Affine - Passeport

Affine
Département
Mathématiques
CUEEP / USTL
Février 2007
Table des Matières
ChapitreI. Préliminaire................................................................................. 5
ChapitreII. La fonction affine....................................................................... 8
A. La fonction affine..................................................................................8
B. Cas particuliers.....................................................................................9
C. Exemples..............................................................................................10
C.1. f(x)=2x+5..........................................................................................................10
C.2. Représentation graphique de la fonction "f"....................................................10
C.3. g(x), h(x) et k(x)................................................................................................11
C.4. Représentations graphiques des fonctions "g, h et k".....................................11
C.5. fonction l(x).......................................................................................................12
ChapitreIII. Lien Formule-Tableau-Graphique.......................................... 13
A. Pas constant de 1................................................................................ 13
B. Pas constant de 2................................................................................14
C. Sans pas constant................................................................................14
ChapitreIV. Reconnaître le modèle........................................................... 16
A. Sur une formule...................................................................................16
A.1. Reconnaître le modèle sur une formule...........................................................16
A.2. Solution de l'exercice........................................................................................17
B. Sur un tableau.....................................................................................18
B.1. Reconnaître le modèle sur un tableau..............................................................18
B.2. Solution de l'exercice........................................................................................18
C. Sur un graphique.................................................................................19
C.1. Reconnaître le modèle sur un graphique.........................................................19
C.2. Solution de l'exercice.......................................................................................19
Affine
2
ChapitreV. Equation d'une droite passant par 2 points............................. 20
A. La méthode du tableau........................................................................20
B. La méthode graphique........................................................................20
B.1. La méthode graphique......................................................................................20
C. La méthode algébrique........................................................................21
C.1. La méthode algébrique.....................................................................................21
D. Application..........................................................................................22
D.1. Solution de l'exercice.......................................................................................22
ChapitreVI. Formalisme............................................................................ 23
Affine
3
Affine
4
ChapitreI. Préliminaire
Exemple - Animatour
Le prix de location d'une voiture chez Animatour est de 15 euros plus 0,15 euro du
Km parcouru.
15 euros est le forfait et 0,15 euro est le prix unitaire.
Lorsqu'on effectue 200 km, le prix est de « 0,15 x 200 + 15 » soit 45 euros.
A un nombre de km de 200, on associe un prix de 45 euros.
Explication
Lorsque l'on effectue "n" Km, le prix est de « 0,15 n + 15 » euros.
A un nombre "n" de Km, on associe un prix p de « 0,15 n +15 » euros.
A une valeur de n on associe une seule valeur de "p".
On appelle "t" le tarif : le tarif permet de déterminer le prix à payer pour un
nombre de Km parcourus.
La lettre "t" est la fonction qui à nombre "n" de Km associe un prix "p".
p = t(n) = 1,15n + 15 (on lit t de n) n est la variable, t est la fonction.
Complément - Représentation graphique
La représentation graphique du prix en fonction du nombre de Km parcourus est
une droite formée de tous les points dont les coordonnées (n et p) vérifient la
relation :
p = t(n) = 0,15n + 15
Pour n = 0
T(0) = 15
P = 15
Pour n = 100
T(100) = 30
P = 30
Pour n = 200
T(200) = 45
P = 45
Tableau 1 - Non titré
Affine
5
Illustration 1 - Non titré
Dans cet exemple quand le nombre "n" de Km augmente le prix p augmente, on dit
que "t" est une fonction croissante. Concrètement la fonction tarif "t" correspond à
une lecture du graphique en sens direct c'est-à-dire abscisse vers ordonnée.
Illustration 2 -
Affine
6
Illustration 3 -
Illustration 4 -
Remarque - Fonction affine
La fonction t(n) = 1,15n + 15 est un cas particulier d'un modèle fonction affine qui
se caractérise par le « modèle standard » où la variable d'entrée s'appelle "x" la
variable de sortie "y" et la fonction "f"
f(x) = ax + b
a et b sont des valeurs connues que l'on appelle constantes
Affine
7
ChapitreII. La fonction affine
A. La fonction affine
Fondamental - La fonction affine
La fonction affine est une fonction dont le modèle standard est "f(x) = ax + b" où
"a" et "b" sont des nombres connus.
