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HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES
ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN
Spécialité :
MECANIQUE DES SOLIDES ET DES STRUCTURES
MODELISATION ET SIMULATION NUMERIQUE DE STRUCTURES AVEC INTERFACES
Patrick MASSIN
(M. Guiton, M. Siavelis, IFP, H. Ben Dhia, ECP, N. Moës, ECN, D. Colombo, University of Manchester, S. Géniaut, M.
Torkhani, M. Zarroug, EDF R&D/AMA, A. Caron, G. Ferté, J.B. Esnault EDF R&D/LaMSID)
Soutenance du vendredi 18 mai 2012 devant un jury composé de :
Pierre Alart
Professeur, Université de Montpellier 2
Olivier Allix
Professeur, Ecole Normale Supérieure de Cachan
Hachmi Ben Dhia
Professeur, Ecole Centrale de Paris
Alain Combescure
Professeur, Insa de Lyon
Eric Lorentz
Pilote Stratégique de la Simulation, EDF R&D
Jean-Jacques Marigo
Professeur, Ecole Polytechnique
Nicolas Moës
Professeur, Ecole Centrale de Nantes
Laboratoire de Mécanique des
Structures Industrielles Durables
UMR EDF-CNRS-CEA 8193
1, avenue du Général de Gaulle
92141 Clamart cedex
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
Rapporteur
Examinateur
Rapporteur
Examinateur
Electricité de France
Division Recherches et Développement
1, avenue du Général de Gaulle
92141 Clamart cedex
Introduction
Motivations :
• Ne pas avoir à mailler des fissures pour des géométries complexes
en modifiant le maillage structurel autour de la fissure
• Prendre en compte le contact au niveau des lèvres de la fissure
Contraintes :
• Utiliser Code_Aster
Méthode Elements Finis classique
Mécanique de la rupture
Propagation de fissure
eXtended Finite Elements
Method
Nécessité de mailler la géométrie de fissure
Remaillage de la fissure à chaque pas de
propagation
Introduction d’une surface de discontinuité dans un
maillage quelconque
Introduction
Fissuration dans un modèle complexe
b
a
Des coûts et des délais importants
Ex. de maillage sans fissure : prestation ≈ 1 semaine
Ex. de maillage avec fissure : prestation ≈ 3 semaines
Introduction
Introduction
Milieu multi-fracturé mettant en défaut les techniques de remaillage
du fait de problèmes de conditionnement
Introduction
Ingrédients nécessaires à la propagation de fissures (fatigue le plus
généralement, pour nos applications) :
• Avoir une représentation de la fissure: les level sets et X-FEM
• Prise en compte des conditions d’interface au niveau de la fissure
• Calcul des grandeurs de mécanique de la rupture ou de la fatigue :
critère de propagation et direction de propagation
• Propagation géométrique des fissures
Sommaire
Level sets
X-FEM
Contact
Conclusion et perspectives
Level sets
(Représentation et approximation
géométrique: thèses A. Caron, G. Ferté)
Level Sets
Définition de la fissure par Level Sets
Soit une interface Γ délimitant un ouvert Ω de ℜn. L’idée est de définir une
fonction régulière ϕ(x,t) (au moins Lipchitzienne) telle que le sous-espace
ϕ(x,t)=0 représente l’interface.
La level set possède les propriétés suivantes :
ϕ ( x, t ) > 0 pour x ∈ Ω
ϕ ( x, t ) < 0 pour x ∉ Ω
ϕ ( x, t ) = 0 pour x ∈ ∂Ω = Γ(t ).
Ω
Caractérisation de la fissure par deux courbes de niveau ϕn = lsn et ϕt = lst.
Level Sets
Définition de la géométrie par Level Sets
Maillage de la géométrie sans
fissure
Introduction des level sets
Discrétisation des level sets aux
nœuds du maillage
Interpolation en chaque point à
l’intérieur de l’élément fini
Interpolation
lsnh valeur de la level set normale
interpolée en x
Φi(x) fonction d’interpolation EF
standard i en x
lsni=lsn(xi) valeurs nodales de la level
set normale
Level Sets
Sous découpage
Linéaire
Quadratique
Sous-intégration
Level Sets
Montée en ordre
Ordre 1 : fonctions d’interpolation
Φi linéaires
Ordre 2 : fonctions d’interpolation
Φi quadratiques
Higher-order XFEM for curved strong and weak
discontinuities, K. W. Cheng, T.P. Fries, IJNME,
2009
Level Sets
Approche alternative sans
montée en ordre
Elément coupé par une level set avec sous-découpage récursif pour améliorer l’approximation de la
géométrie
Transferts d’information entre maillage géométrique et maillage d’approximation.
G. Legrain, P. Cartraud, I. Perreard and N. Moës, An x-fem and level set computational approach for
image based modeling: application to homogenization, International Journal for Numerical Methods
in Engineering, Vol. 86, pp. 915-934, 2011.
Level Sets
Convergence de l’erreur
Aire
circulaire
Pente de 1,94 pour une
valeur théorique de 2
Pente de 4,04 pour une
valeur théorique de 3
• Validation de l’intégration
• Validation du sousdécoupage des éléments
• Ordre de convergence P2≈
2P1
• Lien à faire entre la convergence de l’erreur
sur l’approximation de la surface et la
convergence de la solution numérique dans
son ensemble vers la solution du problème
théorique
(Thèse de G. Ferté, collaboration entre
LaMSID et GeM)
Extended Finite Element Method
(Approximation élément fini, ordre de
convergence et conditionnement: thèses
S. Géniaut, A. Caron, G. Ferté, M.
Siavelis)
S. Géniaut, P. Massin, N. Moës, A stable 3D contact formulation for cracks using XFEM, Revue
Européenne de Mécanique Numérique, vol. 16, n°2, p. 259-275, 2007.
M. Siavelis, M.L.E. Guiton, P. Massin, N. Moës. Large sliding contact along branched
discontinuities with X-FEM, submitted to Computational Mechanics.
X-FEM
Enrichissement de l’approximation
de déplacement
Terme
classique
Enrichissement
Heaviside
Enrichissement fonctions
singulières
N. Moës, J. Dolbow, T. Belytschko, A
finite element method for crack growth
without remeshing, IJNME, 1999
I
L⊂I
L⊂I
: nœuds du maillage
: nœuds enrichis par la fonction H(x). Un nœud
appartient à L si son élément est coupé
entièrement par la fissure
: nœuds à enrichir pour modéliser la pointe de
fissure. Un nœud appartient à K si son support
contient la pointe de fissure
ai degré de liberté classique associé au nœud i
bi degré de liberté enrichi (heaviside) associé au nœud i
cil degré de liberté enrichi (singularité) associé au nœud i
X-FEM
Modèle numérique de
la plaque trouée
y
1
a=0,4
x
-1
-1
Convergence de l’erreur en énergie
ν=0
ur
1
• Validation de l’intégration
• Validation du sous-découpage des éléments
• Ordre de convergence P2≈ 2P1
Higher-order XFEM for curved strong and weak discontinuities, K. W. Cheng, T.P.
Fries, IJNME, 2009 : pour un Q2, ordre 3 en déplacement, ordre 2 en énergie
X-FEM
Définition d’une base locale en pointe de
fissure utilisant les level sets
lsn(x) = ∑ lsni N i (x)
•x
i
lsn(x)
lst (x) = ∑ lst N (x)
i
i
Plan de fissure
i
lst(x)
∇lsn = ∑ φi , j lsni

