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Transferts thermiques en écoulements oscillants laminaires
International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 www.elsevier.com/locate/ijrefrig Transferts thermiques en écoulements oscillants laminaires incompressibles Philippe Nika*, Yannick Bailly, François Lanzetta Département CREST, Institut FEMTO-ST/UMR CNRS 6174, 2, Avenue Jean Moulin, Belfort 90000, France Reçu le 23 avril 2004; reçu en forme révisée le 23 juillet 2004; accepté le 30 août 2004 Available online 15 December 2004 Résumé Les phénomènes thermiques survenant entre deux plaques parallèles infinies traversées par un écoulement de fluide oscillant à vitesse moyenne nulle sont étudiés. Un modèle 1D est présenté, puis adimensionalisé et les paramètres d’échelle intéressants sont dégagés. Le cas particulier d’un écoulement laminaire d’un fluide incompressible est choisi comme illustration et une discussion concernant les particularités de l’échange thermique est menée selon la longueur des plaques et en fonction du déplacement du fluide. Des conclusions concernant le dimensionnement des échangeurs thermiques de machines Stirling ou de Tubes à Gaz Pulsé sont proposées. q 2004 Elsevier Ltd and IIR. All rights reserved. Mots clés : Modélisation ; Transfert de chaleur ; Écoulement laminaire ; Phénomène périodique ; Cycle thermodynamique ; Stirling ; Tube à pulsation ; Calcul Heat transfer during incompressible oscillating laminar flow Abstract Phenomena concerning the temperature variations and the heat transfer are studied in the specific case of oscillating flow with null mean velocity circulating between two infinite walls. A 1D model is established and the interesting scale parameters are deduced from theoretical equations. The particular case of an oscillating laminar flow for incompressible fluid is detailed in order to illustrate and to discuss the effects of thermal interactions between the fluid and walls. Influence of wall length comparatively to the fluid displacement is studied. Conclusions for designing thermal heat exchangers of Stirling engines or PTR are proposed. q 2004 Elsevier Ltd and IIR. All rights reserved. Keywords: Modelling; Heat transfer; Laminar flow; Periodic phenomenon; Thermodynamic; Stirling; Pulse tube; Calculation 1. Introduction * Corresponding author. Tel.: C33 384 578 204; fax: C33 384 570 032. E-mail address: [email protected] (P. Nika). 0140-7007/$35.00 q 2004 Elsevier Ltd and IIR. All rights reserved. doi:10.1016/j.ijrefrig.2004.08.012 L’étude hydrodynamique des écoulements oscillants est loin d’être nouvelle, comme c’est souvent le cas pour de nombreux types d’écoulements. Elle date du début du 20ème 354 P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 Nomenclature c Cf disp dh e f f^ Fo F1, F2 g^ h _ H_ h; j Kn l l M Mu Nu p Pr Q Re Rs RTH R Spass t T u, v Wom x y, z Capacité calorifique massique isobare (J kgK1 KK1) Facteur de frottement Amplitude crête à crête de déplacement du fluide (m) Diamètre hydraulique (m) Epaisseur, distance (m) Fréquence (Hz) Fonction thermoacoustique Nombre de Fourier Fonctions éq. (45) et éq. (50) Fonction thermoacoustique Coefficient de convection (WmK2 KK1) Densité locale et moyenne radiale de flux d’enthalpie (WmK2) Complexe imaginaire j2ZK1 Nombre de Knudsen Longueur (m) Libre parcours moyen (m) Masse molaire (kg molK1) Nombre de Mach Nombre de Nusselt Pression (Pa) Nombre de Prandtl Energie thermique (J) Nombre de Reynolds Rapport des épaisseurs paroi/écoulement Rapport des conductivities thermiques matériau/gaz Constante molaire du gaz parfait (J molK1 KK1) Sections interne transverse (m2) Temps (s) Température (K) Vitesses selon x, y (msK1) Nombre de Womersley/Stokes Coordonnée axiale (m) Coordonnées (m) siècle et on peut y associer des grands noms tels Stokes, Richardson, Strouhal, Womersley, etc. Il convient en premier lieu de définir exactement ce que sous-entend cette terminologie: on peut rencontrer des écoulements oscillants ou plus généralement «périodiques» à l’arrière d’un obstacle par exemple ou bien à l’échappement de certaines machines thermiques (moteurs); dans ce cas il s’agit plutôt d’écoulements qu’il faudrait qualifier de «pulsés» avec une vitesse moyenne non nulle. Le cas qui nous intéresse dans le présent travail concerne les écoulements «alternés» à vitesse moyenne nulle, tels qu’on les Lettres grecques b Paramètre éq. (36b) d Epaisseur de pénétration (m) D Gradient thermique (KmK1) Drad Radial TgKTK1 (K) Dlong Longitudinal T1KTK1 Fe Densité de flux reçu ou cédé par la surface externe (WmK2) g Rapport des capacités calorifique isobare et isochore k Constante quelconque li Conductivité thermique de i (WmK1 KK1) l Paramètre éq. (36a) LL Déplacement relatif du fluide Le Facteur de forme géométrique m Viscosité dynamique (kg mK1 sK1) r Masse volumique (kg mK3) u Pulsation (rad sK1) x Variable Lagrangienne éq. (35a,b) Indices a, 2a Amplitude premier et second ordre e Extérieur g Gaz in, in 0 Entrant en x*ZK1 et en x*Z1 I1 Partie imaginaire de Nu l0 Extrémité en xZl0 R1 Partie réelle de Nu rad, long Transversal et longitudinal t Paroi du canal 0 Initial, en xZ0, de référence out, out 0 Sortant en x*ZK1 et en x*Z1 p A la paroi 1,K1 Aux extrémités Opérateurs x*, U* Grandeurs normalisées, vitesse = Partie imaginaire < Partie réelle x Moyenne radiale de x jxj Module de x