1 Rappels de cours 2 Méthodes et exemples
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1 Rappels de cours 2 Méthodes et exemples
Niveau : 1e Fiche méthode : comment montrer qu’une suite est géométrique F. Demoulin 1 Rappels de cours Définition 1.1 Une suite (un ) est dite géométrique s’il existe un réel q tel que, pour tout n de N, on ait : un+1 = qun . Le réel q est appelé la raison de la suite (un ). Le mode de génération des termes d’une suite géométrique est simple : on passe d’un terme au terme de rang suivant en multipliant toujours par q. ×q • u0 ×q • u1 ×q • u2 ×q • u3 ×q • u4 ×q • u5 • u6 ... Propriété 1.1 Toute suite (un ) de terme général un = aq n où a et q sont deux réels non nuls est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 = a. 2 Méthodes et exemples Point méthode 1 Pour montrer qu’une suite est géométrique, on peut montrer que le quotient u n+1 u n est toujours constant. On revient à la définition 1.1. Puisque l’on divise par un , il faut prouver au préalable que la suite (un ) est à termes non nuls. Exemple. Soit (un ) la suite définie, pour tout n de N, par un = Montrer que cette suite est géométrique. 2 3n . Pour tout n de N, 3n 6= 0. La suite (un ) est donc à termes non nuls. On a, pour tout n de N : 2 un+1 2 3n 3n 1 n+1 = 3 2 = n+1 × = n+1 = . un 3 2 3 3 3n De plus, u0 = 320 = 2. La suite (un ) est donc la suite géométrique de raison 1 3 et de premier terme u0 = 2. Point méthode 2 Pour montrer qu’une suite est géométrique, on exprime un+1 en fonction de un et on vérifie que un+1 se met sous la forme qun . On revient à nouveau à la définition 1.1. Exemple. Soit (un ) la suite définie par u0 = −1 et, pour tout n de N, par un+1 = 3un . Montrer que (un ) est géométrique. Pour tout n de N, un+1 = 3un . De plus, u0 = −1. La suite (un ) est donc la suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0 = −1. Point méthode 3 Pour montrer qu’une suite est géométrique, on cherche deux réels non nuls a et q tels que un = aq n . On s’appuie sur la propriété 1.1. 1 Niveau : 1e Fiche méthode : comment montrer qu’une suite est géométrique F. Demoulin Exemple. Soit (un ) la suite définie, pour tout n de N, par un = 2 × (−1)n . Montrer que cette suite est géométrique. Pour tout n de N, un est de la forme aq n avec a = 2 et q = −1. D’après la propriété 1.1, (un ) est la suite géométrique de raison −1 et de premier terme u0 = 2. 3 Exercice Montrer que la suite (un )n∈N est géométrique. b) un = 32n . ¡ ¢n d) un = 12 . a) un = −5n . c) u0 = 2 et, pour tout n de N, un+1 = −2un . 2