n - MathArtaud

Terminales S3
Cahier de textes 2ième Trimestre
Livre: Hyperbole Nathan
samedi 12 mai 2007
19:51:23
Lundi 11 décembre 2006 (2h):
Rappels de première:
●
●
●
Lignes trigonométriques des angles « classiques ».
Mesure principale d'un angle.
Où se « voit » la tangente!!
12-2: Module et argument de l'inverse
Exemples
12-3: Module et argument d'un quotient
Exemples
Mercredi 13 décembre 2006 (2h):
12-4: Module et argument de
Avec
z
n
z=cosi sin  on a:
n
n
n
n
z = cos isin = cosn i sinn  .
Exemples
13: Complexes et vecteurs:
●
z B −z A
est l'affixe de

AB
; ∣z B−z A∣=AB et
Argz B −z A =u ; 
AB .
Exemples: Médiatrice
●
Avec
Z=
z D −zC
z B− z A
on a
∣
∣Z∣=
z D −z C ∣z D −z C∣ CD
=
=
z B −z A ∣z B −z A∣ AB
∣
et
Arg Z =Arg 
z D − zC
=
AB ; 
CD  .
z B −z A
Jeudi 14 décembre 2006 (3h):
Exemples: Alignement de points; Déterminer l'ensemble des points M d'affixes z tels que:
un nombre réel .
14: Équations du second degré à coefficients Réels ; extension au cas
z−3
soit
z−i
0
14-1: Racines carrées complexes mais non réelles d'un réel négatif; équation: z 2 =a0
14-2: Équation du second degré à coefficients Réels:
Si
0 , l'équation : az²bzc=0 ( avec a, b et c nombres réels et a≠0 ) a deux
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solutions non réelles, complexes conjuguées:
z1 =
−bi  −
2×a
et on a
et
z 2=
−b−i  − 
2×a
az²bzc=a z−z1 z−z2 
Exercices: 31-35-36-37-38
Mercredi 20 décembre 2006 (2h):
14: Notation exponentielle
cos i×sin =e
i
;
z=aib=ei  ; ei 1∗ei 2=e i 12 ;
∣ei ∣=1
etc....;
et : ei  1=0
15: Nombres complexes et géométrie (Suite...)
15-1: Rappels:
Argument et module de
zB −z A =z
AB
Argument et module de
z D −z C
avec A≠B
z B− z A
15-2: Nombres complexes et translations.
u d'affixe
zu on a:
t u  M = M ' équivaut à
z' = z zu
Avec M d'affixe z , M' d'affixe z' et

MM ' =u
équivaut à
15-3: Écriture complexe d'une homothétie de centre
 d'affixe
et de rapport

k ∈ℝ
Le point M' d'affixe z', image de M d'affixe z par l'homothétie ci-dessus, est défini par:

 M ' =k 
 M qui équivaut à: z' =k z− 
Exercice.
15-4: Nombres complexes et rotations.
Exemple
Écriture complexe d'une rotation de centre
 d'affixe

et d'angle
 :
L'affixe z' de M', image de M d'affixe z dans la rotation de centre
d'angle

 d'affixe 
et

M
'=
M
, est définie par: z'=e i  z− ; ceci équivaut à:

 M ;
 M '=
{
Exercices
Jeudi 21 décembre 2006 (2h):
Exercices: 44-48-52-53-54-55-56-60-61-74
Lundi 8 janvier 2007 (2h):
Aide DM 7
et révisions pour DS de jeudi...
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Mercredi 10 janvier 2007 (2h):
Quelques compléments et rappels:
●
Équation paramétrique du cercle en complexe
●
Définition des racines d'une fonction polynôme
●
Points invariants
Exercices en classe:
Amérique du Nord juin 2005
Liban juin 2004
Jeudi 11 janvier 2007 (3h):
Matin:
DS 4
2 heures
Après midi:
Correction DS 4
Mercredi 17 janvier 2007 (2h):
Fin de la correction du DS 4
Chapitre 12 du livre:
Orthogonalité
Produit scalaire dans l'espace
1: Rappels première ; Produit scalaire dans le plan
•
Définition
•
Différentes expressions
•
Propriétés
•
Applications: « Al-Kaschi »; formule de la médiane; formule des trois sinus.
2: Équation de droites
Méthode troisième
Méthode colinéarité
Jeudi 18 janvier 2007 (3h):
Vecteur normal d'une droite: définition
Équation d'une droite définie par un point et un vecteur normal dans un repère orthonormé.
Réciproque: l'ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient une équation du type:
ax by c=0 dans un repère orthonormé est une droite de vecteur normal 
n a ; b
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4: Distance d'un point
A xA ;y A 
à une droite

