Caractérisation des paramètres de fluage de composant UV

Les vecteurs de l’innovation en horlogerie
Matériaux, calculs et conception
Journée d’Etude SSC
SwissTech Convention Center, EPFL, Lausanne
17 septembre 2014
Caractérisation des paramètres de fluage de composant UV-LiGA à l’aide d’une
optimisation paramétrique
Grégoire Genolet, Didier Forclaz, Mimotec SA, Route des Iles 20, 1950 Sion
Roberto Rossetti, Pierre-Louis Ruffieux, CADFEM Suisse AG, Av. de la Poste 3, 1020 Renens
Résumé
L’évolution des propriétés mécaniques des matériaux soumis à de contraintes de longues durées est méconnue et peut être la
cause de dysfonctionnements difficiles à prédire. La relaxation de contrainte en particulier se base sur l’expérience acquise au
cours du temps. Pour les nouveaux matériaux issus de techniques de fabrication récentes, cette connaissance est encore souvent
ignorée. Afin de remédier à ce manque, des mesures de relaxation sur des éprouvettes en flexion de dimensions horlogères ont été
effectuées. Les coefficients de différentes lois de fluage et relaxation de contraintes ont ensuite été déterminés par des méthodes
d’optimisation paramétrique afin de connaître et d’optimiser les plages d’utilisation des matériaux.
Introduction
Développée à la fin des années 1990, la technologie UVLiGA permet la fabrication de microcomposants en utilisant
une liberté de design quasi-absolue avec des facteurs de
forme élevés et plusieurs niveaux. L’image de la figure 1
illustre un composant tirant partie des avantages de l’UVLiGA. Dérivée de la micro-électronique, cette technologie
utilise l’électroformage épais pour remplir de métal des
cavités obtenues par photolithographie.
Fig. 1 : Secteur avec lame ressort variable et dents fendues
Malgré les nombreux avantages fournis par ce procédé, la
fabrication de composants est freinée par le nombre de
matériaux disponibles pour l’électroformage épais.
Actuellement, le nickel et ses alliages (NiP, NiCo, NiFe)
sont principalement utilisés. Le cuivre et l’or sont également
disponibles, mais avec des propriétés mécaniques et des
duretés limitées. Le nickel et le NiP étant largement utilisés
pour leurs propriétés élastiques (le NiP étant de surcroît
amagnétique), il est nécessaire de connaître les propriétés
mécaniques de ces nouveaux matériaux utilisés dans le
domaine horloger en particulier. Les matériaux traditionnels
utilisés en horlogerie ont été choisis pour leurs propriétés
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mécaniques particulières et le dimensionnement des
composants se base souvent sur l’expérience.
Fluage et relaxation
L’évolution des propriétés mécaniques des matériaux lors
de contraintes de longues durées est méconnue et peut
être la cause de dysfonctionnements difficiles à prédire. En
particulier, un ressort chargé perd de sa contrainte au cours
du temps. Ce processus est appelé relaxation de
contrainte. Le fluage et la relaxation, phénomènes couplés,
provoquent des déformations permanentes du ressort ayant
subi une charge de longue durée. Un déplacement imposé
engendre une perte de force ainsi qu’une déformation
résiduelle qui croît rapidement dans un premier temps. Au
fur et à mesure que la force de rappel diminue, la vitesse
de déformation est ralentie.
Afin de caractériser ces deux phénomènes, Mimotec SA a
effectué des séries de mesure de relaxation sur des
éprouvettes en flexion fabriquées en nickel à l’aide du
procédé UV-LiGA. L’éprouvette en flexion a été choisie
pour deux raisons principales. C’est tout d’abord le cas qui
s’approche le plus de l’application d’un ressort horloger
dans le mouvement. Ensuite, elle permet d’imposer de
grands déplacements, ce qui facilite la mesure. L’image de
la figure 2 illustre l’éprouvette utilisée pour les différentes
mesures.
