QCM et Vrai/Faux

QCM et Vrai/Faux
Remarque à propos de ces QCM : chaque question peut avois une ou plusieurs bonnes réponses...
QCM 64 page 106
Remarque préliminaire pour éviter des calculs éventuellement inutiles :
si un nombre d divise 17 et 2015, il divise 17x – 2015y , la seule valeur positive possible de d est donc 1
on en déduit que l'équation 17x – 2015y = 1 ne peut avoir de solution que si 17 et 2015 sont premiers entre eux.
17 étant un nombre premier, et puisque 2015 n'est pas divisible par 17, PGCD(17,2015) = 1 l'équation peut donc avoir des
solutions, dommage il va donc falloir travailler...
Puisque l'ensemble des valeurs possibles pour x et y est fini, on peut envisager de
tester tous les couples possibles, et puisqu'il y en a tout de même trop pour le faire à
la main... un algorithme est ici l'outil le plus pertinent.
Nous verrons bientôt en cours comment trouver ces couples d'entiers.
Voici le résultats affiché par Xcas après un temps de calcul assez long (le test est
effectué 10001x10001 fois...) :
La bonne réponse est donc b.
QCM 67 page 106
Rappelons qu'il est équivalent de dire qu'une fraction est irréductible ou que son numérateur et son dénominateur sont premier
entre-eux.
La proposition A est vraie :
si d divise a et b, il divise ab' – a'b = 1, donc d = 1, donc la fraction a/b est irréductible, même chose pour la fraction a'/b'.
La proposition B est fausse :
en effet, on a 5x6 – 2x14 = 2 alors que la franction 5/14 est irréductible.
La proposition C est vraie :
si d divise a et b, il divise ab' – a'b, si on avait ab' – a'b = 1, on en déduirait d = 1, ce qui contredirait le fait que la fraction a/b n'est
pas irréductible.
Vrai/Faux page 106
Voir le corrigé page 194, sauf pour le 70 où la solution proposée utilise un théorème qui n'a pas encore été vu.
70 page 106
Soient a = n et b = 2n+1, et soit d un diviseur positif de a et b, alors d divise b – 2a = 1 donc d = 1.
Le seul diviseur positif commun à a et b est 1 donc PGCD(n;2n+1)=1.
Ce qui prouve que n et 2n+1 sont premiers entre-eux. Vrai.
QCM 67 page 150
Reponse b
QCM 68 page 150
Reponse d) il suffit de calculer A-1
QCM 69 page 150
Reponse a et d, pour d, calculer P0M4.
Vrai/Faux 70 page 150
Faux : par exemple, si A et B sont de format …, on peut les ajouter mais pas les multiplier.
Vrai/Faux 71 page 150
Faux : il faudrait de plus avoir AB = BA, ce qui n'est généralement pas le cas.
Vrai/Faux 72 page 150
Vrai, utiliser l'expression de la matrice inverse pour le vérifier.
Vrai/Faux 73 page 150
Faux : la somme des coefficients de la seuxième ligne n'est pas égale à 1.
Vrai/Faux 74 page 150
Vrai, en effet, pour toutes matrices carrées,
−1
−1
−1
−1
AB×B A =A× BB ×A
(associativité) …
et
B−1 A−1×AB=B−1× A−1 A×B ...