Chapitre 2( format pdf 2,1 Mo)
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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES A PPLIQUEES DE TOULOUSE Département de Sciences et Technologies Pour l'Ingénieur 3 ème année Ingénierie de la Construction GÉOTECHNIQUE 1 Cours Chapitres 2 Jacques Lérau Maître de Conférences Année universitaire 2005 2006 GÉOTECHNIQUE 1 SOMMAIRE Chapitre II HYDRAULIQUE SOUTERRAINE 1 ÉLÉMENTS D' HYDRAULIQUE SOUTERRAINE 2 ÉCOULEMENTS TRIDIMENSIONNELS – HYDRAULIQUE DES PUITS 3 ÉCOULEMENTS BIDIMENSIONNELS – ÉTUDE DES RÉSEAUX D' ÉCOULEMENT 4 EFFETS MÉCANIQUES DE L 'EAU SUR LES SOLS – INTERACTION FLUIDESQUELETTE 5 EFFETS DE LA CAPILLARITÉ DANS LES SOLS Annexe 1 : Condition de continuité Annexe 2 : Débit de pompage Démonstration de Tcharny Géotechnique 1 J. Lérau Chapitrell HYDRAULIQUE SOUTERRAINE T . ÉuÉnaENTsD,HYDRAULIQUESoUTERRAINE 1 . 1 - HYPOTHÈSESET DÉFINITIONSFONDAMENTALES 1 - 1 - 1 - Hypothèsesdebase-Conditiondecontinuité L'étude de l'écoulementde I'eau dans les sols reposesur les trois hypothèsessuivantes: 1. Le sol estsaturé. 2. L'eauet lesgrainssontincompressibles. 3. La phaseliquideestcontinue. -!,,c"Ll ."",iiÏ;d'eau Soitun volumequelconque de sol saturé(V),limitépar (fig.1). Dans une surface(S) et traversépar un écoulement un intervalle de tempsdonné.dt, un volumed'eaudV1pénètre à I'intérieur de (S) et un volumed'eaudV2en sort.Si on X---R&"tiE?YV=vs+vw supposeque les grainsn'ont pas bougé,c'est à diresi (V) est un domainefixede l'espace,et en vertude I'hypothèse 2, le volumed'eauVrlycontenudans(S) restele même. dV1volumed'eau entrant Parsuite,dVr = dVe.Le débitest conservé. C'estla condition de continuité. - Figure1 Pourexpliciterla conditionde continuité, considérons un parallélépipède élémentaire de sol,limitéparunesurface(S), de côtésdx,dy et dz. Soit Û(vr,vy,vz)la vitessede l'eauau centreM de cetélémentde volume(fig.2). (*ar=:àr' ---:j-- 1 1 1 L'eau pénètrepar la facetteABCDavec une vitessê!vx $'*- o* et sort oar ra facette 2 ôx A'B'C'D'avecunevitessêr v; * 1.}k O* 2 ô x ll en estde mêmepourlesautresfacettes. 'o* Géotechnique1 - J. Lérau î &a* àx- -c.n-2Au total,le volumed'eauentrantdansle parallélépipède pendantI'interualle de tempsdt s'écrit: dVr-[tu* +] o*l.oy.dz+(vy+(vz ++dy).dz.dx + * o=r.dx.dv].dt On a de mêmepourle volumesortant: dVz- . [tu* *.* (vy. o*,.dy.dz+ * # ou,.oz.dx + (vz* +Ydz).dx.dy].dt La conditionde continuitédVr - dV2s'écrit donc après simplification: ql-.1!-. lL = o dx dy dz soit divV = Q (1) C'estla loi de conservation en volume. Remarques : . C'est aussila loi de conservation de la masse(hypothèse 2: la massevolumiquede l'eauresteconstante). . La relation(1) peut être obtenuesans faire d'hypothèse sur la forme du volume - voirannexe1. élémentaire . En hydraulique dessolson a le plussouventaffaireà des régimespermanents, c'està dire des écoulements stabiliséspour lesquelsla vitessede I'eau en tout pointdu massifest indépendante du temps.Lesparticules fluidessuiventdoncdestrajectoires, appeléeslignesde courant,invariables au coursdu temps.Le présentchapitretraiteuniquement l'étudede tels écoulements. . On appellerégimetransitoire un régimenonstabilisé, variableavecle temps. 1 - 1- 2 - Vitessede l'eaudansle sol L'eau qui s'écouledansun sol circuledansles interstices entreles grainsqui forment descanauxde taillesvariables. Lestrajectoires réellesdesfiletsliquidessontasseztortueuses et il n'estpaspossible de définirlesvitesses réellesde l'eau(fig.3-a). Commeon s'intéres'se surtoutau mouvementglobaldu fluide on définitdes trajectoiresfictiveset des vitesses moyennes. D€bit q . Soit q le débitde l'eau s'écoulant dans un tube de sol au travers d'unesurfaced'airetotaleS (grains+ vides). Par définition,la vitessede déchargede I'eau dans le sol, notéev, est égaleau rapport: traJ ecÈgire réellê et viÈesse loca - Figure3 En pratique,c'est la vitessede décharge v (appelée aussivitessede percolation) qui est utiliséedanslescalculsde débits.C'estunevitessefictive,apparente. que I'eau ne circuleque dans les vides,on peut définirla vitesse En considérant moyenneréelle,notéev', définie'par: v'= s +v Soitn la porosité du milieu n = 5 =) Vy = n.V V Pourun cylindrede sectionS et de hauteurH, on a : Vu= Sv.H = D.S . H = =+ Sv= h . S S : airetotalede la section,Sy : aireoccupéeparlesvides. Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-3- La vitesseréellemoyennea donc pourvaleur: v' = q _ q d'où: n.S Sv - Pertede charge 1 - 1 - 3 - Chargehydraulique Dans l'étudede l'écoulement d'un fluidesous l'actionde la pesanteur, on appelle point prenant chargehydraulique en un M, en O] verticalascendant, la quantité: h h M =vm2 Ë. u1 # +zM avec v":vitessede I'eauau pointM, uM: pressionde l'eau en M (en prenantpouroriginedes pressions la pressionatmosphérique), appeléepression interstitiellel, z" : altitudedu pointM par rapportà un plande référencearbitrairemaisqui,judicieusementchoisi,peutsimplifier lescalculs(si ô7 estverticatdescendant : - zu), g : accélération dueà la pesanteur. La chargehydraulique représente l'énergied'uneparticule fluidede masseunité, ' 5É 2 9 correspondant à l'énergiecinétique et (llIL* =r) à l'énergiepotentielle. Elleest expriméeen Yw mètres. 2 En Mécaniquedes Sols,le term" ll est toujourstrès faible par rapportaux autres 2g termes,car lavitessed'écoulement de I'eauest toujoursfaible.Pourunevitessede 10 cm/s, 2 = 0,5 mm seulement. qui n'estjamaisatteinteen pratiqu",* On peutdoncle négligeret zg écrire: hM= *=" # Dansle cas de l'écoulement d'unfluideparfait(incompressible et nonvisqueux) le théorèmede Bernoulli indiqueque la chargele longd'unfiletfluideresteconstante. L'eaun'étant pas un fluideparfait,la présencedes particules solidesgénèredes contraintes de cisaillement (liées au gradientde vitesse).ll y a interactionde I'eau avec les grains du sol et, en conséquence, dissipation d'énergie. Le théorème pas.ll y a pertede de Bernoulli ne s'applique chargele longd'unfiletfluide. La chargehydraulique est unevaleurrelativefonctionde la positiondu plande référence, elle est doncdéfinieà uneconstanteprès.Celane posepas de problèmecar c'estla variation de chargeentredeuxpointsqui est le paramètre fondamental. La variationde chargedh subie par I'eaudansson mouvement - hy. de M à N (dansle sensde l'écoulement) est égaleà hr'*r (fig. Cettevariationest négative a). On appellepertede chargela quantité- dh - dh = hrrrr- hru La pressioninterstitielle u est mesuréepar la hauteurd'eaudansun tubepiézométrique (appeléaussioiézomètre) pénétrant dansle soljusqu'aupointconsidéré. SoitM le pointconsidéré et A le niveausupérieur de I'eaudansle tube. La chargehydraulique est la mêmeen A et en M puisqu'iln'ya pasécoulement entreces deuxpoints. t remarqueret retenir I'orthographedu mot : interstiliel(le) Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-4uu hr'rM = - u M - +r'rz M =F\h A =A Z r+ Yw = z '.a - z M : + uM=T*@o-zr,rr) Yw La pressioninterstitielle est proportionnelle à la hauteurd'eaudansle tubepiézométrique. On appellesurfaceoiézométrique le lieu des pointscorrespondant au niveaude l'eau danslestubespiézométriques. Sa tracedansle pland'étudeestla lignepiézométrique. La pertede chargeentreM et N estégaleàzo-zs. pié5o "-'t,.1\J<s *ot Srr Fccc àu sol :9eei.,r.d+i1q. {- + E â_ t I I po-be. #e.nEra- I -t --- , I It a, , c r àc' <-hârqe. Ha.bN J N t , , t .9 I , I , Lioncs / Jq"i gitrnfiellcs , I N, Figure4 La surfacelibrede l'écoulement est constituée de lignesde iourantconfondues avecla qui leur est associée(ur,rr= 0, quel que soit le point M considéré ligne piézométrique appartenant à la surfacede l'écoulement). 