L`Avare de Molière Editeur - La Classe Preparatoire ATS du Lycee

Œuvres littéraires pour le français :
L’Avare de Molière Editeur : Garnier‐Flammarion L’Argent de Zola Editeur : Garnier‐Flammarion ANGLAIS
Aux futurs étudiants de la Spé‐ATS Tout d’abord, je vous félicite pour votre choix, votre ambition, et me réjouis de faire plus
amplement connaissance avec vous début Septembre.
L’année sera courte ; je vous suggère donc de préparer la rentrée pendant les congés d’été.
QUE FAIRE ?
Habituez-vous dès maintenant à vous tenir au courant de l’actualité (internationale surtout et
grands débats de société). Pour ce faire, l’idéal est de lire régulièrement la presse, de
préférence en langue anglaise.
Les colles (=interrogations orales) seront d’autant plus réussies que votre culture générale sera
étendue. Prenez également l’habitude de regarder d’un œil critique les couvertures de
magazines et les dessins humoristiques publiés dans les journaux et magazines. Apprenez à
déceler les allusions culturelles dans les titres.
Il est possible de s’abonner GRATUITEMENT à de nombreux journaux britanniques et
américains en ligne (tels que « The Independent » et le « New York Times »).
Si vous en avez la possibilité, regardez sur TPS ou Canal satellite les informations en anglais,
les films en VO. Sinon (moins coûteux), utilisez votre lecteur de DVD régulièrement en
variant les sous-titres (en français, en anglais, voire sans).
Pour terminer, revoyez les bases de la langue anglaise.
Je vous conseille une approche ludique sur Internet avec www.anglaisfacile.com.
Quand vous faites une recherche sur Wikipedia par exemple, privilégiez plutôt la version
anglaise.
Vous pouvez également vous procurer un livre de grammaire avec exercices corrigés (with
answers).
Pour les étudiants qui ont de grosses difficultés, je conseille
ESSENTIAL GRAMMAR IN USE de Raymond Murphy chez Cambridge University
Press (chez n’importe quel libraire et sur Amazon).
Pour ceux qui estiment qu’ils n’ont pas besoin de tout reprendre à zéro :
ENGLISH GRAMMAR IN USE (même auteur, même éditeur).
Je vous souhaite bon courage et bonnes vacances.
Mme M.C. Pascart, professeur d’anglais en Spé-ATS,[email protected] (en cas de
besoin).
Opérations vectorielles de base pour la mécanique
1 Base de l’espace
r
r r r
Une base de l’espace est un triplet de vecteurs ( x , y, z ) tel que tout vecteur U de l’espace se décompose de
r
r
r
r
r
façon unique sous la forme : U = U x x + U y y + U z z , ce qui se note aussi : U =
(U ,U
x
y
r
r r r
,U z ) sont les composantes de U dans la base ( x , y, z )
⎡U x ⎤
⎢U ⎥ .
⎢ y⎥
r r r ⎢U ⎥
( x, y,z ) ⎣ z ⎦
2 Repère de l’espace
r r r
Un repère R ( O, x , y, z ) de l’espace est composé :
• D’une origine : le point O
r r r
• D’une base de l’espace : ( x , y, z )
3 Produit scalaire de vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs est comme son nom l’indique un produit de deux vecteurs donnant un
scalaire.
Il est définit de la façon suivante :
r r
r
r
r r
U .V = U × V × cos U ,V
r
Il est donc nul si les deux vecteurs sont orthogonaux.
U
(
)
Remarque importante :
r
r
Si le vecteur V est unitaire (de norme 1) alors le
V
produit scalaire correspond à la projection
r
orthogonale de U sur la droite de vecteur
r
directeur V . On dit aussi que c’est la projection
r
r
r
r
r
Projection orthogonal de U sur V si V = 1
orthogonale de U sur V .
Voir figure ci-contre :
● Calcul du produit scalaire par les coordonnées :
⎡U x ⎤
⎡Vx ⎤
r r
⎢
⎥
⎢V ⎥ = U V + U V + U V . On notera que pour effectuer ce calcul par
U .V =
x x
y y
z z
⎢U y ⎥ .
⎢ y⎥
r r r ⎢U ⎥ r r r ⎢V ⎥
( x, y,z ) ⎣ z ⎦ ( x, y,z ) ⎣ z ⎦
les coordonnées, il faut que les vecteurs soient décomposés dans la même base.
