construction de table de mortalité par génération pour la population

Transcription

CONSTRUCTION DE TABLE DE MORTALITÉ
PAR GÉNÉRATION POUR LA POPULATION FRANÇAISE
Jean MODRY
Gan Assurances
INTRODUCTION
Le rallongement de la vie humaine
Depuis la fin de la seconde guerre mondiale, les progrès réalisés par la science en
général et par la médecine en particulier, ont contribué de manière conséquente au
rallongement de la vie humaine. Ce phénomène, observable dans l’ensemble des pays
occidentaux, est vrai pour les deux sexes. Le rallongement de la vie humaine est une des
composantes du vieillissement et du changement de structure de la population de ces pays.
Les progrès de la médecine ne sont sans doute pas la seule cause explicative de ce
phénomène. L’amélioration des conditions sanitaires et de travail, et autres facteurs ont
également pris part à cette évolution démographique. À notre connaissance, il n’existe
aucune étude permettant de connaître véritablement l’effet de chacun de ces facteurs sur la
baisse de la mortalité. Nous ne pouvons que constater cet état de fait.
Cette tendance semble ne pas avoir de raison de se modifier, l’ensemble des
démographes et autres observateurs de la population française pense que ce processus est
dans sa phase initiale. Nous devrons composer l’avenir avec une population où les
personnes âgées auront une place, en terme de proportion, qu’elles n’ont encore jamais eue
auparavant. En 2035, les personnes de plus de 60 ans représenteront un tiers de la
population totale, alors qu’en 2000, elles ne représentaient que 21 %1.
La disparité Homme-Femme
Cependant, la disparité Hommes - Femmes demeure. En effet, dès les premières
études sur la population française, les femmes ont toujours eu une espérance de vie
supérieure à celle des hommes. Nous pouvons nous demander si cette différence est de
nature à perdurer ?
Pendant de nombreuse années, les démographes pensaient que les femmes avaient
une espérance de vie plus longue du fait non pas d’une sous-mortalité féminine mais bien
davantage d’une sur-mortalité masculine. Selon eux, la nature harassante et les conditions
spécialement difficiles du travail pour les hommes grevaient leur survie de quelques
1
Projection de la population française à l’horizon 2050 : un vieillissement inéluctable. Coll. Insee
Première- mars 2001, ed. INSEE.
BULLETIN FRANÇAIS D’ACTUARIAT, Vol. 6, N° 10, 2003, pp. 23-58
J. MODRY
24
d’années. Les travaux domestiques ou dans des conditions plus clémentes étaient
traditionnellement dévolus aux femmes. Mais depuis la fin de la guerre, cette dichotomie
portant sur les conditions de travail ne suffit plus pour expliquer ce phénomène persistant.
Deux nouveaux facteurs explicatifs sont avancés :
-
D’une part, la nature même des femmes : la prédestination à avoir des enfants,
leur donnerait plus de robustesse que les hommes face aux aléas de la vie.
-
D’autre part, le comportement des femmes, en ce qui concerne la consommation
régulière de tabac, d’alcool et de drogues, aurait un retard d’une vingtaine
d’années par rapport aux hommes. Elles seraient alors proportionnellement moins
exposées à cette mortalité précoce et évitable. Cependant, selon certaines
observations récentes, la consommation de ces produits chez les femmes aurait
tendance à rejoindre le niveau atteint par les hommes. Nous constaterons alors, à
consommations équivalentes par sous-population, l’influence de chacun des
facteurs.
Même si nous ne pouvons pas précisément conclure quant à l’origine de cette
différence, cette dichotomie persiste.
Ainsi sur le tableau ci-dessous, nous constatons conjointement une amélioration de
l’espérance de vie et une distinction homme-femme :
Espérance de Vie selon l’âge (en nombre d’années)
(Source : Bilan démographique 2000, Editions INSEE)
Année
Hommes
Femmes
d’observation
0 an
1 an
1980
70,2
70
51,8
33,3
1985
71,2
70,9
52,5
1990
72,7
72,4
1995
73,9
1996
20 ans 40 ans 60 ans
0 an
1 an
20 ans 40 ans 60 ans
17,3
78,4
78,1
59,6
40,3
22,4
34
17,9
79,4
79
60,4
41,1
23
53,9
35,5
19
80,9
80,4
61,8
42,4
24,2
73,3
54,7
36,3
19,6
81,9
81,2
62,5
43,2
24,9
74,1
73,5
54,9
35,4
19,7
82
81,4
62,6
43,3
25
1997
74,5
73,9
55,4
35,7
19,9
82,3
81,6
62,9
43,5
25,2
1998
74,8
74,2
55,5
35,8
20
82,4
81,7
63
43,6
25,3
2e facteur discriminant : l’année de naissance
L’année de naissance, c’est-à-dire la génération, est le deuxième facteur discriminant
la mortalité. Les conditions médicales, sanitaires et sociales dans lesquelles un individu naît
conditionne sa durée de vie future. En effet, ce sont dans les premières années de la vie que
25
des faiblesses physiques persistantes peuvent survenir (faiblesses des systèmes pulmonaires
ou cardio-vasculaires, etc.). De plus, la médecine et la science progressant constamment
dans le temps, plus les personnes naissent tard, plus elles peuvent profiter des découvertes
de la médecine sur les années antérieures. Ceci est vrai tant pour les premières années de la
vie que pour les suivantes.
Effet du vieillissement de la population
Si d’un point de vue humain, ce phénomène est totalement positif, les effets à long
terme commencent à se faire clairement voir dans certains domaines, et à être parfois
inquiétants.
Nous pensons notamment aux conséquences du vieillissement de la population
française sur le système de retraite par répartition.
Les changements de structure de la population vont avoir des répercussions aussi
bien sur les cotisations que sur les prestations. D’une part, le nombre des cotisants va
stagner voir diminuer dans les années à venir. D’autre part, le nombre des bénéficiaires et
leur durée moyenne de survie va augmenter.
Il semblerait que le système par répartition, tel qu’il existe actuellement, avec ces
caractéristiques propres, ne sera plus supportable par la collectivité, tant le déficit, entre les
cotisations et les prestations, sera devenu grand.
Les assureurs sont parfois confrontés à un problème similaire qui est celui des effets
du vieillissement de la population sur le provisionnement des rentes viagères. En effet,
nombre de portefeuilles de ces rentes vieillissent, pouvant générer des pertes futures2 : la
tarification et le provisionnement n’ayant alors pas suffisamment anticipé l’allongement de
la durée de vie moyenne. Les conséquences sur les résultats techniques de ces produits
peuvent être sérieuses pour les Compagnies d’Assurance, surtout si les pertes futures en fin
de vie du contrat n’ont pas pu être compensées par les bénéfices financiers générés
notamment en début de vie de ces contrats.
La mesure du Risque
La mesure du risque de longévité, étudiée tant dans les retraites obligatoires que dans
les produits d’assurance-vie de type rentes viagères, se lit dans l’allongement des tables de
mortalité (instantanées, prospectives ou par génération).
Mesurer et prévoir ce risque, c’est arriver à déterminer, le plus finement possible, la
mortalité des individus. Les tables instantanées ne conviennent pas, puisqu’elles sont
2
Les rentes viagères : mortalité d’expérience et réassurance, Sophie Terrier, CNAM, 2000.
J. MODRY
26
construites à partir de la mortalité observée et ne peuvent pas refléter correctement cette
baisse de la mortalité. C’est pourquoi il faut recourir à des tables de mortalité par
génération. Ces tables ont pour objectif de projeter la mortalité d’une génération dans sa
totalité, jusqu’à extinction complète de la génération. En France de telles tables existent,
elles ont été construites par Marc Hidalgo en 1993. Cependant, en 2001, nombre
d’observateurs de la vie de ces portefeuilles pensent qu’elles ne suffisent plus pour
représenter la mortalité des générations et que les tarifications établies sur ces tables
conduiront certainement à constater des pertes futures sur certains de ces portefeuilles, si ce
n’est pas déjà fait.
Après 10 ans d’utilisation de ces tables, il devient important de mener une étude
globale sur l’évolution de la mortalité et sur la projection possible des taux de décès. Cette
étude devrait permettre de recréer des TPG et de les comparer à celles existantes afin de
déterminer leurs adéquation à la mortalité.
C’est ce que se propose de faire cette étude.
Plan de l’étude
Nous articulerons notre étude selon trois grandes parties. Dans une première partie,
nous expliciterons l’origine des données. Nous modéliserons l’évolution des taux de
mortalité dans une seconde partie. Et nous finirons dans une troisième partie en expliquant
la procédure de construction des tables et les comparaisons aux tables par génération
existantes.
I.
