mieux les
données mesurées.
En AMO: l’identification moyennant p-LSCF puis LSFD s’est énormément popularisé. Les données
d’entrées sont des spectres de puissance au lieu des fonctions de transfert.
169
6.10 Méthodes paramétriques en fréquence
Least Squares Complex Frequency (LSCF)
A la base est une méthode développée pour l’analyse modale expérimentale.
La méthode cherche les coefficients d’un model de FRF de fractions rationnelles
Boi  k 
H oi  k  
A  k 
n
où : Boi  k    boi j 
j 0
n
j
k
et
A  k    a j kj
j 0
Hoi est la fonction de transfert entre la sortie o et l’entrée i

Boi est le numérateur de H, qui est un polynôme de la fréquence k
A est le dénominateur de H, qui est un polynôme de la fréquence k
Ωk est la base de fréquences
La connaissance des paramètres aj donne accès directe aux pôles du système.
Exemples pour Ω: k  jk
ou k  exp( jk / Fs)
k élevée à
kj  fréquence
la puissance j-ème
La méthode cherche les paramètres aj et boij que minimisent en L2 (moindres carrés)
l’erreur entre le modèle H oi et les mesures Hˆ oi
 N Ni No

min L 2    oi k  
 k 1 i 1 i o

où :  oi k   A  k  Hˆ oi k   Boi  k 
170
2
6.10 Méthodes paramétriques en fréquence
Least Squares Complex Frequency (LSCF)
La résolution est faite efficacement par le biais des « équations normales réduites » qui donnent
comme à résultat les paramètres du polynôme du dénominateur aj.
Les pôles (racines du dénominateur) correspondent aux pôles des modes.
Le choix de la base de fréquences est crucial pour le calcul des racines du dénominateur: il est
recommandé de travailler dans l’espace complexe unitaire pour éviter des problèmes de
conditionnement en raison des polynômes de Ω.
Application à l’analyse modal opérationnel: la même méthode s’applique en AMO avec les données
d’entrée du type half-power spectra au lieu des fonctions de transfert.
Le half-power spectrum (FFT ds temps positifs de la corrélation croisée) possède la même structure
modale que H => algorithmes de LSCF
G
half 
XX
 d kkkT d kk*kH 
( j )    

* 
j



j



k 1 
r
r 
N
Il faut donc calculer ces spectres de demie-puissance pour pouvoir appliquer la méthode
LSCF en AMO. Ceci peut se faire à partir des corrélations, en gardant uniquement les temps
positifs. Nécessité de spécifier les paramètres d’analyse.
171
6.11 Méthode poly-reference LSCF
La méthode p-LSCF est une des méthodes les plus populaires aujourd’hui, car elle permet obtenir
des diagrammes de stabilité avec peu de modes numériques et elle est inclue dans des logiciels
d’analyse commerciales.
Il s’agit d’une méthode très similaire au LSCF. La différence principale avec LSCF est que
l’ajustement n’est pas faite sur un modèle de dénominateur commun mais à un modèle de
matrice de polynômes (right matrix fraction description).
éH (W )ù=
k ú
êë
û
- 1
éB (W )ùéA (W )ù
k úê
k ú
êë
ûë
û
p
éA (W )ù=
k ú
êë
û
å
éB (W )ù=
k ú
êë
û
å
j= 0
p
j= 0
(£
No´ Ni
= £ No´ Ni ×£ Ni´ Ni
)
Wk j scalaire
éa ùW j
êë j ú
ûk
éa ùÎ £ Ni´ Ni ,
êë j ú
û
pôles
éb ùW j
êë j ú
ûk
éb ùÎ £ No´ Ni
êë j ú
û
operational
reference factor
•Les données de départ du p-LSCF sont aussi les half-power spectra.
•Le p-LSCF peut tenir en compte plus d’une référence dans l’identification des pôles.
•Le p-LSCF obtient aussi les facteur de participation modale
172
6.12 Least Squares Frequency Domain
(FSFD)
Quand les pôles du système ont été déterminés la méthode LSFD est souvent utilisée pour
déterminer les déformées modales.
*
 Rr 
 Nr    T


