devoir n° 6 17 avril 2015

4V
Durée : 55 min
NOM :
DEVOIR N° 6
Avec Calculatrice
Prénom :
Exercice 1 - 2,5 points (sur la copie)
Résoudre les deux équations suivantes
a. 6𝑥 + 4 = 1
Exercice 2 - 2 points -
17 AVRIL 2015
b. 2(𝑥 + 4) − 3(2 − 𝑥) = 0
(sur la copie)
La figure ci-contre comporte un triangle équilatéral et un rectangle.
1) Exprimer le périmètre de la figure ABCLJD en fonction de 𝑥.
Réduire l’expression obtenue.
2) A quelle condition le périmètre est égale à 10 cm ? (Justifier)
Exercice 3 - 2 points (sur le poly)
Dans le parallélogramme ABCD ci-contre, on a :
𝐴𝐵 = 3𝑥 + 5 et 𝐵𝐶 = 5𝑥 + 1
Quelle doit être la valeur de 𝑥 pour que ce parallélogramme
soit un losange ? Justifier la réponse.
Exercice 4 - 3 points Compléter les égalités :
(sur poly)
784 563 × … … … = 7,845 63
… … … × 2,475 = 247,5
0,05 × … … … = 50
10−4 × 27 =. … … …
0,027 6 × 105 =. . . … …
… … … × 300 = 30
Exercice 5 - 4 points (sur la copie)
En mettant toutes les étapes de calculs, donner l’écriture scientifique et en écriture décimale de ces
nombres :
12 × 10−8 × 21 × (102 )3
4 × 108 × 17 × 10−4
𝐴=
𝐵=
7 × 10−4
8 × 106
Exercice 6 - 2,5 points (sur la copie)
La masse d’un atome de carbone est égale à 1,99 × 10−26 kg. Les chimistes considèrent des
paquets contenant 6,022 × 1023 atomes.
Calculer la masse en grammes d’un tel paquet d’atomes de carbone. Puis donner une valeur
arrondis de cette masse à un gramme près.
Exercice 7 - 4 points (sur la copie)
Une légende raconte que c'est en cherchant la hauteur CD de la pyramide de Kéops en Égypte que
Thalès de Milet (actuelle Turquie) a eu l'idée de faire coïncider l'ombre de la pyramide et celle d'un
bâton [AB] planté verticalement.
1) Expliquer pourquoi on peut appliquer le théorème de Thalès.
2) Sachant que OA = 9 m, AB = 3,5 m, et que OC = 378m, calculer la hauteur de la
pyramide.(Expliquer précisément)
3) Sachant que la pyramide de Kéops a une base carrée de côté 233 m, calculer son volume.
Bonus
(2 points)
(sur la copie)
Quel est le chiffre des unités du résultat de 252 ?
4V
DEVOIR N° 6
Durée : 55 min
NOM :
17 AVRIL 2015
Avec Calculatrice
Prénom :
Exercice 1 - 2,5 points (sur la copie)
Résoudre les deux équations suivantes
a. 𝟔𝒙 + 𝟒 = 𝟏
6 𝑥 + 4 = 1 + 0𝑥
6𝑥 + 4 – 𝟒 = 1 – 𝟒 + 𝟔𝟑
6𝑥
3
=–
𝟔
𝟔
𝑥 = – 0,5
La solution est le nombre – 0,5
b. 𝟐(𝒙 + 𝟒) − 𝟑(𝟐 − 𝒙) = 𝟎
2(𝑥 + 4) − 3(2 − 𝑥) = 0
2𝑥 + 8 − 6 + 3𝑥 = 0
5𝑥 + 2 = 0
5𝑥 + 2 − 𝟐 = 0 − 𝟐
5𝑥 −2
=
𝟓
𝟓
𝑥 = −0,4
La solution est le nombre − 0,4
Exercice 2 - 2 points -
(sur la copie)
La figure ci-contre comporte un triangle équilatéral et un
rectangle.
1) Exprimer le périmètre de la figure ABCLJD en fonction de 𝒙.
Réduire l’expression obtenue.
Le périmètre de ABCLJD est :
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐽𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐿 + 𝐿𝐽 + 𝐽𝐷 + 𝐷𝐴
= 𝑥 + 2 + 𝑥 + 2 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥
𝑃𝐴𝐵𝐶𝐽𝐷 = 5𝑥 + 4
2) A quelle condition le périmètre est égale à 10 cm ? (Justifier)
On cherche 𝑥 telque 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐽𝐷 = 10
5𝑥 + 4 = 10
5𝑥 = 10 − 4
5𝑥 = 6
6
𝑥 = = 1,2
5
Il faut que 𝑥 = 1,2 cm pour que le périmètre soit de 10 cm.