ETUDE DES TABLES DE L’INSEE
Pour construire des tables de mortalité par génération de la population française,
nous avons besoin des données statistiques les plus fiables sur la mortalité de la population
française. Il nous paraît alors évident de puiser dans les ressources statistiques de l’INSEE.
Mais l’INSEE édite différentes formes de synthèses de la mortalité de la population
française. Toutes ne sont pas nécessairement cohérentes entre elles. Il nous a fallu choisir
parmi l’ensemble des données, des tables de mortalité et des tableaux provenant de
l’INSEE, les taux de mortalité que nous allions retenir pour construire nos tables.
I.1.
L’ORIGINE DES DONNÉES
Les tables de mortalité sont construites chaque année à partir d’un fichier exhaustif
dont les données proviennent de l’Etat Civil. Cependant, une modification des bulletins
d’Etat Civil et des systèmes de traitements des données est intervenue en 1998. Celle-ci a
affecté le contrôle, la codification et le redressement de certaines informations, mais n’a pas
remis en cause la validité des données.
27
L’ensemble des méthodes de calcul des taux et indicateurs a également été revu.
D’une part, le calcul de la population totale moyenne a été abandonné au profit du
calcul d’une population moyenne par groupe d’âge en années révolues. D’autre part, pour le
calcul des taux, il semble que l’INSEE préfère le calcul d’une population moyenne par
groupe d’âge évalué en âge atteint dans l’année. Pour permettre des comparaisons dans le
temps, l’INSEE a recalculé l’ensemble des taux selon cette méthode pour les vingt dernières
années.
Ainsi, les taux de mortalité par groupe d’âge rapportent les événements classés par
groupe d’âge à la population moyenne correspondante.
I.2.
LE CHOIX DES TABLES
I.2.1)
La Situation Démographique en 1998
Parmi le grand nombre de statistiques éditées par l’INSEE et retraçant la mortalité
française, il nous a fallu choisir une forme de table de mortalité. Nous avons choisi de
prendre comme support la Situation Démographique en 19983. Mais ce document
comprend plusieurs tables de mortalité différentes. Le problème se pose en terme de qualité
de l’information statistique. Le retraitement, le lissage et la façon de compter l’âge sont
autant de paramètres que nous voulons pouvoir maîtriser. Notre premier critère, le plus
important, est de prendre les données ayant subi le moins de retraitements possibles afin de
ne rien perdre en pertinence de l’information. Par contre, nous n’avons alors plus le choix
de la façon de comptabiliser l’âge. Nous n’avons d’autre possibilité que de prendre les taux
de mortalité par sexe et groupe d’âge4. Ces taux sont exprimés en nombre de décès pour 1
000 personnes vivantes dans la classe d’âge concernée5.
Mais les statistiques provenant de ce document ne retracent la mortalité que
sur 20 ans, c’est-à-dire pour les années 1979 à 1998. Le nombre d’années est trop
faible pour faire une projection stable et réaliste de la mortalité. C’est pourquoi nous
avons dû compléter ces données par les taux de mortalité antérieurs : ceux de
l’Annuaire Statistique.
I.2.2)
L’Annuaire Statistique
Nous avons cherché à compléter ces données par des statistiques de l’INSEE
antérieures. Nous avons trouvé dans l’Annuaire Statistique de l’INSEE un tableau retraçant
3
Édition INSEE.
4
Tableau 67 de la Situation Démographique en 1998 Ed. INSEE
5
Les tranches d’âge sont en général de 5 ans.
J. MODRY
28
la mortalité selon la même présentation que celle du tableau utilisé précédemment, pour les
années 1946 à 19886.
Il était important de savoir si ces taux représentaient bien la même mortalité. Pour
répondre à ce problème nous avions 10 années de taux de mortalités communes dans les
deux tableaux, les années 1979 à 1988.
a)
Les différences de classe d’âge
Le premier problème rencontré entre les deux formes de tables est qu’elles n’ont pas
la même classe d’âge de fin de tableau. En effet, le tableau 67 de La Situation
Démographique en 1998 termine par la classe d’âge « 90 ans et plus » alors que le tableau 7
de l’Annuaire Statistique termine par la classe d’âge « 80 ans et plus ». Ceci pose de facto
deux problèmes :
• Comment retrouver à partir des données de l’Annuaire Statistique les taux de
mortalité de la classe d’âge « 80 – 89 ans » sur l’ensemble de la période d’étude
et ensuite, ceux de la classe d’âge « 90 ans et plus » ?
• Ces taux ne peuvent pas être pris en compte pour tester leurs égalités d’un
tableau par rapport à l’autre, ce qui réduit la puissance de notre test.
b)
Indices de dispersion
Afin de s’assurer de la cohérence de chiffres, nous avons d’abord mesuré l’Indice de
Dispersion Générale (IDG) pour toutes les classes d’âge de 0 à 79 ans sur les années où
nous avons les chiffres présents dans les deux tableaux :
IDG =
1998
∑∑
k ∈K t =1979
tmk( A.S .) ( t ) − tmk( S .D ) ( t )  = 0,8


2
où • tmk( A.S .) ( t ) est letaux de mortalité dela classe k ,
évalué à l ' annéet , dans l ' Agenda Statistique ;
• tmk( S .D.) ( t ) est letaux de mortalité de la classe k ,
évalué à l ' annéet , dans la Situation Démographique ;
• K est l ' ensemble des classes d ' âge
Nous voyons que l’IDG est très faible et tend vers 0, ce qui nous donne l’intuition
que les deux tableaux contiennent bien les mêmes chiffres.
6
Tableau 7 de l’Annuaire Statistique, Ed. INSEE
c)
29
Le Test du Khi-deux.
Nous avons fait un test du Khi-deux afin de vérifier notre intuition.
Pour le test du Khi-deux, nous recomposons les tables de mortalités des 2 tableaux
selon la formule suivante :
l x + h = l x ⋅ (1 − qx , x + h )
h
où q x , x + h provient soit de la Situation Démographique en 1998 soit de l’Annuaire
Statistique.
Nous rappelons que la statistique du Khi-deux est définie par la formule
suivante : ∑
( effectifs théoriques − effectifs observés )
effectifs théoriques
2
.
Nous avons pris le parti de choisir comme effectifs théoriques ceux provenant de la
Situation Démographique. La formule de la statistique du khi-deux est alors :
Kh = ∑ ∑
t∈T k ∈K
(l
A. S .
k ,t
− lkS,.tD.
lkS,.tD.
)
2
où K est l’ensemble des classes d’âge et T l’ensemble des
années de test. Ceci nous donne un total de 170 classes : 10 (années) × 17 (classes d’âge).
Lorsque nous testons ainsi toutes les classes d’âge sur toutes les années, nous devons
rejeter l’hypothèse que les deux tableaux représentent les mêmes choses.
En effet, la statistique Kh est égale à 1 558, alors que la loi du Khi-deux pour ces
paramètres nous donne un fractile de 201,4. Mais nous savons que la dernière tranche d’âge
ne représente pas la même mortalité et ne peut pas être pris en compte pour la mortalité.
Dans l’Annuaire Statistique, celle-ci représente la mortalité de la tranche d’âge
« 80 ans et plus » alors que dans la Situation Démographique, elle ne représente que la
mortalité de la tranche d’âge « 80 ans – 90 ans ».
Lorsque nous supprimons cette tranche d’âge du test de khi-deux, nous obtenons une
statistique Kh égale à 20 pour un fractile du Khi-deux correspondant de 190. Nous ne
pouvons plus rejeter l’hypothèse de divergence des tableaux. Nous acceptons alors le fait
que les deux tableaux représentent les mêmes grandeurs.
Nous avons alors à notre disposition les données concernant la mortalité de la
population française (en taux par tranche d’âge) pour les années 1946 à 1998.
J. MODRY
30
I.2.3)
Représentation de la mortalité
Afin de nous donner une intuition de l’évolution de la mortalité et de la modélisation
que nous allons pouvoir faire, nous représentons sur un graphique la surface de mortalité
pour les tanche d’âge jusqu’à 80 ans compris (il manque la tranche d’âge « 90 ans et plus »
de la Situation démographique pour les années 1979 –1998).
La surface de mortalité se définit comme étant la représentation de l’évolution de la
mortalité, exprimée en probabilité de décès, dans le temps et pour tous les âges. Il apparaît
alors clairement une décroissance des taux, tous âges confondus.
Surface de mortalité de la Population Française de 1946 à 1998
25%
20%
Probabilité de décès
15%
10%
5%
1976
1980
1986
1991
1996
75
1971
année
57,5
1966
42,5
1961
27,5
1956
12,5
1946 1951
0,5
0%
âge
Ce graphique nécessite quelques observations :
• La mortalité infantile était très forte au départ et n’a cessé de diminuer, ce qui
peut s’expliquer par deux phénomènes :
- A sortie de la seconde guerre mondiale, nous pouvons assez facilement
imaginer les conditions sanitaires difficiles dans lesquelles était plongé le
pays, véhiculant toutes sortes de germes et autres maladies infectieuses dont
les nourrissons sont les premières victimes.