R
r* rH 
r




r r
=  


 H( j )   
*
* 

i



i



i



i



r 1
r
r  r 1 
r
r 

Nr
Les seules inconnues de cette équation sont les déformées modales (les pôles et les facteur de
participation modal sont connus), ce qui permet d’appliquer directement un ajustement des
moindres carrés entre les mesures et le modèle pour en déterminer les paramètres de ce dernier.
Il est nécessaire de prendre suffisamment des points en fréquence pour avoir un système
d’équations surdéterminé.
En AMO, l’opération est la même mais avec le H-PSD:
G
half 
XX
 r K rT
r* K rH 
( j )    

* 
i



i



r 1 
r
r 
Nr
173
POINTS FORTS
FAIBLESSES
6.13 AMO. Méthodes paramétriques.
Tableau récapitulatif
pLSCF + LSFD
SSI
- Choix des paramètres pour l’analyse
-Deux pas sont requis pour obtenir
pôles + déformées modales
-Trop de références pose problèmes
de consistance
-Beaucoup de calcul requis pour des
modales de taille importante (ordre et
numéro de mesures)
-Diagramme de stabilisation moins clair
-Limitée lors des amortissements très
élevés
+Permet analyser par bandes de
fréquence
+Diagrammes très clairs
+Hauts amortissements ne sont pas
un problème
+Calculs rapides
174
+Un seul pas pour obtenir les pôles et
les déformées modales
+Il est possible d'applique avec
beaucoup de référence
+Pas de leakage
6.14 Application pratique de AMO
Définition de la mesure et du système d’acquisition.
Prétraitement des donnés mesurées
Application des algorithmes d’identification modale
Validation de résultats
Exploitation des résultats
175
Définition de la mesure et du système d’acquisition
Définition de la mesure et du système d’acquisition: pour des longues campagnes il est nécessaire
une grande capacités de stockage, l’enregistrement de signaux de durée déterminée de façon
automatique, le contrôle online depuis le bureau, enregistrer conditions de fonctionnement si elles
peuvent varier.
Durée d’une mesure:
Minimum entre 1000 et
2000 fois la période du
mode recherché.
Ex: f=0.3Hz, T= 55-110 min.
Système
d’acquisition
Connaissance a
priori du système
(expérience,
modèles, ....)
Placement
capteurs
Conditions
ambientales
176
Communication
(contrôle des
mesures)
Sauvegarde
Pre-traitement des mesures
Sélection des ensembles de données à analyser
Traitement des signaux temporels: sous-échantillonnage, correction de la composante
continue, filtrage des signaux, intégration/dérivation des signaux, harmonic filtering,...
SOUS-ECHANTILLONAGE
Autres preprocess
spécifiques du signal
SELECTION DES SIGNAUX
Données d’entrée de l’AMO
177
Algorithme d’identification modale
Quel algorithme?
temps ou fréquence?
paramétrique ou non?
•SSI
•pLSCF(+LSFD?)
•LSCF (+LSFD?)
•FDD (EFDD, CurveFit FDD)
Sélection de modes du diagramme de stabilisation
(exemple)
Quels Paramètres? (exemple pLSCF)
•Type de HPSD: pwelch
•Nfft des HPSD : 1024
•Fenêtre d’analyse : hanning
•Recouvrement: 50%
•Lissage? non
•Quel/s signaux référence/s? s1
•Ordre des diagrammes? 10:2:80
178
L’ordre du système n’est pas connu a priori (nombre de modes /2 ),
Les algorithmes d’identification retournent modes physiques et modes numériques
Diagramme de stabilisation: montre les résultats obtenus pour différents ordres du model
modal. La stabilité des paramètres modaux obtenus (fréq., amortissement, déformée) est
indiquée moyennant un critère de stabilité basée sur le % de variation entre un ordre et