La représentation graphique de la fonction affine "f(x) = ax + b" est la droite
d'équation "y= ax + b"
"a" est le coefficient directeur , il caractérise l'inclinaison de la droite par rapport à
l'axe des x ( plus le coefficient "a" est grand plus la droite est penchée).
Dans le cas où les axes sont orthonormés, on pourra l'appeler pente de la droite.
Si le coefficient a est positif la fonction est croissante.
Si le coefficient a est négatif la fonction est décroissante.
"b" est l'ordonnée à l'origine ( valeur de l'ordonnée y quand x =0) .
Illustration 5 - Axes orthonormés
Illustration 5 - Axes orthonormés
Affine
8
B. Cas particuliers
Explication - f(x) = b
Quand la constante « a » est nulle on a alors f(x) = b, c'est une fonction constante.
La représentation graphique de la fonction constante f(x) = b est une droite
d'équation y=b de coefficient directeur nul, donc parallèle à l'axe des abscisses
Illustration 6 - f(x) = b
Illustration 6 - f(x) = b
Explication - f(x) = ax
Quand la constante « b » est nulle on a alors f(x) = ax, c'est une fonction linéaire.
La représentation graphique de la fonction linéaire f(x) = ax est une droite
d'équation y=ax passant par l'origine
Illustration 7 - f(x) = ax
Illustration 7 - f(x) = ax
Affine
9
C. Exemples
C.1. f(x)=2x+5
f(x) = 2x+ 5
La fonction f définie par f(x) = 2x+ 5 est une fonction affine croissante : a = 2 et b = 5, sa
représentation graphique est la droite d'équation y = 2x+ 5
C.2. Représentation graphique de la fonction "f"
Méthode - Représentation graphique
Pour représenter graphiquement une fonction affine, il suffit de 2 points :
On donne arbitrairement deux valeurs à x et on calcule avec la fonction les valeurs
de y correspondantes.
On place les deux points correspondants et peut tracer la droite passant par ces
deux points.
Rien n'empêche de vérifier avec un troisième point.
Bien sûr on s'arrange pour donner à x des valeurs qui permettent un calcul rapide
Ainsi pour la fonction : f(x) = 2x + 5 :
Pour x = 0 f(0) = 5
Pour x = +2 f(2) = 9
La droite d'équation f(x) = 2x + 5 passera par les points de coordonnées (0 ; +5) et
(+2 ; +9)
Pour x = -2 f(-2) = 1
On vérifie que la droite passe bien par le point (-2 ; 1)
Illustration 8 - fonction "f"
Affine
10
Illustration 8 - fonction "f"
C.3. g(x), h(x) et k(x)
C.3.1. g(x)=-x-3
La fonction g définie par g(x) = -x - 3 est une fonction affine décroissante: a = -1 et b =
-3, sa représentation graphique est une droite d'équation y= -x - 3
C.3.2. h(x)=2
Pour cette fonction il suffit de placer le point (0 ; +2) et de tracer la parallèle à l'axe des
abscisses passant par ce point.
C.3.3. k(x)= -2x
La fonction k définie par k(x) = -2x est une fonction linéaire décroissante : a= -2 et b = 0,
sa représentation graphique est une droite d'équation y= -2x qui passe par l'origine O
C.4. Représentations graphiques des fonctions "g, h
et k"
Exemple - g(x) = -x-3
Pour x = 0 => y= -3
Pour x = -3 => y= 0
Exemple - h(x)= 2
Pour cette fonction il suffit de placer le point (0 ; +2) et de tracer la parallèle à
l'axe des abscisses passant par ce point.
Exemple - k(x) = -2x
Pour x = 0 => y= 0
Pour x = 2 => y= -4
Affine
11
Complément - Les droites
Illustration 9 - Représentation graphique
Illustration 9 - Représentation graphique
C.5. fonction l(x)
Par contre la fonction l définie par l(x) = 2x2 + 3x +1 n'est pas une fonction affine car
son expression comporte un terme où la variable x est au carré : on dit que c'est une
expression du second degré.
