Automatique très pratique - Lagrange

Automatique très pratique
Jean-Pierre FOLCHER
UMR 7293 Lagrange, Université de Nice Sophia-Antipolis/CNRS/Observatoire de la Côte d’Azur, France
Valrose, le 5 cotobre 2012
Plan
1
2
3
4
5
6
Utilité ?
Automatique
Automatique
Automatique
Automatique
Discussion
: une introduction
’classique’ (1940 − 1950 →)
’moderne’ (1960 − 1970 →)
post-moderne (1980 − 1990 →)
[4]
[12]
[14]
[3]
[7]
”La grande force de l’Automatique est que les générations de
théories successives ne se sont pas remplacées les unes les autres,
mais se sont complétées en une construction mathématique d’une
grande richesse.”
Pierre BERNHARD
Utilité ?
1/4
Oui en tant que composante/facette d’un problème complet....
Figure: Electronique ’au sens large’.
Vocabulaire : asservissement, automatique, commande, système, contrôle
optimal
Utilité ?
2/4
Quelques problèmes ’pratiques’ abordés
1
2
3
4
Tondeuse radiocommandée/automatique - Ingénieur & Dea, doctorant - Ecole
des Mines d’Alès / Société SERCI / Université de Monpellier (1989-1991)
Accrochage machine synchrone autopilotée sur le réseau - épreuve montage 9
h & travaux pratiques ’musclés’, Agrégation de Génie Electrique - élève ENS
Cachan (1992)
Commande d’un système de téléopération (dernier chapitre de thèse),
collaboration CEA Fontenay aux Roses (1994-1998) professeur agrégé et
doctorant ENSTA Paris.
Commande manuelle d’un scooter : trajet quotidien de 25 km Roquefort les
pins - Nice, (2008-2012) 3 défauts de la commande = 3 accidents
Utilité ?
5
3/4
Robot Phanthom 500 - Lab. I3S - Univ. Nice Sophia Antipolis (1999→ 2006)
Figure: Mission Iles Orkney (Ecosse, juillet 2000)
Utilité ?
6
Robot Mauve - Lab. I3S - Univ. Nice Sophia Antipolis (1999→ 2006)
Figure: Mission en Mer du Nord, (au large de la Belgique, juillet 2001).
4/4
Introduction à l’automatique
1/12
Qu’est-ce que la commande ?
Commande [control] : interaction entre plusieurs ’dispositifs’ (incluant
’l’homme’ !).
Exemple : la conduite automobile. Le conducteur commande le véhicule pour
atteindre une destination. On parle de commande manuelle [manual control].
Commande automatique [automatic control] : interaction uniquement entre
plusieurs ’dispositifs’.
Exemple : le régulateur de vitesse. Le débit du mélange air/essence est ajusté
en temps réel, en fonction de la sortie du tachymètre, de manière à obtenir
une valeur fixée.
Introduction à l’automatique
2/12
Qu’est-ce que le bouclage ?
Concept fondateur : commande (bouclée) [feedback control]. La
variable/signal contrôlée (régulée) (vitesse, température...) est mesurée par un
capteur et rétroagit [feedback] sur le procédé [process, plant] pour influencer
le signal régulé.
Exemple : le régulateur de vitesse.
Introduction à l’automatique
3/12
Analyse qualitative. Pour un débit de mélange (air/essence) fixé
si la vitesse mesurée est en dessous de la vitesse souhaitée → le régulateur de
vitesse va augmenter le débit du mélange → augmentation de la vitesse du
moteur, de la voiture.
si la vitesse mesurée est en dessus de la vitesse souhaitée → le régulateur de
vitesse va diminuer le débit du mélange → diminution de la vitesse du moteur,
de la voiture.
Introduction à l’automatique
4/12
Eléments générique de la boucle. voir la figure précédente
dispositif principal : le système, procédé [system, process, plant] pour lequel
une variable est à controller (à réguler) [regulated output]
La perturbation d’entrée [disturbance] agit sur le système.
L’actionneur [actuator] est l’élément qui influe sur la variable régulée.
Pour obtenir un bouclage : indispensable de fournir au correcteur
(régulateur) une mesure de la sortie régulée : elle est fournie par le capteur
[sensor].
Le rôle du correcteur (loi de commande) [controller, control law] est de
générer, l’entrée de commande [control input] en utilisant l’entrée de
référence et la sortie mesurée .
Exemple du régulateur de vitesse
1 système : chassis/habitacle de la voiture
2 sortie régulée : vitesse du véhicule.
3 perturbation d’entrée :pourcentage de la pente de la route
4 actionneur : le moteur, capteur : le tachymètre
5 sortie mesurée : vitesse rotation des roues (mis à l’échelle).
Introduction à l’automatique
5/12
Analyse quantitative : modèle simplifié du régulateur de vitesse