l’ordre immédiatement supérieur.
Exemple: stable en fréquence si
f kO 1  f kO
f
O 1
k
T
T: tolérance. Ex: T = 0.01 (1%)
•vert: stable en freq., amort., vecteur
•cyan: stable en freq. et vecteur
•bleu: stable seulement en freq.
179
Choix des références
Différents modes détectés par les algorithme selon le choix de la référence.
Exemple: mât d’éolienne
(12 capteurs =>12 références):
f=[0, 4] Hz,
ordre identification de 2 a 80
Le choix de la référence est très important pour la détection des modes
180
Validation de résultats
Utilisation d’indicateurs type Modal Assurance Criteria, indicateurs sur la
phase, indicateurs sur la participation modale, information de modèles
numériques, ...
Modal Assurance Criteria:
•vérification orthogonalité,
•comparer mesure/modèle,
mesure
Vs modèle
181
Reconstruction des mesures
(données entrée de l’AMO, i.e.
HPSD) avec le modèle modale
obtenu? Il y a erreur?
Exploitation des résultats
Validation et calibration de modèles numériques
Information pour l’amélioration du design
Solution de problèmes mécaniques:
Eviter coïncidence excitation – résonance
Choisir points d’application des forces où la réponse du mode est
d’amplitude minimum
Analyse du comportement dynamique en différents modes d’opération
Détection de l’endommagement / surveillance de l’état de structures (SHM,
Structural Health Monitoring)
182
6.15 Conclusion
L’analyse modale opérationnelle permet trouver les paramètres
modaux de systèmes mécaniques à partis des mesures en opération.
Il y a un certain nombre d’hypothèses à respecter (selon la théorie):
souvent ces hypothèses ne sont pas complètement respectées et il
est possible d’appliquer l’AMO avec succès.
L’application de cette méthode et l’interprétation des résultats,
comme avec l’AME, repose sur l’expertise de l’ingénieur spécialisé:
définition de la mesure, préparation des signaux, choix de
paramètres d’analyse, choix des pôles du diagramme, …
Avec les méthodes automatiques la tâche est énormément
simplifié.
183
6.16 Compléments
Traitement des excitations harmoniques
Méthodes pour l’AMO automatique
184
6.16 Compléments
Méthodes pour AMO automatique
•analyse est indépendant de l’utilisateur
•permet traiter une grande quantité de données (différents conditions d’opération).
d12
1
2
A
3
4
B
un cluster
un cluster
185
dAB
d34
Méthodes de classification / clustering methods
• Choisir critères de classification: stabilité des paramètres modaux, critère
sur la phase, facteur de participation modale, ...
• Choisir valeurs limites “threshold” des critères et remplir les clusters
• Choisir critères de population pour garder uniquement les clusters
représentant des modes physiques
6.17 Compléments
Traitement des excitations harmoniques
Même si la théorie de l’AMO nécessite l’hypothèse d’excitation blanche en temps, il
est possible d’appliquer les techniques d’AMO quand les excitations ont des
composantes harmoniques.
CAS FACILE:
Les composantes harmoniques ne vont pas influencer l’identification des modes qui
se trouvent suffisamment loin de la région fréquentielle d’étude.
CAS DIFFICILE:
Les composantes harmoniques sont au milieu de la région fréquentielle d’étude.
Il existe des méthodes pour s’affranchir des composantes harmoniques et obtenir les
modes propres, mais il reste souvent nécessaire d’avoir une bonne connaissance de la
présence de ces excitations (ce qui est souvent le cas).
