Résumé de la méthode de Simpson et de la méthode des fractions

MAT-115
HIV-2002
Méthode de Simpson
On veut estimer
b
∫a
f ( x) dx à l’aide de cette méthode numérique. On commence par subdiviser
l’intervalle [ a, b ] en un nombre pair n de sous-intervalles.
b−a
et considérez les points x0 = a x1 = a + h x2 = a + 2h ! xn = a + nh = b
n
La formule de Simpson dit que :
b
h
∫a f ( x) dx ≈ 3 [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + 2 f ( x4 ) + ! + 4 f ( xn−1 ) + f ( xn )]
Posez h =
Méthode de décomposition en fractions partielles
P( x)
( où P( x) et Q( x) sont deux
Q( x)
polynômes) en une somme de termes plus simples à manipuler.
Objectif : décomposer une fonction rationnelle du type
1- S’assurer que la fraction est propre, c’est-à-dire que le degré de P ( x) est inférieur au degré de
Q( x) . Si ce n’est pas le cas, il faut effectuer la division (voir exemple 8, page 370). Vous
pouvez utiliser la commande « propFrac » du menu F2 de votre calculatrice pour faire cette
opération.
2- Il faut ensuite s’assurer que le dénominateur Q ( x) est complètement factorisé par rapport aux
nombres réels. Cela signifie que Q( x) sera composé de termes linéaires, du type (ax + b) n
correspondant à une racine réelle et/ou de termes quadratiques irréductibles, du type
(cx 2 + dx + e) n correspondant à deux racines complexes conjuguées.
3- Pour chaque facteur linéaire, du type (ax + b)n , on doit poser :
An
A1
A2
+
+! +
2
(ax + b) (ax + b)
(ax + b) n
4- Pour chaque facteur quadratique irréductible, du type (cx 2 + dx + e) n , on doit poser :
Bn x + Cn
B1 x + C1
B2 x + C2
!
+
+
+
(cx 2 + dx + e) (cx 2 + dx + e)2
(cx 2 + dx + e)n
Remarque : en général, n dépasse rarement la valeur 2, cela simplifie les formules.
Exemples :
A
B
C
2x + 7
=
+
+
où A, B et C sont des constantes à déterminer.
a)
2
( x + 5) ( x + 3) ( x + 3) 2
( x + 5)( x + 3)
Ax + B
C
D
3x 2 + 5
3x 2 + 5
=
= 2
+
+
2
2
2
( x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x + 2)( x − 2) x + 4 ( x + 2) ( x − 2)
Les valeurs des coefficients A, B, C, ... peuvent se trouver en remettant la partie droite sur le même
dénominateur commun qu’à gauche et en effectuant les calculs nécessaires pour obtenir un
système d’équations en comparant les puissances de la variable x des deux numérateurs. Vous
pouvez également utiliser la commande « expand » du menu F2 de votre calculatrice.
b)
02-03-13
G. P.