TD 12 - Cnam

CNAM
ELE112
Codes cycliques
TD N°12
TAN 30 : code de Hamming
On doit transmettre un message composé d’éléments binaires dans un canal bruyant à entrées et sorties binaires.
On se propose d'utiliser un code de Hamming pouvant corriger une erreur simple. Nous avons choisi pour le
code C(15,11).
1) Le polynôme générateur de ce code est g(x) = 1+p+p4. Justifier ce choix.
2) Quel est le mot-code systématique associé au message de 11 éléments binaires suivant [11010010100]
(MSB à droite) :
3) Dessiner la structure électronique du codeur avec prémultiplication. Retrouver en utilisant cette structure
électronique, le reste calculé précédemment.
4) On reçoit le mot suivant (MSB à droite) [011011010101000]. Vérifier que ce mot n’est pas un mot de code.
Dessiner la structure électronique du décodeur. Retrouver en utilisant cette structure électronique, le reste
calculé précédemment.
TAN 33 (examen CNAM-ESCPI 15/07/2009)
1) Soit la matrice génératrice G suivante d’un code correcteur d’erreurs dont la distance minimale est égale à 4.
1 1 1 0 0 1 0


G = 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 1


a.
b.
c.
d.
e.
Déterminer K la longueur des mots d’information et N la longueur des mots de code.
Mettre G sous forme systématique et déterminer H la matrice de contrôle
Quel est le lien de ce code avec le code de Hamming (7,4) ?
Quel est la capacité de correction et de détection de ce code
Soit le mot d’information u=[101], calculer le mot de code sous forme systématique associé et
vérifier que le syndrome associé à ce mot de code est nul
g(p )=(1+ p)(1+ p+ p ) . Les polynomes
3
2) Soit le code cyclique défini par le polynôme générateur
1+ p et 1+ p+ p sont des facteurs irréductibles de 1+ p .
3
a.
b.
c.
d.
7
déterminer K et N
Soit le mot d’information u=[001] (MSB à droite), calculer le mot de code systématique
associé
Dessiner la structure électronique du codeur, à partir de portes "ou exclusif" et de cellules de
retard élémentaires.
On reçoit au récepteur le mot suivant : 0101111 (MSB à droite). Ce mot est-il un mot de code?
Pour ce code particulier, chaque polynôme associé à un mot de code doit être divisible par les deux
1+ p+ p et 1+ p ( et par g(p ) par conséquence)
3
polynômes
3) Indiquer dans le tableau le nombre d’erreurs correspondant à chaque situation :
1+ p+ p
3
divisible
non divisible
non divisible
1+ p
nombre d’erreurs
divisible
non divisible
divisible
4) On considère que le décodeur ne teste que la divisibilité par
1+ p+ p
3
a.
Calculer le reste de la division du polynôme associé au mot reçu (question 2.d) avec le
b.
polynôme 1+ p+ p
Donner la structure électronique du diviseur associé. Etablir le tableau des états des cellules
élémentaires après chaque coup d'horloge.
En déduire la position de l’erreur de transmission éventuelle.
3
c.
5) Y a t-il un lien entre le code correcteur d’erreurs défini par la matrice génératrice G au 1) et le code
défini par
g(p ) . Justifier votre réponse.
TAN 34 : code de Hamming
On considère un code de Hamming (7,4) dont Le polynôme générateur est g(p) = 1+p+p3.
1) Soit le mot d’information u=[0111] (MSB à droite), calculer le mot de code associé c
2) Dessiner la structure électronique du codeur avec prémultiplication.
3) Vérifier le résultat obtenu dans la question 1)
TAN 35 : code Reed Solomon
Soit un code Reed Solomon (255,191) défini dans GF(28) (les symboles sont donc ici des octets). Ce code est
utilisé dans la norme DVB-H.
a) Rappeler la relation entre la capacité de correction d’un code correcteur d’erreurs et sa distance
minimale. Sachant que ce code est à distance minimale maximale (dmin=N-K+1) en déduire sa
capacité de correction.
b) Combien de bits ce code est il capable de corriger. Justifier votre réponse.
c) Exprimer la relation entre le taux d’erreurs mot en sortie du décodeur et le taux d’erreurs symbole en
entrée du décodeur.
d) En déduire la relation entre le taux d’erreurs symbole en sortie du décodeur et le taux d’erreurs
symbole en entrée du décodeur.
e)
A. N. Le taux d’erreurs symbole en entrée est
TES E = 2.10−2 , calculer le taux d’erreurs symbole en
sortie (on limitera le calcul au premier terme de la somme. On pourra utiliser les relations suivantes :
9
17
33
C255
= 1, 089.1016 ; C255
= 1,32.10 26 ; C255
= 3, 44.1041
TAN 37
Dans les standards d’identification radiofréquence (RFID), chaque trame comporte un CRC de
longueur 5 bits pour détecter les erreurs trame à la réception. Le polynôme générateur utilisé dans
cette norme est g ( p ) = p 5 + p 3 + 1
a) Soit la trame de bits d’information de longueur K=6 101001 (MSB à droite). Déterminer les 5
bits de CRC à ajouter à celle-ci pour construire la trame codée. Vérifier que le mot de code ainsi
construit est bien un mot de code
b) Représenter la structure électronique du circuit d’encodage
c) Soit le mot reçu 10110001001. Est-ce un mot de code ?