186
6.17 Compléments
Méthode en fréquence non paramétrique: FDD
Interpolation linéaire du valeur propre principale aux fréquences sous excitation
harmonique et ajustement d’un oscillateur a 1 DDL sur la résonance du mode pour
obtenir la fréquence et l’amortissement
187
6.17 Compléments
Méthodes paramétriques fréquentiels
Principe: la moyenne synchrone du signal temporel (synchrone avec
l’excitation tournante) permet séparer les composantes harmoniques de
l’excitation des composantes d’excitations large-bande.
PAS 1: estimer la partie du signal produite par l’excitation harmonique
x(t)=s(t) + h(t)
h(t)
filtre harmonique
s(t): partie du signal d’origine excitation
large-bande
h(t): partie du signal d’origine
excitation périodique
PAS 2: calculer s(t) comme la différence entre la mesure x(t) et le signal obtenu
h(t). Ce signal temporel est utile pour appliquer des techniques de AMO.
188
6.17 Compléments
Exemple: application au signal d’un hélicoptère.
Spectre obtenu après application du filtrage des harmoniques.
[Ref. Peeters. Removing disturbing harmonics in operational modal analysis. IOMAC Proceedings.]
189
Siemens PLM & LMS
DBVIB Séminaire
11 Septembre 2013
Restricted © Siemens AG 2013 All rights reserved.
Smarter decisions, better products.
Siemens - Une Culture d’Innovation
Page 2
2013-06-03
Siemens PLM Software
Siemens is an Integrated Technology Company
With a Clear Focus on Four Sectors
Industry Automation
Drive Technologies
Metals Technologies 1)
Customer Services
Industry
Rail Systems
Mobility and
Logistics
Low and Medium
Voltage
Smart Grid
Building
Technologies
Osram 2)
Fossil Power
Generation
Wind Power
Solar & Hydro
Power
Transmission
Oil & Gas
Energy Service
Infrastructure
& Cities
Energy
Imaging & Therapy
Clinical Products
Diagnostics
Customer Solutions
Healthcare
Page 3
2013-06-03
Siemens Industry Software
within Industry Automation
Industrial Software
PLM, MES
Automation and
Control Systems
Sensor and
Communication
Systems
Electric Motors,
Power Conversion
and Motion Control
Systems
LV Power Devices,
Control Products and
Systems
Siemens PLM Siemens A&D
Software
Automation
Factory
design
PLM
Product
TIA
TIP
design
Manufacturing
design
Link the Virtual and the Real world
Page 4
2013-06-03
A Leading Global Player in all PLM Markets
Siemens PLM Software is #1 or #2 in all PLM market segments
CAx
cPDm
DM
Computer-aided: Design,
Engineering And Manufacturing
Collaborative Product Definition
Management
Digital
Manufacturing
Market growth: 2.7%
Market growth: 4.4%
Market growth: 4.4%
Market: $8.6 billion
Market: $7.6 billion
Market: $500 million
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Siemens PLM Software Portfolio
Broad suite of solutions for the entire product lifecycle
Product
Engineering
NX / NX NASTRAN
Design, simulate and manufacture
better products faster
Manufacturing
Engineering
TECNOMATIX
Build and support products
more efficiently
Lifecycle
Collaboration
TEAMCENTER
Innovate and collaborate
more intelligently
Mainstream
Engineering
SOLID EDGE, FEMAP,
INSIGHT XT
Accelerate design for faster time
to market
Specialized
Engineering
FIBERSIM, SYNCROFIT,
SDE, QPE
Solve your most complex
engineering challenges
Simulation and
Test Solutions
VIRTUAL.LAB, IMAGINE.LAB,
TEST.LAB, SAMCEF
Simulate and test to develop
products right, first time
Page 6
© 2011 Siemens AG. All rights reserved