4 Produit vectoriel de vecteurs
Le produit vectoriel de deux vecteurs est comme son nom l’indique un produit de deux vecteurs donnant un
vecteur.
Il est définit de la façon suivante :
r r
r r r
r
r
r
● U ∧ V est orthogonal à U et à V , U ∧ V est donc orthogonal au plan formé par U et V
r r r r
r r
● U ∧ V est dans le sens tel que le trièdre U ,V ,U ∧ V est une base directe (règle des trois
(
●
doigts) de l’espace.
r r
r
r
r r
U ∧ V = U × V × sin U , V
(
)
Il est donc nul si les deux vecteurs sont colinéaires.
)
●
Calcul du produit vectoriel par les coordonnées :
⎡U yVz − U zVy ⎤
⎡U x ⎤
⎡Vx ⎤
r r
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
U ∧V =
⎢U zVx − U xVz ⎥ . On notera que pour effectuer ce calcul
⎢U y ⎥ ∧
⎢Vy ⎥ =
⎢
⎥
r r r ⎢U ⎥
r r r ⎢V ⎥
r r r ⎣U xV y − U yVx ⎦
( x, y,z ) ⎣ z ⎦ ( x, y,z ) ⎣ z ⎦
( x, y,z )
●
par les coordonnées, il faut que les vecteurs soient décomposés dans la même base, le résultat
étant obtenu toujours dans cette même base.
r r
r r
Propriété : U ∧ V = −V ∧ U
5 Repère orthonormé direct
r r r
Un repère orthonormé direct R ( O, x , y, z ) est un repère dont la base est orthogonale, normée et directe :
●
●
●
Orthogonale : cela signifie que les trois vecteurs composant la base sont orthogonaux 2 à 2 :
rr rr rr
x. y = z . y = x. z = 0
Normée : cela signifie que les trois vecteurs composant la base sont de norme = 1:
r
r
r
x = y = z =1
r r
r r r
r
r r
r r r
r
r r r
r r r
Directe : x ∧ y = + z , y ∧ z = + x , z ∧ x = + y , donc : y ∧ x = − z , z ∧ y = − x , x ∧ z = − y ,
6 Changement de base – Figure de passage
Une figure importante en SI, elle celle qui positionne
une base orthonormée directe (ici noté 1) « tournée » d’un
r r
angle ϑ (autour de z0 = z1 ici) par rapport à une autre base
orthonormée directe (ici notée 0).
On retiendra les résultats des projections que l’on pourra
adapter aisément à d’autres configurations.
r
y0
r
y1
ϑ
r
x1
ϑ
r r
z0 = z1
r
x0
Les projections sont:(on rappel que sur la figure toutes les bases sont orthonormées directes, c'est-àdire que la norme de tous les vecteurs de la figure vaut 1 même si pour des raisons de lisibilité certains
paraissent plus long que d’autres):
cos ϑ
r
r
r
x1 = cos ϑ x0 + sin ϑ y0 =
0
− sin ϑ
0
− sin ϑ
r
r
r
y1 = − sin ϑ x0 + cos ϑ y0 =
cos ϑ
0
0
r r
z1 = z0 = 0
0
1
0
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Les équations différentielles en sciences
1. L’EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE DU PREMIER ORDRE A
COEFFICIENTS CONSTANTS :
1.1.
Quelques exemples d’utilisation de l’équation différentielle linéaire du
premier ordre :
1.1.1. Utilisation en électricité :
Le circuit RC est un filtre que l’on rencontre très souvent en électricité :
On peut écrire la loi des mailles :
.
i(t)
i(t)
R
C
ve(t)
vs(t)
Aux bornes d’un condensateur, (avec les conditions
de courant ci-contre), on a :
La relation entre la grandeur d’entrée du montage ve(t) (tension connue) et la grandeur de sortie vs(t)
(tension inconnue) est une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants :
avec
constante de temps
vs(t) dépend donc du circuit RC et de la tension d’entrée ve(t).
