Modélisation et prévision Séries chronologiques - Séance 5

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Modélisation et prévision Séries chronologiques - Séance 5
Modélisation et
prévision
Cours SG042
Modélisation et prévision
Séries chronologiques - Séance 5
Modélisation avec variable exogène:
modèle à fonction de transfert F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction
de transfert
1
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
2
Conclusion
Exemple
Frédéric Sur
École des Mines de Nancy
1/22
Modèles à fonction
de transfert
Modèles à fonction de transfert
Exemples
Définition
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Identification du modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
3
Conclusion
4
Exemple
www.loria.fr/∼sur/enseignement/modprev/
Conclusion
Exemple
2/22
Exemples
modèles proie-prédateur : nombre de proies lié au
nombre de prédateurs, avec effet retard pour les
naissances,
construction de logements neufs en fonction de prêts
immobiliers accordés, dépendance avec les valeurs sur
différents retards,
Modélisation et
prévision
Exemple de la chronique CO2
(cf poly)
Modélisation et
prévision
F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction
de transfert
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Conclusion
Exemple
Exemple
émission de CO2 d’une chaudière fonction du débit de
gaz (cf poly).
etc.
3/22
Modélisation et
prévision
Séance 5
4/22
Exemple de la chronique CO2
(cf poly)
Modélisation et
prévision
Modèles à variable exogène
F. Sur - ENSMN
Xt : débit de gaz en entrée d’une chaudière
Yt : émission de CO2
F. Sur - ENSMN
Modèle à fonction de transfert :
Modèles à fonction
de transfert
(cf ARIMAX : ARIMA with exogeneous factors)
Exemples
Définition
Yt = µ + β0 Xt + β1 Xt−1 + · · · + βk Xt−k + ut
Identification du
modèle
Modèle identifié :
Yt = 53.26 −
0.535 + 0.376B + 0.518B 2
Xt−3
1 − 0.548B
1
+
εt
1 − 1.532B + 0.632B 2
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
avec :
(Yt ) est la chronique à modéliser
Conclusion
(Xt ) est la chronique explicative
Exemple
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
(ut ) est la chronique des erreurs (ARMA)
→ les chroniques sont supposées stationnaires.
Intérêt double :
−→ modélisation
−→ prévision.
→ éventuellement :
βi = 0 pour i < b (b est le retard),
et k = +∞ (cf AR. . .)
5/22
6/22
Écriture avec l’opérateur de décalage
Modèle à fonction de transfert :
Ω(B)
Θ(B)
Yt = µ +
Xt−b +
εt
∆(B)
Φ(B)
Modélisation et
prévision
Séance 5
F. Sur - ENSMN
b > 0 le retard
Ω(B) = ω0 − ω1 B − · · · − ωs B s
∆(B) = 1 − δ1 B − · · · − δr B r
Θ(B) = 1 − θ1 B − · · · − θq B q
Modèles à fonction
de transfert
1
Exemples
Définition
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
2
Conclusion
Exemple
Φ(B) = 1 − φ1 B − · · · − φp B p
et (εt ) bruit blanc (gaussien).
Définition :
Ω(B)
∆(B)
Modélisation et
prévision
F. Sur - ENSMN
Identification du
modèle
avec :
Rappel : µ +
est la représentation ARMA d’un
processus stationnaire linéaire gaussien.
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Modèles à fonction de transfert
Exemples
Définition
Identification du modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
3
Conclusion
4
Exemple
est appelé fonction de transfert.
Θ(B)
Φ(B) εt
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Modélisation et
prévision
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
Stationnarisation Modélisation et
prévision
Blanchiment de la chronique explicative
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Dans le modèle, Xt et Yt doivent être stationnaires. . .
−→ il faut éventuellement dériver au préalable Xt et Yt (de
la même manière) pour que le résultat soit stationnaire.