Cas régime permanent établi, relations approximées ’linéaires’
Vitesse sur la route mesurée : 55 km/h
Changement d’une unité de la cmde : variation de vitesse de 10 km/h
Changement d’une unité de la pente : variation de vitesse de 5 km/h
Précision tachymètre parfaite (vitesse mesurée = vitesse réelle)
Introduction à l’automatique
6/12
Lignes : représentation d’un signal, sortie régulée y , entree de commande u ,
entrée de perturbation d et entrée de référence r .
Rectangles / ronds : opérations de multiplication et de sommation.
Commande possible : pas d’utilisation de la mesure
→ commande boule ouverte, [open loop control, feedforward control]
1
2
inversion du procédé u = r /10
vitesse régulée
y = 10(u − 0.5d )
= 10([r /10] − 0.5d )
= r − 5d
d = 0 (pas de perturbation) et r = 55 → y = 55 : pas d’erreur.
d = 1 et r = 55 → y = 50 : erreur de 5 km/h !
Introduction à l’automatique
7/12
Utilisons la mesure de la sortie controlée [feedback signal]. La figure inclue une
boucle : cmde en boucle fermée [closed loop control, feedback contol]
1
2
loi de commande r − 0.9y
vitesse régulée
y =
=
=
=
10(u − 0.5d )
10([r − 0.9y ] − 0.5d )
10r − 9y − 5d
r − 0.5d
Introduction à l’automatique
8/12
d = 0 (pas de perturbation) et r = 55 → y = 55 : pas d’erreur.
d = 1 et r = 55 → y = 54.5 : erreur de 0.5 km/h
1
2
3
4
effet du feedback : réduction de l’erreur d’un facteur 10 !
augmentation du gain de cmde : réduction plus grande de l’erreur
limitation/saturation de l’actionneur : puissance du moteur (Ferrari ou 2CV) ?
avec de la dynamique : réponse temporelle très oscillante (problème de
stabilité).
Introduction à l’automatique
9/12
Démarche habituelle
1 Trouver une représentation (mathématique) du système :
le modèle.
2 Associer à des propriétés désirées un(des) critère(s) qui définissent le cahier
des charges
3 Résolution du problème mathématique (d’analyse ou de synthèse)
Question essentielle : quelle correspondance entre
1 le système & le modèle
2 ses performances & le(s) critère(s) mathématique(s)
Introduction à l’automatique
10/12
Le choix des armes.... approche classique 1940 − 1950 →
H. BLACK
(1898–1983)
H. BODE
(1905-1982)
H. NYQUIST
(1889–1976)
Modèle ’externe’: fonction de transfert
Cahier des charges : critères fréquentiels
Résolution : ’graphique’ lieux (Bode, Nyquist, Black) + Théorème de Nyquist
Avantages / inconvénients : simplicité des calculs & bon outil de l’ingénieur /
limitation aux systèmes monovariables
Introduction à l’automatique
11/12
Le choix des armes .... approche moderne 1960 − 1970 →
Rudolf KALMAN (1930-...)
Modèle ’interne’: représentation d’état
Cahier des charges : critères temporels (temps d’établissement, erreur
quadratique moyenne)
Résolution : placement de valeurs propres, équations algébriques de Riccati
(théorie de la commande optimale)
Avantages / inconvénients : aborde les systèmes multivariables & puissance
des calculs / perte du ’sens physique’ et de ’la boucle’ ...
Introduction à l’automatique
12/12
Le choix des armes .... Approche post-moderne 1980 − 1990 →
John DOYLE
Michael SAFONOV
Stephen BOYD
Modèle : fonction de transfert (et) ou représentation d’état
Cahier des charges : critères fréquentiels (et) ou temporels
Résolution : équations algébriques de Riccati, problème d’optimisation
convexe avec des contraintes LMI (Linear Matrix Inequalities)
Avantages / inconvénients : englobe les deux approches précédentes et leurs
qualités intrinsèques / difficultés numériques pour les pbs de grande tailles
Automatique classique
1/14
Modèle ’externe’: fonction de transfert = contrainte/relation entre deux
signaux d’entrée u (perturbation, cmde) et de sortie y (régulée, de mesure)
Version temporelle (convolution)
y =h∗u
où h est la réponse impulsionnelle causale.
(1)
Figure: Système convolueur.
Version fréquentielle
L {y } = H(p)L {u}
où H(p) = L {h} est la fonction/matrice de transfert.
(2)
Automatique classique
Exemple : machine à courant continu
di + E
Equation électrique : U = Ri + L dt
Equation mécanique : C = f Ω + J ddtΩ + Cp , Ω = ddtθ
Equations de couplage : C = ki, E = kΩ
Figure: Schéma-bloc d’une machine à courant continu.
2/14
Automatique classique
3/14
Exemple : machine à courant continu (suite)