d'équation axbyc=0 :
dA , =AH=
∣ax Aby Ac∣
 a 2b2
.
Après-midi: DS 1heure de rattrapage du DS 4
Lundi 22 janvier 2007 (2h):
Exercices de révision pour le bac blanc de vendredi
Jeudi 25 janvier (1h):
Exercices de révision pour le bac blanc de vendredi (suite)
Vendredi 26 janvier 2007 (4h):
DS 5: Bac Blanc commun aux quatre terminales S du Lycée
4 heures
Mercredi 31 janvier 2007 (2h):
5: Produit scalaire dans l'espace
5-1: Projections orthogonales sur un plan; sur une droite.
5-2: Définition du produit scalaire dans l'espace
5-3: Propriétés
5-4: Vecteur normal à un plan
5-5: Équation d'un plan défini par un point et un vecteur normal; réciproque.
Jeudi 1 février 2007 (3h):
5-6: Distance d'un point à un plan.
La distance d'un point
A xA ;y A ;z A
à un plan
P
d'équation
dA , P=AH=
ax by cy d=0 est:
∣ax Aby A cz Ad∣
 a 2b2c2
avec H, projeté orthogonal de A sur P.
5-7: Demi- plan dans le plan; demi-espace dans l'espace
5-8: Équation d'une sphère.
Exercices
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Lundi 5 février 2007 (2h):
Chapitre 14 du livre
Conditionnement et indépendance
1: Rappels Première
•
Univers, évènement élémentaire, évènement, réunion, intersection, évènements contraires.
•
Probabilité
•
Divers exemples ( dont "Lapin-Tortue")
•
P A∪B=P AP B−P  A∩B
•
Variable aléatoire, loi de probabilités, Espérance, écart type.
Mercredi 7 Février 2007 (2h):
2: Conditionnement par un événement de probabilité non nulle
2-1: Exemple
2-2: Définition
2-3: Événements indépendants; variables aléatoires indépendantes
2-4: Formule des probabilités totales
Soit {A i }1 i n une famille d'évènements de l'univers  d'une expérience aléatoire, formant une
partition de  et B un évènement de  , alors on a:
n
n
1
1
PB=∑ PA i∩B=∑ PA B×PA i 
i
.
Exercices: 18-22-27 à finir.
Jeudi 8 février 2007 (3h):
Exercices 31-32-36-42-49-58
Mercredi 14 Février 2007 (2h):
Chapitre 15 du livre:
Dénombrements
Lois de probabilité
1: Position du problème
2: Dénombrements
2-1: Exemples: Loto sportif; tiercé; loto.
Tirages successifs avec remise de p parmi n; il y en a: n p
Tirages successifs sans remise de p parmi n; il y en a:
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n!
n− p !
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Tirages simultanés de p parmi n; il y en a:
n!
n=
p p!×n− p!

Jeudi 15 février 2007 (3h):
Première heure:
3. Propriétés:
 n0=1
,
Exercices sur
n!
n=
p p!×n− p!

 n−1
nn=1  np =n−n p   np = n−1

p−1  p 
2-2: Définition des combinaisons de "p parmi n"; démonstration de la formule:
n1=n
n!
n=
 p  p!×n− p!
,
,
,
Deuxième heure:
Chapitre 6:
Fonctions exponentielles
Croissances comparées
1: Croissance comparée de
lnx
=0
x
x ∞
lim
ex
lim =∞
x ∞ x
x e x
;
xx
;
x  xn
;
x  lnx
(
n∈ℕ* )
Démonstration
(Rappel)
Troisième heure: Révisions du Ds de Samedi
Samedi 17 février 2007 :
DS 6
Commun
4 heures
Lundi 19 février 2007 (2h):
4. Calcul de proche en proche: Triangle de Pascal.
5. Formule du binôme de Newton:
n

n– k k
ab = ∑ n a b ; démonstration par récurrence.
k=0 k
n
Exemples
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Mercredi 7 Février 2007 (2h):
6. Lois de probabilité discrètes
6-1: Épreuve de Bernoulli
6-2: Schéma de Bernoulli; Loi binomiale B(n,p)