- Les progrès de la médecine et le développement de la pédiatrie et des soins
entourant les enfants dans les familles.
• La mortalité des personnes âgées diminue fortement. Le progrès de la médecine
ont permis des gains notoires sur cette population. En effet, cette population se
caractérise par un état de santé souvent fébrile qu’a pût pallier la découverte de
certains médicaments ou vaccins.
31
• La mortalité des tranches d’âge intermédiaires est quasi-stable, parce qu’elle est
très faible. Nous pouvons supposer qu’elle a atteint son niveau le plus bas, que
nous pourrions appeler mortalité structurelle ou endémique.
• La dernière classe d’âge ne représente pas exactement la même mortalité :
- Pour les années 1946 à 1979, il s’agit de la tranche d’âge « 80 ans et plus »,
- Pour les années 1980 à 1998, il s’agit de la tranche d’âge « 80 – 90 ans ».
Il est donc normal que ces taux décroissent autant dans le temps et que l’on observe
un « décrochage » pour l’année 1979.
Nous pouvons compléter ce graphique par celui de la surface de mortalité mais
pour les années 1979 à 1998, où les probabilités de décès au-delà de 80 ans sont réparties
en deux tranches "80 ans – 89 ans " et "90 ans et plus".
Nous pouvons voir sur ce graphique la progression exponentielle des taux de
mortalité des grands âges.
Surface de mortalité de la Population Française de 1979 à 1998
35%
30%
25%
Probabilité de décès
20%
15%
10%
1979
1984
1989
5%
0%
1994
année
0,5
12,5
27,5
42,5
57,5
75
âge
Nous avons alors une période exploratoire de 52 ans soit 53 tables de mortalité,
allant de 1946 à 19987.
Remarque importante :
Les probabilités de décès observées pour les années 1946 à 1956 sont
particulièrement instables. Si d’aventure, il devait arriver que nos ajustements ne
soient pas acceptables par les conditions que nous nous sommes posées, comme par les
tests statistiques effectuées, il pourrait être utile de supprimer de l’analyse les données
de ces années.
7
Voir les données en Annexe
J. MODRY
32
I.3.
COMPARAISON DES TABLES INSEE AVEC LES TABLES PAR
GÉNÉRATION
L’objet de cette partie est de comparer les tables de génération réalisées par Marc
Hidalgo8 (TPG) et de mettre en exergue leurs divergences par rapport à la mortalité
constatée par les tables de l’INSEE. Pour comparer une table instantanée (ce qu’est la table
de l’INSEE) à une table de génération, il convient de changer l’une en l’autre.
Nous décidons de reconstruire la table instantanée construite par Marc Hidalgo
pour l’année 1998.
Dans la méthode de construction des tables de génération, Marc Hidalgo a projeté la
mortalité sur plus de 100 ans, puis a construit ses tables. Pour retrouver sa table instantanée
Femmes 1998, nous allons faire le cheminement inverse, c’est-à-dire que nous allons
rechercher dans les TPG la table 1998 selon la méthode explicitée ci-dessous.
Il convient de sélectionner les bons nombres dans les TPG. Nous désignons lx,t le
nombre de survivants, à l’année t pour l’âge x. Les tables de mortalité par génération de
Marc Hidalgo se présentent comme suit :
Âge  Génération
Y1887
Y1888
…
Y1993
0
1
lx,t
…
117
Pour avoir la table prospective de 1998, il suffit de prendre tous les lx,t tels que
x+t=1998. Ainsi, sur les tables de génération, cela correspond aux données en gras, comme
indiqué ci-dessous :
)
l x(1998) = l x(TPG
,t
qx(1998) (TPG ) =
8
x + t =1998
lx(1998)
+1
(1998)
lx
Création et Utilisation Simplifiée des Tables de Mortalité de Génération Prospectives Femmes
applicables aux Assurances de Rentes, Marc Hidalgo, novembre 1992, Formation d’Actuaire de
l’Université Louis Pasteur-Strasbourg
Age
1987
1988
1989
1990
1991
33
1992
1993
99450
99471
99217
99248
99277
99149
99183
99215
99246
99083
99119
99154
99187
99220
99019
99057
99094
99130
99164
99197
0
1
2
3
4
5
6
98961
99001
99040
99078
99114
99148
99182
7
98943
98984
99024
99062
99098
99133
99167
8
98927
98968
99008
99046
99083
99118
99152
9
98911
98953
98993
99031
99068
99104
99138
10
98896
98938
98978
99017
99054
99090
99124
11
98885
98927
98968
99007
99044
99080
99115
12
98873
98915
98956
98995
99033
99069
99104
13
98859
98901
98942
98982
99020
99056
99091
14
98842
98885
98926
98966
99004
99041
99076
15
98823
98866
98908
98948
98986
99023
99058
16
98801
98844
98886
98926
98964
99001
99037
17
98774
98818
98860
98900
98939
98976
99012
18
98743
98787
98829
98870
98909
98946
98983
Les taux de mortalité par tranche d’âge ont été reconstruits selon la formule
suivante :
(
m
q1998
x, x + m = 1 − m px
)
où
• x est l’âge d’entrée de classe,
• m est l’amplitude de la classe d’âge : le nombre d’année.
Cette table reconstruite, nous pouvons calculer les probabilités de décès puis
procéder à des comparaisons par rapport aux taux INSEE Femmes 1998 (puisque les TPG
ont été construites sur des tables femmes).
J. MODRY
34
Ainsi, nous calculons le taux de progression entre les deux tables par la formule
suivante :
TP ( x ) =
qx ,1998 ( INSEE ) − qx ,1998 (TPG )
qx ,1998 (TPG )
.
Nous obtenons le tableau suivant qui nous permet de constater que pour les grands
âges, les TPG sont beaucoup plus « généreuses » que la réalité.
Le tableau représente les probabilités de décès entre les deux âges indiqués.
TPG
INSEE
Qx,1998 TPG
Qx,1998 INSEE
5
0,02%
0,53%
3264,93%
10
0,01%
0,02%
33,46%
15
0,03%
0,02%
-36,11%
20
0,04%
0,04%
-4,48%
25
0,05%
0,11%
132,63%
30
0,06%
0,12%
103,92%
35
0,08%
0,14%
68,93%
40
0,12%
0,20%
62,05%
45
0,19%
0,31%
66,59%
50
0,28%
0,48%
72,63%
55
0,40%
0,65%
63,93%
60
0,56%
0,96%
72,08%
65
0,86%
1,48%
71,62%
70
2,32%
2,21%
-4,80%
80
8,40%
4,06%
-51,69%
90
24,22%
11,40%
-52,94%
age
TP(x)
0
Nous pouvons voir sur le graphique en dessous du tableau la divergence des courbes
de taux de mortalité.
35
P r o b a b i lit é d e d é c è s p a r t r a n c h e d 'â g e d e 5 a n s p o u r l'a n n é e 1 9 9 8
d e s T P G e t d e l' I N S E E
25%
20%
15%
10%
5%
0%
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
80
90
Â g e d e d e b u t d e c la s s e
q x ,1 9 9 8 d es T P G
q x , 1 9 9 8 d e l'I N S E E
Conclusion :
Nous voyons que les TPG prévoyaient une mortalité beaucoup plus faible
proportionnellement pour les âges allant de 25 ans à 65 ans. Même si ces taux sont très
faibles, ce sont des classes d’âge dont la mortalité est relativement stable et très faible.
Puis c’est la situation inverse qui se produit, les TPG étant beaucoup plus
agressives que la mortalité réelle.
Nous pouvons alors pleinement nous rendre compte de l’intérêt de la
construction de nouvelles tables de mortalité par génération, sur un modèle qui
devrait permettre de limiter les écarts dans le temps.
II.
RECHERCHE D’UN MODÈLE
Nous allons utiliser le modèle appliqué en Suisse, en Autriche et en Allemagne. La
projection des taux de mortalité se base sur l’équation suivante :
q x (t ) = q x (t − 1) ⋅ e −λx
⇔ q x (t ) = q x (t0 ) ⋅ e −λx (t −t0 )
⇔ λx (t − t0 ) = ln ( qx (t0 ) ) − ln ( qx (t ) )
Nous expliciterons dans l’article l’ensemble des calculs pour la classe d’âge « 70 ans
–79 ans », que nous appellerons par son âge moyen : 75 ans. Tous les calculs ont été fais et
vérifiés sur toutes les classes d’âge.
J. MODRY
36
II.1.
