Communication M. BOUTABAA CFM2009
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19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 Etude de l’établissement de l’écoulement principal d’un fluide viscoélastique dans une conduite courbe de section carrée M. BOUTABAAa, G. MOMPEANb, A. BOUNIFc a. Département de Mécanique, Université de Chlef, BP 151 Hay Es-Salem 02000 Chlef (Algérie). b. Laboratoire de Mécanique de Lille, UMR-CNRS 8107, Polytech’Lille, Cité Scientifique ,59655 (France). c. Laboratoire de Combustibles Gazeux et Environnement, UST Oran (Algérie). Résumé : Le travail présenté consiste à simuler en 3-D l’écoulement non établi d’un fluide viscoélastique de PhanThien-Tanner s’écoulant dans une conduite courbe en U (180°) de section carrée, les simulations produites pour des nombres de Dean allant de 50 à 300 mettent en évidence l’influence des forces d’inertie et des forces centrifuges sur le développement de l’écoulement principal et montrent la présence de zones de stabilité intermédiaires le long de la conduite courbe. Abstract : The present work is devoted to the 3-D numerical simulation of developing flow of a Phan-Thien-Tanner viscoelastic fluid, through a curved duct of square cross-section. The numerical simulations produced for Dean numbers from 50 to 300 show clearly the influence of centrifugal and inertial forces on the development of streamwise flow and the presence of an intermediate stability zones along the curved part. Mots clefs : Fluides viscoélastique, modèle PPT, écoulement non établis, conduite courbe, section carrée 1 Introduction Les écoulements dans les conduites courbes sont présents dans les applications industrielles diverses tels que les échangeurs de chaleur, les systèmes de refroidissement et de chauffe des turbines à gaz et les chambres de combustion, les réacteurs chimiques et les systèmes de mélange. L’importance de ces écoulements réside dans la présence d’écoulements secondaires qui favorisent nettement les taux d’échange et de transfert de masse, de chaleur, de quantité de mouvement et de mélange. Dean [1] fut le premier à étudier les instabilités dues aux courbures des lignes de courant d’un écoulement pleinement développé d’un fluide newtonien, il a montré qu’au delà d’une valeur critique du nombre de Dean ( Dn = Re ( a / Rc )1/ 2 où Re est le nombre de Reynolds, a une dimension caractéristique de la conduite et Rc le rayon de courbure moyenne de la conduite), des cellules contrarotatives appelés vortex de Dean apparaissent au sein de l’écoulement à proximité de la paroi externe de la conduite courbe. La première analyse théorique montrant l’existence des écoulements secondaires dans les conduites courbes à section rectangulaires a été faite par Ito [2] et Cuming [3] Des travaux numériques et expérimentaux tels ceux de Joseph et al. [4], Cheng et al. [5], Winters [6] ont porté sur la présence des vortex habituels et les vortex additionnels, les conditions de passage du régime à deux cellules vortex au régime à quatre vortex de Dean et l’existence des solutions multiples (Co existence du régime à deux vortex et du régime à quatre vortex pour le même nombre de Dean). Les études concernant les écoulements laminaires non établis sont relativement peu nombreuses comparées aux études consacrées aux écoulements pleinement développées, on peut citer dans cette catégorie les travaux de Ghia et Sohkey [7], Hill et al. [8], Soh [9], Bara et al. Plusieurs études sur les écoulements de Dean en non newtoniens ont été faites, nous citons a titre d’exemple Joo et Shaqfeh [10] qui ont montré que les écoulements secondaires apparaissent même en absence d’inertie, 1 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 c'est-à-dire pour des nombres de Dean très petits (instabilités purement élastiques), d’autres travaux ont porté sur des fluides de Bingham et en loi de puissance [11], de fluide de Reiner-Rivlin [12] et des fluides d’Oldroyd-B [13]. La présente étude s’inscrit dans le cadre des écoulements non établis des fluides non-Newtoniens, l’objectif est d’explorer numériquement le développement de l’écoulement d’un fluide de Phan-Thien-Tanner s’écoulant dans une conduite en U de section carrée, notre attention sera axée sur l’évolution de la vitesse axiale le long de la partie courbe de la conduite, la méthode des volumes finis est ici adoptée et les équations de conservation sont écrites en coordonnées orthogonales généralisées sur un maillage décalé. Le rayon de courbure moyenne est fixé a Rc = 18,5 , les nombres de Dean allant de 50 à 300 ( rappelons que le nombre de Dean représente le rapport des forces d’inertie aux forces centrifuges), le nombre de Deborah De = λU / a est fixé à 0,3 et les rapports des viscosités newtonienne et polymérique est η s / (η s + η p ) = 1/ 9 ( λ représente le temps de relaxation du fluide considéré et U la vitesse débitante). 