i

elt
∇lst j = ∑ φi , j lsti
i

Fissure
elt
j
e1 =
∑ φ ∇lsn
i
i
i
∑ φ ∇lsn
i
i
i
, e2 =
j = 1,3
∑ φ ∇lst
i
∑ φ ∇lst
i
i
e 2 = e3 × e1
e2
i
i
, e 3 = e1 × e 2
i
r
θ
Crack
face
e1
e3
D. Colombo, P. Massin. Fast and robust level set update for 3D non-planar XFEM crack propagation modelling. Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, Vol. 200, Pages 2160-2180, 2011.
X-FEM
Enrichissement de l’approximation de
déplacement : cas particulier d’une fissure
∑
u ( x) =
i∈N n ( x )
N1
ai Ni ( x) +
∑
i∈N cut ( x )
bi N i ( x)H ( x) +
∑
i∈Nbranch ( x )
ci1,4 Ni ( x)B1,4 ( x)
N2
•
H.N1
H.N2
•
•
•
H
+1
•
•
-1
+ 1 si x ≥ 0
H ( x) = 
− 1 si x < 0
Enrichissement topologique
avec un ordre de convergence
en énergie limité à 0,5
θ
θ
θ
θ


B =  r sin , r cos , r sin sin θ, r cos sin θ
2
2
2
2


où
−  lsn 

r = lst ² + lsn ² , θ = tan 1 
 lst 
Enrichissement géométrique
pour des ordres de
convergence optimaux en
énergie
(1 en linéaire, 2 en
quadratique)
X-FEM
X-FEM
Ordres de convergence en énergie
X-FEM
Enrichissement de l’approximation de
déplacement pour des jonctions: réseaux de
fissures ou de failles (Thèse M. Siavelis, IFP)
Modèle gOcad à partir d'une
expérience de boîte à sable (IFPEN)
(Suzuki et al, Comput.
Geosci., 2008)
X-FEM
Création d’un arbre hiérarchique multi-fissures
Exemple : domaine
de définition de
l'enrichissement
associé à la fissure 5
Cas non traités
X-FEM
Enrichissement cinématique de jonction

iH
iT 
u(x) = ∑ φino (x) a ino + ∑ H iH (ifiss , x) )b ino + ∑ TiT (lsn(x), lst (x) )cino 
ino
iH
iT =1, 4


Heaviside_1
H = +1
H = +1
θ
rsin( )
2
H = -1
Crack-tip
Heaviside_2
θ
rsin( )
2
0
HH == -1
(Daux et al, IJNME, 2000)
X-FEM
Découpage en sous-éléments pour une
intégration numérique propre des jonctions
• Stratégie classique X-FEM de
découpage en sous-éléments de part
et d'autre des discontinuités
• Utilisation pour le post-traitement
fiss1
fiss2
Conditionnement X-FEM
• Le fit to vertex : déplacement de la level set aux
nœuds sommets
• Mise à zéro des degrés de liberté heaviside
• Orthogonalisation des matrices de rigidité
locales ou pré-conditionnement
Conditionnement
Conditionnement X-FEM : fit to vertex
•
•
•
•
•
Rapport entre la plus grande et la plus petite vap du système
δ nombre de conditionnement
Erreur numérique en double précision 10−15
−15+δ
Erreur relative sur le calcul 10
Dans la pratique on souhaite donc δ<9
10δ
• Evolution du nombre de conditionnement en fonction de γ pour des
éléments linéaires et quadratiques, le rapport entre distance au
sommet le plus proche/longueur arête valant 10−γ . En pratique γ=2.
• Réajustement des nœuds aux sommets: fit to vertex impossible pour
hexa et quadrangles quadratiques
Conditionnement
Conditionnement X-FEM : élimination de ddls Heaviside
•
Critère volumique (Daux et al, 2000)
– VH (H = {-1,0,1}) les domaines d'intégration
min(V−1 , V1 )
≤ 10−δ
V−1 + V0 + V1
Si
–
•
Pour chaque support de nœud
H=1
, ddl éliminé, δ=4
H=-1
H=0
Si δ trop petit élimination de ddls en trop, si δ trop
grand problème de conditionnement
Critère de rigidité
– On remplace les volumes par
∫φ
i ,X
Cφi , X dΩ
Ω
–
Expression simplifiée (Gse barycentre des sous éléments d'intégration)
2
se
–
Ddl H éliminés


min ∑ φi , X (G se ) ∞ Vse , ∑ φi , X (G se ) ∞ Vse 
se +1
 se−1
 ≤ 10−δ
2
∑ φi,X (G se ) ∞ Vse
2
Si constant (ex. triangle peu déformés) -> on retrouve le critère volumique
En pratique δ=9
Conditionnement
Evolution du conditionnement pour une interface
inclinée en fonction de e/h – cube en traction uni-axiale
Déplacement de la level set X+Y+Z=0 vers la droite. Le rapport e/h passe de 0
à 0,5.
Conditionnement
Amélioration du compromis conditionnement <-> erreur
optimisation possible avec pré-conditionneur local (Béchet et al, 2005 )
Conditionnement (MUMPS)
Erreur relative en dépl. sur l’interface
Conditionnement
Conditionnement X-FEM et convergence : patch
test d’un cube sous compression uniforme
Avec le critère sur la rigidité, du fait des éliminations, la solution est perturbée et ne converge pas en énergie
(à gauche) à mesure que le maillage est raffiné, même si le ratio du nombre de nœuds éliminés par rapport au
nombre de nœuds total diminue quand le maillage est raffiné (à droite).
Conditionnement
Conditionnement X-FEM : orthogonalisation locale
Idée issue des travaux : Béchet, E., H. Minnebo, N. Moës, et B. Burgardt (2005). Improved
implementation and robustness study of the X-FEM for stress analysis around cracks. Int. J. Numer.
Meth. Engng., 64 (8), 1033–1056.
O M