MODÉLISATION DES LAMBDAS
II.1.1) Choix d’un modèle
Le modèle qui se présente spontanément à notre logique est la modélisation des
lambdas par un ajustement linéaire. Nous allons devoir retraiter les données afin de pouvoir
les utiliser sur ce modèle.
D’une part, les taux de mortalité sont par définition un processus de long terme, ils
évoluent selon une tendance très lente, aussi il n’y a pas de raison à ce qu’entre deux taux
d’une même classe d’âge distants d’une année, un écart très grand soit constaté. D’autre
part, il se peut que nos données comportent une certaine forme d’aléas dont nous ne voulons
pas tenir compte pour la projection.
Pour améliorer la continuité des taux de mortalité nous allons procéder à un lissage
par moyenne mobile d’ordre trois. C’est sans doute le lissage le plus pertinent pour nos
données, dans la mesure où il ne tient compte que des valeurs directement voisines. Ce
lissage n’efface pas toutes les irrégularités, mais il en élimine un bon nombre :
Probabilités de décès pour la tranche d'âge "70 ans - 79 ans"
9,00%
8,00%
7,00%
6,00%
5,00%
4,00%
3,00%
2,00%
1,00%
97
19
94
19
88
91
19
19
85
19
79
82
19
19
76
19
73
67
70
19
19
19
61
58
64
19
19
19
55
19
49
52
19
19
19
46
0,00%
Année
Probabilités Observées
Probabilités Lissées
Nous pouvons également constater que ce sont les premières années d’observation
qui sont les plus instables. Pour stabiliser nos projections nous choisissons de les supprimer
de l’analyse. Nous rappelons que ces années d’observation correspondent aux années juste
après la seconde guerre mondiale. Nous avons déjà expliqué en quoi ces données pouvaient
être sujettes à caution, tant sur la collecte de l’information que sur la capacité qu’elles
auraient à représenter la mortalité « normale ».
Notre modélisation ne portera donc plus que sur les probabilités lissées des
années 1956 à 1998.
37
II.1.2) Mesure et tests de validation
Nous avons déjà utilisé ce modèle, mais cette fois-ci, nous allons recalculer les
paramètres à partir de nos nouvelles données.
Lambdas observés et estimés par une fonction linéaire pour la classe d'âge
70 ans -79 ans
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Lambdas Observés
40
42
36
38
32
34
28
30
24
26
20
22
16
18
12
14
10
8
6
4
2
0
0
-0,1
Lambdas Estimés
Probabilités observées et estimées par une fonction affine pour la classe
d'âge 70 ans - 79 ans
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
98
19
94
96
19
19
92
90
19
19
86
88
19
82
84
19
19
78
76
74
72
80
19
19
19
19
19
19
68
70
19
66
19
19
62
64
19
19
60
19
58
19
19
56
0
Année
Probabilités observées
Probabilités estimées
Pour la tranche d’âge « 70 ans – 79 ans », les résultats sont les suivants :
− 0,014901329( t − t0 ) − 0,040973)
q 75 ( t ) = q 75 ( t0 ) ⋅ e (
.
Conformément à la méthodologie développée précédemment, nous présentons le
tableau des résultats comportant toutes les données utiles à la prise de décision :
Nous redéfinissons les Indices de Dispersion Globale et Indice de Dispersion
Partielle pour ces années :
IDG ( f ) =
tn
∑ ( qˆ x, f ( j ) − qx ( j ) )
j = t0
2
=
∑ ( d x, f ( j ) )
1998
j =1956
2
J. MODRY
38
IDP ( f ) =
tn
∑ ( qˆ ( j ) − q ( j ) )
x, f
j = tm
2
x
=
∑ ( d x, f ( j ) )
1998
2
j =1976
où qˆ x , f ( j ) est la probabilité pour la tranche d ' âge x,
estimée par la fonction f en j
Nous trouvons les valeurs suivantes :
IDG
0,000480915
IDP
0,000222925
Rapport
46%
Nous allons maintenant procéder aux tests de vérification. Ils sont de deux sortes : le
test du Khi-deux, et le test de Fisher.
• Le Khi-deux
Nous rencontrons de sérieux problèmes dans l’application de ce test. En effet,
nous pouvons le faire sur deux axes :
- Soit en reconstruisant toutes les tables pour les années 1956 à 1998. Mais en
reconstituant les effectifs nous cumulons alors les erreurs vers les âges de fin
de table. Nous devons alors de facto rejeter l’ajustement.
- Soit par tranche d’âge, sans tenir compte des effectifs des tranches d’âge
précédentes. Le test perd alors toute sa puissance, puisque cela revient à faire
un test du Khi-deux sur des probabilités.
• Le Test de Fisher
Nous pouvons par contre faire le test de Fisher. Ce test se fait dans le cadre de
l’analyse multi-variée de la variance :
H 0 : ax = bx = 0
vs H 0 : ax ≠ 0, bx ≠ 0
t
∑ ( qx (t0 ) ⋅ exp {−( ax ( j −t0 )+bx )} − qx )
FR , x =
2
j = t0
t
∑ ( qx (t0 ) ⋅ exp {−(ax ( j −t0 )+bx )} − qx ( j ) )
j = t0
2
où qx =
1
t − t0
39
t
∑ qx ( j )
j = t0
FR , x →
Fp , n − ( p +1)
H
0
Où Fp ,n −( p +1) désigne une loi de Fisher dont les nombres de degrés de liberté
sont n et n-(p+1), n étant le nombre de classes (ici 43) et p le nombre de paramètres
estimés (ici 2). Sous Ho la statistique FR,x suit une loi de Fisher, et donc la probabilité
d’observation de cette statistique doit dépasser 5 %. Si ce n’est pas le cas nous devons
rejeter Ho .
Pour la tranche d’âge « 70 ans – 79 ans » cette probabilité est de 0,06 %, nous ne
pouvons pas rejeter l’hypothèse de la non significativité de la régression réalisée.
Ce test valide notre modèle sur la quasi-totalité des tranches d’âge, sauf : pour les
tranches d’âge entre 15 et 30 ans. Mais nous pouvons noter que les probabilités pour ces
tranches sont très faibles et très stables, le modèle avec les lambdas ajustés linéairement va
confirmer cette tendance dans le long terme, aussi, sur ces âges, nous pouvons malgré les
résultats, accepter ce modèle.
II.1.3) Conclusion
Nous allons projeter les taux par tranche d’âge selon la forme suivante :
{
}
qx ( t ) = qx ( t0 ) exp − ( ax ( t − t0 ) + bx ) .
Il faut préciser le cas particulier de la tranche d’âge « 90 ans et plus ». Nous
modélisons sur le même modèle mais uniquement sur les années où nous avons
l’information : 1979 à 1998. Le test de Fisher a été fait et confirme le fait que notre
ajustement est acceptable pour cette tranche d’âge également.
II.2.
MODÉLISATION DES RÉSIDUS
Le modèle que nous obtenons alors s’écrit ainsi :
Où
εt− t
0
{
}
qx (t ) = qx (t0 ) ⋅ exp − λx (t − t0 ) + ε t −t0 
désigne le résidu de niveau t-t0. Nous allons chercher à modéliser ces
résidus de l’ajustement choisi par des séries chronologiques.
Pour la tranche d’âge observée, « 70 ans – 79 ans », les résidus sont les suivants :
J. MODRY
40
42
40
38
36
34
32
30
28
24
26
22
20
18
16
14
12
8
10
6
4
0
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
2
Résidus d'un ajustement linéaire des lambdas pour la tranche d'âge "70 ans - 79 ans"
t-t0
Nous voyons que cette chronique n’a pas vraiment une forme usuelle de série. En
calculant les différences premières, nous aurons une chronique bien plus stable, et donc plus
facilement modélisable, comme nous pouvons le voir sur le graphique suivant :
Différence d'ordre 1 des Résidus d'un ajustement linéaire des lambdas pour la
tranche d'âge "70 ans - 79 ans"
0,04
0,03
0,02
0,01
41
39
37
35
33
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
0
-0,01
-0,02
-0,03
-0,04
-0,05
t-t 0
Nous avons fait un test des signes afin de déterminer si les résidus étaient soumis à
une tendance et de savoir si nous devions nous orienter vers un processus TS ou DS. Nous
avons pu constater qu’il n’y avait aucune tendance linéaire9. Nous savons alors que nous
sommes en présence d’un processus aléatoire de type DS10. Nous allons chercher à le
stationnariser par différenciation.
II.2.1) Recherche d’un modèle aléatoire
a)
Recherche de stationnarité.
Le corrélogramme de la série nous montre bien que la série n’est pas stationnaire.
9
Ce qui est assez logique dans la mesure où les résidus proviennent précisément d’une différence
entres les données lissés et l’ajustement linéaire de ces données.