1 - 1 - 4 - Gradienthydraulique l-achargehydraulique h" estfonctiondescoordonnées x, y etz de M. - âh/ôx on appellegradienthydraulique en M, le vecteuri de composantes : T -âh/ôy = -grad h -àh lôz SoitP un pointtrèsvoisindu pointM (fig.5),tel que: lox ffilo, ld= Ona: i . MF=-# dx-# ou-# dz=-dhup - hp,s'exprimedoncpar: - dhnrp- i . M P doncla pertede chargeentreM et P, égaleà hr,rr SoitQ un pointtrèsvoisinde M dansla direction de i , ? tviôt=dl,ona: hy- hq = - dhMe= î. ffi= lî l.lN4tI =+ dansle sensde l'écoulement : - dh = . d l d'oùrI'expression du modulede i : M - Figure5 positifdansle sensdu courant. i est un nombresansdimension, Lorsquedansun écoulement le gradient hydraulique estle mêmeen toutpoint,l'écoulementestdit uniforme. Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-51 - 1 - 5 - Exemplede calculde gradienthydraulique Considérons un échantillon cylindrique de sol traversé par un écoulement vertical (fig.5). descendant . Au pointB : us = AB . yyy(étathydrostatique) zs=BC d'où : ha- !E- + Ze= AB + BC= AC Yw . Au pointD : U D= C D. Y * zD=- CD d'où:ho=P.zo=CD-CD=0 TW . Entrele pointB et le pointD, il y a uneperte = hB-ho = AC de charge: (-dh)sD - Figure6 - . Gradienthydraulique entreBD : ll a pourmodule: . l -dh - = v he-hn v = AC dI BD BD En tout pointde l'échantillon de sol le gradient hydraulique est le même:l'écoulement est uniforme (pertede chargetotale) ll Remarque: On obserueque la pertede chargeà traversl'échantillon entrele niveaude l'eauà l'entréede l'échantillon et le niveaude I'eauà ll estégaleà la différence ll la sortie. tt - 1 .2 - LOI DE DARCY Lesexpériences de Darcy,qui sontà la basede l'hydraulique souterraine, étaientrelatives à l'écoulement de I'eau dansune conduiteverticalerempliede sableen régimepermanent.Dansun tel cas,les lignesde courant'sont rectilignes et parallèles. peutêtre étendueau cas d'un écoulement La loi, établieexpérimentalement, monodiquelconque. mensionnel de direction La loi de Darcyexprimeque la vitessede déchargeest proportionnelle au gradienthydraulique: [ = k.i La circulation de I'eaus'effectue en régimelaminaire. Le coefficient k ainsiintroduitest une caractéristique du sol étudié.ll est appelécoefficient de perméabilité. Sa dimensionest celled'unevitessepuisquei estsansdimension. La perméabilité variebeaucoupavecla naturedu terrain.Le tableauci-aprèsdonneles interualles de valeurscorrespondant aux perméabilités de différents typesde sol : Type de sol Graves Sables Limonset sablesargileux Arqiles Géotechnique1 - J. Lérau Coefficientde perméabilité (m/s) Perméabilité 10-3<k<1 10-5<k<10-3 10-s<k<10-5 10-13<k<10-e très élevée assezélevée faible pratiquementimperméable -c.il-6Remarques : 1. Pouravoirun ordrede grandeur facileà retenir: 10-8m/s représente unevitessede 30 cm paran environ'. 2. Lesrochesnonfissurées ontdesperméabilités variantde 10-12à 10-10m/s. 3. Dansle casd'un sableà granulométrie serrée(c, . 2),on peutobteniruneestimation du coefficient de perméabilité à I'aidede la relationempirique de Hazen: k = Dro2 où k estexpriméeen m/set D1sestexpriméen cm. 4. Le décretministériel du 11 Mars1987concernant les Centresde Stockageet de Traitementdes Déchetspourles orduresménagères et assimiléspréciseque le sol du site doitprésenterun coefficient de perméabilité inférieur à 10-6m/ssur uneépaisseur égaleou supérieure à 5 m et la présenceen partiesupérieure d'unsol ayantun coefficient de perméabilité inférieur à 10-em/ssurun mètred'épaisseur. 1 .3. MESUREDE LA PERMÉNEIL|TÉ CN LABORATOIRE Le principede la mesureconsisteà relierle débitq traversant un échantillon cylindrique de sol saturé(écoulement uniforme) à la chargeh souslaquellese produitl'écoulement. Suivantl'ordrede grandeurde la perméabilité du sol étudiéon seraamenéà travailler souscharge (perméabilités constante élevées<+,k > 10-5m/s)ou souschargevariable(faiblesperméabilités c+ k < 10-5m/s). 1 - 3 - 1 - Perméamètre à chargeconstante Le niveaude I'eau dans le réservoirétant maintenuconstant,on a, en prenantle plan de référence au niveaude sortiede I'eau(fig.7): .enAi ho=-uA+zA=H-L=h '1 Yw .enB: q nrveou aonstont hB= z B= 0 #. . pertede chargeentreA et B : hn - he = h . gradient hydraulique . : i - IL . débittraversant l'échantillon : q = v . S = f . I . S L d'où: k = q . L S rnesuredu ffiit h avec q, = 9t et S sectionde l'échantillon. Q : volumed'eaurecueillipendantle tempst. L'écoulement dansl'échantillon est uniforme. 1 3 2 Perméamètre à chargevariable Dansle casdesfaiblesperméabilités, l'essaià chargeconstante seraittroplong,les débitsétanttrèsfaibles.On procèdealorsà chargevariable: l'eau provientd'un tubete faible diamètre(sections) reliéà l'échantillon. Au fur et à mesureque l'écoulement se produit,le niveaude I'eaudansle tube baisse(chargevariable).On mesurele tempst nécessaire pour queI'eaudescende du niveauh1au niveauh2(fig.8). Danscet essai,le mouvement n'estpas permanent, maisle phénomène est lenter on supposeque la loi de Darcyestapplicable à chaqueintervalle de tempsélémentaire. " 1 an = n.107sec Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-7Avec les notationsde la figure (plan de référence au niveaud'entréede l'échantillon) il vient,pour un tempsintermédiaire : .enA: hA= H+0 #.zA= . enB: hB=#.zB=0+L opêrtêdecharge: hn - hB = H - L= h . gradient hydraulique : i - FL . . débittraversantl'échantillon: 9 = v . S - r . L. F . S En écrivantque le volumed'eau qui trapendantI'intervalle versel'échantillon de temps dt estégalà la diminution de volumed'eaudans le tube,il vient: dV= q.dt= -s.dh s o i t: k . h t Perméamètre à chargevariable - Figure8 - . S . d t= - s . d h t l. d'où:k.ldt J 0 de sol h2 - s ' f of et,aprèsintégration : s'''J h h1 ft=È.f.,'# Remarques : . La mesurede k en laboratoire est intéressante lorsqueI'homogénéité du massifde sol est pourqu'un échantillon suffisante soit représentatif. C'estrarementle cas,saufdansle cas de couchesargileusesou de matériauxmis en æuvre dans les ouvragestels que digueset barragesen terre (matériauxde qualitécontrôléeà la mise en æuvre).Dans le bas de problèmescourantstels que rabafiements de nappeen milieu perméable,I'hétérogénéité nécessite l'emploid'autresméthodes (pompages, ...). ' Commeprécédemment on observe,pour les deux perméamètres, que la pertede charge totaleà traversl'échantillon est égaleà la différence entrele niveaude I'eauà l'entréeetle niveaude l'eauà la sortiede l'échantillon 1 .4. PERMÉABILITÉ DES TERRAINS STRATIFIÉS De nombreuxsolssédimentaires par des couchessuperposées sontconstitués de granulométries et donc de perméabilités variables.La perméabilité est parmiles propriétés ôes solsles plussensibles à I'anisotropie. Soitun terrainstratifiéd'épaisseur H constitué de n coucheshorizontales d'épaisseur H; et de perméabilité k i . On peutdéfinirun terrainfictifhomogène qui,danslesmêmesconditions de pertede charge,laissefiltrerle mêmedébit. 1 - 4 - 1 - Casd'unécoulement oarallèle au plande stratification (fig.9-a) Soitk 5 le coefficient de perméabilité du terrainfictifhomogène. que: En exprimant - la pertede chargeestla mêmepourtouteslescouches (le gradienthydraulique i estdoncaussile même) - le débittotalestla sommedesdébitsde chaquecouche quel'ona: on démontre k h = * l=O Fl , ) Ki . l-1i L l r r i=1 Géotechnique1 -J. Lérau -c.il-8- - 4 - 2 - Cas d'un écoulementperpendiculaire au plan de stratification(fig.9-b) Soit ky le coefficientde perméabilitédu terrainfictif homogène. En exprimantque : - la perte de chargetotaleest la somme des pertesde chargede chaquecouche - le débit est le même pour toutesles couches (la vitessede déchargev est donc aussi la même) on démontreque I'on a : 1 1 in, ç="?rn , Krr = ou encore: H iu 3k, , /.rI.:- I I I t l l I I , io'.'