Fig. 2 : Eprouvette de flexion à section variable
1
La mesure du phénomène de relaxation n’est pas simple à
appréhender. La variation des forces de rappel de ressorts
chargés sont très faibles sur des périodes de plusieurs
jours (< 50 mN). Une première approche consistant à
mesurer avec un capteur de force l’évolution de la force de
rappel de l’éprouvette chargée a dû être abandonnée, car il
n’a pas été possible de mesurer une variation de force avec
suffisamment de précision sur le long terme. Ce type de
mesure a été limité à 24h et a permis de mettre en
évidence une relaxation non négligeable du nickel
électroformé utilisé pour la fabrication des composants par
UV-LiGA. C’est également ce genre de mesure qui avait
permis de visualiser l’amélioration produite par un
traitement thermique sur ce phénomène (Figure 3).
de charge représentatif d’une application généralement
utilisée en horlogerie, car elle ne tient pas compte de
phases de décharges cycliques. La géométrie de
l’éprouvette a également été choisie afin d’avoir le
maximum de matière qui travaille à forte contrainte, pour
pouvoir maximiser le phénomène de relaxation. Il s’agit de
la méthode la plus simple pour caractériser les propriétés
en relaxation d’un matériau dans des dimensions
caractéristiques du monde horloger.
Fig. 5 : Evolution de la déformation résiduelle pour des
contraintes initiales allant de 320MPa à 1000MPa et des
durées jusqu’à 85 jours.
Fig. 3 : Relaxation de contrainte sur 24h d’une éprouvette
en flexion en nickel avec et sans traitement thermique
Afin de quantifier la relaxation sur de plus longues périodes,
une deuxième approche consistant à charger une
éprouvette sur un posage en imposant un déplacement
constant a été mise en œuvre. Le phénomène de relaxation
a ensuite été quantifié en mesurant la déformation
résiduelle après décharge périodique de l’éprouvette. Afin
de faciliter la charge et la décharge, l’éprouvette a été
chargée au moyen d’un micromètre (Figure 4). La mesure
de la déformation se faisant à l’aide d’un appareil de type
Marcel Aubert.
L’évolution des déformations résiduelles dans le temps est
liée à la relaxation de contrainte, car elle engendre une
perte de force de rappel. Ce comportement se rapprochant
des lois de fluage, la question s’est posée s’il était possible
d’utiliser des méthodes d’optimisation paramétrique sur un
modèle par éléments finis, afin de simuler ce phénomène.
Simulation numérique du fluage
La méthode classique pour caractériser expérimentalement
le fluage d’un matériau s’appuie sur une éprouvette
standard mise en traction par une force constante, un poids
par exemple. La température est maintenue constante.
L’éprouvette subit ainsi une contrainte normale constante et
un allongement facilement quantifiable au cours du temps.
Sur la base d’un nombre suffisant de mesures, la loi
décrivant le fluage du matériau est déterminée de façon
analytique. Ce calcul simple des coefficients de fluage est
peu envisageable dans le cas présent car l’état des
contraintes dans l’éprouvette n’est pas constant, ni dans sa
section, à cause de la flexion, ni au cours du temps, à
cause de la relaxation des contraintes.
σ = σ ( y, t )
(1)
De plus, de grands déplacements sont imposés rendant la
rigidité de l’éprouvette dépendante de ce déplacement.
Fig. 4 : Posage pour la mesure de relaxation avec une
éprouvette de flexion soumise à un déplacement de 330µm
Pour faire abstraction des effets viscoélastiques, toutes les
mesures ont été faites 3 minutes après le déchargement.
Ce type de cas de charge permanent a été choisi pour
pouvoir mettre en évidence et quantifier de manière
simplifiée le phénomène de relaxation. Ce n’est pas un cas
2
K = K (u )
(2)
L’utilisation de la Méthode des Eléments Finis (FEM)
s’avère alors efficace.
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ε cr =
Modélisation du fluage
La courbe d’allongement mesurée lors d’un essai
mécanique de fluage présente trois zones distinctes, il
s’agit des modes de fluage:
• Le fluage primaire avec une forte croissance de
l’allongement suivi par une diminution de la vitesse de
fluage par écrouissage.
