Q.C.M. et VRAI-FAUX

Q.C.M. et VRAI-FAUX
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Exercice 16
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On ne demande aucune
justification, mais on ne saurait trop vous encourager à en trouver une.
( x2 ) =
V! F!
e
V! F!
e 2 x + e x < 0 n’a pas de solution dans R.
V! F!
ln x < 0 n’a pas de solution dans R.
V! F!
∀x > 0 ln( x 2 + x) − ln x = ln x 2 .
V! F!
ln 24 = ln 42 .
V! F!
ln e 4 = e 4
x
e admet une seule solution dans R.
1
ln x
.
V! F!
 x 
ln 
 a pour domaine de définition ]0 ; +∞[.
 x +1
y ' = y a pour unique solution x ! e x.
V! F!
x ! 3e 2 x − 1 est la seule solution de y ' = 2 y telle que y(0) = 2.
V! F!
ln 5
ln
e 2
V! F!
ln
V! F!
V! F!
(
=3.
) (
5 − 1 + ln
)
5 + 1 = ln16 − 2ln 2 .
lim (ln x − x) = −∞ .
x →+∞
V! F!
ln x
= 1.
x →1 x − 1
lim e x ln x = 0 .
V! F!
ex = 2 y ⇔
V! F!
∀x∈R eln x
V! F!
x ! (ln x) 2 est croissante sur ]0 ; +∞[.
V! F!
∀x∈R 4 x = 2 x × 2 x .
V! F!
lim
x →0
x
= ln y .
2
=x.
ts 2
fonction logarithme
exo 1 Soit f et g définies sur ]0; +∞[ par f (x) = 2 +
le 10 mars 2008
ln(x)
et g(x) = 1 + x − x ln(x)
1+x
1.) donner les variations de g .
2.) montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution β dans ]0; +∞[.
3.) donner les variations de f .
exo 2 f et g sont définies sur ]0; +∞[ par f (x) = x +
1.)
2(1 + ln x)
et g(x) = x2 − 2 ln(x) .
x
a. donner le tableau de variations de g
b. donner le signe de g
2.) déterminer la limite de f quand x tend vers 0. Qu’en déduit-on ?
3.) donner la limite en +∞ de f (x) et donner une équation de ∆, asymptote à Cf au voisinage de +∞
4.) préciser la position de ∆ par rapport à Cf
5.) donner les variations de f
6.) montrer qu’il existe une tangente T à Cf paralléle à ∆, en un point que l’on déterminera
exo 3 on définit sur ]0; +∞[ la fonction f : x 7−→ (ln x)2 + 4 ln x + 3
1.) donner le signe de f (x)
2.) donner les variations de f
exo 4 soit (E) l’équation : x2 + ln x = 2 sur ]0; +∞[
1.) soit f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = x2 + ln x − 2
a. donner les variations de f
b. montrer que (E) admet une solution unique λ
c. montrer que λ ∈ I avec I = [ 1, 30 ; 1, 35 ]
√
2.) soit h définie sur I par h(x) = 2 − ln x
a. montrer que : (E) ⇔ x = h(x)
b. montrer que h est décroissante sur I
c. montrer que si x ∈ I, alors h(x) ∈ I
3.) u est la suite définie par u0 = 1, 30 et un+1 = h(un )
a. montrer par récurrence que un ∈ I
b. montrer que λ est compris entre deux termes consécutifs de u
c. donner une valeur approchée de λ à 10−5 près
exo 5 on considère f définie sur R par f (x) = ln
2e2x + 1
ex + 2
1.) donner les variations de f
2.) étudier la limite de f en −∞
3.) montrer que : f (x) = x + ln 2 + ln
1 + 21 e−2x
1 + 2e−x
en déduire la limite en +∞
4.) montrer que le point d’intersection des asymptotes appartient à la courbe Cf
http://pagesperso-orange.fr/calque
f.exo 18