hxi Moyenne temporelle de x sur une 1/2 période rencontre dans les machines Stirling, les tubes à gaz pulsé ou les systèmes thermoacoustiques. Les références [1,2] dressent un état de l’art entre les années 1928–2000 pour les deux catégories. Ces écoulements sont présents dans de très nombreuses applications: des machines thermiques, pompes, valves jusqu’aux Micro Electro Mechanical Systems (MEMS) et la microfluidique, en passant par le génie chimique et la biologie. L’oscillation d’un fluide engendre plusieurs effets: effet annulaire dit «de Richardson» sur les profils de vitesse et de température, augmentation artificielle de la conductivité thermique équivalente, P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 déphasage entre les flux thermiques échangés et les écarts de température fluide-paroi, entre les coefficients de frottement et la vitesse du fluide. L’effet annulaire est sensible surtout pour les nombres de Stokes/Womersley (défini par la suite) importants. Il se caractérise par le fait que la vitesse est maximale plutôt près des parois qu’au centre de l’écoulement comme c’est le cas habituel en régime laminaire et qu’elle s’inverse en premier lieu près des parois car les forces d’inertie y sont moins grandes qu’au centre de l’écoulement. Il en résulte une structure particulière de couche limite dont l’épaisseur dépend de la fréquence d’oscillation et diminue avec celle-ci. En conséquence les transferts thermiques en régime d’écoulements périodiques diffèrent de ceux qui surviennent dans les écoulements unidirectionnels. Le problème des transferts thermiques lorsqu’il y a un écoulement moyen superposé à l’écoulement pulsé est abordé dans les références [3–8] par différentes techniques (numériques [3, 4], analytiques [5,7,8], expérimentales [7]) pour différentes configurations en régime laminaire ou turbulent, en fluide compressible [3] ou non [4,5]. Les résultats publiés sont parfois divergents, sûrement en raison de conditions opératoires différentes: des augmentations, des diminutions ou pas d’effet sur le transfert thermique sont signalés. Le cas des fluides incompressibles en régime laminaire, en écoulement entre deux plans parallèles, est traité par Gedeon [9], qui donne les relations analytiques pour les coefficients de transfert thermique et de frottement. Dans les références [10–13] sont développées des solutions analytiques ou numériques ainsi que des expérimentations; le cas d’un chauffage localisé est traité dans les références [14,15], celui d’un milieu poreux dans la référence [16] et on trouve un modèle turbulent dans la référence [17]. Les écoulements compressibles sont étudiés dans les références [18–22], des renseignements importants (coefficients, corrélations, tests, efficacité, etc.) concernant le «design» des échangeurs ou des régénérateurs de machines Stirling ou de Tubes à gaz pulsé (TGP) se trouvent dans les références [23–32]. Il est cependant à noter, qu’à notre connaissance, il n’existe pas de travail de synthèse, ni une méthodologie bien précise pour dimensionner les échangeurs fonctionnant en «régime oscillant»; certains concepteurs ne semblent pas hésiter à employer les méthodes et corrélations classiques mises au point pour des appareils industriels fonctionnant en régime permanent. Le présent travail a pour objectif de démontrer qu’en ce domaine, il y a lieu de prendre certaines précautions quant aux idées préconçues tant la physique des écoulements oscillants peut parfois paraı̂tre surprenante, en tout cas inhabituelle. Elle conserve cependant un caractère tout à fait logique, mais ses fondements théoriques restent d’un usage difficile, surtout dans le cas des écoulements gazeux compressibles et avec les conditions réelles opératoires des machines Stirling ou des TGP. Dans un souci d’explications «pédagogiques», nous serons amenés à introduire de nombreuses simplifications et à discuter des phénomènes à partir d’un cas d’école simple. 355 Fig. 1. Géométrie de base étudiée. 2. Equations des écoulements oscillants entre deux plans parallèles infinis Nous envisageons le cas de deux plaques d’épaisseur et, infinies dans la direction z et distantes de e (longueur l0, Fig. 1), ce qui permet de traiter l’écoulement de fluide en 2D selon les axes x et y. Les plaques peuvent faire partie d’un échangeur compact aussi bien qu’être baignées par un fluide ambiant de part et d’autre. Les parois solides ne sont pas nécessairement à température uniforme, cela engendre des phénomènes de couplage thermique entre le fluide en oscillation et les parois. Les évolutions spatio-temporelles de la température du fluide vont notamment dépendre de la valeur des coefficients de transfert thermique fluide/parois ainsi que des phénomènes générés aux extrémités, le tout en fonction de la valeur du rapport LL du déplacement axial du fluide à la longueur des plaques l0. Nous considérerons que les propriétés thermophysiques du fluide et des matériaux sont indépendantes de la température sauf la masse volumique qui est calculée par la loi du gaz parfait. 