• Le fluage secondaire avec une vitesse de
déformation relativement constante.
• Le fluage tertiaire avec une accélération de la
déformation menant à la rupture.
Dans cette étude, nous nous intéresserons aux deux
premiers modes uniquement.
εcr:
σ:
T:
t:
Ci:
C1σ C2 t C3 +1e−C 4 / T
+ C5σ C6 te− C7 / T
(C3 + 1)
(5)
allongement du au fluage [-]
contraintes [MPa]
température [K]
temps [s]
coefficients de fluage dépendant du matériau
Les coefficients C4 et C7 sont considérés nuls. L’influence
de la variation de température est négligée. La loi de fluage
(5) se réduit ainsi à une loi de Norton-Bailey pour le mode
primaire et de Norton pour le mode secondaire [4].
Modélisation de l’éprouvette
L’éprouvette travaillant dans le plan, une modélisation 2D à
l’aide du logiciel d’Eléments Finis ANSYS Mechanical® a
été réalisée. Dans un modèle 2D, l’épaisseur de la pièce
est considérée comme un paramètre du calcul et la carte
des contraintes est constante dans cette direction. La
géométrie a été discrétisée par des Eléments Finis
quadrilatères à fonction de forme quadratique (Figure 7).
Les grands déplacements et le fluage ont été pris en
compte comme non-linéarités. L’éprouvette a été simulée à
une température constante.
Fig. 6 : Trois modes principaux du fluage
Une loi de fluage peut décrire un ou plusieurs modes. Elle
exprime en général le taux de fluage (ε̇cr) et dépend des
paramètres suivants: le niveau de contraintes, la
température, le temps.
ε&cr = f1 (σ ) f 2 (ε ) f 3 (t ) f 4 (T )
(3)
La littérature propose diverses lois pour les alliages
métalliques. Pour le mode primaire, le taux de fluage est
exprimé en général en fonction de la contrainte ou du
temps, élevé à une puissance. Pour le mode secondaire,
on retrouve communément une relation du type suivant: le
produit d’une constante, du coefficient de diffusion, qui
décrit la mobilité des atomes et du niveau de contrainte,
élevé à une puissance [3]:
ε&cr = ADσ n = A'⋅σ ne
A, A’, θ:
n:
D:
σ:
T:
−
Fig. 7 : Maillage de l'éprouvette
Maillage de l’éprouvette
Nombre d’éléments
Nombre de noeuds
5’231
16’650
Tableau 1
θ
T
(4)
constantes
exposant
coefficient de diffusion [m2 s-1]
contraintes [MPa]
température [K]
Les conditions limites se résument au blocage des
déplacements aux points de fixation de l’éprouvette. Un
déplacement est imposé sur l’arrondi de la pointe de la
poutre de façon similaire à la mesure.
La loi pour la caractérisation du fluage primaire et
secondaire choisie est celle dite de "Combined Time
Hardening" disponible dans le logiciel de calcul utilisé et
proche de la relation (4). Elle décrit l’allongement dû au
fluage dans sa forme explicite [1]:
Fig. 8 : Conditions limites et chargement
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Les résultats issus de la simulation FEM sont les
contraintes dans la pièce (Figure 9), l’allongement du au
fluage (εcr), en figure 10, les déformations résiduelles (dres),
et la force de rappel (ou de réaction), en figure 11.
points mesurés et calculés d’une courbe de déformations
résiduelles pour un déplacement constant, respectivement
pour un niveau de contrainte initial donné de l’éprouvette.
Fig. 9 : Contraintes équivalentes dans la poutre
Fig. 12 : Déformations permanentes mesurées et simulées
pour une charge initiale de 30% de la limite élastique
Optimisation paramétrique
Fig. 10 : Allongements dus au fluage
L’éprouvette a été dimensionnée de telle sorte que les
contraintes soient uniformes sur sa longueur. Ceci permet
d’éviter des concentrations de contraintes locales, le calcul
desquelles présente une erreur significative. Cette erreur se
retrouve dans le calcul du fluage et par conséquent dans la
détermination des coefficients de la loi de fluage. Il est à
signaler qu’aucun effet visco-élastique n’a été modélisé
dans le cadre de cette étude même si ce phénomène est
bien présent dans le matériau analysé.
