Réduction des équations variationnelles des systèmes

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Plan Contexte Contributions Application pour n = 2 : Hill Synthèse Perspectives
Réduction des équations variationnelles des
systèmes hamiltoniens à deux degrés de liberté.
Application à leur intégrabilité.
Ainhoa Aparicio Monforte (travail commun avec J.-A. Weil )
JNCF CIRM Luminy, Marseille 2008
1 sur 25
Ainhoa Aparicio-Monforte DMI- XLIM
Plan :
1. Contexte : systèmes hamiltoniens et leur intégrabilité
2. Contribution : notion de système réduit
3. Application pour n = 2 : le problème de Hill
4. Synthèse
5. Perspectives
2 sur 25
Systèmes hamiltoniens
Système hamiltonien (S) sur un domaine non vide U ⊂ C2n :
(S) :

dqi
∂H

=
(q, p)


 dt
∂pi
i = 1, . . . , n



 dpi = − ∂H (q, p)
dt
∂qi
où H : U → C est la fonction hamiltonienne C 1 (U) .
On dit que G (q, p) est une intégrale première si :
x(t) solution de (S) ⇒ G (x(t)) = cte
(S) est intégrable au sens de Liouville s’il admet n intégrales
premières fonctionellement indépendantes et
en involution .
3 sur 25
Équation variationelle
(S) intégrable ⇒ (EV) "Liouville-Galois int."
4 sur 25
Critère galoisien de non intégrabilité
I
I
I
I
I
I
x0 = x0 (t) solution particulière de (S).
k = C(x0 ) : corps de base
L’ extension de Picard Vessiot : K = k(U1 ) où U1
MFS de (EV) le long de x0 .
Le groupe de Galois : G = ∂Autk (K )
G est un groupe linéaire algébrique.
G ◦ composante connexe contenant Id.
g, algèbre de Lie de G : espace tangent à G en Id.
Théorème (J.J. Morales, J.P. Ramis)
Si (S) est un système hamiltonien Liouville intégrable
alors g abélienne (c’est à dire G ◦ abélien).
(décidable constructivement : Singer, Ulmer, etc)
5 sur 25
Historique
XIX e
: Kovalevskaya, Poincaré :
équation variationnelle (EV ) le long d’une solution
∼ 84
93 − 95
: Ziglin : monodromie de (EV ) vs intégrabilité
Yoshida et al. , raffinements et applications
: Baider-Churchill-Rod-Singer, Morales : Groupe de Galois
98
: Morales & Ramis :
Le groupe de Galois différentiel de (EV ) est virtuellement abélien
∼ 95 − 06 : au moins 50 articles et applications
(e.g Morales, Simon, Tsygvintsev, Maciejewski,
Przybylska, Audin, Boucher, Weil, etc ).
En général en se servant de l’algo de Kovacic ( EV 2nd ordre).
∼ 04
: Morales-Ramis-Simo : (EV) d’ordre supérieur.
6 sur 25
Méthodes usuelles et contributions
L’approche habituelle :
(S)
linéarisation
−→
r éduc. symp.
(EV ) : Y 0 = AY
A ∈ M2n×2n (k)
(ENV ) : Y 0 = BY
B ∈ M(2n−2)×(2n−2) (k)
I
(ENV) non intégrable −→ (S) non intégrable
I
(ENV) intégrable −→ variationnelles d’ordre supérieur.
Notre approche :
idée 1 : possible que (ENV) intégrable MAIS (EV)
non intégrable : algo 1 de ”relèvement” de (ENV) à (EV)
idée 2 : si (EV) intégrable, l’ algo 1 le met sous forme
réduite pour usage futur :
réduite :="La plus creuse possible en restant rationnel"
7 sur 25
Méthodes usuelles et contributions
L’approche habituelle :
(S)
linéarisation
−→
r éduc. symp.
(EV ) : Y 0 = AY
A ∈ M2n×2n (k)
(ENV ) : Y 0 = BY
B ∈ M(2n−2)×(2n−2) (k)
I
(ENV) non intégrable −→ (S) non intégrable
I
(ENV) intégrable −→ variationnelles d’ordre supérieur.
Notre approche :
idée 1 : possible que (ENV) intégrable MAIS (EV)
non intégrable : algo 1 de ”relèvement” de (ENV) à (EV)
idée 2 : si (EV) intégrable, l’ algo 1 le met sous forme
réduite pour usage futur :
réduite :="La plus creuse possible en restant rationnel"
7 sur 25
Notre notion de système réduit
Principe : il n’y a pas de notion de ”forme normale” globale
canonique
Soit Y 0 = AY un syst. diff. lin, et soit Y = P · Z un
changement de variable linéaire
Changement de jauge : P[A] := P −1 (AP − P 0 ).
Y 0 = AY 0 ⇔ Z 0 = P[A]Z .
Contribution :
Un système Y’=AY hamiltonien est sous forme réduite
quand il a subi un changement de jauge P[A] tel que :
I P symplectique afin que A demeure hamiltonienne
I P ∈ GL2n (k̄) afin que G ◦ ne soit pas modifié
I P[A] est "la plus creuse possible" (P[A] ∈ g(k̄))
8 sur 25
Système réduit
Théorème (Kovacic / Kolchin) : Soit H ⊃ G ◦ un groupe linéaire
algébrique connexe, et soit h son algèbre de Lie, alors il existe
P ∈ GL2n (k̄) telle que
P[A] ∈ h(k̄).
formalise l’idée que A est "la plus creuse possible"
9 sur 25
Application pour n = 2 : Le Problème de Hill
Le problème de Hill : simplification du problème des trois
corps, Terre-Lune-Soleil. (Morales, Simó & Simon 05)
H := i(q1 q2 −p1 p2 )−4q1 q2 (q1 p1 −q2 p2 )−4i(3q14 −2q12 q22 +3q24 )q1 q2
Champ hamiltonien : q̇i =
∂H
∂pi ,
∂H
ṗi = − ∂q
(non linéaire)
i
Variété invariante : Π : q2 = 0, p1 = 0
Solution particulière : x0 = (f , 0, 0, if 0 ), corps k = C(f , f 0 )
h
Avec, f (t) = 3℘(t)+1
et ℘(t) = ℘(t; g2 ; g3 ) telles que
0
2
3
(℘ ) = 4℘ − g2 ℘ − g3 , et g2 = 4/3 et g3 = 8/27 + 64h2 .
10 sur 25
Système variationnel
Le système variationnel le long de la solution x0 est
Y 0 = JH(H, x0 ) · Y de matrice
0
 0
A = JH(H, x0 ) = 
0
f 00
i f0