2 Les équations gouvernantes Nous considérons dans cette étude l’écoulement laminaire isotherme tridimensionnel d’un fluide viscoélastique incompressible, le problème est régit par les équations habituelles a savoir les équations de conservation de masse et d quantité de mouvement et la loi de comportement du fluide PTT qui relie le tenseur des contraintes au tenseur dynamique. 2.1 Les équations en coordonnées cartésiennes Equation de conservation de masse ∇. u = 0 (1) Où u est le vecteur vitesse et ∇ l’opérateur gradient Equation de conservation de quantité de mouvement ρ ( Du/Dt ) = ∇(− pI + 2η s S + τ ) (2) D / Dt est la dérivée matérielle, ρ est la masse volumique du fluide, p la pression, I la matrice identité, ηs la viscosité newtonienne du solvant, τ la contribution polymérique ou non newtonienne dans le tenseur des extra-contraintes, et S = 1/ 2(∇u + ∇uT ) le tenseur symétrique des taux de déformation. Equation constitutive du modèle de Phan-Thien-Tanner f ({τ })τ + λ ( Dτ/ Dt − τ∇u − ∇utτ ) = 2η p S (3) Dans la présente étude on a utilisé la formulation non linéaire [14] où la fonction f est définie par f ({τ }) = exp((ελ / η p ) {τ }) (4) η p représente la viscosité polymérique, {τ } la trace de τ , λ le temps de relaxation et ε est un paramètre caractérisant le comportement élongationnel du modèle. (Notons que dans le cas où ε est nul le modèle PTT se réduit au modèle d’Oldroyd-B) 2.2 Les équations en coordonnées orthogonales généralisées L’utilisation des coordonnées orthogonales généralisées est d’un intérêt certain pour simuler les écoulements évoluant dans des géométries présentant des frontières courbes ou aigues. Cette méthode a été utilisée par de nombreux auteurs tels que Pope [15], Magnaudet et al. [16]. Nous utilisons cette technique pour simuler l’écoulement du fluide viscoélastique dans la conduite courbe à 180°. Les équations (1), (2) et (3) sont réécrites en fonction des coordonnées orthogonales généralisées ψ 1 = ψ 1 ( x1 , x2 ) , ψ 2 = ψ 2 ( x1 , x2 ) et ψ 3 = x3 , ( x1 , x2 , x3 sont les coordonnées cartésiennes). 2 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 En adoptant les coordonnées orthogonales généralisées les équations du problème s’écrivent comme suit : Equation de conservation de la masse ∑ ∇. (i ) (Vi ) = 0 (5) i Où Vi est le champ des vitesses contravariantes physiques et ∑ ∇. (i ) l’opérateur de divergence généralisé. i Equation de conservation de la quantité de mouvement ∂ ( ρV j ) ∂t + ∑ ∇.(i ) ( ρVV i j − Tij ) = − i ∂p j − ∑ H ij (ρVV i j − Tij ) + ∑ H i ( ρVV i i − Tii ) ∂ξ j i i (6) Où Tij = τ ij + 2η s Sij est la somme des composantes physiques du tenseur polymérique τ ij et des composantes des tensions newtoniennes exprimées en coordonnées orthogonales généralisées. H i j représentent les facteurs d’étirement qui sont définis à partir de la matrice Jacobienne de la transformation des coordonnées xi → ψ i et ∂ξ j les variations des longueurs physiques curvilignes. Equation constitutive du fluide de Phan-Thien-Tanner L’équation du fluide de Phan-Thien-Tanner (PTT) en coordonnées orthogonales généralisées résulte de la transformation du tenseur du 2ème ordre provenant de l’advection du tenseur τ , elle s’exprime comme suit : ∂τ ij + ∑ ∇.( k ) (Vkτ ij ) − ∑ H kiVkτ kj + ∑ H ikViτ kj k k k f ({τ ij })τ ij + λ ∂t = 2η p Sij −∑ H kjVkτ ik + ∑ H kj V jτ ik − ∑ Likτ kj − ∑ L jkτ ki k k k k Avec Lij les composantes de l’opérateur du gradient de vitesse généralisé. 3 (7) La méthode numérique 3.1 Discrétisation spatiale La méthode des volumes finis avec un maillage décalé est utilisée pour discrétiser les équations de conservation de masse et de quantité de mouvement et l’équation constitutive de PTT. La pression et les composantes normales du tenseur des contraintes viscoélastiques sont évaluées aux centres des volumes de contrôle, les vitesses sont stockées et calculées aux centres des faces du volume de contrôle, les composantes de cisaillement du tenseur des contraintes viscoélastiques sont stockées aux milieux des arêtes du volumes de contrôle. Les termes de diffusion des équations de quantité de mouvement sont calculés par un schéma de différences centrées du second ordre, les termes non linéaires (flux convectifs) des équations de quantité de mouvement et les termes d’advection de l’équation constitutive de PTT sont évalués par le schéma QUICK proposé par Leonard [17], pour améliorer la stabilité numérique des calculs nous avons utilisé l’algorithme EVSS (Elastic Viscous Split Stress) développé par Rajagopalan et al. [18]. 