2.2. Paramètres caractéristiques du modèle: adimensionalisation La formulation adimensionnelle des équations générales est décrite en rapportant chacune des grandeurs physiques à une grandeur caractéristique lui correspondant (indice de référence 0) et choisie en fonction de la problématique envisagée. Nous ne justifierons pas ici du choix de telle ou telle grandeur caractéristique, la forme analytique des paramètres obtenus en dépendant bien évidemment: x Z x y 2u ; y Z ; t Z ut; U Z ; l0 =2 e=2 u disp p Z Tg rg p T ; T Z ; Tt Z t ; r Z T0 T0 r0 p0 g (1) L’hypothèse simplificatrice d’une vitesse radiale nulle est employée par la suite: v z0 (2) Avec les hypothèses spécifiées, les équations 2D en variables réduites, sont les suivantes: Conservation de 356 P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 la masse: vr vr U Z0 C LL vt vx (3) Conservation de la quantité de mouvement: vr U vðr U 2 Þ 4L vr 2g C LL Z K 2L C 2 x r vx vt Mu vx u disp 1 v2 U 2 L2e v2 U C 2 C 2 3 Wom Wom vy2 vx2 en x Z K1; (4) Equation d 0 état du gaz parfait: p Z r Tg (5) U ðt ; x ; y Þ Z 0; vTg vT Z lt t Tg jyZ1 Z Tt jyZ1 ; lg vy yZ1 vy yZ1 p ðt; 1Þ Z 1 C pL0 cosðt K 4p Þ; e adiabatique ou temperature ðextremit imposeeÞ (6) (12) Les nombres caractéristiques obtenus au cours de la procédure sont regroupés dans le Tableau 1, avec leurs ordres de grandeur probables dans le cas d’un gaz circulant dans un échangeur miniature de refroidisseur de composants électroniques. 2.3. Simplifications des équations 2D: modèle moyen ID (7) (8) en y ZG1; (9) R vT en y ZG 1 C s ; t Z0 2 vy G 1CR2s ðcas de plaques a l’interieur de l’echangeurÞ ou y ZGð1 C Rs Þ; (11) vTt j Z 0 ou Tt jl0 Z Ttl0 vx 10 Equation de l’énergie pour la paroi: Les conditions aux limites correspondantes sont: vU ðt ; x ; y Þ en y Z 0; Z 0; vy y Z0 vTg ðt ; x ; y Þ Z0 vy y Z0 e adiabatique ou temperature ðextremit imposeeÞ cosðt K 4Tl0 Þ si U jK1 ! 0 Tg ðt; 1Þ Z 1 C TaL0 L2g v2 Tg g K 1 vr g K 1 vr LL U C Z C 2 g vt g vx PrWom vx2 vTt v2 T v2 T Z Fo2 2t C Fo2 L2e 2t vt vy vx p ðt; K1Þ Z 1 C pa0 cosðt Þ; cosðt K 4T0 Þ si U jK1 O 0 Tg ðt; K1Þ Z 1 C Ta0 vTt Z 0 ou Tt j0 Z Tt0 vx 0 en x Z K1; Equation de l’énergie pour le gaz: vr Tg vr U Tg C L L vt vx v2 Tg 1 g K 1 1 C C 2 4 g PrWom vy2 2 M2 vU 2 2 vU ! 2u C L e vy vx Wom Nue), et un terme Fe (Tableau 1) qui représente la densité de puissance énergétique éventuellement cédée par un composant électronique disposé à la surface externe. Aux extrémités du système (plaques), les conditions imposées sont: vTt Z Nue ðTa K Tt jGð1CRs Þ Þ C Fe vy Gð1CRs Þ Dans un modèle physique 1D, deux aspects méritent considération: † les paramètres de l’écoulement sont moyennés sur la section de passage (direction y) et les équations sont alors exprimées en fonction des variables moyennes dans cette section; † en conséquence, il faut introduire dans le modèle des corrélations de pertes de charge et de transferts thermiques aux valeurs limites: manipulations caractérisées au moyen de coefficients de frottement et de transfert thermique convectif à définir précisément.D’autres simplifications peuvent être introduites. Ainsi, les termes d’ordre inférieur aux autres peuvent être éliminés en tenant compte par exemple des ordres de grandeur des groupements de nombres explicités dans le Tableau 1. En «moyennant» les éq. (3) à (7) avec les conditions des éq. (8) à (10), on obtient: † Equation moyenne d’état du fluide p Z r Tg (13) † Equation moyenne de conservation de la masse: ðcas de deux plaques en bordure de l’echangeurÞ (10) Le facteur Rs est défini dans le Tableau 1. Pour l’échange thermique à la paroi externe, on introduit un coefficient d’échange de chaleur externe he (Nusselt vr vr U C LL Z0 (14) vt vx † Equation moyenne de quantité de mouvement: Selon la théorie de la thermoacoustique linéaire [34], il P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 357 Tableau 1 Nombres sans dimension caractéristiques des écoulements oscillants issus du modèle 2D Nombre adimensionnel Nom Signification Ordre de grandeur LL Z disp l0 Déplacement particulaire relatif Facteur de forme géométrique Rapport du déplacement fluide total à la longueur axiale. Important pour les effect d’extrémités si disp est grand devant l0 Rapport du double du rayon hydraulique à la longueur axiale. Important pour les canaux «larges» Rapport des forces d’inertie et visqueuses 1 102K104 Compare l’épaisseur des plaques à celle d’un canal de fluide 1–10 Rapport du rayon hydraulique à l’épaisseur de diffusion visqueuse 0, 1–1 10K3 1 Le Z le0 ReZ dh r g juj mg Reynolds Rs Z 2et =e Rapport des épaisseurs spécifiques Womerley/Stokes qffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 r0 urh m u ffiffiffiffiffiffiffi dispffi Mu Z p p0 =r0 Wom Z Prandtl Rapport de la vitesse acoustique à la vitesse du son. Effects acoustiques, effet de la compressibilité à considérer si MuO0, 1 non linéarité des phénomènes Rapport de la longueur de diffusion thermique au rayon hydralique du canal. S’il augmente, les oscillations de températures sont plus perceptibles dans les parois Ratio des longueurs de diffusion visqueuse et thermique c gZ cpgvg 2gx u2 disp Coefficient isentropique du gaz Rapport des capacités calorifiques isobares et isochores 1 Nombre de pesanteur Rapport de la pesanteur à l’accélération 10K2 e Nue Z 2eh le Nusselt 1 Fe Z Fe e=2T0 lt Flux thermique adimensionnel Caractérise le transfert thermique externe par convection par rapport à la conduction Flux reçu ou cédé par la surface externe FoZ PrZ Mach 10K2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Fourier lt rt ct urh2 cg m lg 10 est possible d’exprimer les vitesses locale u et moyenne u au moyen de fonctions d’espace