 1 1− ε 


et ε << 1
K=
A L A = 

1 
1 − ε

O
~
Id
K = RKRT
0

~
 1
f = Rf
avec R =  0  − (1 − ε )
~~ ~

Ku = f
 2ε


T~
u=R u
0
 0
M
O


1 0
~ 
K=
0 1 L




O

0

0 
1  0


2ε 

Id
Nouvelle proposition avec δ issu du critère de rigidité:
 ε > 10−δ 0 avec δ 0 = 5

−δ
−δ
 10 < ε < 10 0
ε < 10−δ avec δ = 14

on ne fait rien
on applique l' orthogonalisation
le degré de liberté est éliminé
Conditionnement
Conditionnement X-FEM : orthogonalisation locale.
Résultats probants
Conditionnement (MUMPS)
Erreur relative en dépl. sur F2
Contact :
Formulation lagrangienne augmentée
(Thèses M. Zarroug, C. Zammali, M.
Torkhani, S. Géniaut, A. Caron)
H. Ben Dhia, M. Zarroug. Hybrid frictional contact particle-in elements,
Revue Européenne des Éléments Finis, vol. 9, Pages 417-430, 2002.
S. Géniaut, P. Massin, N. Moës, A stable 3D contact formulation for cracks
using XFEM, Revue Européenne de Mécanique Numérique, vol. 16, n°2, p.
259-275, 2007.
I. Nistor, M.L.E. Guiton, P. Massin, N. Moës, S. Geniaut. An X-FEM
approach for large sliding contact along discontinuities. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.18, n°12, Pages
1407-1435 , 2009.
M. Siavelis, M.L.E. Guiton, P. Massin, S. Mazet, N. Moës. Robust implementation of
contact under friction and large sliding with the extended finite element method,
European Journal of Computational Mechanics, Vol. 19, n°1-2-3, Pages 189-203,
2010.
H. Ben Dhia, M. Torkhani, Modeling and computation of fretting wear of structures
under sharp contact, International Journal for Numerical Methods in Engineering,
Vol. 85, pp. 61-83, 2011.
Lois du contact
Définition du jeu
λ
Γ1
λ≤0
x1
(a)
(b)
dn ≤ 0
λ ⋅ d n = 0 (c)
n
Γ2
Loi de Signorini
x1
d n = ( x 1 − x1 ) ⋅ n
Forme équivalente
λ − χ (gn )gn = 0
−
χ fonction caractéristique de ℜ
gn multiplicateur de contact augmenté