PX=k = n pk 1 – pn – k
k
6-3: Propriétés admises
La loi binomiale de paramètres (n;p) a pour
●
Espérance mathématique: EX=n×p
●
Variance: V X=n×p×1– p
Exercices: 32-34-36-44-46
Jeudi 15 février 2007 (3h):
Suite du chapitre 6
x e x
Croissance comparée de
;
xx
;
x  xn
;
x  lnx
lnx
=0
x
x ∞
lim xe x =0 (Rappel)
ex
=∞ (Rappel)
x ∞ x
x
e
lim n =∞
x ∞ x
n ∈ℕ* )
lim
lim
lim
(
x ∞
lnx
n =0
x
lim x n ln x=0
x 0
x0
x −∞
lim x lnx=0
lim x n e x =0
x 0
x0
x −∞
2: Fonctions exponentielles de base a, avec a réel strictement positif .
2-1: Exemple d'introduction
2-2: Définition:
f x=a x=e x lna 
2-3: Propriétés algébriques
2-4: Propriétés fonctionnelles
Sens de variations; cas
0a1
a1
;
a=1
(éliminé pour la suite du chapitre) et
Limites
Allure des courbes:
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Lien avec les suites géométriques: passage du « discret » au « continu »: exemple d'un
prêt de banque.
3: Fonctions racines n-nième.(
3-1: Fonctions
n∈ℕ
x  xn
3-2: Définition pour
n2
et
)
; théorème des valeurs intermédiaires sur
a0
:
n
 a=x
équivaut à
x n=a
[ 0;∞[
; premières propriétés.
3-3: Dérivabilité
3-4: Allure des courbes:
Compte rendu du DS6
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Exercices: 80-83-84-86
Lundi 12 mars 2007 (2h):
Chapitres 8 et 9 du livre:
Intégration
1: Notion intuitive d'aire: existence; additivité; comparaison.
2: Position du problème
Retour sur le DM 1
Avec A=Aire du domaine délimité par la parabole
et
x=1
, on avait montré que
A=
1
3
x  x2
; lien avec
, l'axe des abscisses et les droites
F:x 
x=0
1 3
x ;
3
problème de l'unité d'aire; notion de primitive.
Deuxième exemple avec une fonction affine et l'aire du trapèze.
3: Intégrale d'une fonction CONTINUE et POSITIVE sur un intervalle [a;b] avec
a b
3-1: Définition;
3-2: Propriétés (admises)
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a
3-2-1: Si
a=b
∫ f  xdx =0
,
a
b
3-2-2: Relation de Chasles:
c
∫ f  xdx ∫ f  xdx=∫ f  xdx
a
b
3-2-3: Linéarité:
c
b
a
b
b
∫  f gx dx=∫ f x dx∫ g xdx
a
a
a
b
et pour tout
∈ℝ
,
b
∫  f  xdx=∫ f  xdx
a
a
3-2-4: Ordre
3-2-5: Signe
3-2-6: Valeur moyenne
3-2-7: Inégalités de la moyenne
3-3: Extension à d'autres fonctions
3-3-1: Fonctions négatives
3-3-2: Fonctions de signe quelconque
3-3-3: Fonctions continues par morceaux
Mercredi 14 mars 2007 (2h):
4: Notion de primitive
4-1: Définition
4-2: Ensemble des primitives
4-3: Unicité de la primitive passant par un point; lien avec les équations différentielles.
5: Recherche de primitives
5-1: Fonctions usuelles
Les résultats de ces tableaux s'établissent en vérifiant que l'on a bien F'=f sur l'intervalle considéré.
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Fonction primitive F
Fonction f
(c = constante réelle)
k ∈ℝ
f x=k ,
Fx=
f x=axb
f x=x
Fx= kxc
ℝ
1 2
ax bxc
2
ℝ
1
F x=
x n1 c
n1
n
n∈ℤ ; n≠0 et n≠−1
f x=
1
ℝ
1 2
x c
2
Fx=
f x=x
Intervalle
ℝ , si n > 0 ;
] 0 ;∞[ ou ]−∞ ; 0[ si n0 .
Peut s'étendre à x  , ∈ℝ* , ≠−1 sur
] 0 ;∞[
Fx=2  xc
] 0 ;∞[
1
Fx=− c
x
] 0 ;∞[ ou ]−∞ ; 0[
f x=cos x
Fx=sin xc
ℝ
f x=sin x
Fx=−cos xc
ℝ
x
f x=
1
2
x
f x=1 tan 2 x=
f x=e x
f x=
1
x
1
2
cos x 
Fx=tanxc
]−
 