complexes adéquates f^y et g^ de la variable y dont la forme dépend de la géométrie de l’écoulement: infinis) et avec le module de la vitesse axiale: u Z u0 f^y ejut ; Après quelques calculs, on montre que la partie réelle «measurable» de la contrainte de frottement pariétale s’exprime par la relation: vu 0 0 < Z u0 ð<½ejut <½f^p K =½ejut =½f^p Þ vy p Re 1 vu C =½Cf < Z dh <½Cf <½u 2dh u vt (20) ^ jut u Z u0 ge (15) En notant que: vu Z u0 f^y juejut ; vt vu 0 Z u0 f^y ejut ; vy vu ^ jut Z u0 gjue vt (16) et: 1 vu 1 vu et <½u Z = =½u Z K< u vt u vt (17) On introduit ensuite dans l’éq. (4), un coefficient de frottement pariétal Cf qui s’exprime aussi sous forme complexe de manière à tenir compte de la phase qui existe entre la vitesse et la contrainte pariétale en écoulement alterné [35,36]: Cf Z K2mr avec vu vy jp u juj 0 G1 Z f^p g^ Z 0 2m u0 f^p d Z 2 h G1 rg u20 g^2 Redh (18) Le nombre de Reynolds peut être défini par convention, sur le diamètre hydraulique (dhZ2e pour deux plans Redh Z dh rg juj mg (19) L’intégration-moyennage du terme visqueux de l’éq. (4) [35,36] avec l’introduction de l’éq. (20) est effectuée de la manière suivante: ð 1 1 v2 U vU e vu dy Z Z vy yZ1 udisp vy yZe=2 2 K1 vy2 e Redh 1 vu ZK CfR u C CfI udisp 2dh u vt Re vU Z dh CfR U C CfI (21) 8 vt En toute rigueur le produit de Darcy complexe «CfRedh» dépend de l’abscisse x et du temps. Les auteurs proposent 358 P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 de considérer une valeur moyenne constante de CfRedh en basant le calcul de Cf sur la vitesse moyenne hui calculée sur une demi-période. Finalement l’équation moyennée de quantité de mouvement, en négligeant le terme v2U*/vx*2 est: vr U vðr U 2 Þ C LL vx vt ZK 4LL vp Re K dh 2 Mu2 vx 8Wom vU CfR U C CfI vt (22) † Equations moyennes de l’énerqie pour le gaz et le tube. Notons que l’on emploie encore pour les moyennes transversales des températures, les relations: ð 1 1 v2 Tg vTg e vTg dy Z Z (23) 2 K1 vy2 vy yZ1 2 vy yZe=2 favorise le transfert de chaleur mais augmente aussi considérablement le frottement pariétal. Par ailleurs, les déphasages ne sont véritablement notables qu’aux basses fréquences et tendent rapidement vers la valeur p/4 dès que la fréquence augmente (partie réelle égale à la partie imaginaire). Finalement, en négligeant la conduction thermique axiale dans le fluide, l’équation de la température du gaz s’écrit: ! vr Tg vr U Tg C L L vt vx Z g K 1 vp g K 1 vp C LL U vx g vt g " # dðTt K Tg Þ 1 C NuR1 ðTt K Tg Þ C NuI1 2 dt 4PrWom et 1 Rs ð 1CRs 1 v2 Tt e dy Z 2 2Rs vy vTt vTt K vy yZe=2Cet vy yZe=2 (24) De manière tout à fait similaire à la contrainte de frottement pariétale, on doit exprimer les flux thermiques pariétaux par une relation complexe permettant de faire apparaı̂tre les déphasages entre les flux thermiques et la différence des températures gaz/paroi. De nombreuses publications [33] attestent de cette procédure. On écrira donc, avec h pris sous forme complexe: vTg lg < Z <½h<½T t K T g C =½h=½T t K T g (25) vy e=2 Si les variations de températures sont parfaitement sinusoı̈dales [34]: 1 d <½T t K T g =½T t K T g Z u dt (26) On peut donc exprimer la condition d’échange thermique à la paroi interne sous la forme suivante: vTg vTt =½h dðT t K T g Þ Z l Z <½hðT t K T g Þ C lg t u vy e=2 vy e=2 dt (27) Le problème réside dans la méconnaissance des expressions des coefficients complexes h (ou des nombres de Nusselt Nu) puisque peu d’études ont été consacrées à ce sujet. Les mêmes remarques pourraient d’ailleurs être faites en ce qui concerne le produit CfRedh, employé précédemment dans l’équation simplifiée de la quantité de mouvement. La Fig. 2 représente les évolutions des nombres Nu et CfRedh obtenus à partir de la théorie thermoacoustique linéaire simplifiée pour des écoulements entre deux plans parallèles isothermes [35,36]. On remarque que l’augmentation de la fréquence C 1 g K 1 Mu2 2 4 g Wom ð1 K1 vU vy 2 dy (28) Pour le cas d’un profil des températures symétrique dans les plaques (plaques et écoulements alternés): vTt vTt Z Fo2 L2e 2 vt vx " # dðTt K Tg Þ Fo2 K NuR1 ðTt K Tg Þ C NuI1 dt 4Rs RTH (29) Pour le cas d’échanges externes depuis les plaques: vTt vTt Fo2 Fe Fo2 Z Fo2 L2e 2 C C Nu ðT K Tt Þ vt Rs 4Rs e amb vx " # dðTt K Tg Þ Fo2 K NuR1 ðTt K Tg Þ C NuI1 2Rs RTH dt (30) Les nombres adimensionnels supplémentaires introduits par la substitution des conditions aux limites dans le passage au modèle 1D sont résumés dans le Tableau 2. 3. Ecoulement «sinusoı̈dal» incompressible entre deux plans parallèles présentant un gradient thermique imposé 3.1. Position du problème Dans le cas le plus général exposé précédemment, avec un fluide compressible et des conditions aux limites variables dans le temps, il n’est pas envisageable d’élaborer une solution analytique des équations (13), P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 359 Fig. 2. (a) Evolution en fonction du nombre de Stokes/Womersley pour un écoulement laminaire entre deux plaques isothermes. (a) Coefficients de convection complexes; (b) coefficients de frottement complexes. (14), (22), (28), (29) ou (30). De même une résolution numérique du problème n’est pas apte à donner une idée précise de l’influence des paramètres qui sont très nombreux et pour lesquels il faudrait fixer des valeurs arbitraires. Il nous semble préférable de décrire les phénomènes à partir