10
Ceci a été vérifié pour toutes les classes d’âge.
41
Corrélogramme de la série des résidus différenciés au premier
ordre.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
intervalle (lag)
La série différenciée au premier ordre présente un Auto-Corrélogramme plus
satisfaisant :
Corrélogramme de la série des résidus.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-0,4
intervalle (lag)
Nous voyons, de prime abord, que la série semble stationnaire lorsqu’on la
différencie une fois. Nous allons effectuer un test de Dickey et Fuller Augmenté (DFA)
pour nous assurer de ceci.
•
Stationnarité directe.
Nous commençons par tester la stationnarité de la série non filtrée. Le résultat
est sans grande surprise, et comme nous pouvions nous en douter la
stationnarité est rejetée :
- Statistique ADF : 0,1354
- Valeur critique au seuil 10% : -2,6048
•
Stationnarité sur différenciation d’ordre un.
Nous cherchons ensuite à tester la stationnarité sur les différences premières.
Le résultat est très satisfaisant :
- Statistique ADF : -3,6548
J. MODRY
42
- Valeur critique au seuil de 1% : -3,5973
Nous acceptons la stationnarité. Nous savons alors que nous pouvons trouver
un modèle ARMA sur les différences premières, soit un modèle ARIMA (p,d,q)
dont le paramètre d est égal à 1.
b) Recherche d’un modèle ARIMA pour la série.
Nous allons chercher à estimer le nombre de paramètres de la série. Le
Corrélogramme de cette série est le suivant11 :
Corrélogramme des résidus différenciés à l'ordre1.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-0,4
-0,6
Intervalle
Nous voyons une cassure sur le graphique du Corrélogramme au niveau de
l’intervalle 2. Le paramètre p aura sans doute la valeur 1 ou 2.
Le Corrélogramme Partiel ne présente aucune tendance nous permettant de supposer
un nombre pour le paramètre q.
Corrélogramme Partiel des résidus différenciés à l'ordre 1.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Intervalle
11
Nous n’avons pas intégré le coefficient d’auto-corrélation d’ordre 0 : il est toujours égal à un (la
série est toujours corrélée avec elle-même).
43
Nous pouvons supposer qu’il n’aura pas de valeur, c’est-à-dire que q aura la valeur
0. Nous allons donc essayer un modèle ARIMA (1,1,1) puis en fonction des résultats nous
verrons vers quel modèle nous devons nous tourner.
•
ARIMA(1,1,1)
Nous observons d’abord la stabilité et l’inversibilité du processus. Le logiciel
d’analyse de Séries Temporelles JMP calcule les racines des polynômes régresseurs. Si ces
racines sont à l’extérieur du cercle unitaire du plan complexe alors le processus est
stationnaire et inversible12. Ce modèle est stable et inversible pour nos données.
Nous regardons ensuite le R2 de cette série. Nous rappelons que le R2 mesure la
qualité d’ajustement d’un modèle. Plus il est proche de 1, plus l’ajustement est satisfaisant.
Il est de 0,9469. En faisant un test de Fisher sur cette valeur nous obtenons une probabilité
de 39,62 %. Nous ne pouvons pas rejeter l’ajustement.
Nous effectuons un test de Student sur les paramètres afin de tester leur pertinence.
Les probabilités de non-pertinence sont les suivantes :
Paramètre
Probabilité
AR1
0,0002
MA1
0,6722
La probabilité de non-significativité du paramètre AR est très inférieure à 5 %. Nous
pouvons l’accepter. Par contre, la pertinence du paramètre MA est remise en cause, sa
probabilité de non-significativité dépassant de beaucoup 5 %. Nous ne pouvons pas
accepter ce modèle. Nous allons chercher un modèle sans paramètre MA.
•
ARI(1,1)
Comme précédemment, nous vérifions la stabilité et l’inversibilité du processus. Le
processus est stable et inversible. Nous pouvons tester son R2 . Il est de 0,9494. Sa
probabilité de réalisation est de 33,55 %. Nous ne pouvons rejeter l’ajustement. Nous
pouvons à présent tester la significativité du paramètre AR.
Paramètre
Probabilité
AR1
0,0001
La probabilité de non-significativité du paramètre AR est très inférieure à 5 %. Nous
pouvons l’accepter.
12
Titre I–Chap. 5 – 6) Conditions de stationnarité et d’inversibilité, p. 33.
J. MODRY
44
Ce modèle peut être accepté. Nous allons nous assurer qu’un autre modèle ne
conviendrait pas mieux.
•
ARI(2,1)
Le processus est stable et inversible. Le R2 est de 0,9494, sa probabilité de
réalisation est de 39,53 %. Nous ne pouvons donc pas rejeter l’ajustement. L’estimation des
paramètres fournit une réponse à notre question : le paramètre AR2 vaut 0, le test de
Student ne peut pas être fait. Ce paramètre n’a pas de pertinence.
Nous acceptons le modèle ARI(1,1) soit ARIMA(1,1,0). Les paramètres sont
estimés :
Paramètre
Valeur
AR1
0,6017641
Constante
0,00008912
Nous allons pouvoir précéder à l’ensemble des tests statistiques d’acceptation.
II.2.2) Tests de vérification
Nous allons procéder à l’ensemble des tests nécessaires à valider notre modèle. En
effet, il faut que les nouveaux résidus13 obtenus à partir de la régression linéaire sur les
lambdas et le processus ARIMA soient un bruit blanc. Donc, ils doivent avoir une
espérance nulle, pas de tendance, pas d’autocorrélation, même variance et enfin, si cela est
possible, une distribution gaussienne.
Les résidus sont les suivants :
Résidus d'un ARIMA (1,1,0) sur les Résidus des lambdas pour la
classe d'âge " 70 ans - 79 ans"
0,03
0,02
0,01
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
-0,01
-0,02
-0,03
-0,04
t-t0
13
Dans la suite du mémoire, lorsque nous parlerons de résidus, ce sera pour désigner les nouveaux
résidus.
a)
45
Test de la nullité de la moyenne des résidus.
La moyenne des résidus est de –0,000 264 625. Nous rappelons que pour pouvoir
accepter la nullité de la moyenne d’une distribution, il faut que la moyenne de l’échantillon
soit, en valeur absolue, inférieure à 1,96
σε
n
où
σε
désigne l’écart type de l’échantillon et
n la taille de cet échantillon. Nous perdons une valeur lors du processus ARMA(1,1,0), n
vaut donc 42.
σ ε = 0,0133225 ⇒ 1,96
σε
n
= 0, 004078 .
Nous acceptons l’hypothèse de nullité de la moyenne des résidus.
b)
Test d’existence d’une tendance.
Bien qu’il nous apparaisse évident sur le graphique que les résidus ne présentent pas
de tendance, nous avons procédé à un test des signes. Ce test se base sur le nombre s
d’écarts positifs entre deux valeurs successives. On rejette l’hypothèse de bruit blanc, au
s − µs
seuil de 95 %, si
> 1,96 .
σs
s − µs
σs
= 1, 069044 .
Nous acceptons l’hypothèse qu’il n’y a pas de tendance.
c)
Test de recherche de corrélation
Nous avons procédé à un test de Von Neumann. Le ratio de Von Neumann est
n −1
RVN =
∑ ( Ri − Ri +1 )
i =1
n −1
∑ ( Ri − µ R )
2
, où Ri désigne les résidus classés par ordre croissant. L’hypothèse
2
i =1
d’indépendance est rejetée, au seuil de 95 %, si RVN > 1,67.
Or RVN = 0,03157. Nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse d’indépendance des
résidus entre eux.
d)
Test d’homoscédasticité
Nous effectuons un test de Fisher sur deux sous-échantillons de l’échantillon, de telle
sorte que tous les effectifs appartiennent à l’un des deux sous-échantillons. Grâce au rapport
des variances corrigées des échantillons nous construisons un intervalle de confiance d’une
loi de Fisher dont les degrés de liberté sont les tailles des échantillons. Si 1 appartient à cet
J. MODRY
46
intervalle, nous pouvons en déduire que le rapport des vraies variances est de 1, donc
qu’elles sont égales.
Les valeurs obtenues de l’intervalle de confiance sont
[ 0, 4745; 2,8825] . Le nombre 1 y appartient, nous pouvons accepter l’homoscédasticité.
e)
Test de normalité
Nous effectuons un test de Jarque et Bera. Celui-ci repose sur le fait que, si les
résidus sont gaussiens, alors une combinaison linéaire des carrés des Skweness et Kurtosis
suivra une loi du Khi-deux à 2 degrés de liberté. Nous obtenons une statistique s égale à
1,1840. Ce n’est pas un évènement rare pour un Khi-deux à deux degrés de liberté. Sa
probabilité de réalisation est supérieure à 5 %. Nous acceptons la normalité.
