Correction DS commun TS.09
Transcription
Correction DS commun TS.09
Correction DEVOIR COMMUN TS (3 heures) Exercice 1 (6 points) On considère plusieurs sacs de billes S1, S2, S3, ….., Sn, ….. tels que : • Le premier sac S1 contient 3 billes jaunes et 2 vertes ; • Chacun des sac suivants S2, S3, ….., Sn, ….. contient 2 billes jaunes et 2 vertes. Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution des tirages successifs, effectués de la manière suivante : • On tire au hasard une bille dans le sac S1 ; • On place la bille tirée de S1 dans le sac S2 , puis on tire au hasard une bille dans S2 ; • On place la bille tirée de S2 dans le sac S3 , puis on tire au hasard une bille dans S3 ; • Et ainsi de suite… Pour tout entier n ≥ 1 , on note En l’événement « la bille tirée dans le sac Sn est verte » on note p n = p ( E n ) . 1. Mise en évidence d’une relation de récurrence. a. D’après l’énoncé, donner les valeurs de p( E1 ) , p E1 ( E 2 ) et p E ( E 2 ) . En déduire la valeur de p( E 2 ) = p 2 . 1 Pour chaque tirage d’une bille dans le sac Sn celui-ci contient 5 billes, le tirage s’effectuant au hasard il y a équiprobabilité entre les événements élémentaires 2 p( E1 ) = , en effet le sac S1 contient 2 billes vertes favorables à l’évènement E1 5 3 pE1 ( E 2 ) = , en effet sachant que la bille tirée dans S1 est verte, 5 le sac S2 contient 3 billes vertes favorables à l’évènement E2 pE ( E 2 ) = 1 2 , en effet sachant que la bille tirée dans S1 est jaune, 5 le sac S2 contient 2 billes vertes favorables à l’évènement E2 je peux en déduire d’après la formule des probabilités totales avec p ( E1 ) = 1 − P ( E1 ) = 1 − 2 3 = 5 5 12 3 2 2 3 6 6 p2 = p( E 2 ) = pE1 ( E 2 ) × p( E1 ) + pE ( E2 ) × p( E1 ) = × + × = + = 1 5 5 5 5 25 25 25 b. A l’aide d’un arbre pondéré, exprimer p ( E n+1 ) en fonction de p ( E n ) .En déduire une relation entre p n +1 et p n . 3 5 P ( En ) 1 − P ( En ) En En 2 5 2 5 3 5 En +1 En +1 En +1 En +1 1 2 3 2 p( E n+1 ) = pEn ( En+1 ) × p( En ) + pE ( En+1 ) × p( En ) = × p ( En ) + × 1 − P ( En ) = P ( En ) + n 5 5 5 5 je peux en déduire pour tout entier n ≥ 1 , la relation : pn+1 = 1 2 pn + 5 5 2. Etude d’une suite. 2 1 2 et u n +1 = u n + , pour tout n ≥ 1 . 5 5 5 1 a. Démontrer que pour tout n ≥ 1 on a u n ≤ . 2 1 Soit la proposition : « un ≤ » , montrons par récurrence qu’elle est vraie , pour n ≥ 1 . 2 On considère la suite ( u n ) définie par : Initialisation : Hérédité : Conclusion : u1 = 2 1 = 0, 4 donc « u1 ≤ » 5 2 1 je suppose la proposition vraie au rang n : « un ≤ » 2 montrons qu’elle est alors vraie au rang n +1 1 1 1 1 avec un ≤ j’obtiens : un ≤ × 2 5 5 2 1 2 1 2 un + ≤ + 5 5 10 5 1 2 5 un + ≤ 5 5 10 1 donc « un +1 ≤ » . 2 la proposition est vraie pour n = 1 , elle est héréditaire donc elle est vraie pour n ≥ 1 . 1 la suite ( un ) est majorée par 2 la proposition est vraie pour n = 1 , en effet u1 = b. Démontrer que la suite ( u n ) est croissante. 2 2 4 1 4 −4 2 4 2 4 1 donc − un ≥ et − un ≥ − ≥ 0 un +1 − un = un + − un = − un avec un ≤ 5 5 5 2 5 10 5 5 5 10 5 ainsi pour n ≥ 1 on a : un +1 − un ≥ 0 , la suite ( un ) est croissante c. Justifier que la suite ( u n ) est convergente et déterminer sa limite. 1 2 1 2 4 2 2 1 par passage à la limite l = l + ⇔ l = ⇔ l = = ainsi 5 5 5 5 4 2 La suite ( un ) est croissante et majorée donc elle converge vers l avec l ≤ 1 2 comme u n +1 = u n + 5 5 lim un = n →+∞ 1 2 3. Evolution des probabilités p(En). a. A l’aide des résultats précédents, déterminer l’évolution des probabilités p ( E n ) . 