Vision de Siemens pour la simulation
Simulation numérique, test et service pour piloter les décisions sur les
performances produits au cours du cycle de vie produit
Fournir …
 Des itération de simulation plus
rapide.
 Des Analyses numériques
systèmes avec validation et
corrélation par le test
 Le partage et visualisation des
résultats de simulation au sein de
l’entreprise
Page 7
2013-06-03
 L’assurance que le produit
atteindra les exigences
fonctionnelles
NX CAE Capabilities
Simulation Modeling
Structural
Thermal
Flow
Motion
Multiphysics
Optimization
Data Management & Automation
Simulation Driven Design
Page 8
2013-06-03
LMS 3D Simulation Capabilities
Acoustics & Vibration
Mechanisms
Process Integration – Auto
Process Integration – Aero
Structural Analysis
Wind Turbines
Page 9
2013-06-03
ANALYSE MODALE ELEMENTS FINIS – REPONSE
DYNAMIQUE.
Page 10
2013-06-03
Processus Classique Modélisation EF Dynamique
Find &
Import Data
Part
Design
Page 11
Repair & Edit Geometry
Mesh
Analysis Modeling
Loads &
BCs
Solve
Evaluate
Unrestricted / © Siemens AG 2013. All Rights Reserved.
NX CAE vs. Traditional CAE
Traditional CAE Process
Faster initial iteration
Rapid update for later
iterations
Page 12
NX CAE: Coeur géométrique ouvert
Supporte les imports multi CAO
NX fourni un accés direct au CAO
suivante:
 SolidWorks
 CATIA V4 & V5/V6
 Pro/ENGINEER
 JT
 IGES, STEP
Editer simplement
n’importe qu’elle CAO
… Modifier les données d’autres CAO plus rapidement que dans le
système source grace à la Synchronous Technology
Page 13
Outils géométiques intégrés
Accés intégré aux outils géométriques
de NX
 Modification géométrique direct et intuitive
avec la Synchronous Technology
 CAE réalisé sur une géométrie spécifique
 Création rapide de géométrie spécifique
CAE
 Interface utiliateur NX conviviale et
customisable
Page 14
Maillage de modèle complexe
Mailler les géométries les plus
complexes
 Mailleur tetra,Hexa, 2D quad, 1D
avancé
 Approche intelligente du mailleur NX
pour le maillage et la simplification
géométrique
 Options automatique ou manuel pour
l’optimisation ou la modification de
maillage 1D, 2D et 3D
 Modélisation intelligente des connections
Page 15
NX Nastran
Le premier solveur EF pour l’Analyse de Structure
Linear
Stress
Modal
Buckling
Dynamics
Rotor Dynamics
Parallel
Processing
YY- Stress PSD
RMS=19.7 MPa
Nonlinear
Analysis
Thermal
NASTRAN
Aeroelasticity
Page 16
Laminate
Composites
NVH
Optimization
Custom
Solutions
Multiphysics
Analyse Dynamique
Une large gamme de solution Dynamique
 Analyse Modale linéaire
 Analyse dynamique linéaire Direct
 Transitoire, Fréquentielle, PSD, shock
 Dynamique non linéaire
 Dynamique des Rotors
Bénéfices
 Evaluer les effets des vibrations
 Point d’entrée pour des analyses spécifiques ,
telles que la simulation dynamique des corps
flexibles, ou la fatigue des structures.
Signature strength of NX Nastran
Page 17
Analyse modale
 Etude des modes et des fréquences propres
des structures
 Analyse modale avec contact et précontrainte
 Masses effectives, facteurs de participation
 Plusieurs méthodes d’extraction disponibles
NX Nastran sait
faire la différence
1ère fréquence propre sans contact:
1.47 Hz
Page 18
1ère fréquence propre avec contact:
7.58 Hz!
Rolls Royce/Siemens Meetings – 8-9 Feb, 2010
© 2010. Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. All rights reserved
