PREUVES DE LECON LA DERIVATION 1 Preuve de la formule de

PREUVES DE LECON LA DERIVATION
Les fonctions u et v sont dérivables sur le même intervalle, I. On pose, pour h 6= 0 :
u(x + h) − u(x)
v(x + h) − v(x)
tu (x) =
et tv (x) =
.
h
h 0
0
On a limh→0 tu (x) = u (x) et limh→0 tv (x) = v (x)
1
Preuve de la formule de la somme
Le taux d’accroissement de la fonction u + v entre x et x + h, avec h 6= 0, est :
(u + v)(x + h) − (u + v)(x)
u(x + h) + v(x + h) − u(x) − v(x)
tu+v (x) =
=
= tu (x) + tv (x).
h
h
0
0
Donc limh→0 tu+v (x) = limh→0 (tu (x) + tv (x) = u (x) + v (x).
Ainsi, la fonction u + v est dérivable sur I et, pour tout x dans I, (u + v)0 (x) = u0 (x) + v 0 (x).
2
Preuve de la formule du produit
Les formules de taux peuvent s’écrire : u(x + h) = u(x) + htu (x) et v(x + h) = v(x) + htv (x)
Le taux d’accroissement de la fonction uv entre x et x + h, avec h 6= 0, est :
(uv)(x + h) − (uv)(x)
u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x)
tuv (x) =
=
=.
h
h
[u(x) + htu (x)][v(x) + htv (x)] − u(x)v(x)
tuv (x) =
=.
h
2
hv(x)tu (x) + hu(x)tv (x) + h tu (x)tv (x)
tuv (x) =
= v(x)tu (x) + u(x)tv (x) + htu (x)tv (x).
h
Comme :limh→0 htu (x)tv (x) = 0, on a :
limh→0 tuv (x) = u0 (x)v(x) + v 0 (x)u(x)
Ainsi, la fonction uv est dérivable sur I et, pour tout x dans I, (uv)0 (x) = (u0 v)(x) + (v 0 u)(x).
3
Preuve de la formule de l’inverse
Soit t 1 (h) le taux d’accroissement de la fonction
v
t 1 (h) =
1
v(x+h)
−
1
v(x)
=
v(x)−v(x+h)
v(x+h)v(x)
1
entre x et x + h, dans I.
v
h
h
h[v(x) − v(x + h)]
tv (x)
t 1 (h) =
=−
.
v
v(x + h)v(x)
v(x + h)v(x)
Lorsque h tend vers 0, v(x + h) tend vers v(x) et tv (x) vers v 0 x). Ainsi :
v 0 (x)
tv (x)
limh→0 −
=−
v(x + h)v(x)
(v(x))2
1
1
v 0 (x)
La fonction est donc dérivable sur I et, pour tout x dans I, ( )0 (x) = −
.
v
v
(v(x))2
v
4
Preuve de la formule du quotient
On a
u
v
= u × v1 . Les fonctions u et
1
v
étant dérivables sur I,
u
v
l’est aussi. En appliquant
1
successivement la formule du produit puis celle de l’inverse, on obtient : ( uv )0 (x) = u0 (x) × (x) +
v
1
1
u0 (x)
−v 0 (x)
u(x) × ( )0 (x) =
.
+ u(x) ×
v
v(x)
(v(x))2
u0 (x)v(x) − v 0 (x)u(x)
Ainsi : ( uv )0 (x) =
(v(x))2
2