1.1.2. Utilisation en électronique de puissance :
Le hacheur série permet d’avoir une tension moyenne variable par exemple pour alimenter un
moteur à courant continu (représenté ici par la charge L, R et E) :
Aux bornes de la charge, on a :
.
si l’interrupteur T conduit
0 si la diode D conduit.
i(t) dépend donc du circuit RL, de la tension E et bien évidemment de la tension vs(t).
avec
avec
constante de temps
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1.1.3. Utilisation en mécanique :
Moteur
L’équation qui régit les solides en rotation autour d’un axe est
issue du théorème du moment cinétique (que l’on démontrera en
cours de physique pendant l’année ATS) :
Ω
Cm
J : moment d’inertie de la partie mobile
Ω : vitesse angulaire de rotation de l’arbre moteur
Cm : couple moteur sur l’arbre
Cr : couple résistant (actions de freinage)
Ω
Cr
frottements (couple résistant)
1.2.
La vitesse angulaire Ω(t) dépend des caractéristiques
mécaniques J et Cr mais aussi du couple moteur qui est
directement lié à l’alimentation électrique du moteur.
Résolution mathématique de l’équation linéaire du premier ordre à
coefficient constant :
τ
Les équations précédentes peuvent se mettre sous la forme :
Dans la plupart des cas étudiés en sciences, la fonction f(t)
sera soit constante (échelon) soit sinusoïdale (harmonique). Nous allons résoudre ces deux cas.
1.2.1. Equation τ
:
a) Solution de l’équation sans second membre (SESSM) :
τ
0 , la solution est :
b) Solution particulière :
On choisit une constante de façon à annuler
. : la solution est :
c) Solution générale :
On additionne les deux solutions précédentes : y
d) Détermination de la constante k :
C’est à l’aide des conditions initiales que les scientifiques déterminent k.
Par exemple, si ces conditions initiales sont nulles : y 0
0
On a donc :
,
la solution finale est :
t
−
⎛
y ( t ) = A ⎜⎜ 1 − e τ
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
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1.2.2. Equation τ
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.
a) Solution de l’équation sans second membre (SESSM) :
τ
0 , la solution est :
b) Solution particulière :
On utilise la méthode complexe :
.
est la fonction
La représentation complexe de la fonction
.
.
.
.
est l’amplitude complexe associée à f(t).
φ
On associe alors
.
Et on associe
. .
à
φ
φ
.
Comme l’équation différentielle est linéaire, alors la solution est :
.
y(t)
à
L’équation différentielle complexe se ramène à une équation algébrique :
. .
.
Ce qui donne :
.
.
.
.
1
La solution particulière est la partie réelle :
.
et
Avec :
c) Solution générale :
On additionne les deux solutions précédentes
y
Le terme
intervient en transitoire (au
démarrage notamment) et s’estompe par la suite. Pendant l’année en classe préparatoire ATS, on
s’intéressera uniquement au régime permanent
.
L’étude de
et
s’appelle l’analyse harmonique.
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2. L’EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE DU SECOND ORDRE A
COEFFICIENTS CONSTANTS :
2.1.
Quelques exemples d’utilisation de l’équation différentielle linéaire du
second ordre :
2.1.1. Utilisation en électricité :
Le circuit RLC est un filtre que l’on rencontre très souvent en électricité :
i(t)
On peut écrire la loi des mailles :
L
R
i(t)
vs(t)
C
ve(t)
.
De plus
La relation entre la tension d’entrée du montage ve(t) et la tension de sortie vs(t) est une équation
différentielle du second ordre à coefficients constants :
vs(t) dépend donc du circuit RLC et de la tension d’entrée ve(t).
On écrit souvent l’équation précédente sous la forme canonique :
2. .
Avec
.
facteur d’amortissement
.
.
et
√
pulsation naturelle
2.1.2. Utilisation en mécanique :
O
Si on écarte de l’équilibre la masse, alors la position de cette
dernière vérifie l’équation différentielle suivante :
ressort
2. .
z(t)
oscillations
masse
z
.
.
.
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2.2.
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Résolution mathématique de l’équation linéaire du second ordre à
coefficient constant :
Les équations précédentes peuvent se mettre sous la forme :
2. .
.
.
.
Dans la plupart des cas étudiés en sciences, la fonction f(t) sera soit constante (échelon) soit
sinusoïdale (harmonique). Nous allons résoudre ces deux cas.
. .
2.2.1. Equation
.
.
.
:
a) Solution de l’équation sans second membre (SESSM) :
2. .
.
.