d’un cas simplifié comme l’écoulement du type «piston» (vitesse imposée sinusoı̈dale) d’un fluide incompressible (r*Z1) en mouvement oscillant entre deux plans parallèles infinis, ayant une température imposée par un système de chauffage adéquat. Nous introduisons une hypothèse supplémentaire concernant les moyennes: U 2 zU U et U Tg zU Tg (31) Equation de l’énergie du fluide: vTg vTg NuI1 NuR1 1C C LL cos t C Tg 2 2 vx 4PrWom vt 4PrWom 1 C Nu dðTt Þ Z Nu T R1 I1 t 2 dt 4PrWom (33) Température de paroi imposée linéaire: Tt Z T1 K TK1 T1 C TK1 x C 2 2 (34) Conditions aux extrémités imposées: x Z K1 U Z cos t ; Tg ðt; K1Þ Z TgK1 (35a) Celle-ci sous-entend que les épaisseurs des couches limites visqueuse et thermique soient faibles au regard de la largeur des canaux fluides, ce qui est vérifié pour les fréquences d’oscillations élevées avec des fluides ayant une masse volumique importante (nombre de Womersley assez grand, profils de vitesse et température quasi plats au centre). Les équations caractéristiques de l’écoulement sont alors: Conservation de la quantité de mouvement: On effectue dans l’éq. (33) un changement de variable (passage d’une variable eulérienne x à une variable de type lagrangienne): CfR Re 4LL vp CfI Re sin t K Z 1 C cos t 2 2 8Wom Mu2 vx 8Wom lZ x Z 1 U Z cos t ; (35b) x Z x K l sin t (36) En introduisant les deux paramètres suivants: (32) Tg ðt; 1Þ Z 1 2 4PrWom LL ; 2 NuI1 C 4PrWom bZ NuR1 2 NuI1 C 4PrWom (37) Tableau 2 Nombres sans dimension supplémentaires en fluide oscillant introduits dans le modèle 1D Nombre adimensionnel Nom Signification Ordre de grandeur CfRe NuR1 Z 2e<½h lg Produit de Darcy Nusselt réel Caractérise le frottement local aux parois Caractérise le transfert thermique interne aux parois 24 10 NuI1 Z 2e=½h lg Nusselt imaginaire Caractérise le transfert thermique interne aux parois (phase) Rapport des conductivités thermiques matériau/gaz 0–10 RTH Z llgt 100 360 P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 tout de la présence de la particule fluide au sein du système: on obtient l’équation: dTg C bTg Z bTt ðx C l sin t Þ dt (38) dont la solution générale est: Tg ðt ; xÞ Z Tg ðk; xÞeKbðt ð t Cb eKbðt k ð1 C x0 Þ Z Arc sin K1 K ; tin LL Z 2t0 C 2p K tin tout (42) KkÞ KuÞ Tt ðx C l sin uÞdu (39) où k est une constante d’intégration. L’étude du paramètere l/LL montre qu’il varie assez peu entre 0,835 et 1 lorsque le nombre Wom augmente. La Fig. 3 représente les évolutions de b en fonction du nombre Wom. On note une diminution rapide de b quand Wom augmente; dès que WomO1,3275, b!2. Pour les calculs, les nombres de Nusselt NuR1 et NuI1, évalués par les relations issues de la thermoacoustique [35,36], sont représentés sur la Fig. 2(a) pour un nombre de Prandtl PrZ0,7. 3.2. Cas d’une température de paroi constante et uniforme Tt Z 1 3.2.1. Profils des températures du fluide en x* ZK1 et en posant En prenant kZ tin Drad ðt ; xÞZ Tg ðt ; xÞK Tt , la solution de l’éq. 39 est simplement: ; xÞ K 1ÞeKbðt Dred ðt ; xÞ Z ðTg ðtin Ktin Þ (40) En général, la température du fluide en entrée, à gauche (en x*Z1), varie dans le temps et est déphasée par rapport au déplacement du fluide, c’est le cas dans les machines de Stirling; nous considérerons que sa valeur reste constante. L’équation (40) représente la modification de l’écart de température d’une particule fluide avec la paroi initialement en x0 (au temps t0 ) qui pénètre entre les plaques au temps tin , sa position au temps t* étant: x Z x0 C LL ð1 C sin t Þ (41) et L’équation (40) est uniquement valable entre les temps tin Fig. 3. Evolution du paramètre b selon Wom (PrZ0,7). On obtient donc, en raison des transferts thermiques, une décroissance exponentielle (de paramètre b) de l’écart de temperature d’entrée en fonction de l’avancement du fluide entre les plaques. Les particules fluides de positions initiales telles que x0 OK1, situées entre les plaques, (si l’origine des temps est choisie à t0 ZKp=2, cas pour lequel U*Z0) ne passent jamais par x*ZK1, par contre une proportion de ces particules peuvent ressortir en x*ZC1, suivant l’amplitude du déplacement LL. Pour simplifier la démarche, nous supposerons qu’elles pénètrent alors dans un réservoir parfaitement brassé, de dimensions infinies et de température constante T1 (Fig. 4(a)). Lorsque l’écoulement interplaques s’inverse, au temps t Z t0 C p, et que les particules entrent de nouveau dans le système, elles présentent par conséquent un écart de température avec la paroi toujours nul (Drad(C1)Z0). Pour les particules qui ne ressortiraient jamais d’entre les plaques (uniquement dans le cas LL!1, Fig. 4(b)), en vertu de l’éq. (40), leur difference de température va en s’amoindrissant exponentiellement dans le temps à chaque aller-retour, si bien qu’au bout d’un temps suffisant, ces particules se «thermalithermalisent» à la température des parois (dans l’hypothèse d’une conduction axiale négligeable et en l’absence de turbulence). Cet ensemble de particules forme donc une zone de «bouchon fluide», qui ne joue plus aucun rôle dans les échanges thermiques globaux. Les Fig. 5 représentent les modifications des profils longitudinaux de température du fluide le long des plaques pour trois longueurs d’échangeurs: courts LLZ1,5 (Fig. 4(c)), de longueur égale au déplacement fluide LLZ1 (Fig. 4(a)), longs LLZ0,5 (Fig. 4(b)) et pour trois valeurs différentes