DMP : Implémentation pour l’Analyse Modale
Frequency response function
Geometric Domain Partitioning (GDModes)
0
-180
 Subdiviser la géométrie en partition
-360
1.0E+05
1.0E+04
Frequency Domain Partitioning (FDModes)
 Subdiviser en segment fréquentiel
1.0E+03
 Calcul indépendant sur chacun des segments
fréquentiels
1.0E+02
1.0E+01
1.0E+00
Hierarchic Domain Partitioning (HDModes)
 Partitions récursive de la matrice du modèle en
sous structure à plusieurs niveaux
1000
Frequency (Hz)
2 :41904Y- 41904Y- 4
Crankshaft
Crankshaft - Suspended
 Application simultanée du GDModes et FDModes
avec une implémentation hiérarchique.
Recursive Domain Partitioning (RDModes)
100
1
K oo
13
K to
2
K oo
K to23
10000
13 :41904Y+ 41904Y+ 2
Analysis
1,3
K ot
2 ,3
K ot
K tt3
4
K oo
K
1,7
K to
K to2 ,7
3,7
K to
K to4 ,6
K to4 ,7
5
K oo
5 ,6
K to
5 ,7
K to
4 ,6
K ot
5 ,6
K ot
K tt6
K to6 ,7
1,7
K ot
K ot2 ,7
K tt3,7
K ot4 ,7 .
5 ,7
K ot
K tt6 ,7
K tt7
 A la différence des autres méthodes, les modes
sont approximés du fait de la réduction en sousUnrestricted / © Siemens AG 2013. All Rights Reserved.
structure.
Page 19
RDModes Exemple de performance
Auto Body Model
Model
 1.3M grid points
 1.2M elements
 6.5M degrees of freedom
Solution Settings
 Modes 0 – 300 Hz (about 1000 modes)
 Full eigenvalue recovery
 NREC = 512
 RDSCALE = 2.0
Cluster System
 Siemens HP cluster
 Linux OS - 64 CPUs
 UC Berkeley cluster
 900 s
Page 20
Superéléméments
Description
System
FEM
 Améliorer les performance des analyses
modales
 Qu’est qu’un superélément?
 Le modèle réduit d’un composant
 Utiliser pour créer un assemblage par
block EF d’un système.
 Rend la solution sur le système plus
efficace
Superelement
Reduction
Superelement
Reduction
Component
FEM
Component
FEM
Component
FEM
Bénéfice
 Facilité a créer la solution
 Performance
 Réutilisation
 Intégration de modèle tierce et
confidentialité
Page 21
NX NASTRAN/NX Response Simulation
• Solutions Dynamique:
-
Transient
Frequency
PSD
Response Spectrum / DDAM
Quasi-static
• Superposition Modale et
Réponse directe
• Graphique… Interactif
• Productivité accrue
• Comparer les essais au Calcul
• Jauge de contrainte et
accéléromètre virtuels
Page 22
© Siemens AG 2012. All Rights Reserved.
Analyse Dynamique
 Large gamme de réponse forcée
 Modèle d’amortissement
 Modèle de chargement
Page 23
Capability
NX Nastran
Forced Response Analysis Types
Modal Transient
Modal Frequency
Direct Transient
Direct Frequency
Complex Modal Frequency
Random PSD
Shock Response
DDAM
FRF/Transmissibility
Rotor Dynamics Frequency
Rotor Dynamics Transient
Non-linear Transient
Loading Types
Concentrated Force
Distributed Force
Base Motion (Accel, Vel, Disp Input)
Damping
Modal
Physical Viscous
Physical Structural
Uncoupled Physical Damping
Coupled Physical Damping
Frequency Dependent Stiffness and Damping
Response Output
Standard Disp, Vel, Acce, Stress, Strain, Force ..
Cross Spectral Density for PSD
Crossing Rates for PSD
Other
System Analysis with Superelements
Transfer Function Boundary Conditions
Mode Acceleration
/ Residual AG
Vectors
Unrestricted
/ © Siemens
2013. All
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Reserved.
Rights
Réponse Transitoire
Description
 Chargements définis par une fct temporelle
 Prendre en compte les effets des conditions
initiales
 Intégration de Newmark pour la résolution
Applications