0
La solution nous donnera le régime transitoire.
2
Etudions l’équation caractéristique :
Le discriminant est donné par : Δ
2
4
.
0
4
1
De plus en sciences, le facteur d’amortissement ξ est obligatoirement positif.
Les solutions dépendent du signe de Δ :
• Δ > 0 ⇒ ξ> 1 :
L’équation caractéristique possède 2 solutions réelles :
2
2
2
,
1
1
1
La solution de l’équation différentielle est :
.
.
λ et μ sont des réels qui se déterminent avec les conditions initiales.
•
Δ = 0 ⇒ ξ= 1 :
L’équation caractéristique possède 1 solution réelle double :
La solution de l’équation différentielle est :
.
.
λ et μ sont des réels qui se déterminent avec les
conditions initiales.
•
Δ < 0 ⇒ 0 < ξ< 1 :
2
L’équation caractéristique possède 2 solutions imaginaires :
2
2
,
1
1
1
La solution de l’équation différentielle est :
.
. cos
1
. sin
1
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λ et μ sont des réels qui se déterminent avec les conditions initiales.
•
Δ = 0 ⇒ ξ = 0:
pures :
L’équation caractéristique possède 2 solutions imaginaires
,
.
. cos
. sin
.
Η.
.
λ et μ sont des réels (tout comme H et φ) qui se déterminent avec les conditions initiales. Il s’agit
ici de la réponse purement sinusoïdale ; on parle d’oscillateur harmonique.
b) Solution particulière :
On choisit une constante de façon à annuler
et
:
la solution est :
c) Solution générale :
On additionne les deux solutions précédentes :
. .
2.2.2. Equation
y
.
.
. .
:
a) Solution de l’équation sans second membre (SESSM) :
Déjà traité à la question précédente (Etude en fonction de ξ).
b) Solution particulière :
On utilise la méthode complexe comme on l’a fait avec l’équation différentielle du premier ordre.
φ
.
On associe
à
φ
. .
. .
φ
.
L’équation différentielle étant linéaire, la solution est :
.
φ
y(t)
à
.
à
L’équation différentielle complexe se ramène à une équation algébrique :
.
. .
.
. .
.
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. .
Ce qui donne :
.
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La solution particulière est la partie réelle :
0
0
Avec :
0
2
2
0 .
2 2
2.
.
.
2
2
2
0
et
2
0
2
Cette solution permet de faire l’analyse harmonique en faisant varier la pulsation ω.
c) Solution générale :
On additionne les deux solutions précédentes :
y
Présentation du cours de Français‐Philosophie de la classe préparatoire ATS. L’épreuve du concours ATS consiste en un résumé de texte et une dissertation en 3 heures. Pour s’y préparer, l’emploi du temps comprend 3 heures hebdomadaires. Le résumé de texte demande aux étudiants un esprit d’analyse et de synthèse. Le type de support peut être très varié : ouvrage critique, roman, interview… L’étudiant doit produire un résumé en un nombre de mots limité avec une marge de plus ou moins 10 pour cent. La dissertation est en général une citation extraite du texte proposé au résumé. L’étudiant doit mettre à profit sa lecture et son analyse des textes au programme ainsi que de ses lectures complémentaires. Le thème au programme de l’année 2009‐2010 est le suivant : L’Argent. Il sera étudié à travers les deux œuvres suivantes : L’Avare de Molière et L’Argent de Zola. La comédie de Molière a pour personnage principal Harpagon qui est rongé par l'avarice. C'est un homme qui a constamment peur de se faire voler par tout le monde, y compris les membres de sa famille. Il va même jusqu'à fouiller les domestiques qu'il soupçonne de lui avoir pris quelque chose. Le roman de Zola est le 18ème volume des Rougon‐Macquart. Il y est question de bilans falsifiés, de connivences politiques, de fièvre spéculative, de manipulations médiatiques… L’auteur s’inspire de faits divers pour construire une intrigue financière. Il est conseillé aux étudiants de lire ces deux œuvres pendant les vacances. Ils peuvent également lire la 3ème œuvre au programme des classes préparatoires scientifiques : Philosophie de l’argent de Georg Simmel. La connaissance des œuvres au programme est essentielle à la compréhension des cours et à la réussite des épreuves. Elles constituent le point de départ de la réflexion demandée dans la dissertation.