Lp+R
k
L {Ω}
LJp 2+(Lf +RJ)p+Rf +k 2
LJp 2+(Lf +RJ)p+Rf +k 2  L{U}

=
Lp+R
k
L {θ}
L Cp
3
2
2
3
2
2
| {z }
{z }
LJp +(Lf +RJ)p +(Rf +k )p LJp +(Lf +RJ)p +(Rf +k )p |
|
{z
} L{u}
L{y }
H(p)
Automatique classique
4/14
Une boucle intéressante ?
r entrée de référence & d entrée de perturbation
y sortie mesurée & / u entrée de commande
G (p) fonction de transfert du système
K(p) fonction de transfert du correcteur à déterminer → problème de
synthèse
Figure: Boucle de commande classique (cas monovariable).
L{u}
z }| {
L {} = L {r } − G (p)(−L {d } + K(p)L {})
Calcul de plus facile que = r − g ∗ (−d + k ∗ )
Automatique classique
5/14
Une boucle intéressante ?
1
G (p)
L {} =
L {r } +
L {d }
|1 + G (p)K(p)
{z
}
|1 + G (p)K(p)
{z
}
Tr →(p)
Td →(p)
où Tr →(p) fonction de sensibilité & Td →(p) fonction de réjection de la
perturbation.
K(p)
K(p)G (p)
L {u} =
L {r } +
L {d }
|1 + K(p)G
{z (p)}
|1 + K(p)G
{z (p)}
Tr →u (p)
Td →u (p)
où Tr →u (p) fonction liant le signal de référence à la commande &
Td →u (p) = Tr →y (p) fonction de transmission.
Performances du système bouclé : induites par les 4 fonctions de transfert
Tr →(p), Td →(p), Tr →u (p) et Td →u (p).
Automatique classique
6/14
Comment dompter le système ?... oublions la perturbation d = 0 (raison
purement pédagogique & de temps)
On souhaite que idéalement
y = ti ∗ r = r
Fonction de transmission idéale
→
ti = δ
Tr →y (p) = L {ti } = Tr →y (p) = L {δ} = 1
Fonction de transmission réelle
Tr →y (p) 6= 1
(p − z1)(p − z2)...(p − zm )
= kHF
(forme factorisée)
(p − p1)(p − p2)...(p − pn )
pd 1pd 2
≈
hypothèse pôles dominants
)(p
−
p
)
(p
−
p
d
1
d
2
|
{z
}
Td (p)
Automatique classique
Performance temporelle (pour une entrée échelon) Similitude
entrée/sortie y ≈ r
Md − y (∞)
• dépassement D = 100
(%)
y (∞)
• temps de réponse tr : ∀t > tr |y (t) − 1| < .
7/14
Automatique classique
8/14
Un point capital : les pôles de Td (p)
Td (p) =
pd 1pd 2
(p − pd 1)(p − pd 2)
wn2
avec
ζ le facteur d’amortissement
ωn la pulsation naturelle.
= 2
p + 2ζwn p + wn2
Automatique classique
9/14
Réponse indicielle de Td (p)
y (t) = 1 − q 1
1 − ζ2
q
e −ζωn t sin
1 − ζ 2ωn t + cos−1 (ζ) ,
Figure: Réponse indicielle d’un second ordre.
Résultat : tr5% ≈ 3 et D = 100e
ζωn
q−ζπ
1 − ζ2
(%)
(3)
Automatique classique
10/14
k
T
(jω)
=
Réponse fréquentielle de Td (p), d
1 − ω 2/ωn2 + j2ζω/ωn
Figure: Réponse fréquentielle 20log |Td (jω)|.
p
Un pic... pour ωr = ωn 1 − 2ζ 2 de valeur Mr =
q1
2ζ 1 − ζ 2
Automatique classique
11/14
Approche fréquentielle classique : deux idées
1 ’Pas de bosse fréquentielle = pas de bosse temporelle’
Mr faible → ζ raisonable → D raisonable
2 Une bonne bande passante
wr grand → wn grand → tr petit
Comment imposer un facteur de résonance Mr ?
Le M-cercle : lieu des points défini par le nombre complexe L vérifiant
L 1 + L = M .
Automatique classique
12/14
Utilisation du M-cercle
Figure: Lieux de Nyquist des fonctions de transfert de L1(p) et L2(p).
Figure: Rép. fréquentielles des fonctions de transfert T1(p) =
L1(p)
L2(p)
et T2(p) =
.
1 + L1(p)
1 + L2(p)
Automatique classique
13/14
Synthèse fréquentielle dans le plan de Nyquist
L2(p) = K (p)G (p) et donc T2(p) = Tr →y (p)
M-cercle de paramètre M2 : ’zone interdite’ pour L2(jω)
fixe donc la résonance Mr = M2 de T2(p) donc ζ et donc D.
fixe donc la pulsation ωr = ωr 2 de T2(p) donc ωn et donc tr .
Synthèse d’un correcteur PID
Z t
˙ } .
(τ )d τ + |kD{z
u(t) = k|P{z
(t)} + kI
(t)
| 0 {z
} uD (t)
uP (t)
uI (t)
k
Trouvez K (p) = kP + pI + kD p
Tel que le lieu de Nyquist de K (p)G (p)
tangente le M-cercle de paramètre M2
Solution : l’art / le savoir-faire de l’automaticien....
Automatique classique
14/14
Approche fréquentielle : bilan
Avantages
Proche du problème physique
Beauté des diagrammes fréquentiels
Assure des marges de synthèse
Simplicité de la synthèse
Inconvénients
Simplicité de la synthèse (peu séduisant mathématiquement)
Limitation aux systèmes SISO
Aspect rébarbatif du passage modelage boucle ouverte / limitation résonance
en BF
Automatique moderne
1/3
Problème de cmde Linéaire Quadratique Gaussien