du paramètre thermique b. On remarque bien la propagation atternée d’un front de discontinuité thermique qui va en s’amoindrissant. Plus b est petit, soit pour les fortes valeurs du nombre Wom, plus le front de température observé depuis l‘entrée du fluide est important, c’est-à-dire que la différence de température gaz/paroi reste élevée et cela laisse penser que les transferts thermiques s’effectuent mal. L’intensité du front thermique diminue avec l’augmentation de b (diminution de Wom); il faut peut-être y voir l’influence de l’amoindrissement de la partie imaginaire du coefficient d’échange h, c’est-à-dire de l’effet du déphasage entre la différence des températures fluide-parois et le flux de chaleur. En effet, ce déphasage tend vers 0 lorsque Wom tend vers 0 (NuI1Z0), sinon il se rapproche de la valeur p/4 (NuI1ZNuR1). La rapidité de décroissance du front thermique dépend aussi de LL; à déplacement de fluide identique, un échangeur trop long (LLZ0,5) possède une zone isotherme inactive du côté x*ZC1, un échangeur trop court (LLZ1,5) ne permet pas d’extraire un maximum de chaleur, P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 361 Fig. 4. Différentes configurations d’écoulement suivant LL. les températures de «sortie» en x*ZC1 et de «retour» en x*ZK1 sont en fait plus élevées. 3.2.2. Quantités de chaleur échangées Seules les particules fluides susceptibles de passer aux deux extrémités des plaques (en x*ZK1 et x*Z1), peuvent échanger de la chaleur avec les parois au cours de leur mouvement de va et vient. D’après l’éq. (41), lorsqu’une particule située en x* entre les plaques progresse de la distance dx*ZLL Cos t*dt* en un temps dt*, sa température change de sorte que l’écart de température élémentaire varie suivant l’éq. (43) (en dérivant l’éq. (40)): dðDrad ðt ; x ; x0 ÞÞ Z KDrad ðtin ; K1; x0 ÞbeKbðt Ktin Þ dt (43) La quantité de chaleur élémentaire échangée par une «cellule fluide» de masse dmZ rSpass ðl0 =2Þdx0 entre les instants tin et tout pendant son temps de séjour dans l’échangeur sera donc (à condition qu’elle ne ressorte pas en x*Z1, soit pour le cas typique LL%1): d2 Q Z Krcg Spass l0 T D ðt ; K1; x0 ÞbeKbðt Ktin Þ dt dx0 2 0 rad in (44) Comme signalé, nous utiliserons l’hypothèse d’une température de fluide constante en entrée donc d’un écart Drad(Kl) constant. Après intégration pour toutes les particules durant leur temps de séjour (pour calculer la puissance thermique échangée il faut multiplier par un facteur u/2p), on obtient: ð xZK1 ð tout 0 Qrad Z d2 Q x0 ZK2LLK1 tin Z rcg Spass l0 T D L F ðbÞ 2 0 radðK1Þ L 1 (45) où la fonction F1 utilisée dans l’éq. (45) est définie par: F1 ðbÞ Z 1 C 8b2 K eK2bp 1 C 4b2 (46) La Fig. 6 représente les évolutions de cette expression en fonction du paramètre b. On note la présence d’une asymptote de valeur maximale 2 dès que bO2 (PrZ0,7). En d’autres termes cela signifie, si l’on observe aussi la Fig. 3, que pour les valeurs de Wom!1,75, la quantité de chaleur échangée entre le fluide et les parois peut être exprimée simplement par le produit de la masse fluide déplacée, de la capacité calorifique et de l’écart de température qu’elle possède avec la paroi en x*ZK1: Qrad;Wom!1;75 zrcg Spass dispT0 DradðK1Þ cas LL % 1 (47) Pour Wom tendant vers l’infini, b tend vers 0 et la quantité de chaleur échangée aussi: aux hautes fréquences, les transferts thermiques n’ont plus le temps de se faire et il faut donc diminuer la distance inter-plaques e si l’on veut maintenir une 362 P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 Fig. 5. Evolution temporelle des profils des températures adimensionnels en fonction de la longueur de l’échangeur [K1,C1] et du déplacement relatif du fluide (Drad(K1)Z0,75, PrZ0,7: haut LLZ1, milieu LLZ1,5, bas LLZ0,5). (Nota: les fronts thermiques sont verticaux, l’apparence inclinée provient d’imperfections graphiques). valeur de Wom faible et un échange thermique suffisant (la couche limite thermique diminuant avec la fréquence les échanges radiaux deviennent moins prépondérants que la diffusivité axiale). Si Drad(K1) varie dans le temps de manière sinusoı̈dale, comme dans le cas de machines de Stirling, l’intégration de l’éq. (45) est plus compliquée, ainsi que l’expression de la fonction F1(b), qui dépend en plus de la phase entre température «d’entrée» et vitesse. Ces aspects sont longs à détailler et mériteront une étude ultérieure. 3.3. Cas d’un profil de température de paroi linéaire et constant dans le temps 3.3.1. Profil des températures du fluide L’équation de la temperature de paroi est choisie ainsi: Tt ðx Þ Z T1 K TK1 T C TK1 x C 1 2 2 (48) Les phénomènes de transferts thermiques sont plus compliqués lorsqu’il existe un gradient de température le long des parois des plaques. En substituant l’éq. (48) selon Tt ð2C l sin uÞ, la solution de l’éq. (39) devient: Tg ðt ; xÞ K T1 C TK1 T K TK1 lb Kx 1 C 2 2 1 C b2 T1 K TK1 ðcos t K b sin t Þ 2 T C TK1 T K TK1 lb Kx 1 C Z Tg ðk; xÞ K 1 2 2 1 T K TK1 ðcos k K b sin kÞ eKbðt KkÞ C b2 1 2 ! Fig. 6. Représentation de la fonction F1 en fonction de b. (49) On choisit toujours la constante k de manière à vérifier l’équation au temps tin en x*ZK1, les calculs font alors P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 intervenir un déphasage 4 défini par: cos 4 Z b 1 ; sin 4 Z 1 C b2 1 C b2 (50) On exprime les écarts de températures par la notation: Drad Z Tg ðt ; xÞ K Tt ðx Þ; Dlong Z T1 K TK1 paragraphe 3.2.2, mais il apparaı̂t dans la dérivée de l’éq. (52) un terme complémentaire lié au gradient de température des parois Dlong (éq. (51)): Q Z Qrad C rcg Spass (51) ð xZK1 l Drad ðt ; x ; x0 Þ C Dlong cosðt K 4Þ 2 l Z Drad ðt ; K1Þ C Dlong cosðtin K 4Þ eKbðt Ktin Þ 2 in x0 ZK2LL K1 ðKbeKbðt tin Ktin Þ cosðtin K 4Þ K 4ÞÞdt dx0 C sinðtin (52) Cette relation n’est valide que pour les particules qui ne ressortent jamais en x*Z1 et pour les temps t e tin ; tout : Deux écarts différents Drad(K1) et Dlong concourent à la variation du profil de température du fluide; il ya toujours une décroissance exponentielle de paramètre b. Par symétrie, pour le fluide qui retourne dans le système en passant par x*Z1 (écart Drad(t*, 1)Z0, côté réservoir par hypothèse), il faut appliquer la relation: Drad ðt ; x ; x0 Þ 0 l 0 Z K Dlong ðcosðtin K 4ÞeKbðt Ktin Þ K cosðt K 4ÞÞ 2 ! l0 l D 2 long 2 ð pKt 0 Finalement on obtient l’expression de l’écart de température local fluide/paroi en x* et au temps t*: 363 (53) Les Fig. 7 montrent les profiles de température obtenus au cours du temps dans le fluide, le long des plaques, pour deux valeurs très différentes du paramètre b, et trois valeurs de LL. Le cas présenté sur les Fig. 7 (TK1KT1Z0,5, DradZ 0,25) considère l’hypothèse d’un gradient négatif, ce qui doit normalement être le cas dans un échangeur si la température «d’entrée» en x*ZK1 est supérieure à celle de la paroi. On constate que les différences de température paroi-fluide sont inférieures au cas de la Fig. 5 (fronts thermiques moindres). De plus, après l’inversion du sens de l’écoulement, il circule des particules de fluide, plus froides que la paroi, si bien que les échanges thermiques sont effectivement inversés et que le fluide se réchauffe. Sur une période, cet «effet régénérateur» amoindrit le transfert thermique global de/vers l’extérieur: cette situation n’est pas désirable dans le cas d’un échangeur de refroidissement par exemple. Il faut veiller aussi aux signes respectifs de Drad et Dlong dans les évolutions de température obtenues. Les remarques faites précédemment concernant des plaques isothermes et l’influence des paramètres LL et b étaient identiques mais dans le cas présent l’effet «régénérateur» est superposé à la décroissance exponentielle du gradient de température «d’entrée». 3.3.2. Evaluation des quantités de chaleur échangées entre le fluide et les plaques Pour les particules «entrantes» comprises entre les positions d’origine x0 2½K2LL K 1;K1, le calcul des quantités de chaleur échangées est mené comme dans le Q Z rcg Spass l0 T D L F ðbÞ 2 0 radðK1Þ L 1 C rcg Spass l0 T D L F ðbÞ 2 0 long L 2 (54) avec 4 défini par l’éq. (50) et la fonction F2 par: F2 ðbÞ Z 1 K eK2pb C pbð1 C b2 Þ 2ð1 C b2 Þ2 (55) Pour la quantité de fluide chassée des plaques par la droite, le calcul est identique, mais à son retour, cette quantité «remonte le gradient thermique» KDlong depuis x*Z1, ce qui annule globalement l’effet complémentaire précédent en F2 (éq. 55), de telle manière que pour le cas LLZ1 (toujours avec l’écart Drad(t*, 1)Z0, côté réservoir): QLLZ1 Z Qrad Z rcg Spass l0 T D L F ðbÞ 2 0 radðK1Þ L 1 (56) Si nous envisageons le cas LL!1 des échangeurs longs (Fig. 4(b)), comme auparavant, la quantité de fluide qui reste constamment enfermée entre les plaques représente globalement un échange thermique nul. La quantité de fluide pénétrant par la gauche subit un gradient axial ðTR K TK1 Þ pour lequel: TR Z T1 K TK1 T C TK1 ð2LL K 1Þ C 1 2 2 (57) Pour la quantité de gaz «sortant» à droite, le gradient thermique s’effectue pour ðTL K T1 Þ avec: TL Z T1 K TK1 T C TK1 ð2LL K 1Þ C 1 2 2 (58) Au total, l’échange thermique est: l QLL!1 Z rcg Spass 0 T0 LL DradðK1Þ F1 ðbÞ 2 l C TL K T1 Þ Z Qrad C F2 ðbÞ ðTR K TK1 2 (59) La quantité de chaleur échangée est identique à celle du cas précédent LLZ1 (en effet le second membre de la parenthèse dans l’éq. (59) s’annule malgré un échangeur plus long; ainsi (toujours dans l’hypothèse d’un écoulement 364 P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 Fig. 7. Représentation des profils de température selon la longueur l0 et suivant b, (Drad(K1)Z0,25 et DlongZ0,5 (trait épais: température de la paroi) haut LLZ1, milieu LLZ1,5, bas LLZ0,5). (Nota: les fronts thermiques sont verticaux, l’apparence inclinée provient d’imperfections graphiques). laminaire avec une conductivité axiale nulle), la longueur supplémentaire d’échange n’a servi à rien. Si nous étudions enfin, le cas des échangeurs courts LLO1 (Fig. 4(c)), les particules situées dans l’intervalle x0 2½K2LL K 1;K1, arrivent à ressortir par la droite 0 (x*Z1) au temps tout et retournent dans le système au 0 temps tin : 1 K x0 0 0 0 ; tin Z Arc sin K1 C Z p K tout tout LL (60) avec: ð xZK1 0 Q11 Z ð xZK1 0 Q12 Z (64) avec: x0 Z1K2LL Z Q12 (61) 0 l0 l D T Q 2 long 0 2 p1 0 l0 l D T Q 2 long 0 2 12 0 ðeKbðtinKtout Þ cosð4 K tin Þ K cosð4 K tout ÞÞdx0 Dans l’autre sens le gradient thermique est inversé et la quantité échangée s’écrit: ð xZK1 C rcg Spass (62) (63) Qp1 Z l Q1 Z rcg Spass 0 DradðK1Þ T0 Q11 2 ð1 K eKbðtoutKtin Þ Þdx0 x0 Z1K2LL Q10 Z Krcg Spass Pour cette fraction de fluide, la quantité de chaleur échangée dans le sens gauche vers droite est: x0 ZK2LLC1 0 ðeKbðtinKtout Þ cosð4 K tin Þ K cosð4 K tout ÞÞdx0 (65) Pour la fraction fluide qui ne