gn



χ (x) =

dn
= λ − ρ nd n
 1,

0,
si
x ≤ 0
si
x > 0
H. Ben Dhia, M. Zarroug. Hybrid frictional contact particle-in elements,
Revue Européenne des Éléments Finis, vol. 9, Pages 417-430, 2002.
Lois du frottement
Loi de Coulomb
rτ ≤ µ λ
(a)
si
rτ ≤ µ λ alors ν τ = 0
(b)
si
rτ = µ λ alors ∃ α ≥ 0 ; ν τ = − α rτ
(c)
Rτ
glissant
-vτ
glissant
Forme équivalente
rτ = µΛλ
Λ − PB ( 0,1) ( gτ ) = 0
gτ = Λ + ρτν τ
Λ semi-multiplicateur de frottement
gτ semi-multiplicateur de frottement
augmenté
PB(0,1) la projection sur la boule unité
ρτ paramètre >0
Formulations faibles
Méthode continue pour le contact-frottement
issue des travaux de Ben Dhia et al.
λ
Signorini
dn
gn = λ − ρndn
Λ
Coulomb
g τ = Λ + ρτ v τ
vτ
−1
∫ρ
Γc
{λ − χ (g n )g n }λ*dΓc = 0
∫
Γc
n
(
− χ (g n )
ρτ
{Λ − P ( ) (g )}Λ dΓ + ∫ (1 − χ (g ))ΛΛ dΓ
*
B 0 ,1
τ
*
c
n
c
=0
Γc
)
∀ v, λ* , Λ * ∈ V0 × H × H
Equilibre
∫ P(u ) : (∇ r (v )) dΩ − ∫ f ⋅ vdΩ − ∫ t ⋅ vdΓ − ∫ χ (g n )g nn ⋅ [[v ]]dΓc − ∫ χ (g n )µg n PB (0,1) (g τ )⋅ vτ dΓc = 0
T
Ω
Ω
Γt
Γc
Γc
(Ben Dhia & Zarroug, EJCM, 2002)
Description de l’intégration pour le contact
Ce qui est fait actuellement dans Code_Aster:
• Statuts de contact χ (g n ) aux points de colocation
• Intégration nodale par défaut pour les éléments linéaires,
simpson pour les éléments quadratiques
• Possibilité d’utiliser des schémas d’intégration d’ordres plus
élevés (gauss ordre 8, simpson ordre 4)
Résultats de l’intégration pour le contact
y
r
R3
R2
R1
x
|(P-Pa)/Pa| fonction de la rotation
|(P-Pa)/Pa| en fonction de la rotation
5,00E-001
5,00E-001
4,50E-001
4,50E-001
4,00E-001
4,00E-001
3,50E-001
3,50E-001
Gauss 400
Sim pson2 400
Gauss10 400
3,00E-001
2,50E-001
3,00E-001
2,50E-001
1,50E-001
1,50E-001
1,00E-001
1,00E-001
5,00E-002
5,00E-002
0,00E+ 000
0,00E+ 000
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
2,00E-001
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
56
61
66
71
76
81
86
91
96
2,00E-001
Éléments linéaires
Noeud 400
Gauss 400
Sim pson2 400
Gauss10 400
Éléments quadratiques
Les règles d’or de l’intégration pour le contact
Les évolutions probables à court/moyen termes :
•Sous-découpage adaptatif en cas de grands glissements ou
montée en ordre sur les schémas d’intégration pour gérer la non
compatibilité géométrique
• Un champ caractéristique du contact nodal et non pas aux
points de collocation
• Intégration différenciée des équations d’équilibre (schéma
d’intégration suffisamment riche pour les pressions de contact
non nulles et les jeux non nuls) et de contact-frottement
(pression nulle ou jeu nul aux nœuds)
• Analyse des champs de contraintes sous la surface de contact
• Introduction d’un champ moyen de saut de déplacement aux
nœuds de l’élément esclave pour assurer la compatibilité totale
entre le champ de pression et le champ de saut
Elément esclave
portant le champ
de pression
Elément maître
Vers un élément
esclave portant le
champ de pression et
de saut de
déplacement
Le pourquoi des difficultés
Noeud
Point d’intégration
NC
Elément esclave
portant le champ
de pression
Elément maître
C
C
Vers un élément
esclave portant le
champ de pression et
de saut de
déplacement
Equilibre
∫ P(u ) : (∇ r (v )) dΩ − ∫ f ⋅ vdΩ − ∫ t ⋅ vdΓ − ∫ χ (g n )g nn ⋅ [[v ]]dΓc − ∫ χ (g n )µg n PB (0,1) (g τ )⋅ vτ dΓc = 0
T
Ω
Ω
Γt
Γc
Contact
−1
∫ρ
Γc
Frottement
{λ − χ (g n )g n }λ dΓc = 0
*
n
d n = ∑ d ni χ i
i
−1
∫ ρ {d
Γc
n
n
Γc
− u .n}λ*dΓc = 0
∫
Γc
− χ (g n )
ρτ
{Λ − P ( ) (g )}Λ dΓ + ∫ (1 − χ (g ))ΛΛ dΓ
*
B 0 ,1
τ
*
c
n
Γc
Jeu nodal directement dans la formulation au
prix d’une intégration d’ordre élevé
Approche formulation à trois champs
c
=0
X-FEM contact
uh linéaire (P1)
4
uh quadratique (P2)
4
8
8
i =1
j =1
u ( x) = ∑Φi ( x)ai + ∑Φ j ( x)H (lsn( x))bj
u ( x) = ∑Φi ( x)ai + ∑Φ j ( x)H (lsn( x))bj
λ aux “arêtes” (P1)
λ aux sommets (P1)
h
i =1
j =1
λ aux sommets (P1)
2
h
λ aux nœuds (P2)
λ ( x) = ∑ λiψ i ( x) λ ( x) = ∑ λ Φ ( x) λ ( x) = ∑ λi Φ i ( x) λ ( x) = ∑ λi Φ i ( x)
i i
h
4
h
i =1
i =1
4
h
8
h
i =1
i =1
X-FEM contact
4 types de méthodologies pour satisfaire la condition
LBB (richesse trop grande de l’espace des pressions par
rapport au déplacement entraînant oscillations des
pressions et non unicité: Ji & Dolbow, IJNME, 2004) :
• Réduction de l’espace des multiplicateurs de Lagrange
pour traiter le contact
• Augmentation de l’espace des déplacements via des
fonctions bulles
• Utilisation d’une formulation à trois champs avec
traitement du contact à une échelle inférieure
• Stabilisation sans modification des espaces
S. Géniaut, P. Massin, N. Moës, A stable 3D contact formulation for cracks using XFEM, Revue Européenne de
Mécanique Numérique, vol. 16, n°2, p. 259-275, 2007 .
J.E. Dolbow, L.P. Franca. Residual-free bubbles for embedded Dirichlet problems. Comput. Methods Appl.
Mech. Engrg., Vol. 197, Pages 3751-3759, 2008.
E. Pierrès, M.C. Baietto, A. Gravouil. A two scale extended finite element method for modelling 3D crack
growth with interfacial contact. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Vol. 199, Pages 1165-1177, 2010.
Amdouni S., Hild P., Lleras V., Moakher M., Renard Y. ,A stabilized Lagrange multiplier method for the enriched finiteelement approximation of contact problems of cracked elastic bodies, Preprint, http://hal.archives-ouvertes.fr/hal00606313/fr/, soumis IJNME
Algorithme LBB
Sélection des arêtes vitales
28
1
1
1
19
2
1
2
3
10
1
2
12
11
1
2
12
4
3
1
23
1
13
1
1 1 1 2
14
15
16
1.
Score du nœud : nombre
nbre d’arêtes
d’arêtes
coupées
coupées
en en
connexion
connexion
2.
Score de l’arête : minimum du score de ses nœuds
3.
Sélection de l’arête de plus grand score et suppression
1
2
17
Arêtes vitales : score des arêtes coupées restantes = 1, 1 parmi les 1
Algorithme LBB
Restriction de l’espace des
multiplicateurs de Lagrange
λ8 =λ1 λ9 = λ2 λ10 =λ2
λ1
λ2
λ3
λ11=λ3
λ4
λ12 =λ4
λ13 =λ7
λ5 =λ4 λ6=λ4 λ7
8 relations d’égalité en linéaire
En linéaire, mélange entre une approche P0 et P1
5 ddls indépendants en linéaire et 11 ddls indépendants en quadratique
S. Géniaut, P. Massin, N. Moës, A stable 3D contact formulation for cracks using XFEM, Revue
Européenne de Mécanique Numérique, vol. 16, n°2, p. 259-275, 2007.
E. Béchet, N. Moës, B. Wohlmuth, A stable lagrange multiplier space for stiff interface conditions
within the extended finite element method, Int. J. Numer. Meth. Engng., vol. 78, n°8, p. 931-954,
2009.
Algorithme LBB
Validation sur interface droite en contact non
frottant: solution sans stabilisation avec maillage
non structuré
p = 1 Pa
Solution : pressions de contact constante
sur l’interface : λ ref = −1
Normalement, pas d’oscillations
Mais :
no
800000% d’erreur
??
Algorithme LBB
frottant: solution avec stabilisation pour maillage
non structuré
Oscillations à cause de la procédure « fit to vertex » -> recalage de l’interface sur un
nœud quand l’interface est “proche” de ce nœud : le problème numérique est
modifié et la solution n’est pas exactement constante
Erreur relative < 1%
Algorithme LBB
frottant: solution sans stabilisation pour une
pression quadratique
Pmax = 1 Pa
λ( y = 0.5) =−1
Algorithme LBB
frottant: solution avec stabilisation pour une
pression quadratique
Réduction des oscillations des pressions de contact
Algorithme LBB
frottant pour une pression quadratique: étude de
convergence
 ( λ h − n ⋅ σ ref ⋅ n )2 d Ω 
∫

L (λ h ) =  Γ
2

ref
n ⋅ σ ⋅ n ) d Ω 
(
∫

Γ

12
Convergence de la norme L2 de l’erreur sur les
pressions de contact
X-FEM contact
Convergence de l’erreur sur les
pressions de contact
Modèle numérique
de la plaque
1
y
uy
ν=0
Px(g)
Pxy(g)
0
Px(d)
Pxy(d)
0
1x
• Validation de l’intégration des lois faibles de
contact
• Validation du sous-découpage des éléments
• Ordre de convergence P2≈1,33*P1
X-FEM contact
Convergence de l’erreur en énergie pour
différents angles d’inclinaison de la lsn
X-FEM grands glissements
Elément hybride: maille dupliquée
Types
d'éléments de
contact:
H-H,
H
H-HF, HF-H, HF-F
HF
F
I. Nistor, M.L.E. Guiton, P. Massin, N. Moës, S. Geniaut. An X-FEM approach for large sliding contact along discontinuities.
International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol.18, n°12, Pages 1407-1435 , 2009 .
Illustration
Compatibilité entre statut de contact et approximation
élément fini pour les arêtes non vitales : pas de
contribution au contact, seulement à l’équilibre
Variation du statut de contact
FEM
X-FEM naïf
X-FEM avec LBB
X-FEM avec LBB modifié
Réaction de contact
5.0E+3
-5.0E+3
-1.5E+4
λ1 + λ2 = 0