.ci1t {J +) parallèle a - Ecoulement perpendiculaire b - Ecoulement au plande stratification au plande stratification - Figure9 Remarque: La perméabilité du terrainfictifhomogène est beaucoupplusélevéedansle sens descouchesque dansle sensperpendiculaire auxcouches.Dansle casd'unterrainconstitué de deuxcoucheson peutfacilementdémontrerque =r ta FK V r 1 dansles terrainsstratifiés, perméabilité estplusgrandeparallèlement queperpendiculairement. à la stratification 1 .5.. CÉNÉNNLISATION DE LA LOt DE DARCY 1 - 5 - 1 - Milieuhomogène et isotrope Le coefficient de perméabilité k a la mêmevaleuren touspointset danstouteslesdirections.La loi de Darcygénéralisée exprimeque le vecteurvitessede déchargeet le gradient hydraulique sontproportionnels : V = k.i En toutpointM du milieuperméable, le vecteurgradient hydraulique esttangentà la tignede courantpassantparce pointet il estorientédansle mêmesens. û et T sontcolinéaires, k estun scalaire. Commeparailleursî = - grae h, la loide Darcypeuts'écrire: v --k.graÈh=$ae (-k.h) ce qui revientà postulerI'existence = - k.h appeléepotentiel d'unefonctionQ(x,y,z) desvitesses(c'està diredonnantlescomposantes de la vitessepardérivation) : v-grada Géotechnique 1 -J. Lérau -c.il-9La vitessede déchargea donc pour composantes: u r = # - - k* V v =aô a t = - Kah' Ù y z = 9 E = - r . â h dz La loi de conservation div ( Û) = 0 s'écrit: div (ffi àz A0= 0 0) = 0 + Le potentieldesvitessesest unefonctionharmonique. par- k, on obtient De la mêmefaçon,aprèssimplification Ah = 0 La chargehydraulique estaussiunefonctionharmonique. 1 - 5 - 2 - Milieuhomogène et anisotrope Dansce cas les vecteursgradienthydraulique et vitessede déchargene sontpluscolinéaires.lls se déduisent I'un de I'autrepar un opérateur linéaire:le tenseurde perméabilité (k) indépendant de x, y etz (homogénéiTé), symétrique et diagonalisable. ( n* kru k", ) = (k) | kv" ky kv. I kyy k, [kr* ) Si les axes de coordonnéesutiliséssont les directionsprincipalesdu tenseurde perméabilité (k), il estramenéà saformediagonale et s'écrit: (k* o o) (k= ) 10 kY0l |.0 0 t,z) La loide Darcys'écrit : û = - ( k ) . g r a dh et lescomposantes de la vitessede décharge ont pourexpression : vx=-k-* 'La condition de continuité s'écrit: vy=-nu# vz=-k.# k r 4 *' r"Y u4*kr&=e. a,É arz ô22 Ce n'estpasuneéquationde Laplace;la chargehydraulique n'estpasunefonctionharmonique . En pratique,du fait de la sédimentation et de la consolidation suivantla verticale,ky << k6.On posealors: kx = ky = k6 et k2 = ky (milieuhomogène orthotrope). 1 .6 . DOMAINEDE VALIDITÉDE LA LOI DE DARCY La loi de Darcyest bienvérifiéepourtous les solsdansle domainedesvitessesde déchargeusuelles. On constatetoutefoisdesécartsparrapportà la loi de Darcydansle casde : . très faiblesvitessesde décharge+ écartsdus à la présencedes couchesd'eauadsorbées qui peuventralentir ou annulerl'écoulement, . fortesvitessesde décharge+ écartsdus probablement à I'effetde forcesd'inertiedansun mouvementnon uniformequi provoquedes turbulences. Toutefois,ces fortesvitessesde jamaisatteintes,sauf éventuellement déchargene sont pratiquement dans certaineszones restreintes du milieu. justifiée, pleinement L'utilisation de la loide Darcyestdoncen pratique d'autantplusque d'autressourcesd'erreur,tellesquela nonhomogénéité dessolsréels,la modification de l'arrangement du squelette solidesousI'effetde l'écoulement, lesvariations qui de température modifient laviscositéde l'eau,fourniraient descorrections supérieures aux écartsmentionnés ci-dessus. Géotechnique1 - J. Lérau - c. il - 10- z - ÉcouLEMENTs TRIDIMENSToNNEI-s À svnnÉrrueDE nÉvot-uloN - HyDRAULIQUE DES PUITS lors de la réalisation On rencontrede tels écoulements de pompagesdans la nappe phréatique. pratiques Lesapplications des pompages sontles suivantes: alimentation en eau, rabattement desnappeset essaisde perméabilité in situ. Nousne donnerons ici quequelquesrésultats concernant le pompageen régimepermanent. 2 - 1 .HYPOTHÈSES DE CALCUL Soit un massif perméable,isotrope,de perméabilité k, baignépar une nappe libre d'épaisseur H, reposant sur un substratum (fig.10).Supposons imperméable que l'on foreun puitscirculairevertical,de rayonr, traversantcomplètement la coucheperméablejusqu'au substratum. Le puitsest crépinéde manièreà ce queles paroisne s'éboulentpas.On pompe alorsdansle puitsà débitconstantq. La hauteurde I'eaudansle puitsestnotéeh. Dans le cas où la nappephréatiquea une grandeépaisseurau repos,un régime permanents'établiten unejournéeenviron.La surfacelibrede la nappeprésentealorsune dépression en formed'entonnoir,centréesur le puitset se raccordant à une distanceR de l'axe du puitsà la surfaceinitialede la nappe.Le rabattement de la nappen'affectedonc qu'uneportiondu massifperméable situéeà I'intérieurdu cylindrevertical de rayonR, appelé rayond'alimentation ou rayond'action. Le problèmeest de révolution autourde l'axe du puits.La figureci-aprèsreprésente une sectiondu massifpar un plandiamétral vertical.Le rabattement ô en un pointd'abscissex est donnépar la différencede cote entreles pointsde la surfacelibresituésà la verticalede x avantet aprèspompage. t , rn a:ri{ p.,it s , | ,. 6ragrn4 R a 6ub rhral-urrr i m p cr rn d. bl e- 4 ( rayoa dtechi cn\ pc"-Lbl- ; Rabattement de napoelibre - Figure10- FORMULE 2.2. POMPAGE EN NÉCIITIT PERMANENT DE DUPUIT Puitsdansunenappelibre(fig.10) Soitun pointM quelconque de la surfacelibrede coordonnées x et z. En désignantpar s I'abscissecurvilignele long de la surfacelibre, le gradient hydraulique en M a pourvaleur-dzl-dset la vitessede décharge, tangenteà la surfacslibre,a p o u r m o d uV l e=r k . i = k + os L'hypothèse de Dupuitconsisteà supposer que la surfacelibrea unepentefaibleet que les lignesde courantpeuvent,en premièreapproximation, êtreconsidérées commehorizontaleset parallèles. On peutalorsécrirei v = v; êt ds = dx = à V ; = K dz d* En admettantque lesfiletsliquidessontpratiquement horizontaux et parallèles, il résulte vx horizontale de la vitessede déchargele long Quê est la valeurmoyennede la composante de la verticale d'abscisse x. Géotechnique1 - J. Lérau - c . i l - 1 1Par suite, le débit qui entre dans le cylindrede surfaceS (rayonx et hauteurz) a pour v a f e u r : q = $ . V x= Z n . x . z . k+. dx (1) Puisquel'eau est incompressible et que le régimeest permanent, q est égal au débit pompédansle puits.En intégrant (1)entrele rayondu puitsr et le rayond'actionR, l'équation on trouvela formulede Dupuit: Q =t[ , H2 -h2 ln l- r Puitsdansunenaopecaptive(fig.11) On ne considèreplus la surfacede la nappemaisla sudacepiézométrique. Le débit à considérer entredansle cylindrede surface S, de rayonx et de hauteurconstantee. g = Zæ.x.e.k. + L'intégration de ta relation dx conduit à: q = 2 n .k . e . I ; 3 . R ln- f Puitsdansunenapoecaptive - Figure 11- 2 . 3. REMARQUES 2 - 3 - 1 - Rayond'action L'utilisation de la formulede Dupuitnécessitela connaissance du rayond'actionR. Ce dernierpeut être évaluéde différentes manières,soit simplement par relevédu niveaude la nappeau coursdu pompage,soit à l'aide de formulesempiriques, soit encorepar un calcul théorique en régimetransitoire. 1. En premièreapproximation, on peutadmettreque 100r < R < 300r Lesvaleursextrêmesdu logarithme sontIn 300 = 5,70et In 100= 4,61;on voit que la plaged'incertitude surq restefaible.PourR = 200r, on obtientIn R/r = In 200= 5,30. 2. On peutégalement utiliser la formuleempirique de Sichardt: R = 3 0 0 0 ( H - h ){ I avec: R, H et h exprimésen m, k expriméen m/s. 3. Etablissement du régimepermanent. On montreque R = 1,5 avec: k : coefficient de perméabilité, expriméen m/s, t : duréedu régimetransitoire, expriméen secondes n : porosité. Nota: Le produitkH estappelétransmissivité, elleestnotéeT. 