4f 2
0
00
i ff 0
−8if 0 f
0
−i
0
4f 2
−i
0 
0 
0

x00 est une sol. part. de (EV) : réduisons l’ordre de (EV)
grâce au changement de jauge symplectique (Boucher, Weil)
 0

f
 0
P=
0
if00
0
1
if00 /f0
0
0
0
1/f0
0
0
0 
, Y =P ·Z
0 
1
11 sur 25
Galdiff (ENV ) abélien
Transformation de jauge : A1 = P[A] = P −1 (AP − P 0 )
Avec P changement de variable
? symplectique afin que P[A] reste hamiltonienne
? à coefficients en k pour ne pas changer G.


2
0
0
4f /f
0
 0
A1 = 
 0
0
00
0
−i/f
0
f /f
0
−8iff0
−i/f
0
f2
f0
0
0
0
−f00 /f0



En rouge : (ENV) qui donne lieu au système (Q ∈ C[x]) :
u10
u20
=
=
f 00 u1 /f 0
⇒
0
−8iff u1 − f 00 u2 /f 0
u1
u2
Galdiff (ENV ) = ∂Autk (k) = { Id }.
=
c2 f 0
0
= −c1 /f + c2 Q(f )/f 0
facile à réduire !
12 sur 25


2
0
0
4f /f
0
 0
A1 = 
 0
0
00
0
−i/f
0
f /f
0
−8iff0
−i/f
0
0
0
0
−f00 /f0
f2
f0



u10
u20
=
f 00 u1 /f 0
⇒
0
= −8iff u1 − f 00 u2 /f 0
u1
u2
=
=
c2 f 0
−c1 /f + c2 Q(f )/f 0
0
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

2
0
0
4f /f
0
 0
A1 = 
 0
0
00
0
−i/f
0
f /f
0
−8iff0
−i/f
0
0
0
0
−f00 /f0
f2
f0



u10
u20
=
f 00 u1 /f 0
⇒
0
= −8iff u1 − f 00 u2 /f 0
u1
u2
=
=
c2 f 0
−c1 /f + c2 Q(f )/f 0
0
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

2
0
0
4f /f
0
 0
A1 = 
 0
0
00
0
−i/f
0
f /f
0
−8iff0
−i/f
0
0
0
0
−f00 /f0
f2
f0



u10
u20
=
f 00 u1 /f 0
⇒
0
= −8iff u1 − f 00 u2 /f 0
u1
u2
=
=
c2 f 0
−c1 /f + c2 Q(f )/f 0
0
12 sur 25
Réduction de (ENV) et non intégrabilité
Soit P1 la transformation de jauge ”qui réduit (ENV)” :


1
 0
P1 = 
0
0
Soit A2 = P1 [A1 ]