λ1 = 0 
λ2 ≠ 0 
λ1
λ2
-2.5E+4
-3.5E+4
0.0
λ1
λ2
1.0
2.0
3.0
4.0
(Siavelis et al, EJCM, 2010)
Perspectives contact FEM
Fonction caractéristique du contact nodale.
Intégration différenciée des équations de contact
et d’équilibre.
Introduction d’un troisième champ saut de
déplacement nodal avec fonction
caractéristique du contact nodale. Intégration
non différenciée des équations de contact et
d’équilibre.
Restauration de la compatibilité complète au
niveau de l’intégration numérique (souséléments virtuels): vers le cadre mortar pour
les grands glissements
Travail sur la normale de contact (thèse en cours
de A. Kudawoo LaMSID/LMA)
Perspectives contact X-FEM
Idem contact FEM mais avec une
fonction caractéristique du contact
reposant sur les arêtes vitales transmise
aux nœuds sommet
Choix des liaisons permettant la
satisfaction de la LBB P1-P1 non
optimal en terme d’ordre de convergence
pour les éléments P2-P1 et P2-P2
Thèse de G. Ferté (collaboration
LaMSID/GeM)
D. Chapelle D., K.J. Bathe. The inf-sup test. Computers & Structures, vol. 47, n°4/5, pages 537-54 5, 1993.
D. Colombo
D. Colombo, P. Massin. Fast and robust level set update for 3D non-planar XFEM crack
propagation modelling. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 200,
Pages 2160-2180, 2011.
D. Colombo, P. Massin, Level set propagation for mixed mode crack advance, accepté dans
European Journal of Computational Mechanics, 2012.
D. Colombo, An implicit geometrical approach to level sets update for 3D non planar X-FEM
crack propagation, accepté dans Computational Methods in Applied Mechanical Engineering,
2012.
Données en fond
Champ de vitesse en fond de fissure:
traitement pour la fatigue en mode I+II+(III)
Calcul du champ de vitesse en fond de fissure
( Erdogan & Sih 1963 ) Contrainte normale maximale
Données en fond
Les points bloquants
Γo
θ≈ θ′
m
θ≠θ′
θ
G<0
G<0
θ′
Plan
tangent
à la
fissure
Surface fissurée
Modification du champ θ
Front de fissure
e
Thèse de J.B. Esnault (LMS/LaMSID) + post-doc à
venir (LaMSID/LMS/GeM) + Thèse université de
Manchester
Lissage à l’ordre 5
(Legendre) des résultats
dans Aster
G<0
G<0
Données en fond
Les points bloquants
Les différentes difficultés rencontrées sur les études EDF pour la
fatigue :
• Connaissance des cinétiques de propagation sur les matériels/essais
expérimentaux notamment en mode mixte
• La prise en compte d’une plasticité localisée en pointe de fissure
notamment pour les modes mixtes (cf. S. Pommier, V. Doquet) ou les
effets de surcharge (J.J. Marigo)
• La prise en compte d’une plasticité généralisée en pointe de fissure
Propagation
Les différentes méthodes de propagation utilisables dans Code_Aster :
• Sur la base de formes prédéfinies (ellipses, etc.) : limité
• Utilisant un maillage indépendant de la surface fissurée qui est
réactualisé géométriquement
• Utilisant des équations différentielles de transport (Hamilton-Jacobi)
• Utilisant une réactualisation géométrique des level-sets sans passer par
des edp : robustesse et efficacité numérique
T.P. Fries, M. Baydoun. Crack propagation with the extended finite element method and a hybrid explicit-implicit
crack description, International Journal for Numerical Methods in Engineering, DOI:10.1002/nme.3299, 2011.
S. Geniaut, E. Galenne, A simple method for crack growth in mixed mode with X-FEM, soumis à International
Journal of Solids and Structures
A. Gravouil, N. Moës, T. Belytschko, “Non-planar 3D crack growth by the extended finite element and level sets Part II: Level set update”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53, 2569-2586, 2002.
Propagation
Etapes de réactualisation des levels sets
1. Propagation des level set normale et
tangente
∂ϕ n (t )
+ ∇ϕ n (t ).VN = 0
∂t
∂ϕ t (t )
+ ∇ϕ t (t ).VT = 0
∂t
modifiée en:
(
)
= −(∇ϕ (t ).V )∆t
∆ϕ n = − ∇ϕ n (t ).VNM ∆ttot
∆ϕ t
t
2. Renormalisation de la level set normale
∂ϕ n
= − sign(ϕ n )( ∇ϕ n − 1)
∂τ
3. Orthogonalisation entre level set
normale et level set tangente
∂ϕ t
∇ϕ n
= − sign(ϕ n )
.∇ϕ t
∂τ
∇ϕ n
4. Renormalisation de la level set tangente
∂ϕ t
= − sign (ϕ t )( ∇ϕ t − 1)
∂τ
M
T
tot
Propagation
Etapes de réactualisation des levels sets
Mise à jour des LS
Réinitialisation
|Grad| = 0.5
Après 24 itérations
Réorthogonalisation
Test combiné
Itération 3
Itération 6
Itération 9
Principales références :
N. Moës, A. Gravouil, T. Belytschko, “Non-planar 3D crack growth by the extended finite element and level sets - Part I: Mechanical
model”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53, 2549-2568, 2002..
A. Gravouil, N. Moës, T. Belytschko, “Non-planar 3D crack growth by the extended finite element and level sets - Part II: Level set
update”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53, 2569-2586, 2002.
T. J. Barth, J. A. Sethian, “Numerical schemes for the Hamilton-Jacobi and Level set equations on triangulated domains”, Journal of
computational physics, 145, 1-40, 1998.
Itération 12
Itération 15
Itération 20
D. Colombo, P. Massin. Fast and robust level set update for 3D non-planar XFEM crack propagation modelling. Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, Vol. 200, Pages 2160-2180, 2011.
Propagation
1.1 Vitesse sur le front de fissure
Pour tous les points du front de fissure, on calcule :
VNP = (V P .n P )n P = VNP n P
VTP = (V P .t P )t P = VTP t P
V pest le vecteur vitesse de propagation du front de fissure et (t p , n p )sont
les vecteurs tangent à la fissure mais orthogonal au front de fissure et
normal à la fissure en pointe de fissure.
Propagation
1.2 Extension du champ de vitesse du
front au domaine

VNM = 0
si ϕ t ( M ) ≤ 0  M
P
V
=
V
T ∇ϕ t ( M )
 T
VNM = VNM n P
si ϕ t ( M ) > 0  M
P P
V
=
V
T t
 T
VNM = 0