2 - 3- 2 - Equation de la surfacelibre En intégrant l'équation (1)entrele rayondu puitset le pointcouranton obtientl'équation de la méridienne : 22=h2+ I .tnI n.k r Géotechnique1 - J. Lérau - c . l t- 1 2 - L'expériencemontre que l'hypothèsede Dupuitn'est pas valableau voisinagedu puits(fig.12).: . la pentede la surfacelibreest loin d'êtrenégligeable, . il existeune zone de résurgence sur la surfaceintérieure du tube 'S--. 0 1 00 oiùo + | fvrlau. L;b rc- (nàr;aic,nnc.) :qlD:3 l 0 l 0q t A | 'rlr. l eb. cri L'équation de la méridienne n'estqu'approchée.La méridienneréelleet la méridiennede Dupuitne peuventêtreconsidéquepourx > 1,5H. réesconfondues Zonede résurgence - Figure12 En revanche,le calculdu débitpeutêtremenérigoureusement sansfaired'hypothèse simplificatrice sur la pentedes filetsliquides(démonstration due à Tcharny- cf. annexe2). ll conduità la mêmerelationqueDupuit(h désignant alorsla hauteurde l'eaudansle puits). 2 - 4 - MESUREDE LA PERMÉABILITE IN- SITU Les petitséchantillons testésen laboratoire ne rendentpas comptede l'hétérogénéité desformations naturelles. En effet,il peutexisterdansla naturedespassages privilégiés fioints de stratification, fissures,...) qui modifientlocalement l'écoulement. On procèdealorsà des essaisen place.Lesperméabilités mesurées en laboratoire sontinférieures à cellesmesurées in-situ(effetd'échelle).On distinguedeux types d'essais: l'essaide pompageet I'essai ponctuel. 2 - 4- 1 - ESSAIDE POMPAGE (normeNF P 94-130) L'essaiconsisterabattre,par pompage, la surface piézométrique d'une nappe. La 'sol perméabilité du est telle que le pompage provoque un rabattement de la surface piézométrique en quelquesheures.Pour cela Eouchon on fore un puits à travers la formation êtanche perméablejusqu'ausubstratum.Le puits est crépinésurtoutela hauteurtraversant la nappe (fig. 13); des piézomètres sont mis en place. On pompealorsavec un débitconstantq jusqu'à ce que I'on ait atteintun régimepermanent.' On mesurele débitpompéainsique le niveau de l'eau dans le puits et dans les piézomètres. Laformulede Dupuitdonnealors: Sondede mesure Tube de mesure du niveau d'eau tnl k=effi Pompeinrnergée avec crépine d 'asoirati on Substratum imoermèabl Le rayon d'action est obtenupar obe servation du niveaude la nappeà I'aided'au Essaide oomoaoe moinstrois piézomètres alignés.La duréede - Figure13 l'essaiestde I'ordred'unejournée. L'essaide pompagedonne la valeurglobalede k représentative du comportement hydrauliquemoyen du volume de sol intéressépar l'essai(cylindreayant pour hauteur l'épaisseur de la nappeet ayantpourrayonle rayond'actiondu pompage). 2 . 4 . 2 - E S S AP I ONCTUEL Un essaiponctuelest réalisépendantun tempssuffisamment courtpourque le niveau de la nappeau coursde l'essairesteinchangé. On supposeque le substratum imperméable estassezloindu fonddu sondaqe. Géotechnique1 - J. Lérau - c. il - 13un volumesphérique ll intéresse de sol ayantun rayonde quelquesmètresautourdu pointétudié. L'essaile pluscourantest I'essaiLefranc(normeNF P 94-132), quel'on exécuteen généralau coursde l'avancement d'un sondage(= économies). Le sondageest tubéjusqu'au niveauoù doitêtreeffectuéela mesureet on exécute,à ce niveau,unecavitéde formedéterpar un coefficient minée(appeléelanterne), caractérisée de formeC (déterminé le plussouvent paranalogieélectrique). La cavitéest isoléeà sa partiesupérieure parun bouchonétanchede (fig.13).La filtrations'effectue parles paroisde la cavitéet nonparcellesdu forage. bentonite Selonla perméabilité desterrainsdeuxméthodes sontutilisées. . Danslesterrainsrelativement perméables (k > 10-5m/s)on pompedansta cavitéà débit constantq souschargeconstante h (régimepermanent). On montrealors que le débit peut se mettresousla forme: 9=C.k.h q d'où: k' , = c.h Dans la pratique, pour obtenir une meilleure précision, oî effectue plusieurs mesures(par pompageou injection)avec des chargeset desdébitsdifférents. . Dansles terrainsmoinsperméables (k < 10-5 m/s),on procèdeà chargevariabledu fait desfaiblesdébitsmis en jeu (régimetransitoire). Aprèsavoirpompél'eau dansla cavité, on arêtele pompageet on observela remontée de I'eaudansle tubecentral.Soienth1et h2les deux mesuresde la charge etfectuéesaux tempst1 et t2 . quel'on a : On démontre 'n#fr= #(ta-tr) d ' o ù ' l ' o tni r e : k= tn!1 . h- t rz 4 C te n. d2 Essai Lefranc - Figure14- d : diamètredu tubeintérieur. Pourunecavitécylindrique de diamètreD et de hauteurL (L t 2D),éloignée deslimites (dela surfacede la nappeet du substratum de l'aquifère imperméable) : 2nL C a la dimension d'unelongueur. , 2 L lnD La précisionde l'essaiest au mieuxde l'ordrede 50%.Cet essaipermetde déterminer un coefficientde perméabilité locale;il ne doit pas être utiliséseut pour déterminerun rabattement important de nappe. - ÉTUDEDESnÉsenux D'ÉcoULEMENT 3 - ÉCOULEMENTS BIDIMENSIONNELS s-1-cÉruÉnnlrrÉs Dansun massifde sol homogène isotrope soumisà un écoulement permanent et tel qu'il n'y ait pasde variationde volumedu sol (doncpasde modification de l'arrangement du squequi régissent lettesolide)leséquations l'écoulement sont: - la condition de continuité de la phaseliquide: div V = 0 et - la loide Darcygénéralisée : V = k. T = - k. graA h Géotechnique1 - J. Lérau - c .l l- 1 4 [ â u "l ô x + ô v = / è z - O Cesdeuxéquations sontéquivalentes au système: .{v" - - k ôh/ôx -kàhlôz L u ,= La condition de continuité s'écrit: a2h/ôx2 + a2h/à22 = Ah = 0 La chargeh1x,z) satisfaitdoncà une équationde Laplace.C'est une fonctionharmonique. Dansle casd'unmilieuanisotrope, on aboutità l'équation : a2h trx. a2h .r = o * tKz. u*z 6S qui n'estplusuneéquation de Laplace. La chargen'estplusunefonctionharmonique. 3 . 2 . M I L I E UI S O T R O P E - Définitions 3 - 2- 1 - Généralités La condition de continuité s'écrit: ô2h/èx2+ â2h/ô22 - O L'écoulement a lieuentredeslimitesdéterminées sur lesquelles sontimposées descon(la vitessede décharge) ditionssur l'écoulement ou sur la chargehydraulique. Le problème consisteà déterminerunefonctionh1x,z) satisfaisant à l'équationde Laplaceet aux conditions auxlimites.La solution estindépendante de la perméabilité k du sol. En pratique,la résolution de l'équation de Laplaceconsisteà rechercher : - lesligneséquipotentielles pourlesquelles on a h - Cte, - les lignesde courantpourtoutpointM desquelles ffi etantportépar ' âon a + n = 0, l'a><e la normaleà la lignede courant. Dans le cas générall'équationde Laplacen'est pas intégrableet on a recoursaux méthodes numériques. Danslescasgéométriquement simpleson utilisela transformation conforme. que pouvait = potentielle:Q1x,z) l'on introduire On avu lafonction [.h =+ V = $raôq. lafonction On peutaussiintroduire de courantry(x,z; définieOar, ' =vx êt =vz. S # que0 et \r sontdesfonctionsharmoniques On montrefacilement (Â 0 = A V = 0) et que les lig.nes 0 cstesontles ligneséquipotentielles (h = çste; et c9t" sont les lignes de courant. V On peutalorsécrireque la fonction0 + iV, appeléepotentielcomplexeest unefonction harmoniquede la variablecomplexex + iy. Les méthodesde transformations conformes permettent, à partirde potentiels simples, de définirdesécoulements de formespluscomplexes s'adaptant aux conditions auxlimitesimposées. Lescalculssontassezlourds. Ligneséquipotentielles et lignesde courantconstituent un réseauorthogonal : le réseau d'écoulement. En effet,en toutpointM, la lignede courantestperpendiculaire à la ligneéquipotentielle : passant parM (fig.15). SoitP un pointtrèsvoisinde M surl'équipotentielle Pertede chargeentreM et P: (- dh)"p= î. ÀÊ = 0 (équipotentielle), or (- dh)rr,rp donclesvecteursî et VÈ sontperpendiculaires. Géotechnique1 - J. Lérau - c. il - 15- d , 1 " i p "t e , n t i e l l e s L;Xnes etL n cauranb I { = Cri. \ ^ f,,={t4 t o t^ ,/ ' - r,- -14\ -AI AL \ \ Ligneséquipotentielles et lignesde courant - Figure15Deuxlignesde courantdéterminent un tube de courantdanslequelI'eau circulesans sortir;le débity est doncconstant. Lavitessede décharge estd'autantplusfaiblequeleslignesde courants'écartent. Détermination desréseauxd'écoulement La détermination peutse fairede différentes desréseauxd'écoulement façons: - par recherched'une solutionanalytiqueà partirdu potentielcomplexedans tes cas géométriquement simples, - parméthodenumérique (calculparélémentfinis), - parméthodeanalogique (analogie électrique), - manuellement, parapproximations successives. 