Analyse de Fourier des Signaux

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
Séance 4 :
Troisième Bimestre 2000/2001
6 octobre 2000
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Formules du Jour ............................................... 2
Quelques Exercices en Transformées de Fourier .......... 3
Transformée de FOURIER du Cosinus ......................................4
Transformée de FOURIER du Sinus..........................................5
Transformée de FOURIER du delta...........................................6
Sinus Cardinale - La Transformée Rect(t)..................................7
La Sinus Cardinale pour une function discrèt.............. 9
Idempotence du Sinus Cardinale avec Convolution......................11
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
Formules du Jour
1) L'exponentielle Complexe est une angle dans la plane complexe
ejπ=
-1
ejωt = Cos(ωt) + j Sin(ω t)
ejπ/4 = 0.707 + j .707
ejπ/2 = 0 + j
ej3π/4 = –0.707 + j .707
ejπ = –1 + j 0
2) L'exponentielle Complexe est une décallage en temps.
ejωt ejα = ej(ωt+α) = Cos(ωt + α) + j Sin(ω t + α)
3) Sinus Cardinale :
{rect(t)} =
Sin(πf)
≡ Sinc(f)
πf
4-2
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
Quelques Exercices en Transformée de Fourier
1) Soit dk(n) = δ(n–k) pour k = [0, 15]. Quelle est sa transformée de Fourier ?
Donnez Dk(ω) en forme réele et imaginaire, et en forme module et phase.
Re{Dk(ω)}, Im{Dk(ω)}, || Dk(ω) ||, ϕ{ D k(ω)}.
Réponse :
k= 0
∞
∑
δ(n) e–jωn = e–jω0 = Cos(0) + j Sin(0) =1
n=–∞
Re{Do(ω)} = 1, Im{Do(ω)} = 0, || Do(ω) || = 1 ϕ{ D o(ω)} = 0.
d0(n) = δ(n)
Do(ω) =
∞
k= 1
∑
δ(n–1) e–jωn = e–jω = Cos(ω) + j Sin(ω)
n=–∞
Re{D1(ω)} =Cos(ω), Im{D1(ω)} = Sin(ω), || D1(ω) || = 1
Sin(ω)
ϕ{ D 1(ω)} = Tan–1{Cos(ω)} = ω.
D1(ω) =
∞
k= 2
∑
δ(n–2) e–jωn = e–jω2 = Cos(2ω) + j Sin(2ω)
n=–∞
Re{D2(ω)} =Cos(ω), Im{D2(ω)} = Sin(ω), || D2(ω) || = 1
Sin(ω)
ϕ{ D 2(ω)} = Tan–1{Cos(ω)} = 2ω.
D2(ω) =
∞
∑
δ(n–k) e–jωn = e–jωk = Cos(kω) + j Sin(kω)
n=–∞
Re{Dk(ω)} =Cos(kω), Im{Dk(ω)} = Sin(kω), || Dk(ω) || = 1
Sin(kω)
ϕ{ D k(ω)} = Tan–1{Cos(kω)} = kω.
en génerale : D2(ω) =
|| D k(ω)||
ϕ{Dk(ω)}
1
kω
ω
ω
4-3
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
Transformée de FOURIER du Cosinus
Déterminer
{ Cos(ω o t) }
Réponse :
La Transformée d'un cosinus de fréquence ω o est une somme de 2 impulsions en
ω o et −ω o:
car
Cos(ω 0t) =
ejω 0t + e -jω 0t
=>
2
1
{ Cos(ω o t) } = 2
{ e jω 0t + e -jω 0t }
∞
1
= 2 ∫ [ e jω 0t + e -jω 0t ] e -jωt dt
–∞
∞
∞
1
= 2 [ ∫ e –jt(ω–ω 0) dt + ∫ e –jt(ω+ω 0) dt
–∞
–∞
1
1
1
–jt(ω–ω 0) ∞
–jt(ω+ω 0) ∞
= 2
e
–∞
–∞
–j(ω–ω 0)
–j(ω+ω 0) e
[
1
= 2
] +[
]
[δ(ω - ω o) + δ(ω + ω o) ]
Cos(ωot)
−δ(ω + ωo)
R
δ(ω − ωo)
0
ω0
ω
−ω 0
ω
4-4
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
Transformée de FOURIER du Sinus
Déterminer
{ Sin(ω o t) }
Réponse :
La Transformée d'un sinus de fréquence ω o
1
Sin(ω 0t) = 2j [ejω 0t - e-jω 0t ] =>
∞
1
{ Sin(ω o t) }
= ⌠
 2j [ e jω 0t – e -jω 0t ] e -jωt dt
⌡
–∞
∞
∞
1
=
∫ e jω 0t e -jωt dt – ∫ e -jω 0t e -jωt dt]
2j [ –∞
–∞
1
= 2j
[δ(ω - ω o) – δ(ω + ω o) ]
Im{}
Sin(ωot)
−ω0
t
0
ω0
ω
d'où la notion de fréquence négative qui n'a de sens que pour représenter des
signaux réels dans l'espace fréquence :
4-5
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
Transformée de FOURIER du delta
{ δ(t) } = 1 et
Démontre que
–1{
δ(ω) }
=1
Transformée de FOURIER du signal delta :
∞
a)
{ δ(t) } =
δ(t) e–jωt dt = e–jω0 = Cos (0) + j Sin (0) = 1.
–∞
∫
1
•
ω
t
b)
–1{
δ(ω) }
∞
=
δ(ω)
∫
–∞
ejωt
dω =
1
ejt0
= Cos (0) + j Sin (0) = 1.
•
t
ω
4-6
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
Sinus Cardinale - La Transformée Rect(t)
Calculer
{rect(t)}
Reponse :
Rappel que
ex – e–x = 2j sin(x)
1/2
⌠
{rect(t)} = ⌡
–1/2
e–jωtdt =
1
jω
[ejω/2– e–jω/2] = sin(ω/2)
ω/2
=
Sin(πf)
πf
Sinc(f)
ω
Sinc( 2π) si ω = 2πf
ou bien
Sin(πf)
≡ Sinc(f)
πf
{rect(t)} =
sinc(f) = sin(πf)
πf
rect(t)
t
–1
2
f
1
2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Variations :
T
t
{rect(2T )} =
⌠
⌡
e–jωtdt =jω1 [ejωT– e–jωT]
–T
1
= jω 2j sin(ωT) = 2 Sinc (2Tf)
T/2
t
{rect(T )}
⌠ –jωt
1 jωT/2 –jωT/2
= ⌡ e dt = jω e
–e
–T/2
2j
= jω sin(ωT/2) = Sinc(T f)
[
]
4-7
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
sinc(ωΤ/2)
rect(t/T)
1
T
–T
2
ω
t
4
2πT
T
2
3
2
2πT 2πT
1
2πT
1
2πT
2
3
2πT 2πT
et par symétrie :
1/2
1
ƒ–1{ rect(f) } = 2π
e
∫
–1/2
1 1
df = 2π 2πjt
j2πft
[ejπt– e–jπt]= 2π1
sin(πt)
1
=
πt
2π Sinc(t)
4-8
4
2πT
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
La Sinus Cardinale pour une function discrèt
wN(n) est une fenêtre rectangulaire ou fonction de porte (parfois appellé rectN(n))
 1