Les résidus ont satisfait à tous les tests. Nous sommes en présence d’un bruit
blanc. Nous pouvons accepter l’ajustement par un modèle ARIMA (1,1,0).
II.3.
CONCLUSION
Après avoir testé entièrement notre modèle, nous proposons de modéliser l’évolution
des probabilités de décès par le modèle suivant :
− 0,014901329( t − t0 ) − 0,040973+ ARI (1,1) + ε )
qˆ 75 ( t ) = qˆ 75 ( t0 ) ⋅ e (
où ε 
→ N ( 0; σ ε ) .
Il est important de signaler que ce modèle n’a pu être appliqué à toutes les tranches
d’âge. En effet, en dessous de 40 ans, aucun modèle pour aucune tranche d’âge n’a pu être
retenu. Pour la dernière tranche d’âge (« 90 ans et plus »), la taille de l’échantillon ne nous a
pas paru suffisant pour faire une modélisation par des séries temporelles.
Mais entre 40 ans et 89 ans, pour toutes les tranches d’âge, nous avons pu modéliser
les résidus par des séries chronologiques. Il est à préciser qu’elles ont toutes la même forme,
une forme de corrélogramme très proche, et se stationnarisent toutes par différenciation
première.
Nous proposons donc de projeter les taux pour chaque tranche par les modèles
suivants :
Où x désigne l’âge de milieu de classe.
q
x
( t ) = q x (1956 ) ⋅ exp {ax ( t − 1956 ) + bx + ε x,t −1956 } .
Age
- 1 ans
2 à 4 ans
5 à 9 ans
10 à 14 ans
15 à 19 ans
20 à 24 ans
25 à 29 ans
30 à 34 ans
35 à 39 ans
40 à 44 ans
45 à 49 ans
50 à 54 ans
55 à 59 ans
60 à 64 ans
65 à 69 ans
70 à 79 ans
80 à 89 ans
90 ans et +
a
0,041641
0,054271
0,027843
0,02198
0,0116
0,002198
0,005125
0,005805
0,00738
0,00866
0,010556
0,01244
0,01398
0,01431
0,0151
0,014901
0,013706
0,0156204
b
0,082043
-0,02032
-0,12488
-0,15865
-0,14561
-0,10006
0,083699
0,110963
0,02176
0,04895
0,010866
0,01149
-0,02127
-0,05622
-0,0691
-0,04097
-0,03998
-0,0523218
47
Résidus
ARI(1,1)
ARI(1,1)
ARI(1,1)
ARI(3,1)
ARI(1,1)
ARI(1,1)
ARI(1,1)
ARI(1,1)
Nous avons entièrement défini notre modèle de projection pour toutes les
tranches d’âge. Une fois les projections calculées, il ne nous reste plus qu’à
recomposer l’ensemble des tables par génération. Nous resterons toutefois modeste
dans nos projections, ainsi nous ne créerons les tables uniquement pour les
générations nées entre 1940 et 2010.
III.
CONSTRUCTION DES TABLES PAR GÉNÉRATION
III.1. RECONSTRUCTION DES TABLES PAR GÉNÉRATION
Nos projections réalisées, il s’agit de redistribuer les taux de mortalité par
génération. Ainsi la table de mortalité pour la génération t0 est un vecteur colonne :




 k qx ( t ) 



t − x =t0
où k qx ( t ) représente la probabilité pour une tête d’âge x de décéder dans k années, évaluée
en t. Nous voyons que si t-x=t0, nous avons reconstruit la table (partielle14) de mortalité pour
la génération née en t0.
14
Partielle parce que les probabilités de décès sont des probabilités moyennes par tranche d’âge, et
non des probabilités annuelles.
J. MODRY
48
III.2. RÉPARTITION DES TAUX ENTRE LES TRANCHES D’ÂGE
Il faut à présent recomposer les taux de mortalité à l’intérieur de chaque tranche
d’âge. Nous rappelons pour mémoire que les taux de mortalité modélisés étaient des taux
moyens annuels par tranche d’âge. Afin de rester fidèle à la réalité nous considérons ces
taux comme des taux de milieu de classe. Mais comme les classes sont composées de
nombre d’années impaires la plupart du temps et afin de rester prudent dans la construction
des tables, nous prenons le premier âge entier au-dessus de l’âge médian de la classe. Ainsi,
pour le taux de la classe d’âge « 5 ans à 10 ans », nous choisissons « 7 ans » comme âge
moyen.
Pour les répartir, nous allons faire une interpolation linéaire entre les taux extrapolés.
Ainsi, nous appliquons la formule suivante pour retrouver les taux entre 0 an et 80 ans.
h
 h
qx + h,t0 =  1 −  ⋅ qx ,t0 + qx + n,t0
n
n


où
qx,t0 est la probabilité de décès observée pour l’âge x de la génération t0.
n : l’intervalle de temps entre deux probabilités observées ou extrapolées, c’est
donc l’amplitude de la classe d’âge (n = 5 ou 10 ).
h : l’intervalle de temps entre l’âge d’observation et l’âge calculé.
Pour l’intervalle 80 ans – 90 ans, nous avons procédé autrement, l’objectif étant de
pouvoir projeter le taux 90 ans pour finir les tables. Nous avons décider de faire un
ajustement exponentiel entre ces âges. Nous avons implicitement posé que :
q x + h;t0 = exp ( a x ⋅ ( x + h ) + bx )
Les paramètres
ax et bx étant déterminés par les moindres carrés appliquée sur le
q90,t0 .
logarithme népérien des deux probabilités observées. C’est-à-dire : q80,t0 et
III.3. CONSTRUCTION DES TABLES
Nous avons alors appliqué la méthode récursive suivante pour déterminer les Tables
par génération sous leur forme usuelle : en lx.
(
)
lx ,t0 = lx −1,t0 ⋅ 1 − qx −1,t0 .
III.4. PRÉSENTATION DES RÉSULTATS
Nous présentons les espérances de survie (en nombre d’années) pour plusieurs
générations et plusieurs âges afin de permettre les comparaisons.
49
III.4.1) Les Tables Hommes
Table TPG Hommes sans correction des résidus
1950
1960
1970
1980
1990
1993
1995
2000
2005
2010
40 ans
36,30
38,10
39,99
41,97
44,07
44,72
45,17
46,29
47,45
48,65
50 ans
27,84
29,56
31,37
33,29
35,32
35,95
36,38
37,48
38,61
39,78
60 ans
20,17
21,72
23,38
25,16
27,06
27,66
28,06
29,10
30,17
31,29
70 ans
13,35
14,71
16,18
17,78
19,51
20,06
20,43
21,39
22,39
23,43
80 ans
9,39
10,55
11,83
13,22
14,75
15,24
15,57
16,43
17,33
18,27
90 ans
7,10
8,05
9,12
10,30
11,61
12,04
12,33
13,08
13,87
14,71
Table TPG Hommes avec correction des résidus
1950
1960
1970
1980
1990
1993
1995
2000
2005
2010
40 ans
39,32
41,14
43,08
45,12
47,30
47,99
48,46
49,68
50,96
52,31
50 ans
30,83
32,56
34,38
36,31
38,40
39,06
39,52
40,69
41,93
43,24
60 ans
22,88
24,42
26,07
27,85
29,80
30,43
30,86
31,97
33,15
34,41
70 ans
15,79
17,12
18,57
20,18
21,97
22,55
22,95
23,99
25,11
26,31
80 ans
10,19
11,31
12,56
13,99
15,62
16,15
16,52
17,50
18,56
19,70
90 ans
7,09
8,12
9,30
10,67
12,27
12,80
13,17
14,15
15,21
16,37
Afin de nous rendre compte de l’impact de la correction des résidus, nous allons
mesurer le gain ou la perte en nombre d’années d’espérance de vie. Nous calculons la
différence entre les espérances avec correction et les espérances sans correction.