3 - 2- 2 - Exemples de conditions auxlimites Soit un barrageen terrede sectiondroiteABCDreposantsur un substratumimperméable (fig.16).La hauteurde l'eaudansla retenueest H. Le plande référence pourles altitudes et les chargeshydrauliques est le niveaudu substratum. ll correspond au niveaude I'eauà l'aval. Lesconditions auxlimitesde l'écoulement sontlessuivantes : ' 'AF est unesurfaceimperméable : aucundébitne ta traverse,la composante de la vitesse de déchargeselon la normaleil à la surfaceimperméable est nulle : le gradienthydraulique transversal estnul. ah = t O la dérivéenormaleestnulle(condition de Neumann). an AF est unelignede courant. 'AE est unesurfacefiltrante: c'est unesurfaceen contactavecunemassed'eau libre. Dansla massed'eaulibre,les pertesde chargesontnégligeables : h _ c s t e ( i=c 6i 1 . La condition à la limitesurAE estdonc' h - cste(condition de Dirichlet). Lessurfacesfiltrantessontdessurfaceséquipotentielles. AE estdoncnormaleauxlignesde courant. ' EF est la surfacelibre(surfacede la nappe): le débitqui la traverseestnul : le gradient hydraulique transversal estnul' P = 0 (fr normalà EF au pointconsidéré). C,est ân une ligne de courant.Elle n'est soumisequ'à la pressionatmosphérique. En négligeant l'action de la capillarité : h = z. ' # = n* a à n = l s f l ï ah + ah =0 l B R itcoscr 3 î = *;sino Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-16On a donc la doublecondition. a h= 0 e t h = 2 . ôn . au pointF et dansle drainde pied: h - 0. L'écoulement limitédanssa partiesupérieure considéré, par une surfacelibre,est dit écoulement à surfacelibre. Tfelenue. H 5ub:l'ral-,rm iwrper.-éotfi. Barrageen terre - Figure163 - 2 - 3 - Méthoded'analogie électrique peutêtredéterminé Le réseaud'écoulement parla méthoded'analogieélectrique. Si une plaqueconductrice plane,d'épaisseurconstante,homogèneet de l'électricité, par un courantélectrique, isotropeest parcourue le potentielélectrique V1x,z; vérifiel'équation de Laplace: a2v a2v æ * æ = Â V = 0 La densitéde couranti et le potentiel électrique sontreliésparla relation: ----+ .1 . i = -(;)grad V (p: résistivité) p ll y a doncune analogieentrel'écoulement d'un courantélectrique dansune plaque 1 r V]et l'écoulement bidimensionnel de l'eaudansun sol[V= - k.grae h]. [T =' - (*)graA p Le modèledu problème étudiéestdécoupédansun papierconducteur graphité. Les lignesde courantsont représentées par les bordslibresou des entailleà(pourune palplanche parexemple). Lessurfacesfiltrantes(équipotentielles) sontportéesà un potentiel V proportionnel à h. Si l'écoulement est à surfacelibre il faut découperle modèlepar approximations successives de façonà avoirh = z (condition à la limitede surfacelibre). Mis à partcetteincertitude, I'analogieélectrique estfacileà mettreen æuvre,rapide,directeet quasiexacte. On détermine le réseaud'écoulement parseséquipotentielles: à l'aided'unesonde,on mesureen toutpointde la plaquele potentiel V1x,z). ? qui se correspondent Lesgrandeurs sontlessuivantes : Grandeur hydraulique charge : h vitesse de décharge : V d é b i t :q perméabilité: k Géotechnique1 - J. Lérau Grandeur électrique potentiel: V densitéde courant: T intensité: I conductivité: 1/p -c.il-17- 3 - 2 - 4 - Exploitation desréseauxd'écoulement Les réseauxd'écoulementpermettentde résoudredeux problèmespratiquestrès courantsen Mécanique desSols: . le calculdesdébits: barrages, assèchements d'unefouille,... . le calculde la pressioninterstitielle utiliséepourl'étudede la stabilitédes talus,des barrages en terre,desmursde soutènement, desrideauxde palplanches, ... Considérons un réseaud'écoulement sousun rideaude palplanches (fig.17).Le rideau estsupposéde longueurinfinie.ll estfichédansunecouchede limonsurmontant uneargile.Le permetde considérer rapportde perméabilité l'argileimperméable vis-à-visdu limon. Substrotumimpermdoble Rideaude palplanches - Figure17pourlesaltitudes Le plande référence et leschargeshydrauliques estle planDJ. Lesconditions auxlimitessontlessuivantes : DJ : surfacefiltrante,ligneéquipotentielle (h = 0) lC : surfacefiltrante,ligneéquipotentielle (h = H1+ He) ' CED: surfaceimperméable, lignede courant KFL: surfaceimperméable, lignede courant Tracédu réseaud'écoulement : Leslignesde courantet les ligneséquipotentielles sonttracéesde tellesortequ'il y ait : - le mêmedébitAq entredeuxlignesde courantvoisines, - le mêmeintervalle de pertede chargeÂh entredeuxéquipotentielles voisines. Leslignesdu réseauformentdesquadrilatères curvilignes. l'un d'euxde largeura et de longueur Considérons b. Le débitde I'eauAq à traversce quadrilatère et sur uneépaisseur unitéest : A q = v . Â S = V . â . 1 a v e c v= k . i = k . 4 t b Soit: aq=r<.4[.a b un autrequadrilatère Si nousconsidérons de largeurc et de longueur d, nousauronsde même: Aq=r.$.c o Donc: alb = c/d = etc... (mêmedébitÂq) Pourtous les quadrilatères le rapportde la largeurà la longueurest le même.Le problèmerevientdoncà déterminer deuxfamillesde courbesorthogonales, satisfaisant auxconditionsaux limiteset tellesque les quadrilatères curvilignes forméssoientsemblables. Cettedé- Géotechnique1 - J. Lérau - c. il - 18terminationpeut être faite à la main par approximationssuccessivesen prenantle plus souvent alb= 1. Calculdu débitsous le rideaude palplanches: Le calculest généralement mené pour 1 m de longueurd'ouvrage. E n t r e l e s é q u i p o t e n t i e l l e s e x t r ê m e s ( h = H r + H 2 e t h =y 0 a )n,6i li n t e r v a l l e s ( inc ni = 9 ) donc I'intervallede chargehydrauliqueAh entredeuxéquipotentielles voisinesest : Ah= H 'r * Hco H = î6 h6 Onendéduit: A o. = kD . 9 î. (H:pertedechargetotale) H 6 Si n1est le nombred'intervalles entreles lignesde courantextrêmes(nombrede tubes de courant,ici ht = 5), le débittotalest Ç = nt. Aq soit: q-kf; +H Pourun réseauà mailles"carrées"I â = b q' = nr . Ah . H Calculde la chargehydraulioue. du gradienthydraulique et de la pressioninterstitielle : EntoutpointM du milieuon peutdéterminer lesvaleurs: - de la charge hydraulique,à partir de la chargeà l'entréedu massif (première équipotentielle) diminuéede la pertede chargeentrela surfacefiltranteet le pointconsidéré. Si par interpolation M n'estpassur uneéquipotentielle h" est déterminée linéaireentreles deux lesvoisines. équipotentiel '- du gradient hydraulique, à l'aidede sa relation de définition : i = :q! dl - de la pressioninterstitielle. La définition de la chargehydraulique : hM= PI W * =" donneI uru= y* (hu - zu) (ORTHOTROPE) ANTSOTROPE 3 - 3 - MTLTEU Dansla réalité,du fait de la sédimentation et de la consolidation suivantla verticale, les perméabilités horizontale kx et verticalek2 sontdifférentes: k2 < k; . L'équation aux dérivéespartiellesqui régitl'écoulement n'estplusuneéquationde Laplace. d i v û= o + k - . 4 + k z . $ = o ôx' àzz etAhÉo On se ramèneà uneéquationde Laplaceparle changement de variablessuivant: I l- l x =1 9 . " i Ïk* lz-z On a donc: Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-19-ah = ôx ah - =ax aX âx ah) -a f = ax àx2 [axj h -a 2 = ,,#=# ah J\Z AX kx a (an E * [ * 1[k;)- -ï Jk* f - 3 - azh ax2 kz kx La condition de continuité s'écritdonc,aprèssimplification :' 4 . 