Exercice 3 : Calcul de l`intégrale de Wallis : In = /

Exercice 3 : Calcul de l’intégrale de Wallis :
In =
Z
π
2
cosn (t)dt
0
Pour tout entier naturel n on pose In =
Z
π
2
cosn (t)dt.
0
1. I0 =
Z
0
π
2
π
dt. ⇒ I0 =
et I1 .
2
cosn (t)
Z
0
π
2
π
cos(t)dt = [sin(t)]02 ⇒ I1 = 1
2. L’astuce est d’écrire
= cos(t) × cosn−1 (t) et de poser u = cosn−1 (t) et v0 = cos(t).
½
Z π
£
¤ π2
2
u = cosn−1 (t) ⇒ u0 = − (n − 1) sin(t) cosn−2 (t)
n−1
⇒ In = sin(t) cos (t) 0 + (n − 1)
sin2 (t) cosn−2 (t)dt
v 0 = cos(t) ⇒ v = sin(t)
0
Z π
¤ π2
£
2
n−1
sin2 (t) cosn−2 (t)dt
Avec sin(t) cos (t) 0 = 0 donc In = (n − 1)
0
2
En remarquant que sin (t) =
1 − cos2 t
, il vient In = (n − 1)
C’est à dire In = (n − 1) In−2 − (n − 1) In ⇒ In =
3. L’idée consiste à écrire p égalités : I2 =
Z
π
2
n−2
cos
0
(t)dt − (n − 1)
Z
π
2
cosn (t)dt
0
n−1
× In−2 . (♣)
n
2−1
4−1
2p − 1
× I0 , I4 =
× I2 , · · · , I2p =
× I2p−2 .
2
4
2p
1 × 3 × · · · × (2p − 1)
× I0 d’où le résultat.
2 × 4 × · · · × 2p
Mais quand un tel raisonnement est possible, il est toujours préférable de faire un raisonnement par récurrence.
En multipliant membre à membre, il rest I2p =
Soit Pp la propriété : I2p =
1 × 3 × · · · × (2p − 1) π
× (♠)
2 × 4 × · · · × 2p
2
— La propriété est évidemment vraie pour p = 1 car d’après (♣) I2 =
π
— et d’après (♠) I2 = D’où l’égalité.
4
1 × 3 × · · · × (2p − 1) π
— Supposons Pp vraie. Alors I2p =
×
2 × 4 × · · · × 2p
2
Alors I2p+2 =
2−1
1 π
× I0 = ×
2
2 2
2p + 2 − 1
2p + 1 1 × 3 × · · · × (2p − 1) π
× I2p ⇒ I2p+2 =
×
2p + 2
2 (p + 1) 2 × 4 × · · · × 2p
2
Donc I2(p+1) =
1 × 3 × · · · × (2p − 1) × (2p + 1) π
×
2 × 4 × · · · × 2p × (2p + 2)
2
Qui prouve que Pp+1 est encore vraie.
1 × 3 × · · · × (2p − 1) π
× est vraie pour p = 1
2 × 4 × · · · × 2p
2
la supposant vraie à l’ordre p, on démontre qu’elle l’est encore à l’ordre p + 1.
Elle est donc vraie pour tout p ≥ 1
La propriété Pp : I2p =
La démonstration est la même pour I2p+1
1
4. Là encore, l’idée n’est première n’est pas une démonstration.
On remarque que chacun des termes du produit 2 × 4 × · · · × 2p. est un multiple de 2.
2 se trouve donc p fois dans ce produit d’ou le 2p en facteur. Un fois cette factorisation faite, il rest p!. C’est bien
joli tout ça, mais ce n’est pas un démonstration.
Là encore un récurrence s’impose. :
Soit (Pp ) : I2p =
(2p)!
22p (p!)2
×
π
2
— Initialisation : Pour p = 0, I0 =
(2p)!
π
π
π
et
2 × 2 = 1 × 2 . Ainsi P0 est vraie.
2p
2
2 (p!)
— Supposons Pp vraie. Alors I2p =
(2p)!
(2p)!
π
2p + 2 − 1
2p + 1
π
× I2p ⇒ I2p+2 =
×
× et I2p+2 =
×
2
2
2
2p + 2
2p + 2 22p (p!)
2
22p (p!)
Donc, en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2p + 2, on obtient :
I2p+2 =
— ⇒ I2p+2 =
(2p + 1) (2p + 2)
(2p)!
π
2
2
2
×
2
2 × 2 Or (2p + 2) = 2 (p + 1)
2p
(2p + 2)
2 (p!)
(2p + 2)!
π
(2 (p + 1))!
π
2
2 × 2 ⇒ I2(p+1) =
2 × 2 qui prouve que Pp+1 vraie.
2p+2
2(p+1)
(p + 1) × 2
(p!)
×2
((p + 1)!)
(2p)!
π
× est vraie pour p = 1
2
2
22p (p!)
la supposant vraie à l’ordre p, on démontre qu’elle l’est encore à l’ordre p + 1.
Elle est donc vraie pour tout p ≥ 1
La propriété Pp : I2p =
Le même type de raisonnement permet de conclure pour I2p+1
2