 0
wN(n)
N–1
WN(ω) =
∑
0≤n<N
n < 0 et n ≥ N
w N(n) e–jωn =
n=0
N–1
∑
e–jωn
n=0
N–1
=
∑
(e–jω )n
n=0
afin de simplifier l'agebre, on substitu : z = e–jω
N–1
il nous faut identité :
∑
n=0
zn =
zN – 1
z – 1
4-9
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
N–1
∑
Demonstration :
Séance 4
z n = ( 1 + z1 + z 2 + ...zN–1)
n=0
N–1
(
z
∑
)
zn
= z( 1 + z1 + z 2 + ...zN–1) = (z1 + z 2 + ...+zN–1 + zN)
n=0
donc
N–1
∑
zn – z
n=0
(1–z)
(
N–1
∑
)
z n = ( 1 + z1 + z 2 + ...zN–1) – (z 1 + z 2 + ...+zN–1 + zN)
n=0
(
N–1
∑
)
z n = (1 – zN)
n=0
N–1
∑
donc
n=0
zn =
1 – zN
1 – z
avec
WN(z) =
donc pour z
1 – zN
1 – z
zN/2 (z–N/2 – z N/2)
(z–N/2 – z N/2)
= z 1/2
= z(N–1)/2
(z–1/2 – z 1/2)
(z–1/2 – z 1/2)
= e–jω = e–j2πf
(e–j2πnfN/2 – ej2πnfN/2)
–jπ
(N-1)
f
WN(f) = e
(e–j2πnf/2 – ej2πnf/2 )
=
e–jπ f(N–1)/2
sin(πfN)
sin(πf)
ou bien
WN(ω) =
e–jω(N–1)/4
sin(ωN/2)
sin(ω/2)
Il s’agit de l’équivalent discrète à sinc(πf) avec un decallage de
(N–1)
2
4-10
Quelques Exercices en Transformées de Fourier
Séance 4
Si on avez définit w(n) avec un nombre impaire de coefficients, centré sur zéro :
 1

 0
wN(n)
–N/2 ≤ n < N/2
ailleur
puis :
(e–j2πnfN/2 – ej2πnfN/2)
WN(f) =
(e–j2πnf/2 – ej2πnf/2 )
=
sin(πfN)
sin(πf)
0
Idempotence avec Convolution du Sinus Cardinale
Le fait de limiter un signal à N échantillons est équivalent de multiplier par wN(n).
wN(n) est idempotent sur tout séquence numérique non-null sur [0, N–1]
x(n) = x(n)
. wN(n)
en domaine Fourier :
{ x(n)
. wN(n)} =
X(ω)
* WN(ω).
La spectre X(ω) de tout signal de duration fini, x(n), est convoluée par WN(ω).
4-11