4 ax2 azz - O ll suffitdoncde traiterle problèmepourun milieufictifisotrope,déformépar uneaffinité de rapport^79 (en général< 1 car k7 <k;) puis de construire le réseau ll Kx (fig.1S-a). d'écoulement de la manièrehabituelle d'axe det ff'..\...]t horizontale iir .:.:"!:,'.'..: Echelletr- ' verticale 1[l f, a - Milieufictifdéforméisotrope b - Milieuréelanisotrope (kx= 4 kz) Réseaud'écoulement dansun solanisotrope - Figure18Aprèsavoirtracéle réseaud'écoulement dansle milieuisotropeon revientau milieuréel par la transformation inverse(fig. 18-b).Le réseaud'écoulementréel est alorsconstituéde famillesde courbesqui ne sontplusorthogonales. Le calculdu débits'effectueà partirdu réseaufictifen utilisantla perméabilité fictive. L'expression du coefficient de perméabilité fictivek est obtenueen écrivantla conservation du débit: le débitdansle milieufictifestle mêmequedansle milieuréel. Supposons tout d'abordl'écoulement limitépar AB selonun planverticalp assantpar M (fis.1e-b). Z=z M( x ,z ) x x a - Milieufictif déforméisotrope Géotechnique1 - J. Lérau x x b - Milieuréel anisotrope - Figure19 - - c . l r- 2 0 Le débitquitraverseAB est : zB' Zg dansle milieuréel: q' = Jf vx^ . dz dansle milieufictif: q' = zA f , - vy. oZ J z^, dz-dZ avec ZA = ZA, ZB = ZB, PouravoirQ= g' il fautque v x = m i l i e u r é: evl x = - k x . * = m i l i e u f i c: t iVf X = - k . + - k x . ah kz AX kx -â k- kx kr 'k= AX k- k" 'k= Considérons maintenantune sectionhorizontale CD du réel anisotrope, transfor3-|ieiu (fig.20) méeen C'D'dumilieufictif déformé isotrope ' : C'D' = ./ - CD ïk" t v a - Milieufictif déforméisotrope - Figure20 - C D b - Milieuréelanisotrope . . 1z . t O Débitdanslemilieu :Q r é=evl. S - - k' , à Débitdansle milieu flctif: Q'= - k. + . CD' = -re dz k" 'k, ah A= Onabienq-q' ,F ah c'D' A= cD- -kzS m 4 . EFFETSMÉCANIQUES DE L'EAUSURLESSOLS.INTERACTION FLUIDE€QUELETTE ..FORCE 4.1 D'ÉCOULEMENT ET POUSSÉE D' ARCHIMÈDE Dansune nappeen équilibrehydrostatique, I'actionde l'eau sur le squelette solidese (II) s'exerçant réduità la pousséed'Archimède sur les grains.Maislorsqu'ily a écoulement, apparaîtune pertede chargequi traduitune dissipation d'énergiepar frottementvisqueuxdu fluidesur les grainsdu sol. On voit ainsiapparaître sur les grainsdu sol, qui s'opposentà l'écoulement de l'eau,desforcesdirigées dansle sensde l'écoulement. Considérons un massifde sol saturésoumisà un écoulement bidimensionnel. L'équation locals'écrit: de l'équilibre avec Ê : force de volume. En prenantpourrepèrede référence on obtient {O,xz}avecl'axeO? verticalascendant, sousformedéveloppée : [ ôo" , àrr= _n I a- { ^--- *Ë-u ^-- :) avec F |L+ô x * pà*zy s' a t = o X=0 Y = -Ysat Transformons ces équationsde manièreà faireapparaître qui les contraintes effectivesa s'exercent surlesgrainsdu sol. a Lanotion decontrainteeffectiveest préciséedanslechapitrelll, au g 1-2 Géotechnique1 - J. Lérau - c . i l - 2 1- L a r e l a t i od n e ï e r z a g h si ' é c r i t : d,où e. I {\ : = = i . ' âo'ah ôo" _ ôo'- avec:u=Twh - z) * Y * ô(h-z\ = Ë * t o a * ôx a" a* ôo, ôo', â(h- z) = ôc,, ah Ë=E*T*Ë E-{*E-^{* Leséquations de l'équilibre locals'écrivent finalement: [ ôo'" *h.'*= 'E *ï* * y,^,4 = o .Ja" a* ah I h'=* , ào', LÉ*É*y*Ë+(ysat-yw)=0 ll en résultequele squelette du solestsoumisauxforcesvolumiques suivantes: = a - uneforcede pesanteur, de composantesI )t 9 lZt=-(Ys"t-Y*)=-y' ici la pousséed'Archimède (n) (moduley*, direction On voit apparaître verticaleascendante).La force de pesanteurs'exerçantsur le squeletteest son poidsvolumiquedéjaugé (moduley'= Tsat- yw,direction verticaledescendante). X2 = -y* (âh/ âx) (ouforcede filtration) b - uneforced'écoulement de composantes 22 = -y * (àh/ôz) Levecteurgradienthydrauliquei ayantpourcomposantes : -Ahlâx et -Ah/àz ,laforce quis'exercesurle squelette d'écoulement solided'unélémentde soldevolumeunitéestdonc parle vecteur j = y*. i représentée Pourun élémentde volumeAV de sol on écrira donc (fig. 21) : ÂF= i .y*.ÀV au centrede . i étant le gradienthydraulique gravitéde l'élémentde sol considéré. Forcede pesanteur et forced'écoulement - Figure21 - Lesforcesd'écoulement sontdesforcestoutà fait analogues auxforcesde pesanteur et ll grandeur. du même ordre de ll convientde ne pasles oublierlorsdescalculsde stabillsouvent ll titodesouvrages. . Casd'unécoulement (axed verticaldescendant verticalascendant) : o les composantes desforcesde volumesont: l x =-(t'+iy*) lz= . Casd'unécoulement verticalascendant (axeO? verticalascendant): 0 lescomposantes desforcesde volumesont: X =-(t'-iy*) z- 4 .2 - GRADIENT HYDRAULIQUE CRITIQUE PHÉNOMÈI.IES DE BOULANCE ET DE RENARD - Boulance 4-2 - 1 - Casd'unécoulementvertical ascendant Lorsquel'écoulementest verticalascendant,le vecteurgradienthydrauliqueT est verticalet dirigévers le haut.La forced'écoulement s'opposedoncdirectement à la forcede pesanteur. Si le gradienthydraulique est suffisamment élevéla résultante de ces deuxforces Géotechnique1 -J. Lérau - c . l l- 2 2 par I'eau: il y a phénomène est dirigéevers le hautet les grainsdu sol sontentraînés de Le gradienthydraulique pourlequella résultante boulance. critiqueest le gradienthydraulique de cesforcesest nulle. Sa valeurestdonc: ic= Y' Yw Le phénomène de boulancepeutprovoquerdes accidentsgravessi des constructions sontfondéessur le sol où il se produit,ou si le terrainlui-même fait partiede I'ouvrage: digue ou barrage en terre,fondde fouille,... Danstousles problèmes d'hydraulique dessols,il importede vérifierque les gradients ll réelssontsuffisamment ascendants inférieurs au gradientcritiqueiç. llhydrauliques Remarque : Dansle casde sableset de gravesle gradienthydraulique critiqueesttrèsvoisinde 1. E n e f f e t r y ' = ( y . - y * )-(n1) d o n ci c = ( # - 1 ) ( 1 - n ) En prenantuneporositéde 40o/"(valeurmoyennepourles sableset les graves)et y. = 26,5kN/m3,on trouveic = 1. 4 - 2- 2 - Phénomène de renard Le phénomène de boulanceapparaîtdansle cas d'un écoulement verticalascendant. Dansle casgénérald'un écoulement en milieuperméable, l'eau peutatteindre localement des vitessesélevéessusceptibles d'entraînerles particulesfines du sol. De ce fait, le sol étant plusperméable, rendulocalement la vitessede déchargeaugmenteet le phénomène s'amplifie. Des élémentsplus grosvont êtreentraînéstandisque l'érosionprogressera de manière régressive le longd'unelignede courant.Un'conduit se formeparoù l'eaus'engouffre et désorganisecomplètement le sol.C'estle phénomène de renard(tig.22). fA\- P ; n , , . 4 r n o r c e J u p h c ' n o r r r è n :c Borrlancc â l'ovaL Phénomène de renard - Figure22 4 - 3 - PROTECTION DES OUVRAGESCONTREl-A BOULANCE : FILTRES peut Le phénomène de boulancedessables êtreévitépar la réalisation de filtresconstituésde couchesde matériauxperméables de granulométrie choisieet, maintenant, de nappes (géotextiles). textilesappropriées lls sontchoisisde manièreà permettreà l'eaude s'écouler sansentraÎnement de particules. Par leurpoidspropre,ils chargentle terrainsous-jacent et y provoquent uneaugmentation descontraintes effectives. Leurgranulométrie estétudiéede manière à: - retenirlesparticules de sol sous-jacent parl'écoulement entraînées (critèrede rétention), - ne passensiblement diminuerla perméabilité du sol (critèrede perméabilité). Parmiles diversesrèglesempiriques relatives à l'exécution desfiltres,on retiendrala règle suivante: - le D15du filtreinférieur à 4,5foisle Ds5du terrainà protéger (rétention), - le D15du filtresupérieur à 4,5foisle D15du terrainà protéger (perméabilité). En résumé: Géotechnique1 - J. Lérau -c. ll-23- 4,5 D15(terrain) S Drs (filtre)< 4,5 Das(terrain) ll faut veillerau délicatproblèmedu colmatage. Si des particules finessontentraînées puisretenuespar le filtre,la perméabilité de ce dernierpeutdiminueret ralentirconsidérablementl'écoulement. 