Analyse temporelle Réponses indicielle et impulsionnelle : Réponse

Analyse temporelle
Réponses indicielle et impulsionnelle :
Réponse indicielle = réponse à un échelon E(t) :
Réponse impulsionnelle = réponse à un dirac
δ(t) :
1
Réponse temporelle d’un système linéaire :
convolution
y(n∆) =
∞
X
h(n∆ − k∆)u(k∆)∆
k=0
Si ∆ → 0,
y(t) =
Z ∞
0
h(t − τ )u(τ )dτ
2
Analyse temporelle
Intégrateur :
dy
=u
dt
y(t) = y(0) +
Z t
0
u(τ )dτ
Par la transformée de Laplace :
pY (p) − y(0) = U (p)
Lorsque y(0) = 0 :
Y (p)
1
= = H(p)
U (p)
p
La réponse impulsionnelle d’un intégrateur est
donc l’échelon E(t).
Rt
On peut ”revisiter” y(t) = y(0) + 0 u(τ )dτ :
y(0) = réponse ”aux conditions initiales” (régime
Rt
libre) + 0 u(τ )dτ = réponse forcée (régime de
Rt
convolution) = 0 E(t − τ )u(τ )dτ
3
Analyse temporelle
Dérivateur :
du
dt
N’existe pas physiquement !
y=
Par la transformée de Laplace :
Y (p) = pU (p)
Y (p)
= p = H(p)
U (p)
La réponse indicielle d’un dérivateur est donc
l’impulsion de Dirac δ(t) qui n’existe pas physiquement.
4
Analyse temporelle
Système du premier ordre :
dy
= −ay(t) + bu(t)
dt
Par la méthode de la variation de la constante :
y(t) = e−aty(0) +
Z t
0
e−a(t−τ )bu(τ )dτ
Par la transformée de Laplace :
pY (p) − y(0) = −aY (p) + bU (p)
Lorsque y(0) = 0 :
Y (p)
b
=
= H(p)
U (p)
p+a
La réponse impulsionnelle d’un système du premier ordre est donc e−atbE(t).
R t −a(t−τ )
−at
e
y(0)+ 0 e
bu(τ )d
On peut ”revisiter” y(t) =
e−aty(0) = réponse ”aux conditions initiales”
R t −a(t−τ )
(régime libre) + 0 e
bu(τ )dτ = réponse
forcée (régime de convolution)
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Analyse temporelle
Système du premier ordre :
Forme générale :
K
H(p) =
Tp + 1
avec K = b/a et T = 1/a.
K= gain statique (voir th. de la valeur finale
en réponse indicielle)
T = constante de temps
Quelles propriétés :
A t = T , 63 % de la valeur finale, à t = 3T ,
”temps de réponse à 5%”
6
Analyse temporelle
Système du deuxième ordre :
Forme générale :
2
Kωn
H(p) = 2
2
p + 2ζωnp + ωn
avec K = gain statique, ωn = pulsation naturelle, ζ = amortissement réduit.
ω1ω2
H(p) = K
(p + ω1)(p + ω2)
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Analyse temporelle
Si ζ ≥ 1 : pôles réels
q
Si ζ > 1 : pôles −ζωn ± ωn ζ 2 − 1
Réponse indicielle :
q
ζωn − ωn ζ 2 − 1 −(ζωn+ωn√ζ 2−1)t
q
y(t) = K[1 +
e
2
2ωn ζ − 1
q
ζωn + ωn ζ 2 − 1 −(ζωn−ωn√ζ 2−1)t
q
]
−
e
2ωn ζ 2 − 1
Si ζ = 1 : pôle double −ζωn
Réponse indicielle :
y(t) = K[1 − (1 + ζωnt)e−ζωnt]
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Analyse temporelle
Système du deuxième ordre :
Si ζ < 1 : pôles complexes conjugués
q
−ζωn ± jωn 1 − ζ 2
q
ωp = 2π/Tp = ωn 1 − ζ 2
Réponse indicielle :
q
1
y(t) = K[1 + q
e−ζωnt sin(ωn 1 − ζ 2t
1 − ζ2
q
−arctg(
1 − ζ2
−ζ
))]
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Analyse temporelle
Système d’ordre n > 2 (cas de pôles de
multiplicité 1) :
Réponse impulsionnelle :
m
X
H(p) =
bm pm +bm−1 pm−1 +...+b0
pn +an−1 pn−1 +an−2 pn−2 +...+a0
bipi
= ni=1
Y
(p − pi)
i=1
pi=pôle de H(p) réel ou complexe.
Par décomposition en éléments simples dans
C:
n
X
ci
H(p) =
i=1 p − pi
Par transformée de Laplace inverse :
h(t) =
n
X
ciepit
i=1
h(t) est une combinaison linéaire de modes epit.
10
Pôles de multiplicité > 1
Si le dénominateur de H(p) contient un facteur
(p − pi)m, pi est un pôle de multiplicité m.
La réponse impulsionnelle du système h(t) contiendra une combinaison de modes de la forme :
m
X
tj−1 pit
cj
e
j=1 (j − 1)!
11
Influence des zéros sur la réponse temporelle
La présence d’un zéro (racine du numérateur)
perturbe la réponse indicielle d’un système du
2nd ordre :
Exemples :
200
H(p) = 2
p + 30p + 200
pôles= −10 et −20 : réponse apériodique
200p + 200
H(p) = 2
p + 30p + 200
1 zéro = −1 (zéro réel négatif)
Step Response
Step Response
1
6
0.9
5
0.8
0.7
4
Amplitude
Amplitude
0.6
0.5
3
0.4
2
0.3
0.2
1
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
Time (sec)
0.4
0.5
0.6
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (sec)
12
Influence des zéros
Systèmes à non minimum de phase :
Systèmes dont au moins un des zéros est à
partie réelle positive.
Exemples :
−p + 1
−p + 1
=
H(p) = 2
p + 2p + 1
(p + 1)2
Step Response
1
0.8
0.6
Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
5
10
15
Time (sec)
13
−p + 1
H(p) = 2
p + 0.2p + 1
pôles= −1 ± j0, 955
Step Response
2
1.5
Amplitude
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
60
Time (sec)
14