2 1 2 pn = p ( En ) avec p1 = et pn +1 = pn + 5 5 5 1 1 , elle converge vers 2 2 1 si « n est grand nombre, la probabilité de tirer une boule verte dans le sac Sn est » 2 b. A l’aide de votre calculatrice, déterminer les valeurs de l’entier n pour lesquelles on a l’inégalité 0, 499 99 ≤ p ( En ) ≤ 0, 5 ? donc d’après la question 2. la suite ( pn ) est croissante et majorée par à la calculatrice, je trouve p6 = 0, 499 968 et p7 ≃ 0, 499 9936 1 comme la suite ( pn ) est croissante et majorée par pour n ≥ 7 on a l’inégalité 0, 499 99 ≤ p( E n ) ≤ 0, 5 2 Exercice 2 (7 points) Les trois questions sont indépendantes. x −1 On considère la fonction f définie sur l’ensemble ℝ par f ( x ) = ( ax + b)e + c , où a, b et c sont trois réels que l’on se propose de déterminer dans la première question. La courbe C représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal est représentée ci-contre • La courbe C passe par le point A(1 ; 5), elle admet la droite D comme tangente en ce point. • Le point B(0 ; 2) appartient à la droite D. • La courbe C admet également une tangente horizontale au point d’abscisse − 1 . 2 1. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. - A l’aide des informations données dans l’énoncé et du graphique, déterminer les valeurs de a, b et c. j’obtiens l’équation : a + b + c = 5 La courbe C passe par A (1 ; 5 ) donc f (1) = 5 y − yA 2 − 5 La droite D est tangente en A donc f ' (1) = B =3 = xB − x A 0 − 1 avec f ' ( x ) = a.e x −1 + ( a x + b ) .e x −1 = e x −1. ( a x + a + b ) La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse − j’obtiens l’équation : 2a + b = 3 1 1 donc f ' − = 0 2 2 3 − 1 1 j’obtiens l’équation : e 2 a + b = 0 ⇔ a + b = 0 2 2 a + b + c = 5 a + b + c = 5 a = 2 ainsi les trois réels a , b et c vérifient le système : 2a + b = 3 ⇔ −3b = 3 ⇔ b = −1 c = 4 1 a = −2b a+b = 0 2 x −1 d’où f ( x ) = (2 x − 1)e + 4 2. On admet pour la suite de l’exercice que, pour tout réel x, f ( x) = (2 x − 1)e x −1 + 4 . a. Déterminer lim f ( x) . x → +∞ lim f ( x ) = lim (2 x − 1)e x −1 + 4 = +∞ x →+∞ x →+∞ b. Vérifier que, pour tout réel x, f ( x) = 2 x − 1 = +∞ xlim →+∞ car lim e x −1 = lim e x × e −1 = +∞ x →+∞ x →+∞ 2 x 1 x xe − e + 4 . En déduire lim f ( x) . x → −∞ e e Que peut-on en déduire pour la courbe C ? 2 x 1 x xe − e + 4 e e x lim xe = 0 x →−∞ car ex = 0 xlim →−∞ f ( x ) = (2 x − 1)e x −1 + 4 = 2 x.e x × e −1 − e x × e −1 + 4 = 2 x 1 x xe − e + 4 = 4 x →−∞ e e lim f ( x ) = lim x →−∞ La droite d’équation y = 4 est asymptote horizontale à la courbe C au voisinage de −∞ c. On note f ’ la fonction dérivée de f. Déterminer, pour tout réel x, l’expression de f ’(x). f ' ( x ) = 2.e x −1 + ( 2 x − 1) .e x −1 = e x −1 . ( 2 x + 1) d. Etablir le tableau de variation de f. comme e x−−1 > 0 on a f ' ( x ) ≥ 0 ⇔ 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ x −1 2 d’où le tableau de variation de f −1 2 0 –∞ f '( x ) – +∞ + +∞ 4 f ( x) −1 f 2 3. Soit ∆ la partie du plan située entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. On souhaite calculer ici l’aire de la partie ∆ exprimée en unité d’aires. 1 a. A l’aide d’une intégration par parties calculer la valeur exacte de J’utilise une intégration par parties avec u ' ( x ) = e x −1 ∫ (2 x − 1)e x −1 dx . 0 u ( x ) = e x −1 v ( x) = 2x −1 v '( x) = 2 1 1 3−e 1 1 3 x −1 x −1 x −1 −1 x −1 1 = 1 + − 2 1 − = − 1 = (2 x − 1)e dx u.a = e (2 x − 1) − 2.e dx = 1 − − e − 2 e ( ) ∫0 0 ∫0 0 e e e e 1 b. En déduire la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au dixième, de la partie ∆ . 