Différences entre les espérances de vie des TPG avec correction des résidus
et sans correction des résidus pour les Hommes
1950
1960
1970
1980
1990
1993
1995
2000
2005
2010
40 ans
3,02
3,04
3,10
3,15
3,23
3,27
3,30
3,38
3,50
3,66
50 ans
3,00
3,00
3,01
3,02
3,08
3,11
3,13
3,21
3,32
3,46
60 ans
2,72
2,70
2,69
2,69
2,74
2,77
2,79
2,87
2,98
3,13
70 ans
2,44
2,41
2,39
2,40
2,46
2,49
2,52
2,61
2,73
2,89
80 ans
0,81
0,76
0,74
0,76
0,86
0,91
0,95
1,07
1,23
1,43
90 ans
-0,01
0,07
0,19
0,37
0,65
0,76
0,84
1,07
1,34
1,66
J. MODRY
50
Comparaison de l'évolution de l'espérance de vie pour les Hommes
selon la génération et l'âge atteint
60
50
40
30
20
10
0
1950
1960
1970
1980
1990
1993
1995
2000
2005
2010
Génération
40 ans avec résidus
40 ans sans résidu
60 ans sans résidu
80 ans sans résidu
III.4.2) LES TABLES FEMMES
Tables TPG Femmes sans correction des Résidus
40 ans
50 ans
60 ans
70 ans
80 ans
90 ans
1950
44,84
35,61
26,68
18,13
12,20
7,66
1960
46,93
37,61
28,55
19,80
13,47
8,44
1970
48,97
39,57
30,39
21,46
14,74
9,24
1980
50,95
41,48
32,19
23,10
16,01
10,05
1990
52,85
43,31
33,93
24,69
17,26
10,88
1993
53,41
43,85
34,44
25,17
17,63
11,13
1995
53,77
44,20
34,77
25,48
17,88
11,30
2000
54,67
45,07
35,60
26,25
18,50
11,72
2005
55,55
45,92
36,41
27,00
19,11
12,14
2010
56,40
46,75
37,20
27,74
19,71
12,56
Tables TPG Femmes après correction des Résidus
1950
1960
1970
1980
1990
1993
1995
2000
2005
2010
40 ans
46,19
47,04
48,86
50,73
52,60
54,47
55,03
55,41
56,34
57,28
50 ans
37,01
37,79
39,58
41,36
43,16
44,95
45,49
45,86
46,76
47,67
60 ans
28,07
28,84
30,49
32,17
33,85
35,56
36,08
36,42
37,29
38,16
70 ans
19,53
20,16
21,63
23,15
24,70
26,28
26,77
27,09
27,91
28,73
80 ans
11,68
12,26
13,46
14,73
16,05
17,43
17,86
18,15
18,87
19,61
90 ans
7,41
7,85
8,75
9,72
10,75
11,85
12,19
12,42
13,01
13,62
Différences entre les espérances de vie des TPG avec correction des résidus
et sans corrections des résidus pour les Femmes
1950
1960
1970
1980
1990
1993
1995
2000
2005
2010
40 ans
1,36
0,11
-0,11
-0,21
-0,25
1,07
1,26
0,74
0,79
0,87
50 ans
1,40
0,18
0,00
-0,11
-0,16
1,11
1,29
0,78
0,84
0,92
60 ans
1,39
0,28
0,10
-0,02
-0,07
1,12
1,30
0,82
0,87
0,95
70 ans
1,39
0,36
0,17
0,05
0,00
1,12
1,29
0,84
0,90
0,99
80 ans
-0,52
-1,21
-1,28
-1,28
-1,21
-0,20
-0,02
-0,35
-0,23
-0,10
90 ans
-0,26
-0,59
-0,48
-0,33
-0,13
0,72
0,89
0,70
0,87
1,06
51
Comparaison de l'évolution de l'espérance de vie pour les Femmes
selon la génération et l'âge atteint
70
60
50
40
30
20
10
0
1950
1960
1970
1980
1990
1993
1995
2000
2005
2010
Génération
40 ans sans résidu
60 ans sans résidu
80 ans sans résidu
III.5. COMPARAISON AVEC LES TPG DE MARC HIDALGO
Afin d’effectuer la comparaison avec les résultats de Marc Hidalgo, nous allons
indiquer les espérances de vie selon ses TPG.
Tables Femmes TPG de Marc Hidalgo
1950
40 ans
50 ans
60 ans
70 ans
80 ans
90 ans
37,75
28,74
19,85
11,97
6,87
1960
46,80
38,43
29,36
20,37
12,37
7,10
1970
47,51
39,09
29,96
20,89
12,77
7,34
1980
48,88
40,39
31,15
21,92
13,58
7,84
1990
50,20
41,64
32,30
22,94
14,41
8,37
1993
51,48
42,85
33,43
23,96
15,25
8,92
III.5.1 ) Comparaison avec les Hommes.
Nous allons commencer par calculer les différences avec nos TPG sans résidus :
Différences entre les espérances de vie avec nos TPG sans correction des résidus
et les espérances des TPG Marc Hidalgo pour les Hommes
1950
40 ans
50 ans
60 ans
70 ans
80 ans
90 ans
-9,92
-8,58
-6,50
-2,59
0,23
1960
-8,70
-8,87
-7,63
-5,66
-1,82
0,95
1970
-7,52
-7,72
-6,58
-4,71
-0,94
1,78
1980
-6,91
-7,10
-5,98
-4,14
-0,36
2,46
1990
-6,13
-6,32
-5,24
-3,43
0,35
3,25
1993
-6,75
-6,90
-5,77
-3,90
-0,01
3,11
J. MODRY
52
Différences entre les espérances de vie avec nos TPG avec correction des résidus
et les espérances des TPG Marc Hidalgo pour les Hommes
1950
40 ans
50 ans
60 ans
70 ans
80 ans
90 ans
-6,92
-5,86
-4,06
-1,78
0,23
1960
-5,67
-5,87
-4,93
-3,25
-1,06
1,02
1970
-4,43
-4,72
-3,89
-2,31
-0,21
1,96
1980
-3,76
-4,08
-3,29
-1,74
0,41
2,83
1990
-2,90
-3,24
-2,50
-0,97
1,21
3,90
1993
-3,48
-3,79
-3,00
-1,41
0,90
3,88
Remarques : nous voyons que nos TPG n’ont pas la même structure que celles de Marc
Hidalgo, elles semblent plus généreuses en terme de mortalité pour les générations au sortir
de la seconde guerre mondiale, mais plus prudente ensuite. Cependant, nous constatons
qu’avec ou sans résidus, notre mortalité prévisionnelle devient plus faible que celle qui est
prévue par les TPG actuelles sur les générations plus proches et pour les grands âges.
Cependant, rappelons que les TPG actuelles sont établies sur la mortalité féminine qui est
bien plus faible que celle des hommes.
III.5.2 ) Comparaison avec les Femmes.
La comparaison va prendre ici tout son sens puisque nous allons pouvoir comparer
des constructions similaires.
Différences entre les espérances de vie avec nos TPG sans correction des résidus
et les espérances des TPG Marc Hidalgo pour les Femmes
1950
40 ans
50 ans
60 ans
70 ans
80 ans
90 ans
-2,14
-2,06
-1,72
0,23
0,80
1960
0,13
-0,82
-0,80
-0,57
1,10
1,34
1970
1,46
0,48
0,43
0,57
1,97
1,90
1980
2,07
1,09
1,04
1,18
2,43
2,21
1990
2,65
1,67
1,63
1,75
2,85
2,51
1993
1,93
1,00
1,01
1,21
2,39
2,21
Différences entre les espérances de vie avec nos TPG avec correction des résidus
et les espérances des TPG Marc Hidalgo pour les Femmes
1950
40 ans
50 ans
60 ans
70 ans
80 ans
90 ans
-0,74
-0,67
-0,32
-0,29
0,54
1960
0,24
-0,64
-0,52
-0,21
-0,11
0,75
1970
1,35
0,48
0,53
0,75
0,69
1,41
1980
1,85
0,98
1,02
1,23
1,15
1,88
1990
2,40
1,52
1,55
1,76
1,65
2,39
1993
3,00
2,10
2,13
2,32
2,19
2,93
53
Remarque : la structure révélée sur les hommes se confirme ici, nos TPG devenant plus
prudentes pour les générations les plus proches.
III.6. CONCLUSION
Nous pouvions nous attendre à un tel résultat même s’il semble que les écarts soient
faibles. Le plus surprenant est le fait que, selon notre construction, la mortalité masculine
deviendra inférieure à la mortalité féminine pour les générations à naître. L’impact de la
modélisation des résidus est bien plus faible pour les femmes que pour les hommes, mais
persiste à demeurer plus prudentielle.
CONCLUSION
Ce sujet passionnant n’a certes pas trouvé ici une réponse unique. D’abord, il est
nécessaire de rappeler que la mortalité future n’est pas le seul paramètre à prendre en
compte dans l’analyse des portefeuilles de rentiers. En effet, le risque d’anti-sélection et les
résultats financiers et techniques des premières années de vie du portefeuille peuvent être
très importants sur certains portefeuilles de rentes viagères.
Les résultats de notre étude confirment le fait que les TPG de Marc Hidalgo ne
semblent plus convenir pour représenter la mortalité, bien que les écarts ne soient pas très
grands pour les générations déjà nées.
Nous avons également mis en avant que, selon notre modèle, nous constaterons dans
l’avenir un rattrapage de la survie des hommes sur celles des femmes. Cependant, il
convient de rappeler que ce phénomène est observé pour les générations à naître et dont la
totalité des tables a été obtenue par projection, avec tout ce que cela comporte comme
retenue.