Affine
12
ChapitreIII. Lien Formule-TableauGraphique
Soit la fonction f(x) = -2x + 3
La formule permet de remplir un tableau de valeurs de y = f(x) pour des « x »
donnés.
A. Pas constant de 1
Exemple
Si on fixe les valeurs de x arbitrairement mais en conservant un pas de 1 entre
chaque valeur comme dans le 1er tableau ci-dessous, on remarque que lorsqu'on
augmente la valeur de x de 1, on diminue celle de y de 2.
A un écart de +1 en x correspond un écart de - 2 en y.
Cette valeur de -2 correspond à la constante « a » de la fonction f(x) = -2x + 3
Dans ce tableau on a donné à x la valeur 0, à cette valeur correspond une valeur de
y égale à 3, cette valeur de 3 correspond à la constante b de la fonction. f(0) = 3 =
b
Illustration 10 - Tableau : pas de 1
Illustration 10 - Tableau : pas de 1
Affine
13
B. Pas constant de 2
Exemple
Si entre les valeurs de x on fixe un pas de 2 comme dans le 2ème tableau ci contre,
les écarts entre les « y » sont de -4 .
On a doublé les écarts de x ce qui a pour effet de doubler les écarts de y et le
rapport écart des x = −4 =−2 est constant et correspond à la valeur de la constante
écart des y
2
« a » de la fonction f(x) = -2x + 3
Illustration 11 -
C. Sans pas constant
Exemple
Si on ne respecte pas un pas constant entre les valeurs de x comme dans le tableau
ci dessus, les écarts des « x » sont différents et les écarts correspondants des « y »
également.
Illustration 12 -
Affine
14
Par contre les rapports des écarts sont constants :
a=
−2 −4 −6 −8 et
= = =
1
2
3
4
déterminent la valeur de la constante « a » de la fonction.
Complément - Lecture sur un graphique
Les écarts sont visualisés sur le graphique par les « marches d'escalier ».
Pour déterminer "a" il faut faire le rapport des écarts La valeur de "b" est
directement lisible sur le graphique ci dessous.
Illustration 13 - Non titré
Affine
15
ChapitreIV. Reconnaître le modèle
A. Sur une formule
A.1. Reconnaître le modèle sur une formule
Le tableau ci-dessous vous donne une liste d'équations.
Parmi les équations, lesquelles correspondent au modèmle affine ?
Indiquez les valeurs de a et b
Illustration 14 - Non titrée
Affine
16
A.2. Solution de l'exercice
Illustration 15 - Non titrée
L'expression x2 + 3 est une expression du second degré.
En développant 3(x+2) on obtient 3x + 6 qui est la forme standard du modèle affine.
−
x peut s'écrire 1
− x
4
4
L'expression 2x3 + 3x est une expression de degré 3.
En développant (x + 1)2 - (x - 1)2, on obtient x2 + 2x + 1 - (x2 - 2x +1) = x2 + 2x + 1- x2 +
2x - 1 = 4x
En développant (x + 1) - (x - 1) - 2 on obtient x + 1 - x + 1 - 2 = 0
Affine
17
B. Sur un tableau
B.1. Reconnaître le modèle sur un tableau
Les tableaux ci-dessous doivent vous permettre de définir les équations des droites.
Ces tableaux numériques correspondent-ils à des droites ?
Si oui, en donner l'équation.