V M = V P . ϕ t ( M )
N
 N
VTP ∆ttot
VTM = VTP
Actualisation de la
Level set tangente
si ϕ t ( M ) ≤ 0
si ϕ t ( M ) > 0
∀ϕ t ( M )
Actualisation de la
Level set normale
VNM = VNP
pour ϕ t ( M ) = VTP ∆ttot
Propagation
1.3 Projection sur le fond de fissure et
construction de la vitesse
Bases locales en fond de fissure. Utilisation des bases locales en I
et J, points d’intersection du fond de fissure avec les éléments
finis X-FEM pour déterminer la base locale en tout point P du
fond de fissure à l’intérieur de l’élément en utilisant la rotation
d’Euler θe (avec θP=s θe) qui permet de transformer la base
locale en I en la base locale en J. La vitesse de propagation est
connue seulement aux points I et J. La vitesse au point P est
calculée à partir de la vitesse en ces points.
s = IP / IJ
Principe: projection non linéaire de
tout point M sur le front
(
)
V P = V J − V I .s + V I
ϑP = (ϑJ − ϑI ).s + ϑI
La direction de propagation V P dans le plan (t p , n p ) est alors obtenue de manière similaire en
utilisant une interpolation linéaire entre les angles formés par les vecteurs (V I , t I ) et ( V J , t J ),
soient ϑΙ et ϑJ respectivement. La vitesse V Ps’exprime ainsi de la manière suivante:
[
V P = V P cos(ϑP )t P + sin (ϑP )n P
]
Propagation
1.4 Projection sur le fond de fissure et construction de la vitesse
Utilisation d’une méthode de dichotomie
Propagation
1.5 Résultats
Propagation à +89,9° d’une fissure
initialement plane en 3D. Le même
déplacement et le même angle de
déviation ont été imposés pour tous les
points de la fissure.
Propagation à ±60° le long d’une fissure plane
inclinée par rapport à l’éprouvette SEB. Sur
l’image a on voit l’iso zéro de la level set
normale. Sur l’image b on représente les
courbes de niveaux pour la level set normale.
Propagation
Réinitialisation et réorthogonalisation des
courbes de niveau
2. Renormalisation de la level set normale
∂ϕ n
= − sign(ϕ n )( ∇ϕ n − 1)
∂τ
Orthogonalité
ou
3. Orthogonalisation entre level set
normale et level set tangente
∂ϕ t
∇ϕ n
= − sign(ϕ n )
.∇ϕ t
∂τ
∇ϕ n
Distance
signée
4. Renormalisation de la level set tangente
∂ϕ t
= − sign (ϕ t )( ∇ϕ t − 1)
∂τ
Compatibilité orthogonalité –
distance signée établie sur le
front de fissure. On finit toujours
par la phase de renormalisation
pour obtenir une distance signée
Propagation
5. Traitement numérique des phases (2-4) par un schéma de
différences finies décentrées sur grille auxiliaire régulière
indépendante du maillage « mécanique »
Propagation
5.1 Méthode upwind grille auxiliaire : améliorations
Difficultés de mise en œuvre pour un algorithme de différence finie décentrée.
Les points en blanc peuvent être calculés alors que les points en gris et noir ne
sont pas calculables car l’information en amont dans la direction de u est
manquante. On remplace cette information par la « vraie » distance par rapport au
fond de fissure
Propagation
5.2 Méthode upwind grille auxiliaire : améliorations sur le
calcul de la distance à l’iso-zéro
Propagation de fissure bifurquée. Les points M1, M2 et M3 aux frontières sont des points
problématiques pour le schéma différence finie décentrée pour lesquels il faut imposer les
conditions aux limites via un mécanisme de projection. Si une projection directe sur un élément
de l’iso zéro de la courbe de niveau normale n’est pas trouvée, une technique de rabattement est
trouvée sur le plus proche voisin (ici pour les points M2 et M3).
Propagation
6. Techniques de localisation du domaine de calcul des
levels set
Le pourquoi du calcul d’une nouvelle level set:
• Localisation de la fissure pour modifier les enrichissements
éléments finis en pointe de fissure
• Détermination de la base locale en pointe de fissure
Propagation
6.1 Localisation du domaine de calcul des level set
Propagation
Initialisation dans le
domaine
blanc non grisé en
amont de la fissure
En gris domaine de calcul
des courbes de niveau
pour la propagation P1P2
Ω1 : Domaine de calcul
des courbes de niveau
avant la propagation
P1P2
Le domaine de validité de la réinitialisation dans le domaine
blanc non grisé en amont de la fissure
est valable dans le demi-plan grisé
Ce qui implique:
Propagation
Propagation
Propagation
7. Remarque clé sur la réactualisation des
courbes de niveau
∂ϕ n (t )
Pour un point M donné, l’évolution des levels sets
+ ∇ϕ n (t ).VN = 0
∂t
n’est due qu’aux seules contributions de la vitesse de
∂ϕ t (t )
transport depuis P, projection de M sur le front de
+ ∇ϕ t (t ).VT = 0
fissure, dans le plan (tp,np)
∂t
Réinitialisation/Réorthogonalisation
∂ϕls (t )
+ ∇ϕ ls (t ).u = c
∂t
Changements toujours dans le plan défini
par les gradients des level sets
Le problème 3D de la mise à jour peut toujours être ramené à un
problème 2D dans le plan (np,tp)
Propagation
7. Evolution vers une méthode purement
géométrique
OQ = OP + ∆a.t Q
ϕ n (M) = MQ.n Q
n Q = − sin βt P + cos βn P
ϕt (M) = MQ.t Q
t Q = cos βt P + sin βn P
Rmax = ∆amax . cos β max
Zone
ϕt ( M) < 0
exclue de la réactualisation
de
ϕ n ( M)
seulement
Rmax plus grand rayon
possible pour le
calcul de mécanique
de la rupture (pour
avoir des valeurs de
la level set normale
continues et la
propriété
d’orthogonalité
lsn/lst)
Propagation
7. Idée essentielle
•Front de fissure défini dans l’espace
comme une ligne courbe associée à une
base locale
•Tout point M de l’espace admet une
projection P non linéaire sur cette ligne
courbe (projection au sens large)
Propagation
7. Evolution vers une méthode purement
géométrique
OQ = OP + ∆a.t Q
ϕ n (M) = MQ.n Q
n Q = − sin βt P + cos βn P
ϕt (M) = MQ.t Q
t Q = cos βt P + sin βn P
Rmax = ∆amax . cos β max
Zone
ϕt ( M) < 0
exclue de la réactualisation
de
ϕ n ( M)
seulement
Rmax plus grand rayon
possible pour le
calcul de mécanique
de la rupture (pour
avoir des valeurs de
la level set normale
continues et la
propriété
d’orthogonalité
lsn/lst)
Propagation
Propagation 3D en mode I
Résultat Aster
Propagation
Exemple en mode mixte I + II + III
V. Lazarus, F.G. Buchholz, M. Fulland, J. Wiebesiek. Comparison of predictions by mode II or mode III critreria on crack front twisting in three
or four bending experiments. International Journal of Fracture, Vol. 153, pp. 141-151; 2008.
Propagation
Trajet de fissuration pour une fissure inclinée à 45° par rapport à l’axe d’une éprouvette en flexion 3
points. Sur l’image a), on voit l’éprouvette déformée avec un facteur d’amplification de 5 sur le
déplacement. Sur l’image b) on voit l’iso-zéro de la level set normale superposée au plan de la fissure