0
 0
A2 = 
 0
0
0
0
0
−1/f0
−a1
0
0
0
0
0
1
0
0
f0

 où Q ∈ C[x].
0
0
Q(f)/f
a3
a2
0
a1
a2

0
0
0

⇒

f10
f20
= a1
= a2
on montre que : fi ∈
/ k, i = 1, 2.
À partir de maintenant, tout se ramène à des calculs
de primitives
13 sur 25
Réduction de (ENV) et non intégrabilité
Soit P1 la transformation de jauge ”qui réduit (ENV)” :


1
 0
P1 = 
0
0
Soit A2 = P1 [A1 ]

0
 0
A2 = 
 0
0
0
0
0
−1/f0
−a1
0
0
0
0
0
1
0
0
f0

 où Q ∈ C[x].
0
0
Q(f)/f
a3
a2
0
a1
a2

0
0
0

⇒

f10
f20
= a1
= a2
on montre que : fi ∈
/ k, i = 1, 2.
À partir de maintenant, tout se ramène à des calculs
de primitives
13 sur 25
Obstruction galoisienne à l’intégrabilité
Action de G sur f1 et f2 : on démontre que f1 , f2 ∈
/ k et
donc que pour g ∈ G , g (fi ) = fi + ci , où ci parcourt C
et donc



1 −c1 c3 c2







0
1
c
0
2
 , c1 , c2 , c3 ∈ C
G⊂ 
 0
0
1 0 






0
0
c1 1
Lemme : G abélien ⇔ ∃µ ∈ C tel que ∀g ∈ G , c1 = µc2 .
Le lemme implique que
∀g ∈ G , g (f2 − µf1 ) = f2 − µf1 ⇒ f2 − µf1 ∈ k. (Ostrowski)
Ceci se teste constructivement −→ Réponse : NON
ici.
G non abélien et donc (S) est non intégrable.
14 sur 25
/ k et
et donc



1 −c1 c3 c2







0
1
c
0
2
 , c1 , c2 , c3 ∈ C
G⊂ 
 0
0
1 0 






0
0
c1 1
Ceci se teste constructivement −→ Réponse : NON ici.
14 sur 25
/ k et
et donc



1 −c1 c3 c2







0
1
c
0
2
 , c1 , c2 , c3 ∈ C
G⊂ 
 0
0
1 0 






0
0
c1 1
Ceci se teste constructivement −→ Réponse : NON ici.
14 sur 25
Principe général pour n = 2
Étape 1 réduction de (ENV) ;
Solutions rationnelles (ou exponentielles) : Kovacic ou variantes
(Van Hoeij, Ulmer, Weil, etc)
; Soit G◦ ∈
/ {Ga , Gm , {Id}} ; (S) non intégrable STOP
◦
; Soit G ∈ {Ga , Gm , {Id}} ; Étape 2
Étape 2 relèvement de (ENV) à (EV) ;
calculs
;
; Résultat :
de primitives
(S) non intégrable
ou bien
(EV) sous forme réduite
15 sur 25
Principe général pour n arbitraire
Étape 1 réduction de (ENV) ;
Solutions rationnelles (ou exponentielles) : Kovacic ou variantes
(Van Hoeij, Ulmer, Weil, etc)
; Soit g non abélienne ; (S) non intégrable STOP
; Soit g abélienne
; Étape 2
Étape 2 relèvement de (ENV) à (EV) ;
calculs
;
; Résultat :
de primitives
(S) non intégrable
ou bien
(EV) sous forme réduite
15(bis) sur 25
Implantation
Notre algorithme de réduction retourne :
Sortie :
dit ”(S) non intégrable”
ou
met (EV) sous forme réduite (A ∈ g(k̄))
pour utilisation dans
variationelles supérieures.
Intégration en cours : bibliothèque ISOLDE (Barkatou-Pfluegel)
http ://isolde.sourceforge.net/
16 sur 25
Perspectives
Généralisation : 2n > 4.
Variationnelles supérieures : critères de (non)intégrabilité
des variationnelles supérieures (avec Simon & Weil).
Reconstruction de germes d’intégrales premières et leur impact
dynamique.
25 sur 25
Annexe
Groupe de Galois différentiel
k = C (x0 ) : corps des coeff. de la sol. x0 de (S)
L’ extension de Picard Vessiot : K = k(U1 ) où U1 MFS de
(EV) le long de x0 .
Le Groupe de Galois : G de (EV) objet classifiant.
G =Galdiff (EV ) = ∂Autk (K ) G est un groupe linéaire algébrique
L’ algèbre de Lie g du groupe G est son espace tangent en
l’identité.
Le Théorème de Morales-Ramis
Théorème (J.J. Morales, J.P. Ramis)
Soit un système hamiltonien (S) et son équation variationnelle
associée (EV ) : Y 0 = AY le long d’une solution x0 (t) de (S) et
soit G = Galdiff (EV ). Si le système (S) est complètement
intégrable, alors g est abélienne (c’est à dire G ◦ abélien).

Réduction des équations variationnelles des systèmes

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