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Modélisation et
prévision
F. Sur - ENSMN
Xt : chronique explicative
Pré-blanchiment (pré-filtrage)
(Xt ) est un processus stationnaire ( donc ARMA).
→ il existe des polynômes Φ1 et Θ1 t.q. :
Θ1 (B)
χt
Φ1 (B)
Xt =
Conclusion
Exemple
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
où χt est un bruit blanc (gaussien).
On écrit
χt =
→ le filtre
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Φ1 (B)
Θ1 (B)
a
Φ1 (B)
Xt
Θ1 (B)
blanchi la chronique Xt .
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Blanchiment de la chronique explicative
Modélisation et
prévision
Le corrélogramme croisé
F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction
de transfert
Ω(B)
Θ(B)
Yt = (µ + )
Xt−b +
εt
∆(B)
Φ(B)
On applique
Φ1 (B)
Θ1 (B)
à Yt :
Φ1 (B)
Ω(B)
Υt =
Yt =
χt−b + εet
Θ1 (B)
∆(B)
Ω(B)
Υt =
χt−b + εet
∆(B)
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Comment identifier Ω et ∆ ?
(ou la fonction de transfert Ω/∆)
Outil : le corrélogramme croisé
Exemple
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Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
Cov(χt , Υt+h )
ρ(h) = p
Var(χt ) · Var(Υt )
(les polynômes symboliques commutent)
avec εet stationnaire (pas un bruit blanc comme εt ),
indépendant de χt .
Modélisation et
prévision
(ne dépend pas de t, cf slide suivant)
Remarque : ρ(h) est défini pour h ∈ Z
(a priori, ρ(h) 6= ρ(−h))
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Identification de la fonction de transfert
Υt =
Ω(B)
χt−b + εet
∆(B)
Inversion de ∆ : Υt =
où (χt ) b.b. et
X
h>0
νh χt−h + εet
(e
εt ) stationnaire
(si h < b, νh = 0)
Proposition (intérêt du corrélogramme croisé)
σχ
∀h > 0, ρ(h) = νh
σΥ
et ∀h < 0, ρ(h) = 0
Modélisation et
prévision
Exemple de corrélogramme croisé
Modélisation et
prévision
F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction
de transfert
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Conclusion
Exemple
Exemple
Preuve :
X
Cov(χt , Υt+h ) = Cov χt ,
νh0 χt+h−h0
(χt et εet décorrélés)
h0 >0
= νh Var(χ)
(χt bruit blanc)
Conclusion : coef. νh du “polynôme” Ω/∆ proportionnel au
coef. ρ(h) du corrélogramme croisé.
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Intérêt pratique du corrélogramme croisé
Modélisation et
prévision
F. Sur - ENSMN
Yt =
Ω(B)
Θ(B)
Θ(B)
Xt−b +
εt = ν(B)Xt−b +
εt
∆(B)
Φ(B)
Φ(B)
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
1
2
premier pic (significativement) non nul sur le
corrélogramme donne le décalage b,
si décroissance (assez) lente du corrélogramme : on
envisage un dénominateur (cf inversion de (1 − λB))
si sinusoı̈de : dénominateur de degré > 2,
(toujours avec l’objectif d’un modèle simple)
3
sinon le nombre (et la position) des pics non nuls donne
le degré du numérateur (et les coefficients non nuls).
Remarque : si le corrélogramme croisé a des pics
significatifs pour des décalages h < 0, le modèle n’est
(vraisemblablement) pas bien adapté. (non-causalité)
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Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
Identification du modèle : ARMA sur les résidus
On cherche un modèle du type :
Θ(B)
Ω(B)
Yt =
Xt−b +
εt
∆(B)
Φ(B)
Avec l’étape précédente, on connaı̂t les degrés de Ω et ∆ (et
éventuellement la position des coef. nuls), et le décalage b.