3.2 Discrétisation temporelle La procédure de découplage de la pression utilisée découle de l’algorithme « Marker and Cell » de Harlow et Welch [19]. Le système linéaire symétrique obtenu pour la pression est résolu par la méthode de Choleski. 3.3 Géométrie, maillage et conditions aux limites La conduite d’écoulement présentée sur la FIG. 1, est divisée en trois partie, (i) un canal droit à l’entrée de longueur Le = 10a , (ii) un canal courbé à 180° de rayon intérieur R1 = 18a et de rayon extérieur R2 = 19a , (iii) un canal droit à la sortie semblable à celui de l’entrée de longueur Le = 10a . La section d’écoulement est carrée de coté a . 3 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 Non glissement Le =10a Parois latérales Entrée I Condition de symétrie R2 =19a X2 O X1 R1=18a K J a/2 a =1 θ Non glissement Paroi interne Sortie Paroi externe Le =10a FIG. 1- Géométrie de la conduite d’écoulement et les conditions aux limites Un maillage non uniforme est utilisé : 95 nœuds dans la direction de l’écoulement principal (maillage cartésien de 10 nœuds sur chacun des tronçons droits de sortie et d’entrée, un maillage polaire uniforme de 75 nœuds sur la partie courbe de la conduite), le maillage transversal (sur la section d’écoulement) est composé de J =16 nœuds sur la largeur et K=31 nœuds sur la hauteur. Un profil de Poiseuille est imposé pour la vitesse u à l’entrée et à la sortie de la conduite. Et comme mentionné sur la fig. 1, la condition de non glissement est imposée sur les parois, et une condition de symétrie est utilisée le long du plan médian de la conduite. 4 Résultats La définition largement utilisée pour définir la longueur d’établissement de l’écoulement est la longueur nécessaire pour que l’écoulement requiert une stabilité et une invariance axiale, dans cette perspective, on a représenter la valeur de la vitesse axiale maximale et la position du maximum de la vitesse axiale en fonction de la position angulaire, c'est-à-dire le long de la partie courbe de la conduite pour les nombres de Dean allant de 50 à 300. Les figures 2 et 3, montrent clairement qu’aux nombres de Dean relativement faible l’écoulement principal s’établit vite et au delà de la longueur d’établissement l’écoulement principal devient très stable, ceci est due à la stabilisation de l’écoulement secondaire (dans ce cas l’écoulement secondaire est caractérisé par la présence de deux vortex de Dean stables le long de la conduite courbe). En effet, la valeur de la vitesse maximale se stabilise à la position angulaire 50° pour le nombre de Dean Dn=50 et à la position angulaire 80° pour le nombre de Dean Dn=100. Par contre le maximum de la vitesse axiale se positionne à 0,8a à partir de la paroi interne de la conduite courbe, mais relativement vite pour Dn=50 que pour Dn=100 (à la position angulaire 30° pour Dn=50 et à la position angulaire 50° pour Dn=100). La figure 4 montre, qu’aux nombres de Dean relativement élevés (Dn > 100) l’écoulement principal est très perturbé, en effet pour tout les nomdre de Dean (Dn=150 à Dn=300) on observe un début d’établissement de la vitesse axiale maximale à la position angulaire 50°, puis se déstabilise aussi tôt et se stabilise de nouveau à une position angulaire située entre 150° et 160°. Les courbes représentant la position du maximum de la vitesse axiale de l’écoulement principal (figure 5) ne captent pas le premier palier de stabilisation mais elles font apparaître le deuxième palier de stabilisation en amont de la sortie de la conduite courbe. 4 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 FIG. 2 – Valeurs de la vitesse axiale maximale FIG. 3 – Position du maximum de la vitesse axiale dans le plan de symétrie de la conduite pour dans le plan de symétrie de la conduite pour Dn=50 et 100 en fonction de la position angulaire Dn=50 et 100 en fonction de la position angulaire . . FIG. 2 – Valeurs de la vitesse axiale maximale FIG. 3 – Position du maximum de la vitesse axiale dans le plan de symétrie de la conduite pour dans le plan de symétrie de la conduite pour Dn=150, 200, 250 et 300 en fonction de Dn=150, 200, 250 et 300 en fonction de la position angulaire la position angulaire 5 19ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 Références [1] W. R. Dean, Fluid motion in a curved channel, Proc. R. Soc. Lond. A121, 402-420, 1928. [2] H. Ito, Theory on laminar flow through curved pipes of elliptic and rectangular cross-section, Rep. Inst. High Speed Mech., Tohoku Univ. Sendai Japan, Vol. 1, pp 1-16, 1951. [3] H. G. Cuming, The secondary flow in curved pipes, Aeronaut. Res. Counc. Rep. Mem. No 2880, 1952. [4] B. Joseph, E. P. Smith, R. J. Adler, Numerical treatment of laminar flow in helically coiled tubes of square cross-section, Part 1, Stationary helically coiled tubes, AIChE J. 21, 965-974, 1975. [5] K. C. Cheng, F. P. 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