T ES DEVOIR SURVEILLE N° 1 26/09/13 Exercice 1 : sur 10.5

T ES
DEVOIR SURVEILLE N° 1
26/09/13
Exercice 1 : sur 10.5 points
QCM : Une seule des réponses proposées est correcte. Recopiez-là sur votre copie, en justifiant votre réponse.
Q1 La suite (un ) de terme général un  n²  3n
est
Q2 La suite (un ) qui vérifie la relation de
arithmétique
géométrique
Ni l’un ni l’autre
vrai
faux
On ne peut pas
savoir
décroissante
croissante
ni croissante
ni décroissante
14
8
20

0
1.8
0.084
0.05
3.97
3.93
0.0625
récurrence 3 un1  un  0 est géométrique
Q3 La suite (un ) a pour terme général
un  2  3n . Alors (un ) est …
Q4  un  est une suite géométrique de raison 2
et de premier terme u0  1.5 Alors la
.
première valeur de n telle que un  20000
est
Q5 La suite (un ) a pour terme général
un  4  (0.2)n . Alors la suite (un ) a pour
limite …
Q6  un  est une suite géométrique de raison
4
q=0.6 telle que u1  3 Alors u8 est
.
environ égal à
Q7  un  est une suite géométrique de raison
q=0.5 et de premier terme u0  2 Alors
.
u0  u1  ...  u6 est environ égal à
Exercice 2 : sur 6 points
Une entreprise achète une machine-outil neuve pour un prix de 120 000 €. On admet qu’en un an la machine perd
15% de sa valeur et qu’il en est ainsi tous les ans.
On note P n le prix de la machine au bout de n années. P 0 est donc le prix de la machine neuve.
1) Calculer P 1, P 2.
2) a) Quelle est la nature de la suite (P n ) ?
b) En déduire P n en fonction de n. Déterminer P 7
3) L’entreprise change la machine lorsqu’elle a perdu 80 % de sa valeur. Au bout de combien d’années la machine
sera-t-elle changée ?
Exercice 3 : sur 3.5 points
On considère l’algorithme ci-dessous :
INITIALISATION
u prend la valeur 2
TRAITEMENT
Tant que u > 0.1
u prend la valeur u*0.8
Fin tant que
Afficher u
Quel nombre affiche cet algorithme ? On en donnera une valeur approchée à 10-5 prés.
Corrigé :
n° 1.
Q1 : u0 = 0 ; u1 = 4 ; u2 = 6
u1  u0  4
la suite n'est pas arithmétique
u2  u1  2
u2
 1.5 mais u0  1.5  0 et non u1 : la suite n'est pas géométrique
u1
1
Q2 : 3 un 1  un  0  un 1  un
: on a une relation de la forme un+1 = un × q ; la suite est donc géométrique
3
Q3 : (3n) est une suite croissante car 3 > 1 mais on multiplie par le nombre négatif – 2 qui change le sens de
variations ; la suite (un) est donc décroissante.
u  1.5  2n
Q4 : on a n
et avec le tableau de valeurs de la calculatrice, on obtient que un > 20 000 pour la première fois
pour n = 14.
Q5 . Comme 0.2  ]0 ;1[ la suite (0.2n) a pour limite 0 ; on multiplie ensuite par 4 ce qui donne 0.
Q6. :
u0 
3
3
un  u0  q n 
 0.6n  3  0.6n 1
u8  3  0.67  0.084
et
.
Alors
0.6
0.6
1  q7
1  0.57
u

u

...

u

u


2

 3.97
0
1
6
0
Q7.
1 q
1  0.5
n° 2.
1) Diminuer de 15% c’est multiplier par 1 
15
 0.85 . On a donc P1 = 120 000×0.85=102 000 et
100
P2 = 102 000 × 0.85 = 86 700
2) a) On a Pn+1 = Pn × 0.85 : la suite (Pn) est géométrique.
b) Pn  P0  q n  120000  0.85n
P7  120000  0.857  38469
3) La machine aura perdu 80% de sa valeur quand elle vaudra : 120000× 0.2 = 24000 euros. Avec le tableau de
valeurs de la calculatrice, on cherche la plus petite valeur de n telle que Pn < 24000.
On a : P9  27 794 et P10  23 624. La machine sera donc changée dans 10 ans.
n° 3.
Avec la calculatrice (touche ANS) on calcule les différentes valeurs de u données ci-dessous à 10-5 près.
u
u > 0.1
2
Vrai
1.6
Vrai
1.28
Vrai
1.024
Vrai
0.8192
Vrai
0.65536
Vrai
u
u > 0.1
0.26844
Vrai
0.21475
Vrai
0.17180
Vrai
0.13744
Vrai
0.10995
Vrai
0.08796
Faux
L’algorithme affichera donc 0.08796
0.52429
Vrai
0.41943
Vrai
0.33554
Vrai