initiale, ce qui permet de bien visualiser le déversement de la fissure pour retrouver une sollicitation
en mode I.
Propagation
Fronts de fissure obtenus pour chaque pas de propagation. Les résultats (coupe verticale à gauche Y-Z et coupe
horizontale à droite X-Z) obtenus avec Code_Aster sont donnés en partie supérieure et ceux obtenus par [5] sont
donnés en partie inférieure. Sur la coupe horizontale de droite la fissure initialement à 45° reprend une orientation
à 90°.
[5] R.Citarella, F.-G.Buchholz, Comparison of crack growth simulation by DBEM and FEM for SEN-specimens
undergoing torsion or bending loading. Engineering Fracture Mechanics, Vol.75, Pages 489–509, 2008.
Conclusion-Perspectives
Travail sur la propagation de fissure (vers
plus de physique : approches locales
versus approches globales)
(Thèse de J.B. Esnault LaMSID/LMS)
Travail sur les éléments
cohésifs/interfaces X-FEM
(Thèse de G. Ferté LaMSID/ECN)
Conclusion-Perspectives
Quelques conclusions générales autour de X-FEM :
• Outil puissant mais assez impactant au niveau numérique
• Permet de retrouver des ordres de convergence optimaux, avec un
peu de travail
• Nécessite de développer des éléments spécifiques pour chaque
domaine d’application (statique, dynamique, modal, quadratique,
contact)
• Moins performant numériquement par rapport à des techniques
de remaillage avec optimisation si la situation le permet pour
exploiter les résultats en fond de fissure
Stagiaires
José-Alberto Munoz-Campos
Alexis Bloch
Jihane Aarab
Pascal Schumacher
Mathieu Pallis
Philippe Pereira
Wenjie Liu
Guilhem Ferté
Tanguy Mathieu
Dibakar Datta
Christophe Mansoulié
Axelle Caron
Anh Dung Khuong
Prabu Manoharan
Maximilien Siavelis
Brice Metge
Caroline Pernet
Damien Tourret
Franck Haziza
Nagiba Belkhir
Alexandre Lachaize
Roméo Fernandes
Tristan Delaporte
Ben Hadj Yedder
Neda Haghbayan
Les équipes
Thésards
Malek Zarroug
Chokri Zammali
Mohamed Torkhani
Samuel Géniaut
Maximilien Siavelis
Axelle Caron
Guilhem Ferté
Jean-Baptiste
Esnault
Marcel Ndeffo
Chercheurs et
ingénieurs
Hachmi Ben Dhia
Nicolas Moës
Martin Guiton
Jean-Michel Proix
Jacques Pellet
Samuel Géniaut
Mickaël Abbas
Thomas de Soza
Nicolas Tardieu
Ionel Nistor
Fabien Dumay
Daniele Colombo
Sylvain Mazet
André Jaubert
Alexandre Martin
The end
Merci pour votre attention
Parcours professionnel
• 1988-1991 : Magistère physique (LMD), option mécanique
•1991-1994 : Master/PhD en Aerospace Engineering sur la stabilité de
modèles géologiques. Application à la recherche pétrolière.
• 1995 : post-doc LMS, dernière année ENS
• 1996-2000 : Ingénieur chercheur à EDF R&D
• 2001-2003 : Chef de projet à EDF R&D, fissuration des rotors des tranches
900 Mwe, département AMV
• 2004-2005 : Chef du groupe modélisation en analyse dynamique des
structures (15 collaborateurs), département AMA
• 2006-2007: Chef du groupe outils d’analyse en mécanique (26
collaborateurs), département AMA
• depuis 2008 : Directeur du Laboratoire de Mécanique des Structures
Industrielles Durables (70 collaborateurs)
Activités de recherche
• 1991-1999 : stabilité de modèles élasto-visco-plastiques. 3 publications, 1
communication.
•1996-2002 : éléments de structures (plaques, coques, tuyaux). 1 publication, 3
communications, 5 encadrements de stage.
• 1998-2012 : contact-frottement et lois d’interface. 1 publication, 9
communications, 3 co-encadrements de thèse, 1 encadrement d’IR, 6
encadrements de stage.
• 2001-2012 : fatigue sous sollicitations combinées. 1 publication, 3
communications.
• 2003-2011: développement méthode X-FEM. 4 publications, 23
communications, 4 co-encadrements de thèse dont 2 en cours, 4 encadrements
de post-doc ou ingénieur de recherche, 13 encadrements de stage.
Activités d’enseignement
• 1990-1991 : cours de physique en classe prépa intégrée
• 1992-1994 : teacher assistant à l’université du Michigan en mécanique des
fluides et des structures
• depuis 2001 : maître de conférences à l’ensta au département de mécanique
Algorithme LBB
multiplicateurs de Lagrange:
cas P2-P1
λ8
λ1
λ9
λ2
λ10
λ11 =λ7
λ3
λ4
λ12
λ5
λ13 =λ7
λ6
λ7
11 ddls (6+5) indépendants en quadratique (idem ceux de la surface milieu si on
ne passe pas trop près d’un bord) : pour le P2-P1 tous les nœuds sont indépendants
sauf deux qui sont liés, pour chaque groupe d’arêtes non connectées entre elles
2 relations d’égalité en quadratique
L’arête portant la relation d’égalité donne son statut à ses nœuds sommet. Partant
de celle-ci les autres arêtes donnent leur statut au nœud sommet qui n’en a pas
encore
Algorithme LBB
cas P2-P1
λ8
λ1 =λ8
λ9
λ2 =λ8
λ10
λ11
λ3
λ4
λ12 =λ7
λ5
λ6
λ13 =λ7
λ7
9 ddls (5+4) indépendants en quadratique (idem ceux de la surface milieu si on ne
passe pas trop près d’un bord) : pour le P2-P1 tous les nœuds sont indépendants
sauf ceux pour lesquels l’interface passe trop près d’un bord. Dans ce cas toutes
les arêtes coupées près de ce bord portent le même multiplicateur. Si deux tels
groupes sont proches ils portent chacun un multiplicateur différent.
L’arête portant la relation d’égalité donne son statut à ses nœuds sommet. Partant
de celle-ci les autres arêtes donnent leur statut au nœud sommet qui n’en a pas
encore
Algorithme LBB
cas P2-P2
11 ddls (6+5+1) indépendants en quadratique (idem ceux de la surface milieu si
on ne passe pas trop près d’un bord) : pour le P2-P1 tous les nœuds sont
indépendants sauf deux qui sont liés, pour chaque groupe d’arêtes non connectées
entre elles
Chaque arête coupée communique son statut aux nœuds qui lui sont attitrés. Pour
les quad en 2D le statut aux points verts et celui au centre de l’élément sur
l’interface
Algorithme LBB
cas P2-P2
11 ddls (6+5+1) indépendants en quadratique (idem ceux de la surface milieu si
on ne passe pas trop près d’un bord) : pour le P2-P1 tous les nœuds sont
indépendants sauf deux qui sont liés, pour chaque groupe d’arêtes non connectées
entre elles
Chaque arête coupée communique son statut aux nœuds qui lui sont attitrés. Pour
les quad en 2D le statut aux points verts et celui au centre de l’élément sur
l’interface
Validation sur interface droite en contact non frottant:
comportement LBB en 2D pour une pression quadratique et effet
de la stabilisation sur le test inf-sup numérique
condition inf-sup numérique proposée par (Chapelle, 1993)
appliquée à de nombreuses formulations mixtes (Bathe, 2001) (El-Abbasi et al., 2001)
Test inf-sup numérique :
Plusieurs maillages de plus en plus
fins (h de plus en plus petit)
Si
βh
tend vers 0
non stable
β h = inf sup
λh ∈H h v∈V
h
h1 2
b(λh , vh )
λh H 0 ( Γ ) vh
c
H 1 ( Γc )
b ( u , λ ) = ∫ λ ⋅ [[u ]]d Γ c
Γc
K