; [
2 2
Fx=e x c
ℝ
Fx=ln xc
] 0 ;∞[
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5-2: Primitives et opérations
Fonction
Une primitive
u ' v '
uv
ku ' ; k ∈ℝ
ku
Conditions
ℝ si n > 0 ;
u ' un
1
u n1
n1
u'
u
2
v′
v2
−
u
u > 0 sur I
1
v
v≠0
sur I
u0
sur I
u 'e u
eu
u'
u
ln u 
u 'v ' o u
vou
Un cas particulier fréquent de
la précédente:
f ax  b ; a≠0
si n0
Peut s'étendre à u ' u 
∈ℝ* ; ≠−1 sur
] 0 ;∞[
n∈ℤ ; n≠0 et n≠−1
si u est une fonction affine
] 0 ;∞[ ou ]−∞ ; 0[ et u≠0
au bon endroit...
F'=f
1
Fax b
a
au bon endroit...
Et encore pour la physique:
1
sin  t

f t=cos  t ; ≠0
Ft =
f t=sin  t  ; ≠0
Ft =−
1
cos  t

ℝ
ℝ
Exercices.
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6: Lien Intégrales – Primitives
6-1: Fonction "Aire"
x
Définition: Fx=∫ f t dt
avec f définie positive sur [ a ; b ] , et x∈[ a ; b ]
a
Quelques exemples dont
x
∫ Ent t  dt=
0
 Ent x−1 Ent  x
 x−Ent x  Ent  x
2
6-2: Théorème fondamental du calcul intégral (Énoncé)
[a;b] ,
Si f est une fonction CONTINUE sur
x
[ a ; b ] par : Fx=∫ f  t dt
Alors la fonction F, définie sur
est DÉRIVABLE sur
[a;b]
a
x
Et pour tout
x∈[ a ; b ] , on a F' x=∫ f t dt '=f x et Fa=0 . F est donc la seule primitive de f
a
qui s'annule en a.
Jeudi 15 mars 2007 (3h):
Démonstration du théorème
6-3: Conséquences théoriques
6-3-1: Toute fonction continue sur [ a ; b ] admet des primitives sur
x
6-3-2: La fonction
1
x
]0 ;∞[ or la dérivée de
étant continue sur
x  ln  x étant
[a;b]
]0 ;∞[ , elle admet des primitives sur
x
x
1
x
on a
ln  x =∫
1
1
dt ;
t
ceci justifie l'existence de la fonction logarithme comme primitive de la fonction
sur
x
1
x
]0 ;∞[ ....
6-3-3: L'existence de la fonction logarithme justifie alors l'existence de la fonction
exponentielle comme fonction réciproque de la fonction x  ln x qui réalise une
]0 ;∞[ sur ]−∞ ;∞ [ ...Il nous reste à démontrer la dérivabilité de
x  ln x , admise en première lecture, pour que le cours d'analyse de cette année
soit démontré.
bijection de
6-3-4: Il existe des fonctions continues dont on ne sait pas calculer de primitives explicites;
la méthode des rectangles et d'autres, plus performantes, seront donc encore utilisées
pour calculer des intégrales...
x
2
Exemple: F: x  ∫ e− t dt
0
6-4: Conséquences pratiques
Si f est continue sur [a;b] alors, pour toute primitive F de f sur [a; b], on a:
b
F b−F a=∫ f t  dt
.
a
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Application aux calculs d'aires.
Exemples.
Exercices
Lundi 19 mars 2007 (2h):
7: Intégration par parties
Si u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle [a;b]
et si u' et v' sont continues sur [a;b]
b
alors
b
∫ u ' t ×v t dt =[ ut ×v t ]ba −∫ ut ×v ' t dt ;
a
a
en notation abrégée:
2
Exercices
2
∫ t ×et dt
0
∫ u ' v=uv−∫ uv '
;
∫ t 2 ×et dt
0
x
;
∫ ln t dt
1
Mercredi 21 mars 2007 (2h):
8: Aire entre deux courbes
9: Calcul intégral et volumes
9-1: Si S est une fonction continue sur [a;b] et si S(z) mesure l'aire d'une coupe de côte z d'un solide,
b
alors le volume du solide entre les côtes a et b est donné par: V=∫ Sz dz .
a
Exercice: Volume de la sphère
9-2: Volume d'un solide de révolution
Si f est une fonction continue sur [a;b] alors le volume du solide engendré par la rotation de la courbe
b
représentative de f entre a et b, autour de l'axe des abscisses, est donné par: V=∫ f t 2 dt
.
a
Exercice: Volume engendré par t  1−ln t entre 1 et e .
9-3: Volume d'un solide "pointu" ( pyramide, cône, etc.).
Le volume d'un solide de sommet S et dont la base a une aire égale à B et de hauteur h est donné par:
1
V= Bh . Démonstration.
3
Exercice 73
Jeudi 22 mars 2007 (3h):
Exercices de révision du DS 7 de samedi.
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Samedi 24 mars 2007 (4h):
DS 7
4 heures
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