1 L’aire de la partie ∆ est égale à : ∫ f ( x ) dx 0 1 ∫ 1 1 1 0 0 0 3−e 3 + 3e + 4 (1 − 0) = u.a e e f ( x ) dx = ∫ (2 x − 1)e x −1 + 4 dx = ∫ (2 x − 1)e x −1dx + ∫ 4 dx = 0 1 ∫ f ( x ) dx ≃ 4,1 u.a 0 Exercice 3 (7 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u ; v ) d’unité graphique 1 cm. On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante : z 3 + (−8 + i ) z 2 + (17 − 8i ) z + 17i = 0 (E). Partie A – Résolution de l’équation (E) 1. Montrer que − i est solution de (E). ( −i ) + ( −8 + i ) ( − i ) + (17 − 8i ) ( − i ) + 17 i = i + 8 − i − 17i + 8i 2 + 17i = 8 − 8 = 0 = 0 donc − i est solution de (E) 3 2 2. Déterminer les réels a, b et c tels que : z 3 + (−8 + i ) z 2 + (17 − 8i ) z + 17i = ( z + i )(az 2 + bz + c) . ( z + i )(az 2 + bz + c) = a .z 3 + ( b + i a ) . z 2 + ( c + i b ) .z + c i = z 3 + ( −8 + i ) z 2 + (17 − 8i ) z + 17 i a = 1 a = 1 b + i a = −8 + i par identification : ⇔ b = −8 c + i b = 17 − 8i c = 17 c i = 17i 3. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes. L’équation z 3 + (−8 + i ) z 2 + (17 − 8i ) z + 17i = 0 (E). s’écrit : ( z + i )( z 2 − 8 z + 17) = 0 z+i =0 ou z 2 − 8 z + 17 = 0 2 z=−i ou ∆ = ( −8 ) − 4 × 1×17 = −4 = 4i 2 δ = i 4 = 2 i vérifie : δ 2 = ∆ z= S = { − i ; 4 − i ; 4 + i} 8 − 2i = 4−i 2 ou 8 + 2i = 4+i 2 z= Partie B On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4 + i , 4 − i et − i . 1. Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice. C' B' S P A o W B C ( C ') A' (C ) 2. Le point Ω est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par la rotation de centre Ω et d’angle de mesure π 2 . Calculer l’affixe s de S. l’écriture complexe de la rotation de centre Ω et d’angle ainsi : s = i ( 4 + i − 2 ) + 2 = 2i − 1 + 2 = 1 + 2i π 2 s’écrit : z '− 2 = e i π 2 ( z − 2) 3. Démontrer que les points B, A, S et C appartiennent à un même cercle (C) dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer (C). ΩA = zA − 2 = 4 + i − 2 = 2 + i = 22 + 12 = 5 et ΩS = ΩA puisque S est l’image de A ΩB = zB − 2 = 4 − i − 2 = 2 − i = 22 + ( −1) = 5 2 ΩC = zC − 2 = −i − 2 = −2 − i = ( −2 ) + ( −1) 2 2 = 5 ΩS = ΩA = ΩB = ΩC = 5 donc les points B , A , S et C appartiennent au cercle ( C ) de centre Ω d’affixe 2 et de rayon 5 4. A tout point M d’affixe z ≠ 2 , on associe le point M’ d’affixe : z ' = iz + 10 − 2i . z−2 a. Déterminer les affixes des points A’, B’ et C’ associés respectivement aux points A, B et C. z A' = zB' = zC' = izA + 10 − 2i i ( 4 + i ) + 10 − 2i 2i + 9 ( 2i + 9 ) ( 2 − i ) −5i + 20 = = = = 4− i = 4+i− 2 2+i 5 5 zA − 2 izB + 10 − 2i i ( 4 − i ) + 10 − 2i 2i + 11 ( 2i + 11) ( 2 + i ) 15i + 20 = = = = 4 + 3i = 4−i−2 2−i 5 5 zB − 2 izC + 10 − 2i i ( − i ) + 10 − 2i −2i + 11 ( −2i + 11) ( −2 + i ) 15i − 20 = = = −4 + 3i = = 5 5 zC − 2 −i − 2 −2 − i b. Vérifier que A’, B’ et C’ appartiennent à un cercle (C’) de centre P, d’affixe i . Déterminer son rayon et tracer (C’). PA' = zA' − i = 4 − i − i = 4 − 2i = 42 + ( −2 ) = 20 = 2 5 2 PB' = zB' − i = 4 + 3i − i = 4 + 2i = 42 + 22 = 20 = 2 5 PC' = zC' − i = −4 + 3i − i = −4 + 2i = ( −4 ) 2 + 22 = 20 = 2 5 PA' = PB' = PC' = 2 5 donc les points A’ , B’ et C’ appartiennent au cercle ( C ' ) de centre P d’affixe i et de rayon 2 5 c. Pour tout nombre complexe z ≠ 2 , exprimer z '−i en fonction de z − 2 . z '− i = iz + 10 − 2i − i ( z − 2 ) iz + 10 − 2i 10 10 −i = = = z−2 z−2 z−2 z−2 d. Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle (C). Démontrer que z '−i = 2 5 . Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle ( C ) alors z − 2 = 5 par suite : z '− i = 10 10 10 5 =2 5 = = z−2 5 5 e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M’ associés aux points M du cercle (C). M ∈ ( C ) ⇔ z − 2 = 5 ⇔ z '− i = 2 5 ⇔ M' ∈ ( C ') Les points M’ associés aux points M du cercle ( C ) appartiennent au cercle ( C ' ) de centre P d’affixe i et de rayon 2 5