Énoncé : Le cochon qui rit Etre grand-père nous

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PROBLÈME « DU TRIMESTRE » n° 91 (SEPTEMBRE 2007)
Énoncé :
Le cochon qui rit
Etre grand-père nous permet de renouer avec des jeux de société
auxquels on n'avait pas joué depuis … des années. Et, on ne se refait pas,
d'en tirer un énoncé de problème ! Pour ceux qui ne connaissent pas ce
jeu du cochon qui rit, je vais expliquer brièvement (juste ce qui est
nécessaire à la compréhension du problème qui sera posé).
Chaque joueur doit “ fabriquer ” un petit cochon. Il dispose de trois dés,
qu'il lance simultanément. S'il obtient au moins un six, il peut obtenir le
“ corps ” du cochon. Une fois qu'il l'a obtenu, et pas avant, il cherche à
obtenir les quatre pattes, les deux yeux et les deux oreilles : pour chacun
de ces 8 “ ingrédients ”, il faut qu'il obtienne au moins un as à son coup
de dés (attention : même s'il obtient deux ou trois as, il ne peut prendre
qu'un seul objet). Pour terminer, il doit mettre la queue du cochon : là,
l'affaire se corse : il faut obtenir au moins deux as sur un coup de trois
dés.
Il est évident que le joueur “ chanceux ” aura terminé son cochon en 10
coups : il aura sorti un six au premier coup de trois dés, un as à chacun
des 8 coups suivants, et deux as au 10e coup ! Le joueur (très)
malchenceux, lui, attend toujours que la chance lui sourie…
Le problème est le suivant : quel est le nombre moyen de coups à
jouer pour terminer le cochon ?
Proposé par Jacques VERDIER
Voir la solution
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Solution :
Merci à Jacques Choné, Renaud Dehaye, Christophe Brighi pour leurs réponses.
Rappelons tout d'abord un résultat de probabilité : la loi du temps d'attente Y du premier succès dans une
succession d'épreuves de Bernoulli de paramètre p est la loi géométrique sur ℕ* : P(Y = k ) = p × (1 − p) k −1 et on a
1
.
p
Soit C (resp. Q) le temps d'attente, c'est-à-dire le rang d'apparition, d'au moins un six (resp. au moins deux as)
lors de jets successifs de trois dés. Comme le temps d'attente d'au moins un as est le même que celui d'au moins
un six, la variable aléatoire étudiée, X (temps d'attente pour terminer le cochon), est X = 9C + Q et son espérance
vaut : E(X) = 9E(C) + E(Q).
E (Y ) =
3
91
5
La probabilité d'obtenir au moins un six ou au moins un as est : pC = 1 −   =
.
216
6
3
2
5 1
2
1
La probabilité d'obtenir au moins deux as est : pQ =   + 3 × ×   =
.
6 6
27
6
9
1
6345
Le temps moyen nécessaire à l'assemblage du cochon est donc : E ( X ) =
+
=
≈ 34,8 .
pC pQ
182
Solution plus détaillée pour ceux qui ne connaissent pas le résultat de probabilité concernant la loi d’attente
du succès dans une épreuve de Bernoulli :
Tout d’abord un petit résultat d’analyse qui sera nécessaire à la suit des calculs : quelle est la somme de la
série infinie f ( p ) = 1 + 2 p + 3 p 2 + 4 p 3 + ... + n × p n −1 (où p < 1) ?
On peut remarquer que f(p) est la dérivée de F ( p ) = p + p 2 + p 3 + p 4 + ... + p n + ... soit F ( p) = p × S ( p ) où
S ( p) = 1 + p + p 2 + p 3 + ... + p n −1 + ...
Or ceci est une série géométrique dont la somme vaut S ( p) =
Et comme f(p) est la dérivée de F(p), on obtient f ( p ) =
1
p
. D’où F ( p) =
.
1− p
1− p
1
.
(1 − p )2
Revenons au problème du lancer de dés.
3
 5  125
La probabilité de n’avoir aucun six quand on lance trois dés est   =
≈ 58% . La probabilité d’avoir au
216
6
3
91
5
moins un six (événement contraire du précédent), que l’on appellera pC, est donc pC = 1 −   =
≈ 42% .
216
6
Regardons maintenant ce qui peut advenir : soit on obtient au moins un six au premier coup [probabilité (1-p)] ;
soit on l’obtient au second coup [probabilité p×(1-p) car il faut d’abord ne pas avoir obtenu de six au premier
coup] ; soit on l’obtient au troisième coup [avec donc deux échecs préalables, donc une probabilité p²×(1-p) ] ;
etc. Ce qui se résume dans ce petit tableau :
Nb. de coups nécessaires
pour obtenir au moins un six
Probabilité
1
2
3
4
n
(1-p)
p×(1-p)
p²×(1-p)
p3×(1-p)
pn-1×(1-p)
L’espérance mathématique (c’est à dire le nombre « moyen » de coups pour obtenir au moins un six) est donc
E = 1× (1 − p) + 2 p (1 − p) + 3 p 2 (1 − p) + 4 p 3 (1 − p) + ... + n × p n −1 (1 − p) + ... , c’est à dire E = (1-p)×f(p), où f(p) est
la fonction définie dans le lemme préliminaire.
1
1
On obtient donc E = (1 − p ) ×
=
.
2
1− p
(1 − p)
3
91
216
5
, on obtient E =
≈ 3,37 .
Et comme ici pC = 1 −   =
216
91
6
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Il faut donc en moyenne jouer environ 2,37 coups pour obtenir au moins un six.
Le calcul ne change pas lorsqu’il s’agit d’obtenir au moins au as.
Pour le 10e coup, il faut obtenir au moins deux as ; si on note A le fait qu’un dé donne un as et X le fait qu’il
n’en donne pas, les six événements possibles pour les 3 dés sont : AAA, AAX, AXA, AXX, XAA, XAX, XXA
et XXX. Mais ces événements ne sont pas équiprobables : la probabilité de A est 1/6, et celle de X est 5/6.
La probabilité d’obtenir au moins deux as est donc la somme des probabilités des quatre événements en gras à la
3
2
1
 1   5  19
ligne précédente, soit   + 3 ×   ×   =
≈ 9% . La probabilité de ne pas avoir au moins deux as
6
 6   6  216
187
(événement contraire) est donc p =
.
206
Pour obtenir le nombre moyen de coups, on utilise la même démarche que précédemment, mais avec cette
1
216
nouvelle valeur de p. Et on obtient E =
=
≈ 11, 4 : il faut (en moyenne) près de 11 coups pour espérer
1 − p 19
obtenir ces deux as.
Les événements « obtenir le corps du cochon », « obtenir la première patte », …, « obtenir la queue » étant
chronologiquement successifs (c’est la règle du jeu ), l’espérance totale du nombre de coups est :
216 216 56592
Etotale = 9 ×
+
=
≈ 32,8 .
91 19
1729
Solution du problème : il faut en moyenne pratiquement 33 coups pour terminer son « cochon qui rit ».
Si vous voulez tenter votre chance et jouer en ligne : http://www.lecochonquirit.fr/
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