Le défi de cette simulation est de calculer une poutre en
flexion soumise au fluage sans connaître au préalable les
coefficients de la loi (5). Pour résoudre cette situation, la
démarche suivante a été adoptée: sur la base d’une
estimation des coefficients, une première courbe de
déformations résiduelles est calculée. La valeur des
coefficients est ensuite optimisée de telle sorte que l’erreur
entre les points calculés et mesurés soit minimisée. Cet
objectif peut être formulé comme suit:
n
obj = min(∑
1
dresi − dmesi
)
dmesi
(6)
Une astreinte est encore ajoutée à la précédente, la
déformation résiduelle ne peut que croître au cours du
temps.
∀( resi +1 > resi )
Fig. 11 : Evolution simulée de la force de réaction sur la
pointe de l'éprouvette
Simulation de la déformation résiduelle
La simulation reproduit de manière virtuelle la mesure de
relaxation décrite ci-dessus: l’éprouvette est chargée en
imposant un déplacement constant sur son extrémité.
Après un temps t identique à la mesure, l’éprouvette est
déchargée et la déformation résiduelle enregistrée.
L’éprouvette est ensuite à nouveau chargée pour une
nouvelle période, déchargée, la déformation résiduelle
enregistrée et ainsi de suite. Le résultat final est une
succession de points quantifiant la déformation résiduelle
au cours du temps dû au fluage. La figure 12 représente les
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(7)
Le logiciel Optislang® a été utilisé pour ce calcul
d’optimisation de paramètres en choisissant un algorithme
utilisant des surfaces de réponses adaptives dit ARSM [2].
Cet algorithme permet de limiter les optimums locaux tout
en convergeant rapidement. Lors d'une première itération,
les déformations résiduelles sont calculées pour plusieurs
choix de coefficients de la loi de fluage afin d'obtenir une
surface d'interpolation pour la fonction objectif (Figure 13,
itération 1). Le point de cette surface pour lequel la fonction
objectif (6) est minimale est ensuite trouvé. Ce point permet
de fixer un nouveau centre dans l'espace des paramètres
autour duquel un second nuage de points et une nouvelle
surface de réponse seront calculés. Cette procédure est
effectuée automatiquement jusqu'à l'obtention d'une
convergence. En raison des plages importantes de
variations des paramètres de fluage, une série de 40
itérations a été nécessaire au cours de ce projet afin
d'obtenir un modèle de fluage adapté.
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C3
C4
C5
C6
C7
ε cr =
-0.753
0
6.72E-28
4.354
0
C1σ C 2 t C3 +1e −C 4 / T
+ C5σ C 6 te −C7 / T
(C3 + 1)
Fig. 15 : Coefficients issus de l'optimisation paramétrique
Fig. 13 : Représentation schématique du principe
d'optimisation par surfaces de réponses adaptives (ARSM)
Détermination des coefficients de la loi de
fluage
Les pièces horlogères peuvent travailler à différents
niveaux de contraintes. C’est pourquoi il est nécessaire que
la loi de fluage trouvée s’applique sur une large plage de
contraintes. Pour répondre à ce critère, l’optimisation des
coefficients de fluage n’a pas été réalisée sur une seule
courbe de déformation mais sur quatre courbes
simultanément, mesurées à des chargements de 30%,
42%, 45% et 74% de la limite élastique au temps initial, sur
deux éprouvettes de dimensions différentes. La durée des
mesures considérée est de maximum 180 jours.
Les figures 14 et 15 présentent les résultats obtenus avec
la loi de fluage trouvée.
L’optimisation paramétrique donne au final une loi couvrant
bien les différentes mesures représentatives sélectionnées.