ressort pas à droite P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 365 (Fig. 4(b)), on a: Q2 Z rcg Spass l0 D T Q 2 radðK1Þ 0 21 l0 l Dlong T0 Q22 2 2 C rcg Spass (66) avec: ð xZ1K2LL 0 Q21 Z x0 Z2LLK1 ð xZ1K2LL 0 Q22 Z ð1 K eKbðtoutKtin Þ Þdx0 x0 ZK1K2LL (67) ðeKbðtoutKtin Þ cosð4 K tin Þ K cosð4 K tout ÞÞdx0 (68) Enfin pour la masse de fluide chassée des plaques et comprise dans l’intervalle x0 2½K2LL K 1; 1K 2LL , on a: Q3 Z Krcg Spass l0 l D T Q 2 long 0 2 31 (69) avec: ð xZ1K2LL 0 Q31 Z x0 ZK1K2LL ðeKbðtoutKtin Þ cosð4 K tin Þ K cosð4 K tout ÞÞdx0 Z Q22 (70) Globalement, il vient QLLO1 Z Q1 C Q10 C Q2 C Q3 , soit compte tenu des éqs. (61) à (70): QLL!1 Z rcg Spass l0 T D ðQ C Q21 Þ 2 0 radðK1Þ 11 K rcg Spass l0 l T D ðQ K Qp1 Þ 2 0 2 long 12 (71) Cette relation est à comparer à l’éq. (45): Qrad Z rcg Spass l20 T0 DradðK1Þ LL F1 ðbÞ du cas LL%1. Les Figs. 8 et 9 représentent les évolutions des deux termes du second membre de l’éq. (71). Le terme (Q11C Q21) tend évidemment vers la valeur LLF1(b) pour LLZ1, sinon il reste toujours plus faible et ceci d’autant plus que LL augmente et que b diminue (soit Wom grand): pour un échangeur trop court, l’échange thermique n’est pas total. En fonction du signe de la différence des températures gaz/plaque Drad(K1) en x*ZK1, le second terme de l’éq. (71) (Dlong) rajoute de la chaleur au fluide si T1OTK1, sinon il intervient comme un retrait supplémentaire de chaleur. Ici encore les phénomènes sont amplifiés pour les plus faibles valeurs de b. Dans l’hypothèse d’un écart Drad(C1) symétrique de Drad(K1) par rapport à la température de paroi, le bilan thermique global devient nul et l’échangeur se comporte comme un véritable régénérateur; au contraire si les deux écarts sont du même signe, les échanges thermiques sont doublés. Fig. 8. (Q11CQ21)/(LLF1(b)) en fonction de LL et selon b cas LLO1. 4. Conclusions Les équations théoriques d’un modèle 2D ont été adimensionalisées de manière à faire apparaı̂tre les paramètres caractéristiques des écoulements oscillants à vitesse moyenne axiale nulle. Neuf groupes principaux ont été ainsi mis en évidence, ils sont reportés dans le Tableau 1 avec leur signification. Parmi ceux-ci, le rapport du déplacement LL, le nombre Wom et le nombre Pr prennent une place prépondérante. La description des phénomènes de transfert thermique entre une paroi, présentant ou non un gradient thermique, et un fluide en écoulement oscillant, a pu être engagée à partir du cas simplifié d’un écoulement laminaire incompressible avec température d’entrée constante. La modélisation introduit la notion de nombre de Nusselt complexe (Fig. 2) afin de tenir compte de l’existence d’une phase entre transfert thermique et écarts de température. Nous avons pu établir l’expression analytique (éqs. (39), (49)) des écarts de température fluide/plaque en fonction du temps et en variable lagrangienne (c’est-à-dire en suivant les particules fluides) et montrer l’importance du paramètre LL et des paramètres b et l liés au nombre de Nusselt complexe (éq. (37)). Une décroissance exponentielle de paramètre b des écarts de température d’extrémité fluide-paroi a pu être démontrée. L’étude paramétrique (Fig. 5) tend à prouver que la phase entre transfert thermique et écarts de température joue un rôle prépondérant dans les échanges Fig. 9. (Q12KQp1) en fonction de LL et selon b, cas LLO1. 366 P. Nika et al. / International Journal of Refrigeration 28 (2005) 353–367 thermiques, via le paramètre b et la fonction multiplicative F1(b) (éq. (45) et Fig. 6). L’étude montre (éq. (51), Fig. 6) qu’il faut se limiter à des valeurs bO2, c’est-à-dire Wom! 1,33 pour obtenir un transfert de chaleur maximal, pour diminuer le déphasage entre la différence de température fluide/paroi et le flux thermique échangé (NuI1/0). Pour des appareils fonctionnant à des fréquences élevées, il faudra veiller à diminuer l’espace inter-plaque ou le diamètre hydraulique afin de respecter ces conditions. En ce qui concerne l’efficacité des échanges thermiques, le cas idéal correspond à LLZ1: il est inutile d’employer des longueurs de plaques surdimensionnées (LL!1) car l’effet thermique global des particules fluides enfermées est nul. Choisir LLO1 ne conduit pas à un échangeur plus performant non plus; des graphiques de correction ont été donnés dans ce dernier cas (Figs. 8 et 9). Notons cependant que les calculs ne prennent pas en compte les longueurs d’établissement des régimes hydrauliques ni les phénomènes de turbulence aux extrémités, il pourrait donc être intéressant d’utiliser des valeurs LL!1. L’existence d’un gradient thermique (Dlong négatif) le long des parois est un facteur défavorable pouvant générer des échanges de chaleur contradictoires avec la paroi entre les périodes d’aller et retour du fluide: il se produit alors un «effet de régénération». Une discontinuité de température Drad maximale aux deux extrémités ainsi qu’un gradient axial Dlong minimum sont donc nécessaires pour maximiser les échanges de chaleur. Il reste dans le futur à se consacrer à l’étude des températures d’entrée variables, des profils de température non linéaires, (sinusoı̈daux en particulier) et surtout aux fluides compressibles de manière à confirmer/infirmer les résultats exposés dans ce travail. References [1] M. Ozdinç, M. Carpinlioglu, Y. 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