Drop test
Simulation d’impact (Claquement porte)
Explosion
Chargement à la base – Sismique
Chgt en pression suite à une explosion
Impact à des bosses
Simulation pour la fatigue
NX Nastran Solutions
Mu(t ) Bu (t )
u ( 0) u 0
u (0) u 0
Ku (t )
P(t )
P(t )
 SOL 109 – Direct
 SOL 112 – Modal
NX RS Solutions
 Modal Transient
Page 24
Transient Simulation Example
Entertainment Ride Analysis for Durability
Description
 Predict analytical stress on components of
ride machine
 Use to compute fatigue life
 Measured actuator loads applied to MBD
model
 Joint forces from MBD applied as transient
load on FE model component
Time response
101.48
50.00
0.00
Transient Load
-50.00
Results
 Strain prediction at point compared well to
strain gage measurement
 Validated overall stress predictions
-100.00
-109.61
0.00
100.00
Time (seconds)
15 :
4172XX 1
Transient (Mode Acceleration) Event- TIME_EVENT_1
Node Number 4172 Direction XX
200.00
272.00
Time response
134.94
100.00
Stress Contour
at one time
0.00
-100.00
Test
Strain Response
FE Model
-181.05
110.03
Page 25
111.00
8:
23X+ 1
LIFT CARRIAGE
Strain Gage Data
112.00
113.00
Time (seconds)
114.00
54 :BOT 4172XX 3
TRANSIENT_EVENT_1
Node 4172 : XX
115.00
Réponse Temporelle non linéaire.
Description
 Chargements définis par une fct
temporelle
 Prendre en compte les effets des
conditions initiales
 Grand déplts ou Non linéarité matière
 Intégration de Newmark avec Newton
raphson pour la converge en raideur
Applications
Mu(t ) Bu (t )
u ( 0) u 0
u (0) u 0
K ( t )u ( t )
P (t )
 Drop test
 Impact
 Plastcité
P(t )
Page 26
Transient Simulation Example
Container Drop Simulation
Description
 Composite container that housed an inner
steel tube. Tube connected to container by
isolator rubber mounts.
 Drop composite container from 18” height
 Look at stresses in ply and steel tube
 Look at forces in mounts
18” Freefall to impact
Solution Set-up
 Applied initial velocity of 116 in/sec
 Time step size from .000025 to .001 secs
CBUSH1D Forces
180
160
140
120
Force (lbf)
100
80
60
40
20
0
0.00E+00
5.00E-03
1.00E-02
1.50E-02
2.00E-02
2.50E-02
3.00E-02
3.50E-02
-20
Time (Sec)
Page 27
101
102
103
111
112
113
121
122
123
131
203
211
212
213
221
222
223
231
232
233
132
133
201
202
Réponse Fréquentielle
Description
 Chargement définis par un spectre
fréquentielle
 Chargements sont périodiques
2
M
i B
K
iK h U ( )
P( )
Applications
 Chargement combustion Moteur
 Equilibrage de roue
 Bruit (Engrenage)
P( )
 SOL 108 – Direct
 SOL 111 – Modal
Frequency Hz
NX RS Solutions
 Modal Frequency
Page 28
Frequency Simulation Example
Helicopter Loads from Engine Vibrations
Description
Peak Sine Acceleration - g
 Harmonic loadings at rotor speeds
 Use MIL-STD810F equipment loading
specifications
 Evaluate instrument panel component
A2P
Sine Accel
Envelope
A4P A6P
A1P
f1P
Results
f2P f4P f6P
Log Frequency Hz
 Solve sine envelope as spectrum
 Filter envelope to rotor harmonics
Response (red
dotted) filtered to
Frequencies of Sine
Tone
6P
Response
Lateral Harmonics
Lat Envelope Spec
Base Envelope Spec
Spectrum of Envelope of
Sine Tones Used as Input
4P
2P
1P
Page 29
Base Input
Frequency Simulation Example
Truck Drive-train Gear Vibration
Description
 Imperfect gear meshing (transmission
error) causes relative displacement
excitation between gear teeth.
 Gear whine noise comes from gear
mesh excitation transmitting from drive
train into the body
 Slow speed sweep acceleration gives
uniform transmission error excitation
over wide frequency range
Shock Absorber
Carrier / Diff Case /
Ring Gear
Axle Tube
Axle Shaft
(in Axle Tube)
Hypoid Pinion
Shaft
Slip Yoke
Driveshaft
Wheel
Z
Results
Y
 Noise in vehicle relates closely to
driveshaft torsion response
 Model correlated to operating test data
 Tuned damper predicted and tested to
reduce noise
X
Tuned Damper
Test
FE Model
Transmission &
Driveshaft Torsion
Driveshaft
Torsion
Tuned
Damper
Driveshaft
Torsion
Page 30
Réponse Aléatoire
PSD
Description
S PP ( )
 Chrgt sont aléatoires par nature. Mais avec :
 Une distrubution Gaussienne, moyenne nulle
 Ergodic (Statiques ne change pas avec le temps)
E P * ( ) P( )
PSD
Applications