w (k)


x(k + 1) = Ax(k) + I 0 B3  v (k) 



u(k)


Soit P(.) w (k)


z(k)
C
0
0
0

1

 v (k) 
=
x(k) +


C2
0 I 0
 y (k)
u(k)
T
bruit
sur l’état w , et sur la mesure v avec E w (k)w (l ) = W δ(k − l ) et
blanc Gaussien
E v (k)v (l )T = V δ(k − l )
entrée de commande u
sortie régulée z et sortie mesurée y
trouver la loi de cmde u = K (y ) minimisant le critère quadratique
1
J = lim
E
N→∞ N
"N−1
X
k=0
#
x(k)T Qx(k) + u(k)T Ru(k)
Q = Q T ≥ 0, R = R T > 0.
Automatique moderne
2/3
Solution du problème LQG: la commande LQG association (théorème de
séparation)
1 d’un retour d’état estimé x̂(k) (régulateur LQ)
u(k) = −Kx̂(k)
2
avec K ∈ Rnu ×n le gain de retour d’état.
d’un observateur (≈ Filtre de Kalman)
x̂(k + 1) = Ax̂(k)+B3u(k) + L (y (k)−C2x̂(k))
avec L ∈ Rn×ny le gain de l’observateur.
Hypothèses
T C = Q.
1 (A, B ) stabilisable et
C
,
A
observable
avec
C
3
Q
Q Q
T = W.
2 (C , A) détectable et (A, B
)
gouvernable
avec
B
B
wz
2
W W
Automatique moderne
Résolution numérique du problème LQG - [cds de synthèse]
1 Gain de retour d’état optimal
−1
B3T PA
K = R + B3T PB3
P = P T ≥ 0 solution de l’équation algébrique de Riccati
−1
P = AT PA − AT PB3 B3T PB3 + R
B3T PA + Q .
2
Gain d’estimation optimal
L = AXC2T (C2XC2T + V )−1
avec X = X T ≥ 0 solution de l’équation algébrique de Riccati
X = AXAT − AXC2T (C2XC2T + V )−1C2XAT + W .
résolution numérique pour p.b. de taille ’raisonnable’ avec matlab
3/3
Automatique post-moderne
1/7
Commande H∞
Norme H∞ d’un système
kH(p)k∞ = sup σ̄ (H(jω))
ω
avec σ̄ (.) valeur singulière maximale.
Pour un système SISO
kH(p)k∞ = sup |H(jω)|
ω
Exemple : réponse fréquentielle de Td (p),
k
Td (jω) =
1 − ω 2/ωn2 + j2ζω/ωn
Figure: Réponse fréquentielle 20log |Td (jω)|.
Automatique post-moderne
2/7
Problème de commande H∞
Trouver K (p)
tel que kT (p)k∞ < γ
avec T (p) = LFTH (P, K ).
LFTH (P, K ) = P22 + P21K (I − P11K )−1 P12, L {z} = T (p)L {w }
Figure: Problème H∞ standard.
solution : résolution de deux équations de Ricatti [DGKF89].
Automatique post-moderne
3/7
H∞ Loop shaping
Figure: Problème H∞ standard.
L {z1} (p) = W1(p)L {} (p)
L {z2} (p) = W2(p)L {u} (p)
L {z1} (r ) = 1L {w1} (p)
L {z2} (d ) = W3(p)L {w2} (p)
Automatique post-moderne
4/7
Résolution du problème standard
Tz w (p) Tz w (p) W1(p)Tr (p) W1(p)Td (p)W3(p) 1 1
1 2
=
<
kT (p)k∞ = Tz w (p) Tz w (p) W2(p)Tur (p) W2(p)Tud (p)W3(p) 2 1
2 2
∞
∞
Résultat
1
,
|W1(jω)|
1
,
|Tur (jω)| <
|W2(jω)|
|Tr (jω)| <
1
,
|W1(jω)| |W3(jω)|
1
|Tud (jω)| <
,
|W2(jω)| |W3(jω)|
|Td (jω)| <
modelage [loop shape] fréquentiel des fct de transfert du système bouclé
Tr (p), Td (p), Tur (p), Tud (p)