Illustration 16 -
Illustration 17 -
B.2. Solution de l'exercice
Tableau A : Réponse : y = 3x + 5 Le corrigé rédigé La démonstration commentée
Tableau B : Réponse : y = -2x + 20 Le corrigé rédigé La démonstration commentée
Tableau C : Réponse : y = 2x + 4 Le corrigé rédigé La démonstration commentée
Tableau D : Réponse : y = -2x - 12 Le corrigé rédigé La démonstration commentée
Tableau E : Réponse : y=− 5 x10 Le corrigé rédigé La démonstration commentée
4
Tableau F : Réponse : y=− 6 x23 Le corrigé rédigé La démonstration commentée
5
Tableau G : Réponse : y = -2x - 3 Le corrigé rédigé La démonstration commentée
Tableau H: Réponse : Ce n'est pas une droite La démonstration commentée
Affine
18
C. Sur un graphique
C.1. Reconnaître le modèle sur un graphique
Les graphiques ci-dessous vous doivent vous permettre de définir les équations des
droites.
Trouver les équations des droites représentées dans les différents graphiques
Illustration 18 -
C.2. Solution de l'exercice
Graphique 1 : Réponse : y = x + 3 Le corrigé rédigé La correction commentée
Graphique 2 : Réponse : y=− 1 x4 Le corrigé rédigé La correction commentée
3
Graphique 3 : Réponse : y = 2x + 3 Le corrigé rédigé La correction commentée
Graphique 4: Réponse : y = -x - 2 Le corrigé rédigé La correction commentée
Graphique 5: Réponse : y = -2x Le corrigé rédigé La correction commentée
Graphique 6: Réponse : y = 3 Le corrigé rédigé La correction commentée
Affine
19
ChapitreV. Equation d'une droite passant
par 2 points
Quelle est l'équation de la droite passant par les points A (-1 ; +3) et B (2 ; -3) ?
A (-1 ; +3) veut dire que les coordonnées de A sont x = -1 et y = +3
Trois méthodes existent pour trouver cette équation
A. La méthode du tableau
On reporte les coordonnées des points dans un tableau
Illustration 19 - Non titrée
B. La méthode graphique
B.1. La méthode graphique
On place les points sur un graphique.
On place les points sur un graphique.
On trace la droite et on détermine graphiquement a et b.
Affine
20
Illustration 20 - Non titrée
C. La méthode algébrique
C.1. La méthode algébrique
On remplace les valeurs de x et de y dans l'équation y = ax + b
Pour le point A on a x = -1 et y = 3 qui donnent 3 = ax(-1) + b
Pour le point B on a x = 2 et y = -3 qui donnent -3= ax (2) + b
On a un système de deux équations à deux inconnues ; les inconnues étant ici a et b
3 = -a + b => (A)
-3 = 2a + b => (B)
A - B : 3-(-3) = -a - 2a
6 = -3a donne a = -2
3 = -(-2) + b donne b = 3-2 = 1
y = - 2x + 1
Affine
21
D. Application
Trouver les équations des droites 1, 2 et 3, en utilisant l'une des 3 méthodes.
Droite 1 : A (2 ; 0) et B (3 ; 5)
Droite 2 : C (-5 ; 7) et D (-2 ; 1)
Droite 3 : E (-4 ; 5) et F (4 ; 9)
Une version imprimable, ainsi que les réponses sont disponibles ici : Equations des
droites.
Vous pouvez rédiger cet exercice et le remettre à votre enseignant.
D.1. Solution de l'exercice
Droite 1 : y = 5x - 10
Droite 2 : y = -2x -3
Droite 3 : y= 1 x7
2
Affine
22
ChapitreVI. Formalisme
Fondamental - Fonction affine
Forme générale : f(x) = ax + b
Représentation graphique : droite d'équation x est appelé abscisse y est appelé
ordonnée
"a" est appelé coefficient directeur ou pente de la droite dans le cas d'un repère
orthonormé
a=
différence des ordonnées
différence des abscisses
Complément - Sur le graphique
Sur le graphique : différence des y lorsque x augmente de 1
b est appelé ordonnée à l'origine.
b est la valeur de y lorsque x = 0
Sur le graphique c'est l'ordonnée du point de rencontre de la droite avec l'axe
vertical
A noter : l'abscisse du point de rencontre de la droite avec l'axe horizontal
est la solution de l'équation.
f(x) = 0
f(x) = ax + b = 0
x=−
b
a
Illustration 21 - Non titré
Affine
23
Affine
24