A
AT   U   FU 
  =  
C   λ   Fλ 
La plus petite valeur propre non-nulle
−
1 T −1
A C A )U = µ 2 KU
(
h
µmin
est alors égale à
ou
βh
−
1
AK −1 AT ) U = µ 2CU
(
h
Exemple illustratif
Exemple illustratif: fissure
partiellement refermée en flexion
σ
solution sans contact
L
2a
L
KI < K
contact
I
K Icontact − K I
≈ 10%
K Icontact
2W
σ
W=5m
L = 10 m
a=1m
E = 106 MPa
ν=0
Solution avec contact
partiellement refermée en flexion
c
1
=−
a
3
[Thresher and Smith, 1973]
a  t −c 
2
=
t
dt
π ( a − c ) ∫c  a − t 
12
-a
c
a
K
ref
I
[Bui, 1978]
K IHEXA − K Iref
≈ 0.40%
ref
KI
c
= −0.324
a
( error ≈ 2.8% )
K IPENTA − K Iref
≈ 0.43%
K Iref
c
= −0.321
a
( error ≈ 3.7% )
Exemple illustratif: fissure droite
en contact frottant
2L = 1 m
B = 0.05 m
2a = 0.5 m
E = 1000 Pa
ν =0
σ V = 1 Pa
µ > tan (θ )
Exemple illustratif: fissure droite
en contact frottant
Pour chaque angle, la valeur tracée est la moyenne des valeurs obtenues le long de la fissure.
L’écart maximal à la moyenne est inférieur à 1%.
λ réf = −σ V cos 2 θ
R réf
= σ V sin θ cos θ
τ
Exemple illustratif: interface
courbe en contact frottant
Problème similaire, avec coefficient de frottement = 1
σV
σ H = 1 Pa
σ V = 2 Pa
σH
σH
σV
Exemple illustratif: interface
courbe en contact frottant
λ ref = −σ H cos 2 θ − σ V sin 2 θ
circulaire en flexion
Mbend = 1 N.m
E = 105 Pa
2b
ν = 0.3
a = 0.35 m
2a
b = 0.5 m
h=5m
y
z
crack
Mbend = 1 N.m
circulaire en flexion. Comparaison
des résultats FEM-XFEM
Computation of KI with
a « G-theta » method
with 4 different tores
closed area
X-FEM
Définition d’une level set jonction
lst2=0
lst1=0
lsn2=0
lsj2 =0
lsn1=0
lsn1=0
lst3=0
lsj3 =0 (lsn1=0 ∩ lsn2=0)
lsn3=0
Traitement du contact pour les intersections:
qualité des résultats sans prise en compte du
contact-frottement
p=1MPa
p=1MPa
•
•
Influence non négligeable de la zone centrale
(éléments enrichis plusieurs fois sans contact)
qui diminue avec le raffinement
Convergence vers la solution analytique
Traitement du contact pour les intersections
– Contact dans les intersections (petits puis grands
glissements)
Réflexion sur interpolation (P0 ou P1) des réactions de
contact
Exemples
Graben avec jonction de failles
Maillage et surfaces de failles
Test cinématique en ouverture
2
3
1
• Extension (10 %), sans frottement, contact glissière sans frottement,
• Hyperélastique, E = 1 GPa, ν = 0.3
6 km
• Traction dans l'extrados avec glissement sur F1
• Transmission de la contrainte normale à travers F3
• Pas de contact dans les éléments enrichis par plusieurs failles
• Décollement ponctuel dû à l'approche maître/esclave
Modèle numérique
de la plaque trouée
P_y
P_x
θ
α
R
P_y
ν=0
P_x
Convergence de l’erreur en pression de
contact
Pression de contact distribuée le long de la surface
esclave sur maillage régulier 40x40 : en bleu
quadrangles linéaires, en rouge quadrangles
quadratiques.
La norme L2 de l'erreur en pression de contact distribuée le long
de la surface esclave pour trois maillages (rond=20x20,
carré=40x40, étoile=80x80) : en bleu quadrangles linéaires, en
rouge quadrangles quadratiques.
Propagation
tangente
Si on connaît les vitesses de propagation normale et tangente au front de fissure
VN et VT, définies sur tout l’espace, l’évolution des level sets est décrite par:
A. Gravouil, N. Moës, T. Belytschko, “Non-planar 3D crack growth by the extended finite element and level sets - Part II:
Level set update”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53, 2569-2586, 2002.
Propagation
tangente
M. Duflot. A study of the representation of cracks with level sets. International Journal for Numerical
Methods in Engineering, Vol.70, Pages 1261-1302, 2007.
Propagation
tangente
∂ϕ n (t )
+ ∇ϕ n (t ).VN = 0
∂t
∂ϕ t (t )
+ ∇ϕ t (t ).VT = 0
∂t
modifiée en:
(
)
= −(∇ϕ (t ).V )∆t
∆ϕ n = − ∇ϕ n (t ).VNM ∆ttot
∆ϕ t
t
M
T
tot
Propagation
5. Méthode différence finie décentrée sur grille auxiliaire

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