5 - EFFETSDE LA CAPILLARffÉDANS LES SOLS Dansles sols non saturés,l'eaus'accroche entreles grains,particulièrement dansles zonesvoisinesdespointsde contact,parsuitedesphénomènes de capillarité. 5 . 1 . NOTIONDECAPILLARITÉ . Si l'on plongedans un récipientcontenantde I'eaudes tubes de verre de faible diamètre(tubescapillaires, d < 3 mm), on observeque l'eaus'élèvedans ces tubesd'une proportionnelle hauteurinversement à leurdiamètre. Cettehauteurd'ascension capillaire est la mêmequellequesoitla formedestubespourunesectiondonnée(fig.23). Lubes àe rnî^e-J;<,mètra,6, Èubc /c. d;amàl-re. *z'4" eau Ascension capillaire - Figure23 . Si l'onplaceentredeuxfineslamesde verrequelquesgouttesd'eau,on observeque lesdeuxlamesadhèrentl'uneà I'autre.Si cesdeuxlamesainsi"collées" sontplongées dansun récipientd'eau,ellesse séparentimmédiatement. Cettedernièreexpérience meien évidence que Le phénomènede capillaritén'a lieu qu'enprésencedes 3 phases: solide,liquideet gazeuse(tig.24). lq m e.lles àe Verre. - Figure24 . On peut considérerque tout se passe commesi la surfacedu liquideétait une membrane soumiseà unetensionT appelée élastique tensionsuperficielle. Sur un segmentde longueurdl tracésur la surfacedu liquide,cettetensionse traduitpar uneforced'intensité T.dl tangenteà la surfacedu liquideet perpendiculaire au segmentconsidéré. L'existence de cette tensiona pour conséquence que la surfacede séparationliquide-air n'estpas plane,ce qui expliquela forme des gouttesd'eau et les ménisquesobservésdans les tubes de faible diamètre(fig.25).Bienévidemment, en un pointéloignédes paroissolides,ces phénomènes disparaissent et la surfacede séparation liquide-air estplane. Géotechnique1 -J. Lérau - c . f t- 2 4 - mêni: a - Tensionsuperficielle b - surfacede séparationliquide-air - Figure25 - Considérons un tube de faiblediamètredont la partieinférieure plongedansI'eau(fig.26). La colonne d'eauqui se forme est en dépressionpar rapportà la pressionatmosphérique. Entredeux pointsA et B situés de part et d'autredu ménisquede rayonégalau rayondu tube R, existeunedifférencede pressionÂp. ÂP=Patm-Peau=Y*.h. (h. : hauteurd'eaudansle tube). En écrivantque la résultante de la tensionsuperficielleT équilibre le poidsde la colonned'eaudansle parfaitement tubecapillaire propre,Jurinobtenait: 2 . n . R .T = n . R 2 . y * . h " 2T = d'où : h" T w. R - Figure26 - T a pourvaleur: 8.10-2N/mà 0"C. La tensionT estliéeà la température t parla relation : T = (128- 0,1850. 1O-3N/m avec.ten oK(T \ quandt' t) Application numérique : R = 1 rrtr = 10-3m-> hc= 1,6cm R = 1 0l r m= 1 0 - 5m + h c = 1 , 6m R = 0,1FrTt= 10-7m + hc= 1G0m Tenantcomptedu fait que le ménisquen'estpas tangentau tubelorsqu'ilest graset qu'ilexisteun anglede raccordement cr,la formulede Jurinpeutêtreaméliorée et 2 T cos a l'onobtientfinalement : h^ \ffis. ' v z7l ' Yr".R (si le tubeest parfaitement propre,cx= 0) Rayonde courburedu ménisque ' > rayondu tube * Différence de pression entreA et B : - 2Tcoss - peau = y* . h" Âp = patm ' R - Figure27 - Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-25- 5 .2. ASCENSION DANSLES SOLS CAPILLAIRE Les sols sont des milieuxà porositécommunicante : les interstices entre les grains forment de très petits canaux,de formes et de dimensionsvariables,en liaisonavec l'atmosphère, danslesquelsles phénomènes de capillarité vontapparaître. Le phénomène sera plus marquédans les solsfins que dans les sols grenusdu fait que les capillaires ont un diamètrepluspetit. - Distribution Frangecapillaire de la pressioninterstitielle Au-dessus de la nappephréatique, dontle niveauest celuide l'eau dansun tube piézométrique, l'eau peuts'éleverpar capillarité formantainsiune frangecapillaire d'autantplus que lesvidesdu sol sontde petitesdimensions. importante Directement au-dessus de la nappela frangecapillaire est saturéesur unehauteurhç et parrapportà la pression I'eauesten dépression atmosphérique: Uc= - Y*.hc L'ordrede grandeurde h. est le suivant: sablesgrossiers: 10 à 50 cm sablesfins : 50 cm à 2 m solsargileux: dizaine(s) de mètres En prenantcommezérodespressions la pressionatmosphérique et en définissant la positiond'unélémentdu sol parsa cotepar rapportà la nappe,on aura,aussibiensousla nappe quedansla zonede saturation (fig.28)avecI'axed "r""ndant : capillaire u = yw.z avec;z>0danslanappe z < 0 au-dessus de la nappe IN' h.,tc' ,\^*Jw lLlcr^â o.héLri Exemplede distribution de la pressioninterstitielle - Figure28 Dansla frangecapillaire saturéela pressioninterstitielle est négative,les contraintes effectivessontdoncplusélevéesqueles contraintes totales.Lesforcesde capillarité augmentent ainsila résistance du sol. La zonesaturéeest elle-même parunezonenonsaturéedanslaquelle surmontée I'eau n'estpluscontinue, seulslescanauxlesplusfinssontsaturés. La hauteurd'ascension capillaire dansun sol peutêtreestiméeau moyende la formule de Terzaghi: h. = + avech" et D1sexprimésen cm e.Dro e : indicedesvides Dro: diamètreefficace caractéristique C : constante du solvariablede 0,1à 0,5cm2 Géotechnique1 - J. Lérau -c. lt-26On notera que le produit e.D19représentele diamètremoyen des canaux d'un sol d'indice des vides e, formé de particulesidentiquesde diamètreégal à Dro Applicationnumérique: sablefin: e =0,4 D1o= 0,1mm= 0,01cm 5 .3 - PROFILHYDRIQUE D'UNSOL La courbereprésentative desteneursen eau en fonctionde la profondeurmesuréeà partirde la surfaceest appeléeprofilhydrique. La figure28 en donneun exempledansdifférents cas. Sous nos climats,dans la frange capillaire, un flux d'humidité ascendant s'établit d'avril à octobre (sauf cas de très fortes pluies).Le restede l'annéeon obserueun flux descendant. A la surfacedu sol et danstoutela zone où l'airpeutcirculer,il s'établituneatmosphère de même humiditérelativeque l'atmosphère extérieure et celle-ci,en fonctionde la courbe ci-contre,règlela teneuren eau de la couche superficielle. Ainsi, si dans les zones superficielles l'atmosphère se dessèche,il en résulteune diminution de w qui provoque, en raisondu pF": croissant, un flux ascendant d'humidité à partir de la nappe. C=0,2cm + 2n " = ffi 0 I o'5 a lro L L a 3 t'5 ! 2,o w" : teneuren eaud'équilibre 1 : à la fin d'unétésec 2 : aprèsunepluiede courtedurée 3 : aprèsunepluieprolongée 4 : ligned'équilibre d'hiver progressif 5 : assèchement à l'approche de l'été Profilhydriqued'un sol - Figure29 - 5 - 4. COHESION DES ARGILES Dansles sols limoneuxfins et les argiles,la cohésioncapillaireexistetoujours,mais elle se superposeà la cohésiond'adsorption (fig.30).La cohésiond'adsorption se manifeste lorsqueles grainssontdirectement au contact par l'intermédiaire de leur coquille d'eau adsorbée. ' La très forte résistanceà la tractionde l'eauadsorbéepermetla transmission de forces de tractionimportantes; en généralla coque la hésiond'adsorption est plusimportante cohésion capillaire. que On peutdirede manièrequalitative dansla phasecapillairele matériauest plastique(au sens d'Atterberg), et que dansla phased'adsorption il estfragile. quele sol soitsoumis Supposons à dessiccation.L'eau capillaire va s'évaporer dans l'atmosphère,les rayonsdes ménisquescapillairevont diminuer(fig.31) el I'onvoit d'aprèsla qu'ilva en résulter formulede Laplaceo une cohésioncapillaireplusimportante De plus, commede nouveauxgrains - Figure30 - rn i ni t4ltc I cou r bv re Il,aR - Figure31 - t pp : valeurdu logarithmedécimalde la tensiond'eauexpriméeen centimètresd'eau uap=t,*. $, avec : AP = Patm- Peau T : tensionsuperficielle R et R' I rayonsde courbureprincipauxdes ménisques. Géotechnique 1 -J. Lérau =SOcm tr r;r|ciFouY , .b de.d - c . l t- 2 7 - vont entrer en contact, la cohésion va également d'adsorption augmenter. La résistance mécanique de I'argiledoit donc s'accroître,c'est ce que l'onpeutobserversur la courbede la figure32 qui montrela variationde la résiètance à ia compression simpled'un solfin en fonctionde la teneuren eau. R, J IF ; ô ! i j i Ëi FÙ phaee àe eemporl-eaenl- f ra3ïlcr Those âe eomporlemeaÈ Tlaalilue. Ws - Wp Wr. -lenaur ." e^u .rtt "/ - Figure32 plus, De la contraction du matériauentraîneune diminution de volumesouventaccompagnéede fissuration: c'estle phénomène de retrait. Inversement lorsqueI'argilese trouveplacéedansuneatmosphère humideou au contact parla pluieparex.),lesforcescapillaires de l'eau(imbibition vontdiminuer, ce quiva provoquer un gonflement et par ailleursle complexed'adsorption va également augmenter en volumece quiva augmenter ce gonflement. Danscertainssols,les phénomènes peuventêtretrèsimportants. de gonflement On les observerasurtoutdansles pays semi-arides où les phénomènes d'évaporation sont très importants,mais on les rencontrera parfoisdans nos régionsà climatcontinental sousforme mornsmarquee. La figure33 montrele qui mécanisme desdésordres apparaissent dans le cas d'uneconstruction fondéesur un sol gonflant.En été le bâtiment repose sur sa paftie centraleavecporteà fauxdes coins.En hiverle phénomène contrairese produit: lescoins se soulèventet il y a porteà fauxde la partiecentrale. Elà ' ièàeralsa.-+ raLraiE Hiv"- , humiâ;f;caf;on(plu;e\ -- ynf[eme| Fissuration du gros-æuvre d'unestructure fondéesuperficiellement sursol argileux - Figure33 ' Le remèdepréventifconsisteà fonderà uneprofondeur suffisante car I'influence desvariationsd'hygrométrie de l'atmosph.ère diminueavecla profondeur. On auraégalement intérêtà augmenter les contraintes en serviceexercées sur le sol parle bâtimentdansles limitespermises par la résistance de l'argileà la teneuren eau considérée et à ossaturer soigneusement la structure sansoublierun chaînage trèssérieuxdesfondations. 5 . s . S E N S I B I L I TAÉU G E L les sols imbibésd'eaugèlentsansdommage.Au momentdu gel, il se Généralement produitun gonflement quiécartelesgrains,maismêmepourun sol ayantuneteneuren eaude 25o/o, il n'enrésultequ'ungonflement pourun sol.Au dégel,les grainsdu sot de 2% insignifiant retrouvent leur état initiallorsquela glacese transforme en eau. Maisil existecertainssols, appeléssolsgélifspourlesquelsle phénomène esttrèsdifférent. Dansde tels sols,on constatel'apparition de lentillesde glacedont on expliquela formationpar succioncapillaire: alors que àz dansun sol non gélifil y a priseen massedu 1lacz sol saturélorsdu gel,dansle casde solsgélifs x;t';l il y a aspirationpar capillaritéde I'eaude la capil\aireS nappequi se trouveen généralà une profondeursuffisantepourque sa température reste supérieure à OoC,(on peutdémontreren effet - Figure34 quedanslescapillaires il y a baissement de la Géotechnique1 - J. Lérau - c . l t- 2 8 température de congélation). Au voisinage du sol,I'eause solidifieconstituant des lentilles de glacecontinuellement parla nappe(fig.3 ). alimentées Au dégel,la structuredu sol se trouvedétruiteet unegrandequantitéd'eauest libérée. La teneuren eau dépassealorssouventla limitede liquiditéet il y a chutespectaculaire de la résistance mécanique du matériau. Pourqueles lentilles de glacepuissent que l'alimentation se former,il fautcependant en pendantla périodede gel.On conçoitdoncque la perméabilité eau soit suffisante du matériau joue un rôle important: les solstrès perméables ne sontpasgélifs: il se prennenten masse; les solstrès peu perméables ne sont pas gélifsnon pluscar la remontéecapillairene se fait pasassezrapidement. Dansle casde chaussées affectéesle gel,la miseen placede barrières de dégelpermet provisoire lesdégâtsparl'interdiction de minimiser de la circulation. Géotechnique1 -J. Lérau - c . l t- 2 9 ANNEXE 1 CONDITION DE CONTINUITÉ un volumequelconque Considérons de sol saturé(V), limitépar une surface(S) et parun écoulement (fig.1).Dansun intervalle traversé de tempsdonnédt, unvolumed'eaudV1 pénètreà I'intérieur de (S) et unvolumed'eaudV2en sort. Soit V la vitessede I'eau,ses composantes vx, vy et v2 sontfonctiondes coordonnées du pointconsidéré. Le volumed'eaudV traversant l'élément de surfacedS, de normalesortantefr, pendant f intervalle de tempsdt, est (fig.1) : / d V= V . n . d s . d t dV < 0 c+ I'eaupénètreà I'intérieur de (S) à-@. liqne9' dV > 0 <+l'eausortde (S) c J.r-o...b ,/ La condition de continuité s'écrit: dVr -dV2 = 0 <+ dt. tr V . R . d S= 0 S - Figure1 - La relationd'Ostrogradskys'écrit : eu l esoitV) t r V . f r . o S = f f id i v û . d V ( q u q S V = d'où: ffi divû.dVo V Vérifiépourtoutvolumedoncpourtoutvolumeélémentaire + divû . dV = 0 La condition de continuité s'écritdonc,aprèssimplification : divV=0 ANNEXE2 DÉBIT DE PoMPAGE. DÉMoNSTRATIoN DETcHARNY L'hypothèse de Dupuitconcernant la pentede la surfacelibresupposée faiblen'estplus nécessaire. Hypothèses: - sol homogène et isotrope, - eauet sol incompressibles, - régimepermanent laminaire, - loi de Darcyapplicable, - écoulement de révolution, - débitpompéprélevéà I'extérieur de la zoned'actiondu pompage, (alimentation à traversun cylindrede rayonR correspondant à la distance où le rabattement estnul), - existence d'unezonede résurgence dansle puits,de hauteurh' - h (donton ne tient pascomptedansla démonstration de Dupuit). Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-30- parh* la chargehydrauliquet En désignant en un pointM(x,y)de l'écoulement, le potentiel des vitessess'écrit:Q(x,y)= - k.h* S o i t : Q ( x' =, y- )fYt ( * w * V l Lavitessed'écoulement a pourvateur: û = gAA(- k.h.) et sa composante horizontale est : v,^ = ô3 x Le débitdq quitraverseun cylindreélémentaire de rayonx et de hauteurdy a pourvaleur d q = - 2 n . x . d y . v^,= - 2 nô. x . 9 .x0 u " ( - parcequexetvrdesignesopposés) Le débitq quitraversele cylindrede mêmerayonx et de hauteurz s'écritdonc: i aô z, ijlov A=Jdq=-2.n.Jt.a".dy= 0 0 0 Enutilisant larègledeLeibnitzs, itvient' dy = i# #jt(x,y) 0 + z f d0 J ffi 0 ^ _, = oY d 0 dy + 01x,2; # z I - \ " t - l dz ' \ ^ t r , f dY 0(x,21 o",.J Q1x,v1 d ln x o -01x,2; -9:-1 d'où:q--t r t#jq(*,y)dy \^'rl dlnx' o 0(x,z)= - k.z (carsurla surfacelibreu = 0) t h* carh représente icila hauteur de l'eaudansle puits ' Règlede Leibnitz de différentiation sousle signeintégrale : uÊ Soitl'intégrale a < cx,< b où u1 et u2 peuventdépendre du paramètre S(a)= J f1x,o;dx CI,. U1 dô It at duo dur = oX+f1u2,a) - f(u1,o) Ooura < c[< b si f(x,a)etôtlâq,sontcontinues enx etc[ etsi J a" Ë d" fr U1 u1 et u2 sont continueset ont des dérivéescontinuespour a < q, < b. si u1 et u2 sont constantes,les deux dernierstermesde l'équationsont nuls. Géotechnique1 - J. Lérau -c.il-31- En posantl(x)= dy il vient: JQ(",u) q.dlnx- - 2.rc(dl+ k.z.dz) (1) 0 I est inconnuesaufpourX = r et pourX = R car lesconditions aux limitesdonnent: q ( r , y ) - k- t ( h - - . y ) y+*y l = - k h Yw < h ' X=I h<y 0 ( r , y ) -k-[ 0 + y ] = - k y X=r 0<y <h q ( n , y- -) k t ( H - - Y ) Y+* y l = - k H Yw (1)entrer et R, il vient: En intégrant l'équation différentielle X=R ? q .ln:R= - Z.Tc I l(n)- l(r)* )te.dz ) r H . f l(R= ) J - k H d y= - k H 2 0 h f ( , . )= f J o h -khdy . ' -h2 - - kh2 - k h'2 Ï-kydy h 2 FI n''=ht d ' o ù : Q l-n = - 2 . n 1- k H 2 +k h 2 + n * I t r r * h ' 2l ) < h 2k +h ' " n t i r | - r . f 2 2 2 2 r J ]i2 h2 2 . n-l - k + 2 + k +2 I = n . k( H 2- h 2) d'où : , H 2 -h2 9 = n^ . | n E r On retrouve bienla formulede Dupuitmaish désignemaintenant la hauteurd'eaudans le puitsalorsqueh',quireprésente la hauteurd'eaudansle terrain,n'interuient pas. Avril 2006 Géotechnique1 - J. Lérau