PROGRAMME DE COLLE S19 - MPSI Saint-Brieuc
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PROGRAMME DE COLLE S19 - MPSI Saint-Brieuc
MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+20 février 2014 PROGRAMME DE COLLE S19 NB : seules les démonstrations des théorèmes, propositions étoilées ne sont pas exigées. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Formule de Taylor-Young Polynômes de Taylor d’une fonction de classe C n Définition : Soit f ∈ C n (I, R) et a ∈ I. On appelle polynôme de Taylor de f en a de degré inférieur ou égal à n, le polynôme Tn défini par : n Tn (x) = f (a) + X f (k) (a) f ′ (a) f ′′ (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n = (x − a)k . 1! 2! n! k! k=0 Formule de Taylor-Young Théorème*.— Formule de Taylor-Young —.Soit n ∈ N un entier naturel et f : I → R une fonction de classe C n sur un intervalle I contenant a. Alors ∀x ∈ I, f (x) = f (a) + f ′ (a) f (n) (a) (x − a) + · · · + (x − a)n + o (x − a)n x→a 1! n! Développements limités Définitions ¯ f : I \ {a} → R et n ∈ N. On dit que f admet un développement limité à Définition : Soit I un intervalle, a ∈ I, l’ordre n au voisinage de a s’il existe un polynôme P ∈ Rn [X] tel que (DLn (a)) ∀x ∈ I\{a}, f (x) = P (x−a)+ o (x−a)n = a0 +a1 (x−a)+a2 (x−a)2 +· · ·+an (x−a)n + o (x−a)n x→a x→a Définition : Soit I un intervalle nom majoré, f : I → R et n ∈ N. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de +∞ s’il existe un polynôme P ∈ Rn [X] tel que (DLn (+∞)) ∀x ∈ I∩R+⋆ f (x) = P 1 a1 a2 an 1 1 + o = a0 + + 2 +· · ·+ n + o n x +∞ x x x x +∞ xn Savoir-faire : pour déterminer un développement limité au voisinage de a (resp. ±∞), le changement de variable x = a + t (resp. x = 1/t) permet de se ramener au voisinage de 0. Théorème*.— Développement de Taylor-Young —.Soit f ∈ C n (I, R), a ∈ I. Alors f possède un développement limité à l’ordre n au point a donné par la Formule de Taylor-Young. Propriétés des fonctions admettant un DL Théorème*.— Unicité du développement limité —. Soit a ∈ I¯∪ {±∞}. Soit f : I \ {a} → R une fonction possédant un développement limité d’ordre n au voisinage de a : f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + · · · + an (x − a)n + o (x − a)n . Les coefficients a0 , a1 , . . . , an sont alors uniquement déterminés. Corollaire*.— Régularité des fonctions possédant un DLn (a) —. Soit f : I → R une fonction admettant un développement limité à l’ordre n ∈ N en un point a de I : f (x) = a0 + a1 (x − a) + a2 (x − a)2 + · · · + an (x − a)n + o (x − a)n . Si n ≥ 0, alors f est continue au point a et f (a) = a0 . Si n ≥ 1, alors f est dérivable au point a et f ′ (a) = a1 . 1 ¯ et f : I \ {a} → R admet un DLn (a), (n ∈ N) alors f est prolongeable par continuité en a Remarque : lorsque a ∈ I, ˜ en posant f (a) = a0 . Si de plus, n ∈ N⋆ , alors ce prolongement est dérivable en a et f˜′ (a) = a1 . Développements limités usuels Théorème.— Au voisinage de l’origine, les fonctions usuelles admettent des développements limités de tous ordres : α ∈ R, ex = ch (x) = sh (x) = cos(x) = sin(x) = tan(x) = (1 + x)α 1 1−x 1 1+x = = x2 x3 x4 xn + + + ···+ + o(xn ) 2! 3! 4! n! x4 x6 x8 x2n x2 + + + + ··· + + o(x2n ) 1+ 2! 4! 6! 8! (2n)! x3 x5 x7 x2n+1 x+ + + + ···+ + o(x2n+1 ) 3! 5! 7! (2n + 1)! x2 x4 x6 x8 x2n 1− + − + − · · · (−1)n + o(x2n ) 2! 4! 6! 8! (2n)! x3 x5 x7 x2n+1 x− + − + · · · + (−1)n + o(x2n+1 ) 3! 5! 7! (2n + 1)! x3 2x5 x+ + + o(x5 ) 3 15 xn x2 + o(xn ) 1 + α x + α (α − 1) + · · · + α (α − 1) · · · (α − n + 1) 2! n! 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · + xn + o(xn ) = 1 − x + x2 − x3 + x4 − · · · + (−1)n xn + o(xn ) ln(1 + x) = Arctan (x) = 1+x+ x2 x3 x4 xn + − + · · · + (−1)n−1 + o(xn ) 23 35 4 n x x x2n+1 x− + + · · · + (−1)n + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1 x− Obtention de développements limités Théorème*.— Opérations sur les développements limités —. Soit f et g admettent des DL d’ordre n à l’origine : avec (P, Q) ∈ Rn [X] × Rn [X] f (x) = P (x) + o xn et g(x) = Q(x) + o xn , Alors (f + g)(x) = (P + Q)(x) + o xn (f × g)(x) = R(x) + o xn , où R ∈ Rn [X] est le polynôme P × Q tronqué à l’ordre n. si de plus f (0) = 0, (g ◦ f )(x) = R(x) + o xn , où R est le polynôme Q ◦ P tronqué à l’ordre n. n X 1 = R(x) + o xn où R est le polynôme (−1)k P k (x) tronqué à l’ordre n. 1 + f (x) k=0 Z x P (t) dt + o(xn+1 ) si F est une primitive de f sur I, alors F (x) = F (0) + si de plus f (0) = 0, 0 Savoir-faire : la mise en œuvre de ces opérations ne s’improvise pas ! vous devez vous entrainer ! Applications des développements limités ◮ au calcul des limites, et à la recherche d’équivalents de fonctions ◮ à l’étude locale des fonctions : continuité, dérivabilité ◮ à la recherche de tangentes, à l’étude des positions relatives du graphe et d’une tangente ◮ à l’étude des branches infinies des fonctions au moyen d’un développement limité au voisinage de ±∞ 2