Exercice 3 - 2 points (sur le poly)
Dans le parallélogramme ABCD ci-contre, on a :
𝑨𝑩 = 𝟑𝒙 + 𝟓 et 𝑩𝑪 = 𝟓𝒙 + 𝟏
Quelle doit être la valeur de 𝒙 pour que ce
parallélogramme soit un losange ? Justifier la
réponse.
Pour qu’un parallélogramme soit un losange, il faut que les 2 cotés consécutifs soient égaux.
C'est-à-dire : 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶
3𝑥 + 5 = 5𝑥 + 1
3𝑥 − 5𝑥 + 5 = 1
−2 𝑥 = 1 − 5
−2 𝑥 = −4
−4
𝑥=
=2
−2
Pour que ABCD soit un losange il faut que 𝑥 = 2
Exercice 4 - 3 points (sur poly)
Compléter les égalités :
784 563 × 10−5 = 7,845 63
102 × 2,475 = 247,5
10−4 × 27 = 0,002 7
0,027 6 × 105 = 2 760
0,05 × 103 = 50
10−1 × 300 = 30
Exercice 5 - 4 points (sur la copie)
En mettant toutes les étapes de calculs, donner l’écriture scientifique et en écriture décimale de ces
nombres :
12 × 10−8 × 21 × (102 )3
4 × 108 × 17 × 10−4
𝐴=
𝐵
=
7 × 10−4
8 × 106
−8
6
12 × 21 10 × 10
4 × 17 108 × 10−4
𝐴=
×
𝐵=
×
7
10−4
8
106
12 × 7 × 3
4
×
17
𝐴=
× 10−8+6−(−4)
𝐵=
× 108−4−6
7
4×2
17
𝐴 = 36 × 10−8+6+4
𝐵=
× 10−2
2
𝐴 = 36 × 10
2
𝐵 = 8,5 × 10−2
𝐴 = 3600
𝐵 = 0,085
𝐴 = 3,6 × 103
Exercice 6 - 2,5 points (sur la copie)
La masse d’un atome de carbone est égale à 𝟏, 𝟗𝟗 × 𝟏𝟎−𝟐𝟔 kg. Les chimistes considèrent des
paquets contenant 𝟔, 𝟎𝟐𝟐 × 𝟏𝟎𝟐𝟑 atomes.
Calculer la masse en grammes d’un tel paquet d’atomes de carbone. Puis donner une valeur
arrondis de cette masse à un gramme près.
𝑚 = 6,022 × 1023 × 1,99 × 10−26 kg
𝑚 = 11,983 78 × 1023−26 kg
𝑚 = 11,983 78 × 10−3 kg
𝑚 = 11,983 78 g
La masse d’un paquet d’atomes de carbone est d’environ 12 g.
Exercice 7 - 4 points (sur la copie)
Une légende raconte que c'est en cherchant la hauteur CD de la pyramide de Kéops en Égypte que
Thalès de Milet (actuelle Turquie) a eu l'idée de faire coïncider l'ombre de la pyramide et celle d'un
bâton [AB] planté verticalement.
1) Expliquer pourquoi on peut appliquer le théorème de Thalès.
Le bâton [AB] et la hauteur [CD] sont perpendiculaires au sol (OC) (car verticales) donc les
droites (AB) et (CD) sont parallèles ; on peut donc appliquer le théorème de Thalès.
2) Sachant que OA = 9 m, AB = 3,5 m, et que OC = 378m, calculer la hauteur de la
pyramide.(Expliquer précisément)
Dans le triangle OCD
On sait que :
▪ A ϵ [OC]
▪ B ϵ [OD]
▪ les droites (AB) et (CD) sont parallèles
▪ OA = 9m, AB = 3,5m, et que OC = 378m.
Or d’après le théorème de Thalès
OA OB AB


On obtient
.
OC OD CD
9
3,5

Ainsi
378 CD
3,5  378
 147
Donc CD 
9
Donc La hauteur de la pyramide est 147 mètres.
3) Sachant que la pyramide de Kéops a une base carrée de côté 233 m, calculer son volume.
La base carrée de côté 233 m a pour aire A = 233m × 233m = 54 289m² .
1
1
V = × A × CD = ×54 289 × 147 = 2 660 161
3
3
Donc Le volume de cette pyramide est de 2 660 161 m3.
Bonus : Quel est le chiffre des unités du résultat de 𝟐𝟓𝟐 ?
2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ; 1024 …
On remarque donc que le chiffre des unités est successivement 2, 4, 8 et 6 puis on
recommence perpétuellement ce cycle.
On peut donc les regrouper par groupe de 4
or 52 = 4 × 13
on fait donc 13 paquets des nombres, le dernier et donc celui du dernier paquet est donc 6
donc 252 se termine par un 6.