Les cinq coefficients variables Ci sont calculés dans un
espace d’optimisation comprenant 23 points de
comparaison. Le nombre d’itérations avoisine les 400,
c’est-à-dire que la déformation résiduelle de l’éprouvette est
calculée environ 400 x 23 = 9200 fois pour un total de
plusieurs dizaines d’heure de calcul sur un processeur à 4
cœurs.
Le calcul a été simplifié au maximum au travers notamment
d’un modèle 2D afin de limiter le temps de calcul par
itération.
Cas d’application
La loi de fluage établie ci-dessus a été appliquée à un doigt
de quantième. Celui-ci est chargé et maintenu en position
durant une semaine. Une déformation permanente est
constatée lorsque la pièce est déchargée.
Ce cas de charge a été mesuré par le fabricant. Une
déformation angulaire permanente après le déchargement
de 2.8° a été relevé.
A l’aide de la simulation par éléments finis, le même cas de
charge a été calculé en tenant compte du modèle de fluage
de cette étude. La déformation angulaire permanente
simulée est de 3.26° (Figure 16). Le temps de calcul est
d’environ 2 minutes sur un processeur 4 cœurs.
Fig. 14 : Déformations permanentes sur quatre niveaux de
chargement avec un seul modèle de matériau
L’objectif de l’optimisation étant de minimiser la somme des
erreurs relatives entre les déformations résiduelles
mesurées et celles simulées, le résultat de l’optimisation
converge vers une valeur de 5,8% d’erreur en moyenne par
point simulé. Cette erreur varie entre 0.02% et 19.1%.
L’erreur est maximale pour le chargement à haut niveau de
contrainte. Les déplacements résiduels simulés sont
supérieures aux mesures. La loi est conservative dans ce
cas.
Coefficients du modèle
de fluage
C1
C2
1.64E-13
2.623
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Fig. 16 : Déformation permanente d'un doigt de quantième
simulée
Analyse de robustesse
L'optimisation livre un ensemble déterministe des meilleurs
paramètres. Une analyse de robustesse stochastique
permet d'aller au delà de cet aspect déterministe en tenant
compte des incertitudes inévitables sur chaque paramètre
d'un système. Dans le cas d'un système mécanique, les
données matériaux, les dimensions géométriques ou les
charges ne sont jamais connues exactement mais sont
caractérisées par des distributions de probabilités.
5
L’analyse de robustesse permet alors d'obtenir l'incertitude
sur les paramètres de sortie d'un calcul comme la force
fournie par un ressort par exemple. Ceci permet de
déterminer le taux de pièces produites qui satisferont le
cahier des charges (fonction, durée de vie) ainsi que les
différents aspects qui doivent faire l'objet d'une attention
accrue lors des contrôles de qualité [2].
Conclusions
Cette étude a permis de quantifier l’effet du fluage sur une
éprouvette en alliage de nickel sollicitée en flexion. Un
système de mesure fiable a été mis en place pour cela. Le
calcul par Eléments Finis couplé à une optimisation
paramétrique a permis de déterminer une loi de fluage et
ses coefficients s’appliquant au matériau utilisé. Ainsi la
déformation résiduelle et la relaxation de contraintes
peuvent être quantifiées au stade de la conception déjà
avant même de produire le premier prototype. La prévision
du phénomène rend possible un dimensionnement plus
précis et plus fiable de composants à base de Nickel
électroformé.
Références
[1]
[2]
[3]
[4]
6
ANSYS Mechanical APDL Theory Reference,
Release 15.0, ANSYS Inc, chap 4.3.1
Methods for multi-disciplinary optimization and
robustness analysis, Optislang, Dynardo GmbH,
Weimar
Issue: April 21, 2014
WILFRIED KURZ, JEAN. P MERCIER, GÉRALD
ZAMBELLI, Introduction à la science des matériaux,
Traité des matériaux, PPR, 282-286
AKLI NECHACHE (2007), thèse de doctorat:
Modélisation du phénomène de fluage-relaxation
dans les assemblages à brides boulonnées munis de
joint d'étanchéité, Ecole de Technologie Supérieure,
Université du Québec, Montréal, 19-28
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