fixé par les fonctions de pondérations W1(p), W2(p),W3(p),
Automatique post-moderne
5/7
Gain L2
Supposons pour simplifier que Dzw = 0. On définit le gain L2 du système (??)
par la quantité
kzk2
sup
kw k26=0 kw k2
où la norme L2 d’un signal w est définie par
Z ∞
kw k22 =
w T w dt
0
et le supremum est pris sur l’ensemble des entrées w d’énergie unité.
Interprétation. Le gain L2 mesure la quantité d’énergie transmise par le
système.
(Si le gain L2 est petit, les perturbation externes w sont “rejetées”.)
Automatique post-moderne
6/7
Approche par Lyapunov
Supposons qu’il existe une fonction quadratique
V (ξ) = ξ T Pξ, P 0,
et un scalaire γ ≥ 0 tels que, pour tout t,
d
V (x) + z T z − γ 2w T w ≤ 0 pour tout x, w vérifiant (??).
dt
Alors le gain L2 du système (??) est plus petit que γ:
Z T
T z − γ 2w T w dt ≤ 0.
=
+
z
V (x(T )) − V
(x(0))
| {z }
=0
0
(4)
Automatique post-moderne
7/7
Formulation LMI (Lemme borné réel)
L’inégalité (4) s’écrit
"
AT P + PA + CzT Cz PBw
BwT P
−γ 2I
#
0
Il est aisé de calculer la plus petite borne supérieure γ prouvable par fonctions de
Lyapunov quadratiques, en résolvant un problème SDP.
(On montre que pour les systèmes LTI, la borne obtenue est génériquement
exacte.)
Discussion
documentation : le seul site d’automatique nicoise ....http://nice.auto.free.fr
démonstration matlab-simulink (pour J.-B. Daban ?) ...pas de labview !
Marges de stabilité : début de la robustesse
L(p) = K (p)G (p)
Figure: Système bouclé comprenant K (p), le facteur multiplicatif kc & G (p).
Marge de Gain MG : valeur de
1
, où
MG =
|L(jω180◦ )|
kc qui rend le système bouclé instable.
ω180◦ telle que∠L(jω180◦ ) = −180◦
Marges de stabilité : début de la robustesse (suite)
Figure: Système bouclé comprenant K (p), le déphasage e −jθc & G (p).
Marge de Phase MP valeur de θc qui rend le système bouclé instable.
MP = ∠L(jω1) + 180◦ où ω1 telle que |L(jω1)| = 1
Figure: Mesure de la marge de phase dans le plan de Nyquist.
Convolution : y = h ∗ u
Z t
Z t
h(τ )u(t − τ )d τ =
y (t) =
0
h(t − τ )u(τ )d τ
0
avec une entrée u (u(t) = 0, t < 0) et (h(t) = 0, t < 0)
(5)
Transformée de Laplace
Soit f (t) une fonction défine pour t > 0. Sa transformée de Laplace , notée
L {f } (p) est définie par
Z ∞
L {f } (p) =
f (t)e −pt dt , p ∈ C
(6)
0
Remarques
La transformée de Laplace de f (t) est dite exister si l’intégrale (6) converge
pour certaines valeurs de p. Sinon elle n’existe pas.
p → L {f } (p) est une fonction de la variable complexe p. On pourra noter
p = σ + jω.
Le M-cercle
Le M-cercle est
2
M
un cercle de centre
, 0 et de rayon
2
1−M
une droite d’abscisse u = − 12 pour M = 1.
M 1 − M 2 pour M 6= 1,