I – Le Théorème de Thalès

Chap2- Configurations de Thalès
Chap2-
Configurations de Thalès
Rappel: Démontrer que deux droites sont parallèles
Ex 2p183:
En utilisant les informations portées sur les figures suivantes, démontrer dans
chacun des cas que (CG) // (EF)
a)
b)
c)
K
C
E x
x C
(d)
x G
F x
E
E
G
F
C
F
G
Chap2-
Configurations de Thalès
La configuration de Thalès vue en 4ème :
ABC est un triangle,
• A, B’, B sont alignés dans cet ordre
• A, C’, C sont alignés dans cet ordre
• (BC)//(B’C’)
A
C’
C
B’
B
Le théorème de Thalès dit alors dans ces conditions que: AB’ = AC’ = B’C’
AB
AC
BC
Autrement dit:
• Les longueurs des côtés du petit triangle et celles du grand sont proportionnelles.
• Le petit triangle est une réduction du plus grand.
I – Le Théorème de Thalès :
• Dans un triangle ABC, où B’ (AB) et C’ (AC)
• Si (BC)//(B’C’)
• Alors
AB’ = AC’ = B’C’
AB
AC
BC
Remarque:
Si un des rapports n’est pas égal aux autres,
alors les droites (BC) et (B’C’) ne sont pas parallèles. (Contraposée)
Configuration 4ème
Configuration papillon
B
B
C’
B’
A
A
B’
C’
C
C
I – Le Théorème de Thalès :
10p192:
Dans chacun des cas, écrire si possible avec les lettres des figures les rapports égaux
A
en conséquence au théorème de Thalès.
S
D
M
B
Q
N
C
E
(DC)//(AB)
P
(MQ)//(NP)
T
F
S
P
N
R
C
M
D
E
Q
(DN)//(FE)
(ST)//(RP)
15p193:
Dans chacun des cas, écrire si possible avec les lettres des figures les rapports égaux
en conséquence au théorème de Thalès.
B
A
H
E
F
C
(AB)//(DE)
M
E
D
(EM)//(HG)
G
Exercice: Thalès et Proportionnalité
Compléter
S
P
?
3cm
L
5cm
O
4cm
N
?
M
N
12cm
Q
P
R
(QP)//(RS)
(LM)//(OP)
NSR est … fois plus grand que NPQ
NOP est … fois plus grand que LMN
PN=
NP=
SR=
MN=
Exercice: Thalès et Proportionnalité (suite)
Compléter
L
D
I
?
C
K
7,2cm
7,5cm
J
A
B
M
E
(BC)//(DE)
ADE est … fois plus grand que ABC
BC=
AE=
(IJ)//(LM)
Exercice corrigé :
Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
1p190: En utilisant les informations portées sur la figure suivante, calculer IJ.
J
?
F
G
?
1,5cm
(IJ) //(GH)
H
I
Rédaction type:
(Nous sommes dans une configuration de Thalès)
• On a: I,F,G et J,F,H sont alignés dans cet ordre.
• Puisque (IJ)//(GH)
• D’après le Théorème de Thalès, on a :
FI = FJ = IJ
FG FH GH
(on remplace par les valeurs)
donc
2,5 = IJ
1
1,5
.
.
donc
IJ = 2,5 x 1,5 = 3,75cm
1
(produit en croix)
Ex 11p193 : Calculer VP et TS.
On donnera la valeur exacte ou l’arrondi à 0,1cm près
P
V
K
4,5cm
T
3cm
4cm
(TK)//(VP)
S
Ex 2p190 : Calculer PN et NS.
S
P
?
?
1,5cm
N
1,8cm
Q
(QP)//(RS)
R
Prouver que des droites ne sont pas parallèles avec Thalès:
Ex 3p187
H
D
5,5
1,9
E
5
2,2
G
En utilisant les informations portées sur la figure,
démontrer que les droites (HG) et (DL) ne sont pas parallèles.
Les mesures sont exprimées dans la même unité.
L
II – La réciproque du théorème de Thalès :
Ex 4p187
a) Reproduire une figure analogue à la figure suivante. (avec AB=6cm et AC=3cm)
C
(d)
A
(d’)
B
Placer le point M sur (d) tel que AM = 1 et le point N sur (d’) tel que AN = 1
AB 3
AC 3
donc AM = AN
AB AC
Que dire des droites (BC) et (MN)?
II – La réciproque du théorème de Thalès :
• Dans un triangle ABC, où B’ (AB) et C’ (AC)
• Si
AB’ = AC’
AB
AC
• Alors (BC)//(B’C’)
Configuration 4ème
Configuration papillon
B
B’
B
C’
A
A
B’
C’
C
C
Exercice corrigé :
Démontrer que 2 droites sont parallèles
3p191: En utilisant les informations portées sur la figure suivante, indiquer si les
droites (TP)et (KR) sont parallèles.
P
K
S
R
T
Rédaction type:
(Nous sommes dans une configuration de Thalès)
• P,S,R et T,S,K sont alignés dans cet ordre.
•
d’une part:
RS = 4 = 0,8
PS
5
et
d’autre part
Donc
KS = 3 = 0,8
TS 3,75
RS = KS
PS TS
• D’après la réciproque du Théorème de Thalès, on a :
(TP) // (KR)
Ex 3p191 En utilisant les informations portées sur la figure,
démontrer que les droites suivantes sont parallèles:
b) (VM) et (QN)
c) (DA) et (EB)
V
M
14
10,5
C
5
3
D
4,5
A
7,5
S
E
4,5
Q
6
N
B
Ex 3p187
H
D
5,5
1,9
E
5
2,2
G
En utilisant les informations portées sur la figure,
démontrer que les droites (HG) et (DL) ne sont pas parallèles.
Les mesures sont exprimées dans la même unité.
L
Ex 39p196 : En utilisant les informations portées sur la figure,
calculer la valeur exacte de MN
O
7
N
19
M
?
E
(ON) // (EJ)
7
K
24
J
Ex 40p196 : En utilisant les informations portées sur la figure,
calculer la valeur exacte de FG
G
A
H
F
K
(AK) // (GH)
E
Ex 23p194 : En utilisant les informations portées sur la figure,
calculer la valeur exacte de SP et XT.
S
W
?
1
X
3
P
2
2,8
?
4
Q
V
T
Les droites (SQ), (VW) et (XT) sont parallèles.
Exercice:
a) Les droites (JK) et(MO) sont-elles parallèles?
b) En déduire MO.
J
M
1,4
2,1
?
2
I
3
K
2
O
DM:
Exercices types Brevet
Ex 44p197
EX 47p197
Ex 45p197 : En utilisant les informations portées sur la figure,
Démontrer que (CF) et (BE) sont parallèles.
Indice: Repérer toutes les configurations de Thales possibles
C
12cm
9cm
E
6cm
D
A
6cm
9cm
F
B
(AD) // (FB)
Ex 60p200: En utilisant les informations portées sur la figure,
calculer les longueurs MN et VT.
Indice: Repérer toutes les configurations de Thales possibles
K
(LV) // (MN)
5m
L
3m
M
4m
V
4,5m
?
?
S
3m
N
T
Exercice: Sans utiliser d’instrument de géométrie:
1) Placer le point C milieu de[AB]
2) Placer le point D tel que AD= AB/5
3) Placer le point I milieu de [MN]
4) Placer le point L tel que ML= MN/3
5) Placer le point P tel que RP =RS/3
6) Placer le point T tel que TS= RS/4
B
R
A
S
N
M