Chargement de Lancement
Analyse de turbulence
Chargement Aéraulique (Vent)
Simulation Véhicule sur piste
 SOL 108 – Direct PSD
 SOL 111 – Modal PSD
SUU ( )
H * ( ) S PP ( ) H ( )
NX RS Solutions
 Random PSD
U
Page 31
SUU ( ) d
PSD Example
Helicopter Loads from Turbulence
Description
Acceleration PSD - g2/ Hz
 Acceleration loading from aerodynamic
turbulence
 Use MIL-STD810F aero dynamic loading
specifications
 Evaluate full helicopter structure
 Evaluate stress in rotor components
Accel
PSD
10
500
Results
 Evaluated tensor stresses
 Worst RMS stress is 3% of allowable stress
YY-Stress PSD
RMS=6.5 MPa
Page 32
Response Spectrum Method
Ai
Description
 Loads represent a shock transient but are defined
by spectrum function
 Design method by using peak SDOF response
scaling to scale mode response
 Total response is combination of peak modal
responses
 Typical combination methods: SRSS, ABS, NRL
A
i
T
Q
Applications
 Earthquake load
 Blast loads
 Shipboard equipment shock - DDAM
~
X ji
ji
1
ff
M ff K K fs
Modal
Participation
Factor
jth Peak
Response
from Mode i
Qi Ai
N
 SOL 103 – Response Spectrum
 SOL 187 – DDAM
NX RS Solutions
ABS
Xj
X ji
1
N
SRSS
X 2ji
Xj
Modal
Combination
Methods
1
 Response Spectrum
 DDAM
N
NRL
Xj
X 2ji
X j max
X 2j max
1
Page 33
DDAM Analysis
Description
 Special case of response spectrum
 Spectrum represents base loads on shipboard
equipment from blast loads
 Spectrum encapsulated in equations
 NRL combination method typically used
 Analyze for directions
 Developed for in/lbs unit sets
Ai
386g min
iV0
386 A0
if
386g min / V0
i
if 386g min / V0
i
if
386 A0 / V0
i
Ao
c1 * 20.(
(37.5 Wi )(12. Wi )
(g' s)
2
6 Wi
Vo
c2 * 60.
12. Wi
(in/sec)
6. Wi
DDAM Functions Depend on




Vessel Type: Surface or Submarine
Equipment location: Hull, Deck, Surface Plating
Blast direction: fore-aft, athwartship, vertical
Yield Allowable: Elastic or Plastic
386 A0 / V0
in/sec 2
Ao: Reference acceleration in g’s
Vo: Reference velocity values in in/sec
Ai: Design acceleration of the ith mode in in/sec2
th
i: Omega, modal frequency of i mode in rad/second.
gmin: Minimum design acceleration in g’s.
Wi: Modal weight of the ith mode in kips (this is computed from the
effective mass of the mode multiplied by 386, divided by 1000.)
c1 and c2 : coefficients to account for direction and elastic and plastic
effects.
Page 34
MERCI !
Page 35
2013-06-03

Analyse modale

Transcription

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