Ensuite :
Calcul de la fonction de transfert
On revient aux séries (stationnaires) initiales :
Ω(B)
Xt−b + ut
∆(B)
→ Première estimation des coefficients de Ω et ∆
Yt =
(évaluation par maximum de vraisemblance par exemple.)
→ ACF / PACF des résidus ut .
Modèle ARMA sur les résidus stationnaires ut
→ Estimation de Θ et Φ ; réestimation de Ω et ∆.
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Modélisation et
prévision
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
Résumé : identification et estimation
Modélisation et
prévision
Remarque : régression fallacieuse
F. Sur - ENSMN
Yt = µ +
Ω(B)
Θ(B)
Xt−b +
εt
∆(B)
Φ(B)
1. Pré-blanchiment (pré-filtrage de Xt ).
2. Corrélogramme croisé sur les séries préfiltrées.
Permet l’identification du retard et de la forme de la fonction
de transfert.
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
3. Estimation de la fonction de transfert Ω(B)/∆(B)
et identification/estimation du modèle ARMA
Θ(B)/Φ(B) · εt sur les résidus ut .
Exemple : soient Xt et Yt intégrées d’ordre 1.
Alors Yt − aXt − b = εt est généralement aussi intégrée
d’ordre 1.
→ si estimation de a, b par régression (moindres carrés
des εt ) : les t-tests (Student) sont trop “optimistes”. . .
(car εt n’est pas un b.b.g., mais une marche aléatoire, ou un
ARIMA(p,1,q))
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
→ Pour contourner le problème, on
sur (1 − B)Xt . . .
régresse (1 − B)Yt
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Séance 5
Modélisation et
prévision
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction de transfert
Exemples
Définition
Identification du modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Modèle à variable exogène et fonction de transfert :
Modèles à fonction
de transfert
Ω(B)
Xt−b + ut
Yt = µ +
∆(B)
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Modélisation et
prévision
Modèles à variable exogène
Rappel : Modèle d’intervention :
Xt = µ + αItt0 + ut = µ +
Conclusion
Exemple
→ modèle similaire :
Ω(B) t0
I + ut
∆(B) t
Itt0 ←→ Xt
3
Conclusion
avec It0 (t) déterministe / (Xt ) stochastique stationnaire.
4
Exemple
Donc même procédure SAS, mais pas d’interprétation du
corrélogramme croisé pour les modèles d’intervention (ni de
pré-blanchiment).
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Modèles à fonction
de transfert
http://tylervigen.com/spurious-correlations
17/22
2
F. Sur - ENSMN
On a supposé les chroniques X et Y stationnaires.
→ et si ce n’est pas le cas ?
On parle de régression fallacieuse (spurious regression).
Remarque : bien sûr, vérifications habituelles de rigueur
(résidus εt du modèle final = bruit blanc gaussien,
paramètres significatifs, etc).
1
Modélisation et
prévision
20/22
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Exemple
Dernières séances. . .
24 mai 2016. Petit cours (réponse aux questions)
+ TP d’application long.
→ venir à 8h30 en salle de cours.
31 mai 2016. Les modèles ARCH et GARCH.
→ séance habituelle.
Modélisation et
prévision
Exemple : série J de Box et Jenkins
F. Sur - ENSMN
F. Sur - ENSMN
Modèles à fonction
de transfert
Modèles à fonction
de transfert
Exemples
Définition
Exemples
Définition
Identification du
modèle
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Identification du
modèle
Chronique d’entrée Xt : débit de gaz alimentant un appareil
de chauffage.
Conclusion
Exemple
Pré-blanchiment
Corrélogramme croisé
Résidus
Résumé
Régression fallacieuse
Conclusion
Chronique de sortie Yt : concentration en CO2.
7 juin 2016. Test.
→ horaires inversés par rapport au Test 1, même salle.
Vérifiez sur Arche !
→ fichiers personnels SAS autorisés.
→ pas de canevas à préparer.
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Modélisation et
prévision
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Exemple