De plus, tant de paramètres interviennent dans la projection de la mortalité que les
possibilités de tables à partir des même données semblent infinies.
Le choix de la méthode de lissage, par exemple, n’a pas été mesuré sur la projection
finale des taux. Nous avons en effet pris le parti de lisser les taux par rapport à leurs
voisinages directs pour les taux provenant d’une même tranche d’âge. Nous aurions pu
envisager un lissage par surface, notamment par un lissage de Bernstein. De plus, l’impact
du choix de l’intervalle d’observation est également un paramètre déterminant dans la
projection des taux. Nous avons attribué le même poids à chacune des années d’observation
des taux de mortalité, il aurait pu être envisagé de modéliser l’évolution des taux en
pondérant les taux de mortalité en fonction de la distance par rapport au début de la
projection en terme de temps.
J. MODRY
54
Pour s’assurer simultanément de la positivité et de la décroissance des taux de
mortalité, nous aurions pu également envisager de modéliser la fonction multiplicatrice du
taux d’origine sous une autre forme, notamment une fonction qui aurait pour graphique une
hyperbole, ou en tout cas, une partie d’hyperbole. Un polynôme de degré trois conviendrait,
une fonction de type Cobb-Douglas également, ou encore la racine carrée inverse.
La modélisation des résidus est également un sujet où les pistes de recherche
semblent grandes. Le nombre d’années sur lequel nous avons construit nos séries
chronologiques peut très certainement être critiqué, même si tous les tests statistiques
confirment notre modèle. Cette modélisation n'a encore jamais été envisagée dans la
projection de taux de mortalité. Le fait que cela se fasse à travers une exponentielle nous
garantissait la positivité des probabilités.
Nous avons fait le choix de construire ces tables par rapport au modèle germanique
utilisé en Suisse, en Autriche ou en Allemagne, il serait intéressant de voir les résultats
d’une modélisation par le modèle utilisé au Royaume-Uni, dont on peut supputer que la
structure de la mortalité ne devrait pas être sensiblement différente de celle de la population
française.
De même l’origine de la mortalité pourra un jour être pris en compte lorsque les
données, nécessaires à la construction d’un modèle et à la pertinence des résultats,
existeront.
Enfin, la modélisation des grands âges demeure un problème entier tant le nombre de
statistique est faible.
BIBLIOGRAPHIE
•
Construction de Tables de Mortalité par génération pour la population française, J.
MODRY, Magistère d’Actuariat – Université Louis Pasteur – Strasbourg, 2001.
•
Cours de statistique mathématique, Alain MONFORT, éd. Economica.
•
Statistiques et Modèles Econométriques, C. GOURIEROUX - A. MONTFORT, Ed.
Economica.
•
Table Statistique, éd. Ceresta.
•
Analyse des séries temporelles en Economie, R. BOURBONNAIS - M. TERRAZA, Ed.
Puf.
•
La Situation Démographique en 1998, Ed. INSEE.
•
55
Création et Utilisation Simplifiée des Tables de Mortalité de Génération Prospectives
Femmes applicables aux Assurances de Rentes, Marc HIDALGO, novembre 1992,
Formation d’Actuaire de l’Université Louis Pasteur – Strasbourg.
•
Les Rentes Viagères : Mortalité d’expérience et Réassurance, Sophie TERRIER,
Mémoire du CNAM, 2000.
•
Mitteilungen des Aktuarvereingung Österreichs, Heft 9, November 1997 : Herleitung
des Stabetafel AVÖ 1996R für Rentenversicherungen, S. JÖRGEN, F.G. LIEBMANN,
F.W. PAGLER und W. SCHACHERMAYER.
•
Lebensversicherungsmathematik, Michael KOOLER und Verena GELPKE.
•
Cours de statistique de Première et Deuxième Année de Magistère d’Actuariat – ULP
– Strasbourg.
J. MODRY
56
ANNEXES
Tables de Mortalité par génération pour la population française féminine
(tables avec correction des résidus)
Âge
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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21
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29
30
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32
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35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1945
100000
99558
99172
98843
98568
98348
98182
98124
98073
98027
97981
97948
97920
97893
97862
97829
97792
97752
97709
97662
97610
97553
97492
97427
97361
97296
97230
97164
97098
97029
96957
96883
96805
96725
96639
96549
96453
96352
96246
96111
95971
95825
95674
95540
95393
95232
95059
94873
94673
94461
94237
1950
100000
99777
99581
99411
99269
99231
99141
99103
99068
99035
99002
98974
98948
98922
98893
98860
98823
98782
98738
98690
98639
98584
98526
98465
98404
98343
98281
98219
98158
98092
98024
97952
97877
97799
97717
97631
97541
97447
97350
97213
97070
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96759
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96319
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95776
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1955
100000
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99231
99200
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98913
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98798
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98319
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96813
96655
96487
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1960
100000
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98827
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99060
99010
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98812
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98526
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98310
98232
98151
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99533
99513
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99114
99070
99025
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98823
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99657
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99617
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98826
98767
98705
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98571
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98398
98293
98182
98065
97965
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1980
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99826
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99786
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99660
99634
99606
99577
99544
99510
99473
99434
99393
99351
99309
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99132
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99036
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98934
98879
98821
98760
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98629
98537
98440
98338
98232
98140
98041
97936
97823
97704
97577
97445
97305
1985
100000
99970
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99914
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99869
99846
99826
99806
99786
99766
99746
99726
99706
99684
99660
99633
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99319
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99238
99196
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99109
99064
99017
98969
98918
98864
98808
98748
98686
98602
98513
98420
98322
98238
98147
98050
97947
97837
97721
97599
97471
1990
100000
99980
99961
99944
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99919
99906
99896
99885
99873
99862
99849
99835
99821
99804
99785
99762
99736
99708
99677
99646
99613
99578
99542
99506
99469
99431
99393
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99314
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98936
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98801
98720
98634
98544
98467
98384
98294
98199
98098
97991
97879
97762
1995
100000
99980
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99943
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99901
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99681
99652
99621
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99555
99521
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99415
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99263
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99180
99136
99090
99041
98990
98937
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98791
98712
98630
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98401
98313
98220
98122
98019
97911
2000
100000
99988
99976
99964
99953
99942
99932
99921
99911
99900
99889
99878
99867
99855
99841
99825
99805
99783
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99731
99704
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99645
99614
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99516
99483
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99413
99377
99340
99302
99264
99223
99180
99134
99087
99038
98972
98903
98832
98756
98691
98621
98545
98465
98380
98289
98195
98096
2005
100000
99991
99982
99972
99963
99954
99945
99936
99927
99918
99908
99898
99888
99878
99865
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99831
99811
99787
99763
99737
99710
99682
99653
99623
99592
99562
99530
99498
99465
99432
99397
99362
99326
99288
99248
99206
99162
99116
99056
98993
98927
98858
98798
98734
98664
98590
98512
98429
98342
98251
Âge
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
1945
93999
93749
93487
93205
92904
92585
92247
91891
91520
91134
90733
90318
89889
89420
88912
88365
87782
87161
86469
85706
84874
83976
83014
81990
80835
79394
77681
75713
73513
71101
68502
65741
62845
59842
56758
53607
50400
47151
43876
40593
37320
34077
30888
27772
24754
21856
19099
16503
14086
1950
95113
94864
94600
94322
94031
93726
93408
93077
92734
92378
92009
91629
91237
90808
90344
89844
89310
88741
88107
87408
86646
85822
84940
83999
82937
81598
79995
78142
76059
73764
71281
68631
65839
62930
59928
56849
53702
50499
47254
43983
40702
37431
34190
31000
27885
24865
21964
19204
16603
1955
95487
95254
95010
94754
94487
94207
93915
93611
93297
92973
92637
92292
91936
91547
91126
90672
90186
89670
89093
88457
87764
87015
86211
85354
84386
83152
81664
79934
77979
75816
73464
70945
68279
65489
62599
59622
56568
53446
50269
47049
43802
40546
37299
34081
30913
27817
24816
21932
19185
1960
95790
95576
95353
95118
94873
94617
94349
94072
93785
93489
93184
92871
92548
92196
91814
91402
90961
90492
89968
89391
88762
88081
87351
86571
85690
84555
83176
81565
79734
77700
75479
73091
70554
67888
65116
62250
59300
56272
53176
50025
46832
43611
40381
37158
33963
30818
27743
24762
21895
1965
96177
95980
95775
95560
95335
95100
94855
94600
94338
94069
93791
93507
93215
92895
92548
92175
91775
91348
90873
90349
89777
89158
88494
87785
86984
85940
84663
83162
81449
79537
77443
75182
72771
70229
67574
64823
61980
59051
56046
52973
49845
46674
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